Chuyên đề ly thuyet on tap toan thpt

Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy

GIẢI TÍCH 12I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản :

( ) 0/ =C ( ) 1/ =x ( )x

x2

1/= ( ) 1/ −= nn nxx

2) Các quy tắc tính đạo hàm :( ) /// vuvu +=+ ( ) /// vuvu −=− ( ) ///. uvvuvu +=

2

///

v

uvvu

v

u −=

// .. ukuk = , Rk ∈ 2

//1

v

v

v−=

2

//

.v

vk

v

k −=

( ) ////.. uvwwuvvwuwvu ++=

2

/11

xx−=

( ) 2

/

dcx

bcad

dcx

bax

+−=

++

k

u

k

u //

=

, Rk ∈ xux uyy /// .=

(Đạo hàm của hàm số hợp )

3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp ( ( )xuu = )

( ) 1/. −= αα α xx ( ) /1/

.. uuu −αα α

2

/11

xx−=

2

//1

v

v

v−=

( )x

x2

1/= ( )

u

uu

2

//

=

( ) xx cossin / = ( ) uuu cos.sin // =

( ) xx sincos / −= ( ) uuu sin.cos // −=

( ) xx

x 22

/ tan1cos

1tan +== ( ) ( )uu

u

uu 2/

2

// tan1

costan +==

( ) ( )xx

x 22

/ cot1sin

1cot +−=−= ( ) ( )uu

u

uu 2/

2

// cot1.

sincot +−=−=

( ) /x xe e= ( ) / / .u ue u e=

( ) aaa xx ln./ = ( ) auaa uu ln.. // =

( )x

x1

ln/ = ( )

u

uu

//

ln =

( )ax

xa ln.

1log

/ = ( )au

uua ln.

log/

/ =

4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba : dcxaxaxy +++= 23 ( )0≠a

- TXĐ : RD = - Tính đạo hàm /y ; giải phương trình 0/ =y tìm yx ⇒

- Tính giới hạn :nếu 0>a limx

y→+∞

= +∞ ; limx

y→ −∞

= −∞ ; nếu 0<a limx

y→ +∞

= −∞ ; limx

y→ −∞

= +∞ ,

- Lập bảng biến thiên ( xét dấu /y ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số.- Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng .

1


Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: dcxaxaxy +++= 23 ( )0≠a

Nếu 0>a Nếu 0<aNếu phương trình 0/ =y có 2 nghiệm phân biệt 21; xx+ Hàm số có hai cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn

y

2x 1x x

y

2x 1x x

Nếu phương trình 0/ =y có nghiệm kép 21 xxx ==+ Hàm số có không có cực trị+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

x

y

x

Nếu phương trình 0/ =y vô nghiệm + Hàm số có không có cực trị+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

x

y

x

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương : cbxaxy ++= 24 ( )0≠a

- TXĐ : RD = - Tính đạo hàm /y ; giải phương trình 0/ =y tìm yx ⇒

- Tính giới hạn : nếu 0>a limx

y→+∞

= +∞ ; limx

y→−∞

= +∞ ; nếu 0<a limx

y→+∞

= −∞ ; limx

y→−∞

= −∞

- Lập bảng biến thiên (xét dấu /y ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số- Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu .

+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Oy .Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: cbxaxy ++= 24 ( )0≠a

Nếu 0>a Nếu 0<aNếu phương trình 0/ =y có 3

nghiệm phân biệt 1 2 3; ;x x x .

+ Hàm số có ba cực trị

y

1x 3x x

y

1x 3x x

2

O O

O O

O O

O O


Nếu phương trình 0/ =y có 1 nghiệm 0=x+ Hàm số có không có cực trị

y

x

y

x

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :dcx

baxy

++= , ( )0,0 ≠−≠ bcada

- TXĐ :

−=

c

dRD \

c

dxy −≠∀> ;0/ , nếu 0>− bcad

- Tính đạo hàm ( ) 2

/

dcx

bcady

+−=

c

dxy −≠∀< ;0/ , nếu 0<− bcad

- Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : limx

ay

c→+∞= ; lim

x

ay

c→−∞=

c

ay =⇒ là tiệm cận ngang

Nếu c

dxy −≠∀> ;0/ thì

+∞=−

−→c

dx

ylimvà

−∞=+

−→c

dx

ylim

Nếu c

dxy −≠∀< ;0/ thì và

−∞=−

−→c

dx

ylim +∞=+

−→c

dx

ylim

- Lập bảng biến thiên :

Nếu c

dxy −≠∀> ;0/

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng ; à ;d d

vc c

−∞ − − +∞ ÷ ÷ và không có cực trị .

Nếu c

dxy −≠∀< ;0/

3

x ∞− c

d− ∞+

/y + +

y c

a ∞+

c

a

∞−

x ∞− c

d− ∞+

/y

y c

a ∞− +∞

c

a

O

d

xc

⇒ = − là tiệm cận đứng

O


Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ; à ;d d

vc c

−∞ − − +∞ ÷ ÷ và không có cực trị .

- Cho điểm đặc biệt :

+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Chod

byx =⇒=0

+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Choa

bxbaxy −=⇔=+⇔= 00

- Vẽ đồ thị : + Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị .

+ Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm

−

c

a

c

dI ; .

+Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua I .

Các dạng đồ thị của hàm phân thức :dcx

baxy

++= , ( )0,0 ≠−≠ bcada

4

/ 0y < / 0y > y

x

c

dx −=

y

O x

c

ay =

Oc

ay =


5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số :

a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước ( ) 0, =mxg ( )1

Cách giải :

+ Đưa phương trình ( )1 về dạng : ( ) BAmxf += , trong đó ( )xfy = là đồ thị ( )C đã vẽ và BAmy += ( )d

là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox .

+ Số nghiệm của phương trình ( )1 là số hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và ( )d

+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào CĐy và CTy của hàm số để biện luận .

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )xfy = tại điểm ( ) ( )CyxM ∈00 ;

Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số ( )xfy = tại điểm ( ) ( )CyxM ∈00 ; có dạng :

( ) ( )/0 0 0y f x x x y= − + ( )2 . Thế ( )0

/00 ;; xfyx đã cho hoặc vừa tìm vào ( )2 ta được tiếp tuyến cần tìm.

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )xfy = biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:

Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số ( )xfy = có dạng : ( )0 0y k x x y= − + ( )3

Gọi ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên ( )/0f x k= , giải phương trình tìm được

( )000 xfyx =⇒ .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3)

d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số ( )xfy = biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng : ( )0 0y k x x y= − + ( )4

Gọi ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm .

+ Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng baxyd +=: thì ( ) axf =0/ , giải pt tìm được ( )000 xfyx =⇒ .

Kết luận phương trình tiếp tuyến .

+ Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng baxyd +=: thì ( ) ( )a

xfaxf1

1. 0/

0/ −=⇔−= .

Giải phương trình này tìm được ( )000 xfyx =⇒ . Kết luận phương trình tiếp tuyến .

e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )xfy = trên đoạn [ ]ba; :Cách giải :+ Tính ( )xf / , giải phương trình ( ) 00

/ =xf tìm nghiệm [ ]bax ;0 ∈ ; Tính các giá trị : ( )af ; ( )0xf ; ( )bf

+ Kết luận : [ ]( ) ( ) ( ) ( ) 0

;

(f ) ; ;axa b

x max f a f x f bm = ; [ ]( ) ( ) ( ) ( ) 0;

f ; ;a bM in x Min f a f x f b=

f) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = có cực trị (cực đại, cực tiểu ):

Cách giải : + Tính đạo hàm /y , tính ∆ hoặc /∆ của /y .

+ Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình 0/ =y có hai nghiệm phân biệt ma ⇒⇔ ≠>∆00

g) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = đạt cực trị tại 0xx = :

Cách giải : + Tính đạo hàm ( )xfy // = ;

+ Hàm số đạt cực trị tại 0xx = ( ) mxf ⇒⇔ 0/

h) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = đạt cực đại tại 0xx = :

Cách giải :+ Tính đạo hàm ( )xfy // = ; + Tính đạo hàm ( )xfy //// = ;

+ Hàm số đạt cực đại tại 0xx = ( )( ) mxf

xf⇒⇔ =

<0

00

/

0//

5


i) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = đạt cực tiểu tại 0xx = :

Cách giải : + Tính đạo hàm ( )xfy // = ; + Tính đạo hàm ( )xfy //// =

+ Hàm số đạt cực tiểu tại 0xx = ( )( ) mxf

xf⇒⇔ =

>0

00

/

0//

k) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nó.

Cách giải : + Tìm MXĐ D của hàm số ( )xfy = . + Tính đạo hàm ( )xfy // = , tính ∆ hoặc /∆ của /y .

+ Hàm số ( )xfy = đồng biến trên D mDxy a ⇒⇔∈∀≥⇔ >≤∆00

/ 0

+ Hàm số ( )xfy = nghịch biến trên D mDxy a ⇒⇔∈∀≤⇔ <≤∆00

/ 0

l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ( )xfy =

Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại ( )AA yxA ; và điểm cực tiểu ( )BB yxB ; của hàm số ( )xfy =

+ Viết phương trình đường thẳngAB

A

AB

A

yy

yy

xx

xxAB

−−

=−

−:

Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba ( )xfy = +Tính y’. Viết lại ( ) ( )'. xy y g h x= + .Gọi 1 2,x x lần lượt là hai điểm cực trị, ta có ( ) ( )1 2' 0; ' 0y x y x= = .

+ Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( )y h x= .

Cho hàm số hữu tỷ ( )( )

f xy

g x=

, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( )( )'

'

f xy

g x= .

