Contenido I.INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................................................................................................... 2 II.TRASLACIÓN.............................................................................................................................................................................................................. 5 III.ROTACIÓN ALREDEDO R DE UN EJE FIJO......................................................................................................................................................... 7 IV.ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO .......................................... 14 V.MOVIMIENTO PLANO GENERAL....................................................................................................................................................................... 16 VI.ECUACIONES QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO ........................................................................................... 19 V elocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano. ................................................................................................................................. 19 Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano. ............................................................................................................................................ 23 Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro. ...................................................................................................................................... 26 VII.CENTRO INSTANTÁNEO DE ROT ACIÓN EN EL MOVIMIENTO PLANO.................................................................................................. 28 VIII.ACELERACIÓN DE CORIOLIS ............................................................................................................................................................................. 29 ANEXOS PROBLEMAS ........................................................................................................................................................................................................ 31
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5/11/2018 CINEMÁTICA DE CUERPOS R GIDOS - slidepdf.com
I. INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................................................................................................... 2
II. TRASLACIÓN .............................................................................................................................................................................................................. 5
III. ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO ......................................................................................................................................................... 7
IV. ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO .......................................... 14
V. MOVIMIENTO PLANO GENERAL ....................................................................................................................................................................... 16
VI. ECUACIONES QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO........................................................................................... 19
Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano. ................................................................................................................................. 19
Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano. ............................................................................................................................................ 23
Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro. ...................................................................................................................................... 26
VII. CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN EN EL MOVIMIENTO PLANO.................................................................................................. 28
VIII. ACELERACIÓN DE CORIOLIS ............................................................................................................................................................................. 29
I. INTRODUCCIÓNEn este capítulo se considera la cinemática de cuerpos rígidos. Se investigan las relaciones existentes entre el tiempo, las posiciones, las
velocidades y las aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido. Como se verá, los diferentes tipos de movimiento
de cuerpo rígido pueden agruparse de manera conveniente en la forma que sigue:
1. Traslación.
Se afirma que un movimiento será de traslación si toda línea recta dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento.
También puede observarse que en la traslación todas las partículas que constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas.
Si estas trayectorias son líneas rectas, se afirma que el movimiento es una traslación rectilínea (figura 1); si las trayectorias son líneas curvas,
el movimiento es una traslación curvilínea (figura 2).
Figura 1 Figura 2Figura 3
2. Rotación alrededor de un eje fijo.
En este movimiento, las partículas que forman al cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el
mismo eje fijo (figura 3). Si este eje, llamado eje de rotación, interseca al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen
velocidad cero y aceleración cero.
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Considere un cuerpo rígido en traslación (ya sea rectilínea o curvilínea), y deje que A y B sean cualesquiera dos de sus partículas (figura17a). Al denotar, respectivamente, por
Ary
Brlos vectores de posición de A y B con respecto a un sistema de referencia fijo y mediante
A Br al vector que una a A y B, se escribe
A B A B rrr (1)
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Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo AA’. Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posición con respecto a unsistema de referencia fijo. Por conveniencia, se supone que el sistema de referencia está centrado en el punto O sobre AA’ y que el eje z
coincida con AA’ (figura 8). Sea B la proyección de P sobre AA’; puesto que P debe permanecer a una distancia constante de B, describirá un
círculo de centro B y de radio r Sen (ϕ), donde ϕ denota el ángulo formado por r y AA’.
Figura 8
La posición de P y del cuerpo completo está definida totalmente por el ángulo θ que forma la línea BP con el plano zx. El plano θ se
conoce como coordenada angular del cuerpo y se define como positiva cuando se ve en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde
A’. La coordenada angular se expresará en radianes (rad) o, en ocasiones en grados (°) o revoluciones (rev). Recuérdese que
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el producto vectorial de ω y ω r; ya que ω r es tangente al círculo que describe P, el triple producto vectorial está dirigido hacia el
centro B del círculo y, por consiguiente, representa la componente normal de la aceleración.
Rotación de una placa representativa. La rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo puede definirse mediante el movimiento deuna placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de rotación. Se elige el plano xy como el plano de referencia y se
supone que coincide con el plano de la figura, con el eje z apuntando hacia fuera del papel (figura 10). Al recordar de (6) que ω = ωk, se
Figura 10
Nota que un valor positivo del escalar ω corresponde a una rotación en el sentido contrario al de las manecillas del reloj de la placa
representativa, y un valor negativo a una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. Al sustituir ωk por ω en la ecuación (5), se
expresa la velocidad de cualquier punto P dado de la placa como
v = ωk r (10)
Puesto que los vectores k y r son mutuamente perpendiculares, la magnitud de la velocidad v es
v = rω (10’)
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La componente tangencial at apunta en la dirección contraria a la del movimiento de las manecillas del reloj si el escalar α es positivo, y
en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj si α es negativo. La componente normal an siempre apunta en la dirección opuestaa la de r, esto es, hacia O.
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2. Rotación acelerada uniformemente. En este caso, la aceleración angular es constante. Las siguientes fórmulas que relacionan la
velocidad angular, la coordenada angular y el tiempo pueden obtenerse entonces de manera similar a la que se describe en el movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado. La similitud entra las fórmulas derivadas aquí y aquellas obtenidas para el movimiento rectilíneouniformemente acelerado de una partícula es manifiesta.
t 0
2
00
2
1t t
0
2
0
22
(16)
Debe subrayarse que la fórmula (15) sólo se usa cuando α = 0, y las fórmulas (16) sólo cuando α = constante. En cualquier otro caso,
deben emplearse las fórmulas generales (12) a (14).
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Tal como se indicó en la sección I, el movimiento plano general es un movimiento plano que no es ni una traslación ni una rotación. Sinembargo, como se verá, un movimiento plano general siempre puede considerarse como la suma de una traslación y una rotación .
Considere, por ejemplo, una rueda que gira sobre una pista recta (figura 12). A lo largo de cierto intervalo, dos puntos dados A y B se
habrán movido, respectivamente, desde A1 hasta A2 y desde B1 hasta B2. El mismo resultado podría obtenerse mediante una traslación que
llevaría a A y a B hacia A2 y B’ 1 (la línea AB se mantiene vertical), seguida por una rotación alrededor de A que llevaría a B a B2. Aunque el
movimiento de giro original difiere de la combinación de traslación y rotación cuando estos movimientos se toman en forma sucesiva, el
movimiento original puede duplicarse de manera exacta mediante una combinación de traslación y rotación simultáneas.
Figura 12
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En el caso general de movimiento plano se consideró un pequeño desplazamiento que lleva a dos partículas A y B de una placa
representativa, respectivamente de A1 y B1 a A2 y B2 (figura 14). Este desplazamiento puede dividirse en dos partes: en una, las partículas se
mueven hacia A2 y B’1 mientras la línea AB mantiene la misma dirección; en el otro, B se mueve hacia B2 mientras A permanece fijo. La
primera parte del movimiento es claramente una traslación y la segunda parte una rotación alrededor de A.
Figura 14
Si se recuerda la definición de movimiento relativo de una partícula con respecto a un sistema de referencia móvil – lo que se opone a sumovimiento absoluto con respecto a un sistema de referencia fijo – es posible enunciar del modo siguiente el resultado que se obtuvo antes:
dadas dos partículas A y B de una placa rígida en movimiento plano, el movimiento relativo de B con respecto a un sistema de referencia
unido a A y de orientación fija es una rotación. Para un observador que se mueve con A, pero que no gira, la partícula B parecerá describir un
arco de un círculo centrado en A.
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