Ciberntica y Computacin I
Unidad I. La Ciberntica1.1 IntroduccinLa ciberntica se ha
definido de distintas maneras a lo largo del tiempo y el espacio.
Algunas de las ms importantes son Andri Nikolyevich Kolmogrov: La
ciberntica se ocupa de sistemas de cualquier naturaleza que son
capaces de recibir, almacenar, y transformar informacin con fines
de control. Raymond Ruyer: La ciencia del control por medio de
informacin sean stas naturales, orgnicas o artificiales. Norbert
Wiener: Ciencia que se ocupa de los sistemas de control y de
comunicacin en las personas y las mquinas, estudiando y
aprovechando todos sus aspectos y mecanismos comunes. Diccionario
de la Lengua Espaola: Estudio de las analogas entre los sistemas de
control y comunicacin de los seres vivos y los de las maquinas; y
en particular, el de las aplicaciones de los mecanismos de
regulacin biolgica a la tecnologa.Con base en estas definiciones
planteamos la siguiente que se adapta al curso de Ciberntica y
Computacin:la cibernticaes la ciencia que estudia sistemas
naturales, sociales y, en el caso de la materia, de su aplicacin
tecnolgica con la finalidad de establecer relaciones entre sus
elementos, proponer un modelo y establecer una metodologa para
implementar un sistema de cmputo capaz de recibir, almacenar y
transformar la informacin.1.2 Antecedentes HistricosEl origen
principal de la ciberntica, se debe a la integracin de estudios
matemticos, fsicos, ingenieros, fisilogos y tcnicos para analizar
los sistemas de control en las mquinas y los seres vivos.Las
piedras angulares de la ciberntica son la teora de la informacin,
la teora de los algoritmos y la teora de los autmatas que estudia
los mtodos de construccin de los sistemas para el procesamiento de
la informacin.Cabe sealar que un factor decisivo en el proceso de
creacin de la nueva ciencia fue el crecimiento impetuoso de la
automtica electrnica y, especialmente, la aparicin de las
computadoras de accin rpida. Estas ltimas abrieron posibilidades
nunca vistas en el procesamiento de la informacin y en la simulacin
de los sistemas de direccin.Los personajes que a continuacin se
mencionan contribuyeron de alguna manera con el desarrollo de la
Ciberntica mediante inventos e investigaciones que aportaban
avances al desarrollo de herramientas tecnolgicas.Principales
PrecursoresBlaise Pascal (1623 - 1662)Pascal invent una de las
primeras calculadoras mecnicas (1642); el aparato
llamadopascalinaque permita realizar las operaciones aritmticas de
suma y resta.Charles Babbage (1791-1871)Matemtico britnico, que
realiz estudios y experimentos para conseguir una mquina capaz de
realizar con precisin tablas matemticas. En 1833 termin el diseo de
su mquina diferencial concebida para construir tablas logartmicas y
de funciones trigonomtricas y posteriormente se dedic al diseo de
una mquina analtica que tuviera la capacidad de realizar cualquier
secuencia de instrucciones aritmticas.Aunque no lleg a conseguir su
propsito, debido a que el sistema de engranajes para su construccin
presentaba problemas de esfuerzo y temperatura en su poca, Charles
Babbage sent los principios bsicos de las computadoras modernas,
como el concepto de programa o instrucciones bsicas, que se
introducen en la mquina de manera independiente de los datos, el
uso de la memoria para retener resultados y una unidad
aritmtica.George Boole (1815- 1864)El lgebra de Boole establece los
fundamentos de la aritmtica utilizada en la electrnica y cmputo
moderno. Desarrolla un sistema de reglas basadas en procedimientos
matemticos que permiten expresar, manipular y simplificar problemas
lgicos y filosficos cuyos argumentos admiten solamente dos estados:
verdadero o falso.Herman Hollerith (1860-1929)Herman Hollerith fue
un estadstico que invent el primer sistema de tabulacin para el
tratamiento de informacin. Revolucionando de esta forma, el manejo
de informacin a gran escala mediante la automatizacin de procesos.
Fue el fundador de la empresa Tabulating Machine Company dedicada a
fabricar y vender sus mquinas; empresa que posteriormente al
fusionarse con otras dos originara a la International Business
Machines (IBM).Alan -Mathison Turing (1912-1954)Cuando era
estudiante de postgrado en la universidad de Princeton en 1937,
public el artculo On computable numbers, en el que defini una
maquina terica de capacidad infinita. Esta mquina que despus fue
llamada "Mquina de Turing" se operaba basndose en una serie de
instrucciones lgicas que eran ledas de una cinta de papel perforada
y que posteriormente ejecutaba dichas las operaciones expresadas en
un lenguaje formal determinado.Norbert Wiener (1894 -1964)En los
aos cuarenta, trabajara en los principios de la Ciberntica, un
trmino que aportara en su clebre publicacin de nombre "Ciberntica o
control y comunicacin en el animal y la mquina", desarrollada en
1948. La ciberntica es una ciencia interdisciplinaria que se dedica
a estudiar y comprender la interrelacin que existe entre las
mquinas y el ser humano. Por esta razn es conocido como el padre de
la ciberntica.Arturo Rosenblueth Stearns (1900 - 1970)Cientfico y
mdico mexicano nacido en Guerrero, Chihuahua. Asociado con el Dr.