II . LŨY THỪA, LÔGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Tính chất của lũy thừa: Với 0; 0a b≠ ≠ và với các số nguyên m, n ta có:

1. .m n m na a a += ; 2. m

m nn

aa

a−= ; 3. ( ) nm mna a= 4. ( ) .

n n nab a b= ; 5. n n

n

a a

b b = ÷

Cho ,m n là những số nguyên: Với 0a > thì m na a m n> ⇔ > ; Với 0 1a< < thì m na a m n> ⇔ <2. Lôgarit:

1. Định nghĩa:

log

log 1 0;log 1

log ,

, , 0a

a a

ba

b

a

a b b

a b b b

= =

= ∀ ∈

∀ ∈ >

¡

¡

2. So sánh hai logarit cùng cơ sốa. Khi 1α > thì log logb c b cα α> ⇔ >b. Khi 0 1α< < thì log logb c b cα α> ⇔ <

3. Các quy tắc tính lôgarit: ( )log log loga a abc b c= +

log log loga a a

bb c

c = − ÷

log loga ab bα α=4. Với số a dương khác 1, số dương b và số

nguyên dương n , ta có: 1

log loga a bb

= − ; 1

log logna ab b

n= ;

1log

logab

ba

= ; log .log 1a bb a =

5. Với ,a b là số dương khác 1 và c là số dương,

ta có: log

loglog

ab

a

cc

b= hay log .log loga b ab c c=

3. Gỉai phương trình mũ và lôgarit :

• Daïng cô baûn:

1. f (x)a = g(x)

a ⇔ f(x) = g(x) ; 2. f (x)a = b ( vôùi b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b

6


3. log a f(x) = log a g(x) ⇔f (x) 0

f (x) g(x)

>

=

4.

log f (x) ba

0 a 1

=

< ≠

⇔ f(x) = ba ;

• Ñaët aån phuï :

1. 2f (x)a +β. f (x)

a + γ = 0 ; Ñaët : t = f (x)a , t > 0; 2. b f (x)

a+ +β. b f (x)

a− + γ = 0 ; Ñaët : t = f (x)

a , t > 0

• Lôgarit hoaù hai veá :4. Giải bất phương trình mũ và lôgarit

1. f (x)a > g(x)

a ⇔ f (x) g(x) khi a 1

f (x) g(x) khi 0 a 1

> >

< < <

;

2. f (x)a > b Neáu b > 0 f(x) > log a b neáu a > 1; f(x) < log a b neáu 0 < a < 1

4. log a f(x) > log a g(x) (*) Ñk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1 . a>1, (*) ⇔ f(x) > g(x) ; 0<a<1, (*) ⇔ f(x) <

g(x)

5. log a f(x) > b . Neáu a > 1 : bpt laø f(x) > ba . Neáu 0 < a < 1 bpt laø 0 < f(x) < ba

5. Đồ thị hàm số mũ- lôgarit

O x

a >1 y

1

Đồ thị hàm số mũ

O x

y 0< a <1

1

Đồ thị hàm số lôgarit

O x

a >1 y

1

O x

y 0< a <1

1 O O

III .NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

1. Nguyên hàmCông thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Một số công thức mở rộng

1. 0dx C=∫ ; 2. 1dx dx x C= = +∫ ∫3.

1

1

xx dx C

αα

α

+

= ++∫ ( )1α ≠ − ; 4.

1lndx x C

x= +∫

5. sin cosxdx x C= − +∫ ; 6. cos sin ;xdx x C= +∫7. 2

1tan ;

cosdx x C

x= +∫ 8. 2

1cot .

sindx x C

x= − +∫

9. ln

xx a

a dx Ca

= +∫ , ( )0 1 ;a< ≠ 10. ;x xe dx e C= +∫

11. ( ) ( )( )

1

1

ax bax b dx C

a

αα

α

+++ = +

+∫ ( )1α ≠ − ; 12. ln1 ax b

dx Cax b a

+= +

+∫

13. ( ) ( )cossin

ax bax b dx C

a

++ = − +∫

14 ( ) ( )sincos

ax bax b dx C

a

++ = +∫

15. ( )( )

2

tan1;

cos

ax bdx C

ax b a

+= +

+∫

16. ( )( )

2

cot1.

sin

ax bdx C

ax b a

+= − +

+∫

17. ( ) ;ax b

ax b ee dx C

a

++ = +∫

2. Tích phâna/. Tính chất: Giả sử các hàm số ,f g liên tục trên K và , ,a b c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có:

1. ( ) 0a

a

f x dx =∫ 3. ( ) ( ) ( )b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx+ =∫ ∫ ∫ 5. ( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx=∫ ∫ ( với .k ∈ ¡ )

7


2. ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫ 4. ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫

b/ Phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) ( )( )

( )'b u b

a u af u x u x dx f u du = ∫ ∫

Trong đó: ( )u u x= có đạo hàm liên tục trên K , hàm số ( )y f u= liên tục và sao cho hàm hợp ( )f u x xác

định trên K ; a và b là hai số thuộc K .

c/ Phương pháp tích phân từng phần: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' | 'b b

ba

a a

u x v x dx u x v x v x u x dx= −∫ ∫ Hay |b b

ba

a a

udv uv vdu= −∫ ∫ Trong đó các hàm số ,u v có đạo hàm liên tục trên K và ,a b là hai số thuộc Kd/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.

+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ):

: 0

2 : ;

C y f x

Ox y

dt x a x b

= = = =

là ( )b

aS f x dx= ∫

+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:

( ) ( )( ) ( )

1

2

:

:

2 : ;

C y f x

C y g x

dt x a x b

= = = =

là ( ) ( )b

aS f x g x dx= −∫

e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay

+ Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:

( ) ( ):

: 0

2 : ;

C y f x

Ox y

dt x a x b

= = = =

quay quanh trục hoành là: ( ) 2b

aV f x dxπ = ∫

+ Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:( ) ( ):

: 0

2 : ;

C x g y

Oy x

dt y a y b

= = = =

quay quanh trục tung là: ( ) 2b

aV g y dyπ = ∫

IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC.A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ) 1/ Số i: qui ước 2 1i = − ; Tập số phức: £ ; 2/ Số phức dạng đại số : z = a bi+ ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là đơn vị ảo )

3/ Số phức bằng nhau: Cho 1 1 1 2 2 2 , zz a b i a b i= + = + : 1 2

1 21 2

= za a

zb b

=⇔ =

4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức z a bi= + : ( ) ( ) ( ); M a b hay M a bi hay M z+

5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho 1 1 1 2 2 2 , zz a b i a b i= + = +

a/ ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z a a b b i+ = + + + ; b/ ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z a a b b i− = − + − ; c/ ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1.z z a a b b a b a b i= − + +

6/ Số phức liên hợp của z a bi= + là: z a bi a bi= + = − ( Chú ý: z z= )

7/ Môđun của số phức z a bi= + : 2 2z a b= + ;

8/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số: 1

2

1z z

z− =

9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2z w= được gọi là một căn bậc hai của w.a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0

+ 0a > : có 2 căn bậc hai là à -a v a ;

8


+ 0a < : có 2 căn bậc hai là à - a i v a i− − . Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i

b/ w là số phức: ( ) , ; 0w a bi a b b= + ∈ ≠¡ :

( ) ,z x yi x y= + ∈ ¡ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: ( ) 22z w x yi a bi= ⇔ + = +

Do ( ) 2 2 2 2x yi x y xyi+ = − + nên 2 2

2

2

x y az w

xy b

− == ⇔

=Mỗi cặp số thực ( );x y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z = x yi+ của số phức w.

10/ Phương trình bậc hai: ( )2 0 1 , ( 0; , ,Az Bz C A A B C+ + = ≠ là những số phức). Xét 2 4B AC∆ = −

+ Nếu 0∆ ≠ , (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2, 2 2

B Bz z

A A

δ δ− + − −= = ,(với δ là một căn bậc hai của ∆ )

+ Nếu 0∆ = , (1) có nghiệm kép: 1 2 2

Bz z

A= = −

Chú ý: Nếu ∆ là số thực dương, (1) có 2 nghiệm: 1 2, 2 2

B Bz z

A A

− + ∆ − − ∆= = .

Nếu ∆ là số thực âm, (1) có 2 nghiệm: 1 2

,

2 2

B i B iz z

A A

− + −∆ − − −∆= = .

B. SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG ϕ1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z, ϕ một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng: 2kϕ π+

2/ Dạng lượng giác của số phức: ( )cos sinz r iϕ ϕ= + , ( trong đó r z= ; ϕ một acgumen của z )

3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:

Nếu ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 1 2cos sin ; cos sin , ( 0, 0)z r i z r i r rϕ ϕ ϕ ϕ= + = + ≥ ≥

Thì ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r iϕ ϕ ϕ ϕ= + + + ; ( ) ( )1 11 2 1 2 2

2 2

cos sin ( 0)z r

i khi rz r

ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − >

4/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng: a/ Công thức Moa-vrơ: ( ) ( )cos sin cos sinn nr i r n i nϕ ϕ ϕ ϕ+ = +

b/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

( )cos sinz r iϕ ϕ= + có 2 căn bậc 2 là: 1 cos sin2 2

z r iϕ ϕ = + ÷

; 2 cos sin cos sin2 2 2 2

z r i r iϕ ϕ ϕ ϕπ π = − + = + + + ÷ ÷ ÷

HÌNH HỌC 12I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Khối chóp: Thể tích 13

V= Sđ .h , với h: chiều cao, Sñ : diện tích đáy.

2. Khối lăng trụ: Thể tích V= Sđ . h ,với h là chiều cao, Sñ là diện tích đáy

9

O

b

a

M

x

y

Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy.

h

Khối tứ diện đều

h

Khối chóp có một cạnh bên vuông với đáy là hình bình hành

h

Khối chóp đều.

hh

Khối chóp có đáy là một tam giác bất kì

h

Khối chóp có đáy là một tứ giác

Trường hợp đáy là một hình thang

h

Khối chóp đáy là hình thang có cạnh bên vuông góc với đáy.

hh

Khối chóp có đáy là một hình thang cân

h

Khối chóp có đáy là một hình thang vuông

h

hcbah

Khối hộp( các mặt đều là hình bình hành).

Khối hộp chữ nhật Khối lập phươngKhối lăng trụ có đáy là một tam giác bất kì.

h

Khối lăng trụ đứng có đáy là một tam giác bất kì.

h

Diện tích hình tròn: 2S Rπ= (với R là bk)Chu vi đường tròn: 2 RπDiện tích xung quanh của hình nón: Sxq = rlπ ( với l là đường sinh) Diện tích toàn phần của hình nón: Stp= Sxq + Sđ

Thể tích của khối nón: 13

V= Sđ .h , (với h là chiều cao).