Norbert Wiener y Bigelow escribi el ensayo denominado "Behavior,
Purpose and Teology" que sirvi de base para la creacin, por parte
del Dr. Norbert Wiener, de la nueva ciencia llamada "Ciberntica".
Por esta razn tambin a l se le considera un pionero de esta
ciencia.John Von Neumann (1903 -1957)Von Neumann escribi un ensayo
que influira de manera definitiva en la construccin y diseo de las
computadoras modernas. El articulo describa la estructura de una
computadora; dividiendo el diseo en una unidad de procesamiento,
una unidad de control, memoria interna y dispositivos de entrada y
de salida. La principal contribucin era que dentro de la memoria de
la computadora se podan almacenar programas que podran leerse y
posteriormente ejecutarse mediante las instrucciones, sin necesidad
de tener que volver a escribirlas. Von Neumann le dio su nombre a
la arquitectura utilizada en casi todas las computadoras
actuales.Claude Elwood Shannon (1916-2001)Realiz aportaciones
tericas, e impuls la digitalizacin al emplear la lgica booleana. En
1948 fund la Teora de la Informacin, su trabajo hizo posible
definir la informacin en trminos matemticos y operacionalmente
precisos, lo que permita medir su cantidad en bits.Actividad
1Relaciona cada texto con el precursor histrico correspondiente
Actividad 2Define con tus propias palabras Qu es la
Ciberntica?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.3 SistemasDe acuerdo con OBrien un sistema es un grupo de
componentes interrelacionados que trabajan juntos hacia un fin
comn, aceptandoinputsy produciendooutputsen un proceso de
transformacin organizado. [OBr 93]. Partiendo de esta definicin
podemos decir que un sistema puede describirse comoun conjunto de
elementos (objetos, entidades o conceptos), interrelacionados de
algn modo a fin de lograr un objetivo comn.Elementos de un
sistemaUn sistema de cualquier tipo que este sea, consta de por lo
menos los siguientes elementos: Entradas:Recursos del medio que
funcionan como insumos para el proceso. Proceso: Transforma o
procesa una entrada en salida; es una actividad o fenmeno que
modifica las entradas para producir un resultado. Salida(s): Son
los resultados que se obtienen de procesar las entradas.Cada
sistema tiene adems la posibilidad de retroalimentacin: esun
concepto que se contempla cuando a la ciberntica le interesa cmo
hacer que un sistema proporcione la respuesta que se espera o se
necesita.a.Ambiente de un sistemaEl ambiente de un sistema se
define como el conjunto de elementos que sin formar parte del
sistema poseen propiedades relevantes que tiene un efecto sobre el
sistema. Es decir est formado por todas las variables que pueden
afectar el estado del sistema desde el exterior.b.Clasificacin de
los SistemasSistema CerradoAquel que no tiene ambiente ni contexto.
No presentan intercambio con el medio ambiente que los rodea, son
hermticos a cualquier influencia ambiental. No reciben ningn
recurso externo y nada producen que sea enviado hacia fuera. Tambin
se aplica el trmino a los sistemas completamente estructurados,
donde los elementos y relaciones se combinan de una manera peculiar
y rgida produciendo una salida invariable, como las mquinas. En
rigor, no existen sistemas cerrados. Se da el nombre de sistema
cerrado a aquellos sistemas cuyo comportamiento es determinstico y
programado y que opera con muy pequeo intercambio de energa y
materia con el ambiente.Sistema AbiertoAquel que tiene medio
ambiente si interacta con su medio ambiente. Los sistemas abiertos
presentan intercambio con el ambiente, a travs de entradas y
salidas. Intercambian energa y materia con el ambiente. Son
adaptativos para sobrevivir. Su estructura es ptima cuando el
conjunto de elementos del sistema se organiza, aproximndose a una
operacin adaptativa.Con Respecto al medio Ambiente
Sistema NaturalNacen en respuesta a fenmenos fsicos, qumicos y
biolgicos y que se crean por la naturaleza.Sistema ArtificialSon
aquellos que fueron logrados por la intervencin directa de la
actividad humana. Un ser humano particip de manera activa en su
diseo, manejo, control y ejecucin.