3. Khối nón:

4. Khối trụ: * Diện tích hình tròn: 2S Rπ= (với R là bk) * Chu vi đường tròn: 2 Rπ* Diện tích xung quanh của hình trụ: 2xqS Rhπ=( với h là chiều cao và h= l là đường sinh)* Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp= Sxq + 2Sđ

* Thể tích của khối trụ: V= Sđ .h

5. Khối cầu: a. Diện tích mặt cầu: 24S Rπ= ; b. Thể tích khối cầu: 343

V Rπ=

6. Diện tích các đa giác cần nhớ:

a. ABC∆ vuông ở A : 1

S= AB.AC2

; b. ABC∆ đều cạnh a: diện tích 2a 3

S=4

; đường cao: a 3h=

2 c. Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh; d. Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

e. Diện tích hình thoi : S = 12(chéo dài x chéo ngắn); f. Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

g. Diện tích hình thang :1

2S = [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h. Diện tích hình tròn : 2S .Rπ=

II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANBÀI 1: TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' ' ' ' ' '

' ' '' ' '

1.Cho ; ; ; ; ; : ; ; ; ; ;

2.Cho ; ; ; ; ; ; cùng

u x y z v x y z u v x x y y z z k u kx ky kz

x y zu x y z v x y z u v u kv k

x y z

= = ± = ± ± ± =

= = ⇔ = ⇔ = = =

r r r r r

r r r ur r rphöông

3.Nếu điểm ( ); ;M M MM x y z chia đoạn AB ; 4. Nếu ( ); ;I I II x y z là trung điểm

theo tỉ số 1k ≠ thì

1

1

1

A BM

A BM

A BM

x kxx

ky ky

yk

z kzz

k

− = −− = −− = −

của đoạn AB thì:

2

2

2

A BI

A BI

A BI

x xx

y yy

z zz

+ =

+ =

+ =

5. Nếu ( ); ;G G GG x y z là trọng tâm ; 6. Nếu ( ); ;E E EE x y z là trọng tâm

của tam giác ABC thì :

3

3

3

A B CG

A B CG

A B CG

x x xx

y y yy

z z zz

+ + =

+ + =

+ + =

tứ diện ABCD thì:

4

4

4

A B C DE

A B C DG

A B C DG

x x x xx

y y y yy

z z z zz

+ + + =

+ + + =

+ + + =

10

RH

h

B

S

A

R

hh

R

Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. HuyBÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG.

Cho ( ) ( )1 1 1 2 2 2; ; ; ; ;a x y z b x y z= =r r

1. Tích vô hướng của hai vectơ: 1 2 1 2 1 2. . . .a b x x y y z z= + +r r

là một số thực; 1 2 1 2 1 2 0a b x x y y z z⊥ ⇔ + + =r r

2. Độ dài vectơ: 2 2 21 1 1a x y z= + +

r

3. ( ); ;B A B A B AAB x x y y z z= − − −uuur

; ( ) ( ) ( )2 2 2

B A B A B AAB x x y y z z= − + − + − (khoảng cách giữa hai điểm A và B)

4.Bình phương vô hướng: 22 2 2 2

1 1 1a a x y z= = + +r r

5.Góc giữa hai vectơ: Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ ar

và br

thì 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

.os

. .

x x y y z za bc

a b x y z x y zϕ + += =

+ + + +

r r

r r

6.Tích có hướng của hai vectơ:

+Định nghĩa: ( )1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2

, ; ; . . ; . . ; . .y z z x x y

a b y z y z z x z x x y x yy z z x x y

= = − − − ÷

r r là một vectơ.

+Tính chất:

+. , ; ,a b a a b b ⊥ ⊥ r r r r r r

; +. ar

cùng phương với br

khi và chỉ khi , 0a b = r r r

+. , . sina b a b ϕ = r r r r

(ϕ là góc giữa hai vectơ ar

và br

)

7.Diện tích tam giác ABC là: 1

,2ABCS AB AC = V

uuur uuur

8.Ba vectơ ar

, br

, cr

đồng phẳng khi và chỉ khi: , . 0a b c = r r r

Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi: , . 0AB AC AD ≠ uuur uuur uuur

9.Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’: , . 'V AB AD AA = uuur uuur uuur

( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ đỉnh A)

10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là: 1

, .6

V AB AC AD = uuur uuur uuur

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Phương trình mặt phẳng ( )α đi qua điểm ( )0 0 0 0; ;M x y z và có vectơ pháp tuyến ( ); ;n A B C=r

là:

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = Hay 2 2 20 , ( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠2. Phương trình của các mặt phẳng tọa độ :

+ Mặt phẳng (Oxy): z = 0; + Mặt phẳng (Oyz): x = 0; + Mặt phẳng (Oxz): y = 0

Chú ý: mp ( )α 2 2 20 , ( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠ . Nếu ( ) ( )/ /β α thì ( ) ( ): ' 0 'Ax By Cz D D Dβ + + + = ≠BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

Phương trình đường thẳng:

Đường thẳng d đi qua ( )0 0 0 0; ;M x y z và có vectơ chỉ phương ( ); ;u a b c=r

. Khi đó:

a. Phương trình tham số của đường thẳng d:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

= + = + = +

( )t R∈

b. Phương trình chính tắc của đường thẳng là: ( )0 0 0 . . 0x x y y z z

a b ca b c

− − −= = ≠

BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG- MẶT PHẲNG

1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp ( ) ( ): 0; : ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z Dα β+ + + = + + + =

+ ( )α cắt ( )β ⇔ : : ' : ' : 'A B C A B C≠ ( Hai vectơ không cùng phương ).

11


+ ( ) ( )/ /' ' ' '

A B C D

A B C Dα β ⇔ = = ≠

+ ( ) ( )' ' ' '

A B C D

A B C Dα β≡ ⇔ = = =

2. VTTĐ giữa hai đường thẳng :PP1: Bước 1: Giải hệ pt hai đường thẳng d1 và d2:

+ Hệ có 1 nghiệm ⇒ d1 cắt d2; + Hệ có vô số nghiệm ⇒ d1 ≡ d2; + Hệ vô nghiệm ta có bước 2:

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương 1uur

của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương 2uuur

của đường thẳng d2

+Nếu 1uur

cùng phương 2uuur

thì d1 // d2 ; + Nếu 1u

ur kh ông cùng phương 2u

uur thì d1 chéo d2

PP2: Tìm vectơ chỉ phương 1uur

của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương 2uuur

của đường thẳng d2

TH1: Nếu 1uur

cùng phương 2uuur

th ì ta tìm 1 1M d∈

+ Nếu 1 2 1 2/ /M d d d∉ ⇒ ; + Nếu 1 2 1 2M d d d∈ ⇒ ≡

TH2: Nếu 1uur

không cùng phương 2uuur

thì ta tìm 1 1M d∈ v à 2 2M d∈

+ Nếu 1 2 1 2, . 0u u M M = ⇒ ur uur uuuuuur

d1 cắt d2; + Nếu 1 2 1 2, . 0u u M M ≠ ⇒ ur uur uuuuuur

d1 và d2 chéo nhau.

Ghi chú: 1.Đường thẳng 1 2 1 2. 0d d u u⊥ ⇔ =ur uur

2.Để chứng minh d1 và d2 chéo nhau ta chứng minh: 1 2 1 2, . 0u u M M ≠ ur uur uuuuuur

3. Vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng ∆ đi qua ( )0 0 0 0; ;M x y z và có vectơ chỉ phương ( ); ;u a b c=r

và mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + = có vectơ ( ); ;n A B C=r

a. ( ) ( )( )0

. 0/ /

u n u n

Mα

α

= ⊥∆ ⇔ ∉

r r r r

; b. ( ) ( )( )0

. 0u n u n

Mα

α

= ⊥∆ ⊂ ⇔ ∈

r r r r

; c. ∆ cắt ( )α . 0u n⇔ ≠r r

* Chú ý: ( ) , 0u kn u nα ∆ ⊥ ⇔ = ∨ = r r r r r

BÀI 6: KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ điểm ( )0 0 0 0; ;M x y z đến mp ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + = là:

( )( ) 0 0 00 2 2 2;

Ax By Cz Dd M

A B Cα

+ + +=

+ +2. Một số dạng toán về khoảng cách :

a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua điểm ( )0 0 0 0; ;M x y z có vectơ chỉ phương ur

: ( ) 0,,

u M Md M

u

∆ =

r uuuuuur

r

b.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1∆ và 2∆ . 1∆ đi qua điểm M1 và có vectơ chỉ phương 1ur

; 2∆ đi qua điểm

M2 và có vectơ chỉ phương 2ur

là: ( ) 1 2 1 2

1 2

1 2

, .,

,

u u M Md

u u

∆ ∆ =

ur uur uuuuuur

ur uur

c.Cho đường thẳng ( )/ / α∆ thì ( )( ) ( )( ), ,d d Mα α∆ = , với ( )M ∈ ∆

d.Cho mp ( ) ( )/ /α β thì ( ) ( )( ) ( )( ), ,d d Mα β β= , với ( )M α∈

e.Chiều cao h của hình chóp S. ABCD: ( )( ),h d S ABCD=BÀI 7: GÓC

12


1. Góc giữa hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng 1∆ và 2∆ lần lượt có các vectơ chỉ phương là

( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2; ; , ; ;u a b c u a b c= =ur uur

. Gọi ( )¼1 2,ϕ = ∆ ∆

( ) 1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

os os ,.

a a b b c cc c u u

a b c a b cϕ

+ += =

+ + + +

ur uur. Chú ý: 1 2 1 2. 0u u∆ ⊥ ∆ ⇔ =

ur uur

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đhẳng ∆ có VTCP ( ); ;u a b c=uur

và mp ( )α có VTPT ( ); ;n A B C=r

( )2 2 2 2 2 2

sin os ,.

Aa Bb Ccc u n

A B C a b cϕ

+ += =

+ + + +

r r (ϕ l à góc giữa đường thẳng ∆ và mp ( ∆ ))

3. Góc giữa hai mặt phẳng :

Cho hai mp ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + = có VTPT ( ); ;n A B C=r

và ( ) : ' ' ' ' 0A x B y C z Dβ + + + = có vectơ pháp tuyến

( )' '; '; 'n A B C=r

là: ( )2 2 2 2 2 2

' ' 'os os , '

. ' ' '

AA BB CCc c n n

A B C A B Cϕ

+ += =

+ + + +

r ur

BÀI 8: MẶT CẦUa. Phương trình mặt cầu (S) :

1. Dạng 1 : Mặt cầu (S) tâm ( ); ;I a b c ; bán kính R có pt là: ( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R− + − + − =

2. Dạng 2 : Pt ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0 0x y z ax by cz D a b c D+ + − − − + = + + − > , tâm ( ); ;I a b c , bán kính 2 2 2R a b c D= + + −b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu :

Cho mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R− + − + − = và mp ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + =

• Nếu ( )( ),d I Rα > thì mp ( )α không cắt mặt cầu (S).