Con respecto a su origen
c.Sistema de controlUn sistema de control es un arreglo de
componentes fsicos conectados de tal manera que el arreglo se puede
comandar, dirigir o regular a s mismo o a otro sistema.La
ciberntica estudia la teora de los sistemas de control basada en la
comunicacin (transferencia de informacin) entre sistemas y medio
ambiente o internamente en el sistema, y en el control
(retroalimentacin) del funcionamiento del sistema.Ejemplos de
sistemas de controlLa importancia de los sistemas de control en
nuestra vida diaria es tan crtica que sin ellos la vida sera
complicada. Sistemas de control automtico simples pueden
encontrarse en cada rincn de una casa, por ejemplo: En el hogar
podemos tener un sistema automtico que encienda de manera automtica
la bomba para llenar el tinaco. En los coches tenemos controles en
la velocidad de crucero, es decir, se mantiene una velocidad fija
en el auto de manera automtica sin importarle la pendiente de la
carretera. Tambin en los autos existe un sistema de control en los
frenos conocido como ABS, otro para el control de temperatura, otro
para el control de estabilidad, etc.Los sistemas de control se
pueden clasificar endos grandes tipos: los abiertos (lazo abierto)
y los cerrados (lazo cerrado):Sistema de control de lazo abiertoSon
sistemas de control en los que la salida o resultado del proceso no
tiene ningn efecto sobre la accin de control, es decir, en un
sistema de control de lazo abierto la salida no se mide (no se
retroalimenta) para comparar con lo que deseamos obtener y as
verificar qu tanto nos estamos desviando de ello.
Sistema de control de lazo cerradoSon aquellos en los que la
seal de salida tiene efecto directo sobre la accin de control, esto
es, los sistemas de control de lazo cerrado son sistemas de control
retroalimentados. A diferencia del control de lazo abierto, en el
de lazo cerrado s se mide la salida del proceso para verificar si
est dentro del valor deseado al compararlo con ste. Un ejemplo lo
constituye el control de un sistema trmico.
RetroalimentacnLa retroalimentacin es una caracterstica de los
sistemas de control de lazo cerrado que los distinguen de los
sistemas de lazo abierto. Estos sistemas permiten que la salida (o
cualquier otra variable controlada del sistema) sea comparada con
la entrada al sistema, de tal manera que se pueda establecer la
accin de control apropiada como funcin de la entrada y la
salida.
Ejemplos de sistemasUn ser humano que resuelve un problema, es
un sistema dinmico que recibe por sus entradas la informacin que
contienen los datos del problema y las sustituciones para su
solucin, transformando los datos, de acuerdo con las instrucciones,
en el resultado especificado por el problema.Una computadora que
resuelve un problema, es un sistema dinmico que recibe, por sus
dispositivos de entrada la informacin concerniente a los datos y a
las instrucciones para la solucin del problema que le suministre el
hombre, transformando los datos, de acuerdo con las instrucciones,
en el resultado especificado por el problema, el cual se suministra
al hombre por las salidas.1.4 ModelosLos modelos nos sirven para
simplificar estructuras y procesos complejos, de manera que podamos
representarlas, estudiarlas y comprenderlas. Un modelo se basa en
las propiedades ms importantes y bsicas de lo que queremos
representar. Tomando esto en cuenta entonces podemos definir aun
modelocomo:
Una simplificacin que imita los fenmenos del mundo real, de modo
que se puedan comprender las situaciones complejas y podamos hacer
predicciones. Los modelos son muy tiles para describir, explicar o
comprender mejor la realidad, cuando es imposible trabajar
directamente en la realidad en s.
Tipos de modelosHay diversos tipos de modelos en uso y difieren
entre ellos segn el propsito que se persiga. La diversidad va desde
el ms bsico modelo fsico como una maqueta, hasta modelos muy
complicados que slo pueden utilizarse empleando computadoras muy
poderosas.Un modelo puede ser tan sencillo como una simple
explicacin con palabras de lo fundamental de una realidad. A este
tipo se le suele llamar modelo verbal.En otros modelos usamos
diagramas en los que se dibujan de una forma simplificada los
componentes del sistema sealando con flechas las acciones de unos
sobre otros. Son modelos grficos. Algunos pueden ser muy
esquemticos, pero cuando en cada flecha se indica el tipo de accin
que tiene lugar y se sealan diferentes comportamientos y tipos de
interaccin, pueden llegar a ser muy complicados. Las ventajas de un
modelo grfico pueden ser: Todos los rasgos esenciales estn
expuestos. La estructura y el contenido del modelo son percibidos
con claridad y precisin. El modelo no requiere ser memorizado y
puede replicarse fcilmente cuando es necesario utilizarlo. Es una
manera muy fcil y rpida de transferir a otras personas ideas y
conceptosEn los modelos numricos se usan magnitudes y ecuaciones
matemticas para describir con exactitud los distintos componentes
del sistema y las relaciones entre ellos.El desarrollo de las
computadoras ha hecho posible manejar una gran cantidad de datos y
por eso ahora se usan, cada vez ms, modelos computacionales, en los
que con programas computacionales se imita el funcionamiento de
sistemas complejos. Este tipo de modelos son los ms perfeccionados
y han permitido simular relativamente bien, procesos muy
complicados como el funcionamiento de la atmsfera o las
fluctuaciones de las poblaciones de peces, entre otros muchos.