• Nếu ( )( ),d I Rα = thì mp ( )α tiếp xúc mặt cầu (S) tại H ( ( )IH α⊥ tại H). Mặt phẳng ( )α được gọi là tiếp diện của

(S) tại H.

• Nếu ( )( ),d I Rα < thì mp ( )α cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình là

( ) ( ) ( )2 2 2 2

0

x a y b z c R

Ax By Cz D

− + − + − =

+ + + =Đường tròn (C) được gọi là đường tròn giao tuyến.

• Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp ( )α .

LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH 11I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:

1. Các hệ thức cơ bản: 2. Công thức biểu diễn theo tanx:

3. Các cung liên kết:

a. Cung đối: α và −α b. Cung bù: α và π − α c. Cung phụ: α và 2

π − α

13

cos( ) cos

sin( ) sin

n( ) n

cot( ) cot

ta ta

−α = α−α = − α−α = − α−α = − α

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) n

cot( ) cot

ta

π − α = απ − α = − απ − α = − απ − α = − α

sin cos ; cos sin2 2

tan cot ; cot tan2 2

π π − α = α − α = α ÷ ÷ π π − α = α − α = α ÷ ÷

1. 2

2 tansin 2

1 tan

xx

x=

+; 2.

2

2

1 tancos 2

1 tan

xx

x

−=+

; 3. 2

2 tantan 2

1 tan

xx

x=

− 1. 2 2sin x cos x 1+ = ; 2.

sintanx

cos

x

x=

3. 1

tancot

xx

= ; 4. cos

cot xsin

x

x=

5. 2

2

11 tan

cosx

x+ = ; 6. 2

2

11 cot

sinx

x+ =

( ) ( )( ) ( )

1. sin 2 sin ; 2. os +k2 =cos ;

3. tan +k =tan ; 4. cot +k cot ;

k c

k Z

α π α α π αα π α α π α

+ =

= ∈


d. Cung sai kém nhau π : α và π + α e. Cung hơn kém nhau 2

π: α và

2

π + α

4. Bảng giá trị lượng giác của cung và góc đặc biệt:α 00 030 045 060 090 0120 0135 0150 0180

0

6

π4

π3

π2

π 2

3

π 3

4

π 5

6

π π

sinα 0 1

22

2

3

2

1 3

2

2

2

1

2

0

cosα 1 3

2

2

2

1

20 1

2− 2

2− 3

2−

1−

tanα 0 1

3

1 3 P 3− 1− 1

3−

0

cotα P 3 1 1

30 1

3− 1− 3− P

PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn : 2. Phương trình lượng giác đặc biệt:

sin u = sin v ⇔

+−=+=

πππ

2

2

kvu

kvu ( k ∈ Z ) 1. sin u = 1⇔ 2

2u k

π π= + ; 2. sin u = -1 ⇔

22

u kπ π= − + ;

3. sin 0u u kπ= ⇔ = ( k ∈ Z )

14

tan( ) tan

cot( ) cot

sin( ) sin

cos( ) cos

π+α = απ+α = απ+α = − απ+α = − α

sin cos ; cos sin2 2

tan cot ; cot tan2 2

π π + α = α + α = − α ÷ ÷ π π + α = − α + α = − α ÷ ÷

5.Công thức cộng1.cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −2.cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +3.sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +4.sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −

5.tan tan

tan( )1 tan tan

a ba b

a b

++ =−

6. tan tan

tan( )1 tan tan

a ba b

a b

−− =+

6.2. Công thức nhân ba1. 3cos3 4cos 3cosa a a= −2. 3sin 3 3sin 4sina a a= −

3. 3

2

3tan tantan 3

1 3tan

a aa

a

−=−

6.1. Công thức nhân đôi

1. 2 2

2 2

cos 2 cos sin

2cos 1 1 2sin

a a a

a a

= − == − = −

2. sin 2 2sin cosa a a=

3. 2

2 tantan 2

1 tan

aa

a=

−7. Công thức biến đổi tích thành tổng

1.1

cos cos [cos( ) cos( )]2

a b a b a b= + + −

2. 1

sin sin [cos( ) cos( )]2

a b a b a b−= + − −

3.1

sin cos [sin( ) sin( )]2

a b a b a b= + + −

6. 3. Công thức hạ bậc:

1. 2 1 cos 2cos

2

aa

+= ; 2. 2 1 cos 2sin

2

aa

−=

3. 2 1 cos 2tan

1 cos 2

aa

a

−=+

8. Công thức biến đổi tổng thành tích

1. cos cos 2cos cos2 2

a b a ba b

+ −+ =

2. cos cos 2sin sin2 2

a b a ba b

+ −− = −

3. sin sin 2sin cos2 2

a b a ba b

+ −+ =

4.sin sin 2cos sin2 2

a b a ba b

+ −− =

9. Một số công thức cơ bản

1. cos sin 2 cos( )4

a a aπ+ = − ; 2. cos sin 2 sin( )

4a a a

π+ = +

3. cos sin 2 cos( )4

a a aπ− = + ; 4. cos sin 2 sin( )

4a a a

π− = − −

5. 4 4 2 2cos sin 1 2sin cosa a a a+ = − ; 6. 4 4cos sin os 2a a c a− =

7. 6 6 2 2cos sin 1 3sin cosa a a a+ = − ; 8. ( )6 6 2 2cos sin os2a 1 sin cosa a c a a− = −

9.( )sin

t ana tancos .cos

a bb

a b

++ = ; 10.