Gracias a ellos se han logrado grandes avances como, por ejemplo,
predicciones fiables del clima.Relacin entre modelo y sistemaCon
modelos podemos representar sistemas, es por eso que en muchas
ocasiones suelen usarse como sinnimos. En este caso cuando hablamos
de sistemas estamos refirindonos entonces tambin a los modelos que
los representan.Modelos naturales y artificialesUn sistema es
natural cuando existe naturalmente sin que en su origen intervenga
la mano del hombre. El sistema solar es un modelo de un sistema
natural, as como la sabana es un sistema ecolgico. Un sistema es
artificial cuando interviene en l la mano del hombre. Un coche, por
ejemplo, es un sistema artificial as como tambin lo es una
computadora o una planta de produccin de aluminio.Modelos analgicos
y digitalesLa diferencia bsica entre los modelos digitales y los
modelos analgicos reside en que los primeros estn codificados en
cifras, lo que permite su tratamiento por medios informticos. Para
llegar a la elaboracin de los modelos digitales es necesario, por
tanto, efectuar un proceso de codificacin de la informacin, muchas
veces originadas de un modelo analgico, que permite una
representacin virtual en forma de cifras; este proceso es conocido
como discretizacin. Las relaciones espaciales o las caractersticas
que se desean representar se traducen a diferentes tipos de
estructuras numricas (vectores, matrices, conjuntos, etc.) o a
expresiones matemticas.Modelos HbridosLos sistemas hbridos
surgieron como una respuesta a la necesidad de integrar los modelos
dinmicos de subsistemas de diferentes naturalezas. Un sistema
hbrido es aqul donde existen varios modos de operacin, de dinmica
continua en el tiempo, y transiciones entre dichos modos, que
ocurren en ciertos instantes, bajo ciertas condiciones. Estas
transiciones son descritas a travs de modelos dinmicos de tipo
discreto. En pocas palabras, los sistemas hbridos integran dinmicas
continuas y discretas.Por ejemplo, en un proceso de fabricacin
podra encontrarse un robot con diversos tiempos de ejecucin para
trayectorias distintas, que transporta una pieza que en la etapa
siguiente ser sometida a un proceso qumico o trmico. Luego, la
pieza ser sometida a un proceso de acabado; posteriormente, ser
montada en otra pieza que proviene de un proceso de inyeccin de
plstico con el que debe sincronizarse; y as sucesivamente. Los
procesos pueden ser modelados por ecuaciones que describen su
dinmica en forma continua en el tiempo y son iniciados por ciertos
eventos o condiciones, como cuando la pieza alcanza ciertas
especificaciones o llega a cierta posicin en el espacio de trabajo,
entre otras posibilidades.
En un proceso como el anterior, puede ser de inters controlar
una variable comn a todos los subsistemas, como el consumo de
energa o el tiempo total empleado en la fabricacin del producto.
Para ello, se necesita disponer de un modelo nico donde se
consideren tanto los modelos de los subsistemas como sus
interacciones. Obtener un modelo relativamente simple de la dinmica
del sistema completo puede ser una tarea ardua y es en este punto
donde los modelos hbridos son de gran utilidad.Modelos MatemticoUn
modelo matemtico es un tipo de modelo cientfico que utiliza algn
formulismo matemtico para expresar relaciones, proposiciones
sustantivas de hechos, variables, parmetros, entidades y relaciones
entre variables y/o entidades u operaciones. Estos modelos se
utilizan para analizar los comportamientos de sistemas complejos
ante situaciones que resultan difciles de observar en la
realidad.Los modelos matemticos pueden dividirse en deterministas
(no hay incertidumbre respecto a la forma del resultado y los datos
utilizados son completamente conocidos y determinados) y
estocsticos (son modelos probabilsticos, ya que no se conoce el
resultado esperado sino su probabilidad).Actividad 3Considerando la
semejanza has una analoga entre las mquinas y el ser vivo.
Actividad 4Identifica que tipo de sistema son cada una de las
siguientes imgenes.
Solucin Actividad 3
RetroalimentacinUnidad Central de Procesamiento:Se encarga del
control y el procesamiento de datos.Memoria RAM:Dispositivo
electrnico que se encarga de almacenar datos e instrucciones de
manera temporal, de ah el trmino de memoria de tipo voltil ya que
pierde los datos almacenados una vez apagado el equipo.Memoria
secundaria:Tambin es conocida como Memoria Auxiliar, y a diferencia
de la Memoria RAM, sta permite almacenar datos en forma permanente,
inclusive aun cuando desconectemos nuestra computadora de la
alimentacin elctrica.Dispositivos de Entrada:Son aquellos que
sirven para introducir datos a la computadora para permitir la
ejecucin de un proceso.Dispositivos de Salida:Son los componentes
electrnicos que permiten representar los resultados (salida) de un
proceso ejecutado por la computadora.Bus:Es el elemento responsable
de establecer una correcta interaccin entre los diferentes
componentes de la computadora, es por lo tanto, el dispositivo
principal de comunicacinSolucin Actividad 4
Unidad 2. Circuitos Lgicos2.1 Sistemas de numeracinUn sistema de
numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten
representar datos numricos. Los sistemas de numeracin actuales son
sistemas posicionales, que se caracterizan porque un smbolo tiene
distinto valor segn la posicin que ocupa en la cifra.Sistema de
numeracin decimalEl sistema de numeracin que utilizamos
habitualmente es el decimal, que se compone de diez smbolos o
dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor
dependiendo de la posicin que ocupen en la cifra: unidades,
decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dgito est
asociado al de una potencia de base 10, nmero que coincide con la
cantidad de smbolos o dgitos del sistema decimal, y un exponente
igual a la posicin que ocupa el dgito menos uno, contando desde la
derecha.En el sistema decimal el nmero 528, por ejemplo,
significa:5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:5+ 2* + 8
o, lo que es lo mismo:500 + 20 + 8 = 528En el caso de nmeros con
decimales, la situacin es anloga aunque, en este caso, algunos
exponentes de las potencias sern negativos, concretamente el de los
dgitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo,
el nmero 8245,97 se calculara como:8 millares + 2 centenas + 4
decenas + 5 unidades + 9 dcimos + 7 cntimos8x + 2 + 4 + 5 + 9 + 7,
es decir:8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97Sistema de
numeracin binarioEl sistema de numeracin binario utiliza slo dos
dgitos, el cero (0) y el uno (1).En una cifra binaria, cada dgito
tiene distinto valor dependiendo de la posicin que ocupe. El valor
de cada posicin es el de una potencia de base 2, elevada a un
exponente igual a la posicin del dgito menos uno. Se puede observar
que, tal y como ocurra con el sistema decimal, la base de la
potencia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para
representar los nmeros.De acuerdo con estas reglas, el nmero
binario 1011 tiene un valor de : 11
Conversin entre nmeros decimales y binariosConvertir un nmero
decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar
divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada
divisin en orden inverso al que han sido obtenidos.Por ejemplo,
para convertir al sistema binario el nmero 7710 haremos una serie
de divisiones que arrojarn los restos siguientes:77 2 = 38 Resto:
138 2 = 19 Resto: 019 2 = 9 Resto: 19 2 = 4 Resto: 14 2 = 2 Resto:
02 2 = 1 Resto: 01 2 = 0 Resto: 1
y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra
binaria: 7710 = 10011012Ejercicio 1:Expresa, en cdigo binario, los
nmeros decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135,
276DecimalBinario
19110101111112
2510110012
671010000112
991011000112
13510100001112
276101000101002
El tamao de las cifras binariasLa cantidad de dgitos necesarios
para representar un nmero en el sistema binario es mayor que en el
sistema decimal. En el ejemplo del prrafo anterior, para
representar el nmero 77, que en el sistema decimal est compuesto
tan slo por dos dgitos, han hecho falta siete dgitos en
binario.Para representar nmeros grandes harn falta muchos ms
dgitos. Por ejemplo, para representar nmeros mayores de 255 se
necesitarn ms de ocho dgitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar,
por tanto, que 255 es el nmero ms grande que puede representarse
con ocho dgitos.Como regla general, con n dgitos binarios pueden
representarse un mximo de 2n, nmeros. El nmero ms grande que puede
escribirse con n dgitos es una unidad menos, es decir, 2n 1. Con
cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16
nmeros, porque 24 = 16 y el mayor de dichos nmeros es el 15, porque
24-1 = 15.Ejercicio 2:Averigua cuntos nmeros pueden representarse
con 8, 10, 16 y 32 bits y cul es el nmero ms grande que puede
escribirse en cada caso.8Con 4 nmeros
10Con 4 nmeros
16Con 5 nmeros
32Con 6 nmeros
Ejercicio 3:Dados dos nmeros binarios: 01001000 y 01000100 Cul
de ellos es el mayor? Podras compararlos sin necesidad de
convertirlos al sistema decimal?El mayor es el que tiene la unidad
ms hacia la izquierda ya que hacia esa direccin aumenta la potencia
de la base.Conversin de binario a decimalEl proceso para convertir
un nmero del sistema binario al decimal es an ms sencillo; basta
con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta el valor de cada dgito
en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0
en el bit situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad
segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.Por ejemplo,
para convertir el nmero binario 10100112 a decimal, lo
desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:1 + 0 + 1 + 0
+ 0 + 1 + 1 = 8310100112 = 8310Ejemplo 2, 1011 tiene un valor de:1
+ 0* + 1* + 1, es decir:8 + 0 + 2 + 1 = 1110112 = 1110 Ejercicio
4:Expresa, en el sistema decimal, los siguientes nmeros binarios:
110111, 111000, 010101, 101010, 1111110BinarioDecimal
11011125510
11100025610
01010122110
10101024210
1111110212610
Sistema de numeracin octalEl inconveniente de la codificacin
binaria es que la representacin de algunos nmeros resulta muy
larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeracin que
resulten ms cmodos de escribir: el sistema octal y el sistema
hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fcil convertir un nmero
binario a octal o a hexadecimal.En el sistema de numeracin octal,
los nmeros se representan mediante ocho dgitos diferentes: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6 y 7. Cada dgito tiene, naturalmente, un valor distinto
dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las
posiciones viene determinado por las potencias de base 8.
Conversin de un nmero octal a decimalLa conversin de un nmero
octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada
posicin en una cifra octal. Por ejemplo, el nmero octal 2738 tiene
un valor que se calcula as:2 + 7 + 3 = 2*64 + 7*8 + 3*1 = 102738 =
18710Por ejemplo, para convertir el nmero 2378 a decimal basta con
desarrollar el valor de cada dgito:2 + 3 + 7 = 128 + 24 + 7 =
159102378 = 15910Ejercicio 5:Convierte al sistema decimal los
siguientes nmeros octales: 458, 1258, 6258OctalesDecimal
4583710
12588510
625840510
Conversin de un nmero decimal a octalLa conversin de un nmero
decimal a octal se hace con la misma tcnica que ya hemos utilizado
en la conversin a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y
colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para
escribir en octal el nmero decimal 12210 tendremos que hacer las
siguientes divisiones:122 8 = 15 Resto: 215 8 = 1 Resto: 71 8 = 0
Resto: 1Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la
cifra octal:12210 = 1728 Ejercicio 6:Convierte los siguientes
nmeros decimales en octales: 6310, 51310, 11910 DecimalOctal
6310778
5131010018
119101678
Sistema de numeracin hexadecimalEn el sistema hexadecimal los
nmeros se representan con diecisis smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y
F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15
respectivamente, porque no hay dgitos mayores que 9 en el sistema
decimal. El valor de cada uno de estos smbolos depende, como es
lgico, de su posicin, que se calcula mediante potencias de base
16.Conversin de un nmero hexadecimal a decimalCalculemos, a modo de
ejemplo, el valor del nmero hexadecimal 1A3F161A3F16 = 1 + A + 3 +
F1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 67191A3F16 = 671910Ejercicio
7:Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras
hexadecimales: 2BC516, 10016, 1FF16 HexadecimalDecimal
2BC5161120510
1001625610
1FF1651110
Conversin de un nmero decimal a hexadecimalEnsayemos, utilizando
la tcnica habitual de divisiones sucesivas, la conversin de un
nmero decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a
hexadecimal del nmero 173510 ser necesario hacer las siguientes
divisiones:1735 16 = 108 Resto: 7108 16 = 6 Resto: C es decir,
12106 16 = 0 Resto: 6De ah que, tomando los restos en orden
inverso, resolvemos el nmero en hexadecimal:173510 = 6C716Ejercicio
8:Convierte al sistema hexadecimal los siguientes nmeros decimales:
351910, 102410, 409510 DecimalHexadecimal
351910DBF16
10241040016
409510FFF16
Conversin de nmeros binarios a octales y viceversaObserva la
tabla siguiente, con los siete primeros nmeros expresados en los
sistemas decimal, binario y octal:DECIMALBINARIOOCTAL
00000
10011
20102
30113
41004
51015
61106
71117
Cada dgito de un nmero octal se representa con tres dgitos en el
sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un nmero entre
estos sistemas de numeracin equivale a "expandir" cada dgito octal
a tres dgitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres
binarios a su correspondiente dgito octal.Conversin de un nmero
Binario a OctalPor ejemplo, para convertir el nmero binario
1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits (empezando por la
derecha) y los sustituiremos por su equivalente octal:1012 = 580012
= 180112 = 38y, de ese modo: 1010010112 = 5138 Ejercicio
9:Convierte los siguientes nmeros binarios en octales: 11011012,
1011102, 110110112, 1011010112 BinarioOctal
110110121558
1011102568
1101101123338
10110101125538
Conversin de un nmero Octal a BinarioLa conversin de nmeros
octales a binarios se hace, siguiendo el mismo mtodo, reemplazando
cada dgito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para
convertir el nmero octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente
binario de cada uno de sus dgitos: 78 = 1112 58 = 101208 = 0002y,
por tanto: 7508 = 1111010002 Ejercicio 10:Convierte los siguientes
nmeros octales en binarios: 258, 3728, 27538 OctalBinario
258101012
3728111110102
27538101111010112
Conversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversaDel
mismo modo que hallamos la correspondencia entre nmeros octales y
binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada
dgito hexadecimal y cuatro dgitos binarios, como se ve en la
siguiente tabla:DECIMALBINARIOHEXADECIMAL
000000
100011
200102
300113
401004
501015
601106
701117
810008
910019
101010A
111011B
121100C
131101D
141110E
151111F
La conversin entre nmeros hexadecimales y binarios se realiza
"expandiendo" o "contrayendo" cada dgito hexadecimal a cuatro
dgitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el nmero
binario 1010011100112 bastar con tomar grupos de cuatro bits,
empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente
hexadecimal: 10102 = A1601112 = 71600112 = 316y, por tanto:
1010011100112 = A7316 En caso de que los dgitos binarios no formen
grupos completos de cuatro dgitos, se deben aadir ceros a la
izquierda hasta completar el ltimo grupo. Por ejemplo:1011102 =
001011102 = 2E16 Ejercicio 11:Convierte a hexadecimales los
siguientes nmeros binarios: 10101001010111010102, 1110000111100002,
10100001110101112
BinarioHexadecimal
1010100101011101010254AEA
111000011110000270F0
10100001110101112A1D7
La conversin de nmeros hexadecimales a binarios se hace del
mismo modo, reemplazando cada dgito hexadecimal por los cuatro bits
equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el
nmero hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes
equivalencias:116 = 00012 ; F16 = 11112 ; 616 = 01102y, por tanto:
1F616 = 0001111101102 Ejercicio 12:Convierte a binario los nmeros
hexadecimales siguientes: 7A5D16, 101016, 8F8F16
HexadecimalBinario
7A5D16111101001012
10101610000000100002
8F8F1610001111100011112
2.2 Operaciones de adicin substraccin divisin y multiplicacin en
el sistema binarioSuma en binarioLa tabla de sumar, en binario, es
mucho ms sencilla que en decimal. Slo hay que recordar cuatro
combinaciones posibles:+01
001
110 + 1
Las sumas son evidentes:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1Pero la suma
de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse
en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra
una unidad, que se suma a la posicin siguiente a la izquierda.
Veamos algunos ejemplos:
010 + 101 = 111 210 + 510 = 710001101 + 100101 = 110010 1310 +
3710 = 50101011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 =
18110110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810
Ejercicio 1Realiza las siguientes sumas de nmeros
binarios:111011 + 110 =1000001 = 6510 111110111 +
111001=1000110000=5601010111 + 11011 + 10111=1001001=7310
Sustraccin en binarioLa tcnica de la resta en binario es,
nuevamente, igual que la misma operacin en el sistema decimal. Pero
conviene repasar la operacin de restar en decimal para comprender
la operacin binaria, que es ms sencilla. Los trminos que
intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y
diferencia.-01
001
11 + 10
Las restas son evidentes:0 0 = 01 0 = 11 1 = 0La resta 0 - 1 se
resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad
prestada de la posicin siguiente: 10 - 1, es decir, 210 110 = 1.
Esa unidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posicin
siguiente. Veamos algunos ejemplos:
111 101 = 010 710 510 = 21010001 01010 = 00111 1710 1010 =
71011011001 10101011 = 00101110 21710 17110 = 4610111101001
101101101 = 001111100 48910 36510 = 12410 Ejercicio 2:Realiza las
siguientes restas de nmeros binarios y comprueba los resultados
convirtindolos al sistema decimal:111011 110=110101 5310111110111
111001 =110111110 446101010111 - 11011 10011 =101001 4110
Multiplicacin binariaLa multiplicacin en binario es ms fcil que
en cualquier otro sistema de numeracin. Como los factores de la
multiplicacin slo pueden ser CEROS o UNOS, el producto slo puede
ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del
cero y del uno son muy fciles de aprender:x01
000
101
Veamos, por ejemplo, una multiplicacin:
Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los
factores y el resultado al sistema decimal:3349 * 13 = 43537
Ejercicio 5:Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al
terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en
el sistema decimal:10110101000101 x 1011=11111000111110111 =
12747910 10100001111011 x 10011=110000000100100001 = 19689710
Divisin binariaIgual que en el producto, la divisin es muy fcil
de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que
UNOS y CEROS.Consideremos el siguiente ejemplo, 42 6 = 7, en
binario:
Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por
tomar en ambos el mismo nmero de cifras (100 entre 110, en el
ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisin tomando un
dgito ms (1001 entre 100).
Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar
contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del
cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el
divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del
dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.
El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el
sistema decimal.
Ejercicio 5:Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar,
comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema
decimal:10110101000101 1011= 1000001110110100001111011 10011=
1000100001
2.3 Operaciones de adicin y substraccin en los sistemas octal y
hexadecimalSuma en octalLa suma en octal se realiza de la siguiente
forma:EJ:1 1 2 7 3 21.- El primer digito es 2 nos situamos en 2 en
la escala de la +1 2 6 5derecha y contamos 5 hacia abajo nos da de
resultado 7; _________2.- Despus seguimos con el segundo digito que
es 3 nos4 2 1 7situamos en ese digito en la escala y contamos 6
hacia Abajo como no nos alcanza regresamos al principio y Seguimos
contando nos quedaramos en 1 y como ya dimos una vuelta a la escala
adems llevamos uno para el siguientedigito;3.- Ahora nos situamos
en la escala en el nmero 1 y Empezamos a contar desde ah 7 dgitos y
luego 2 dgitos Nos quedaramos en 2, y como dimos una vuelta
llevamos 1 4.- Repetimos el paso 3 Suma en hexadecimalLa suma en
Hexadecimal se realiza siguiendo los mismos pasos que en el octal
solo que en esta tenemos 16 dgitos.
1 7 A + 3 C _________1 B 6 Ejercicio 6:Resuelve las siguientes
sumas en octal:2732 + 1265= 421765 + 1773 = 20604256 + 1123= 5401
Ejercicio 7:Resuelve las siguientes sumas en hexadecimal:20F5 +
31B= 24102E70C + 1AA7F = 4918B2DE2 + BA7F= E861Resta en octalLa
resta en octal al igual que en decimal se hace pidiendo prestado al
digito de la izquierda solo que ahora seria de sumarle 8 en vez de
10.
Ejemplo:
4 7 22-3 no se puede por lo que el 2 le pide prestado una unidad
al 7 por lo que sumamos 2 ms 8 de 1 2 3como si estuviramos en base
10 por lo que nos quedara 10, entonces 10-3 nos dara 7; ahora
_______Como el 7 perdi una unidad quedara como 6, entonces 6 -2 es
4, y finalmente 4-1 es 33 4 7Resta en hexadecimalLa resta en
hexadecimal al igual que en decimal se hace pidiendo prestado al
digito de la izquierda solo que ahora seria de sumarle 16 en vez de
10.Ejemplo:
1 7 A1 5 CEjercicio 8: 3 C 8 E Resuelve las siguientes restas en
octal: _______ ______546 57 = 4671 3 E C E4751 265 = 4464
Ejercicio 8:Resuelve las siguientes restas en hexadecimal:147C
14D = 132FFFE45 BC7= FF27E
2.3 Elementos del algebra de Boole
A los sistemas digitales que presentan dos estados claramente
diferenciados (abierto-cerrado, prendidoapagado, etc.) se les llama
sistemas lgicos y requieren de la Lgica Matemtica para su
desarrollo. Al conjunto de leyes y reglas de operacin con variables
lgicas se denomina lgebra de Boole ya que fue George Boole el que
desarroll las bases de la Lgica Matemtica.La Lgica Matemtica
manejada en el lgebra de Boole utiliza dos valores (cero, uno) por
lo que sus variables solo pueden tomar esos valores. Las
operaciones boolenas son posibles a travs de los operadores
binarios negacin, suma y multiplicacin, es decir que estos combinan
dos o ms variables para conformar funciones lgicas. Una compuerta
es un circuito til para realizar las operaciones anteriormente
mencionadas.
Teoremas del Algebra de Boole
Los teoremas 7 y 8 son conocidos como Teoremas de Morgan en
honor al matemtico que los descubri.
Negacin[editar]
La negacin es unoperadorque se ejecuta, sobre un nicovalor de
verdad, devolviendo el valorcontradictoriode la proposicin
considerada.
Conjuncin[editar]
Laconjuncines un operador que opera sobre dos valores de verdad,
tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo
el valor de verdadverdaderocuando ambas proposiciones son
verdaderas, yfalsoen cualquier otro caso. Es decir es verdadera
cuando ambas son verdaderasLa tabla de verdad de la conjuncin es la
siguiente:
Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo
fundamental.Disyuncin[editar]
Ladisyuncines un operador que opera sobre dos valores de verdad,
tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo
el valor de verdadverdaderocuando una de las proposiciones es
verdadera, o cuando ambas lo son, yfalsocuando ambas son falsas.La
tabla de verdad de la disyuncin es la siguiente:
Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo
fundamental.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2000477/lecciones/020101.htm