( )sint ana- tan

cos .cos

a bb

a b

−=


cos u = cos v ⇔ 2

2

u v k

u v k

ππ

= + = − +

( k ∈

Z )

4. cosu = 1⇔ 2u k π= ; 5. cos u = -1 ⇔ 2u kπ π= + ;

6. os 02

c u u kπ π= ⇔ = + ( k ∈ Z )

tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈

Z )7. tan u = 1⇔ 4

u kπ π= + ; 8. tan u = -1 ⇔

4u k

π π= − + ;

9. tan 0u u kπ= ⇔ = ( k ∈ Z )

cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈

Z )10. cot u = 1⇔ 4

u kπ π= + ; 11. cot u = -1 ⇔

4u k

π π= − + ;

12. cot 02

u u kπ π= ⇔ = + ( k ∈ Z )

3. Phöông trình baäc hai , b ậc ba đối với một hàm số lượng giác:

Đặt ẩn phụ: s inx; t = cosxt = , điều kiện: 1 1t− ≤ ≤ ; Đặt ẩn phụ: 2 2s in x; t = cos xt = , điều kiện: 0 1t≤ ≤ ;

4. Ph ương trình bậc nhất đối với sinx, cosx : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2 + b2 ≠ 0.

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: 2 2 2a b c+ ≥ .

Caùch giải : chia hai vế phương trình cho 2 2a b+ , đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos v

5. Phöông trình ñaúng caáp b ậc hai đối với sinx vaø cosx : asin2x + bsinx cosx + c.cos2x = 0 .

+ Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .

+Xeùt cos 0x ≠ chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx, pt trở thành pt 2.tan .t anx+c = 0a x b+

6. Phöông trình đối xứng : a( sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0 .

a) Ñaët t = sinx + cosx = 2 os x - 4

cπ

÷ , ñieàu kieän 22 ≤≤− t khi ñoù sinx.cosx = 2

12 −t

Ta ñöa phöơng trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai hoặc bậc 3 theo t . Gỉai chọn t, suy ra nghiệm x.

b) Phöông trình coù daïng :a( sinx - cosx ) + bsinxcosx + c = 0 . Ñaët t = sinx – cosx = 2 sin x - 4

π ÷ ,

ñieàu kieän 22 ≤≤− t khi ñoù sinx.cosx = 2

1 2t−. Ta giải tương tự 6a).

7. Phương trình tích: A.B.C = 0 0 0 0A B C⇔ = ∨ = ∨ = ; 8. Tổng các bình phương: 2

2 2

2

0

0

AA B

B

=+ = =

HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN. XÁC SUẤT 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n; 0!=1! = 1.2. Chỉnh hợp:

15


a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈ ¥ mà 1 k n≤ ≤ . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.

b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu knA là: ( ) ( ) ( )

kn

n!A n. n 1 ... n k 1

n k != − − + =

− .

3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ ¥ mà 1 k n≤ ≤ . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu knC là: ( )

( ) ( )kn

n n 1 ... n k 1n!C

k! n k ! k!

− − += =

− c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:

+ ( )* k n kn nCho a, k : C C 0 k n−∈ = ≤ ≤¥ ; + ( )* k k k 1

n 1 n nCho a, k : C C C 1 k n−+∈ = + ≤ ≤¥

4. Khai triển nhị thức Niutơn: ( )n

n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n n

k 0

a b C a b C a C a b .. C a b .. C b− − −

=

+ = = + + + + +∑Nhận xét:

+ Trong khai triển nhị thức Niuton ( a+b)n có n + 1 số hạng.+ Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.+ Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.+ Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: k n k k

k 1 nT C a b−+ =

+ 0 1 2 n nn n n nC C C ... C 2+ + + + = ;

+ ( ) ( )k n0 1 2 3 k nn n n n n nC C C C ... 1 C ... 1 C 0− + − + + − + + − = .

5. XAÙC SUAÁT

1. Bieán coá

Khoâng gian maãu Ω: laø taäp caùc keát quaû coù theå xaûy ra cuûa moät pheùp thöû.

Bieán coá A: laø taäp caùc keát quaû cuûa pheùp thöû laøm xaûy ra A. A ⊂ Ω.

Bieán coá khoâng: ∅; Bieán coá chaéc chaén: Ω; Bieán coá ñoái cuûa A: \A A= Ω ;

Hôïp hai bieán coá: A ∪ B .Giao hai bieán coá: A ∩ B (hoaëc A.B);

Hai bieán coá xung khaéc: biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.A ∩ B = ∅

Hai bieán coá ñoäc laäp: neáu xác suất xaûy ra bieán coá naøy khoâng aûnh höôûng ñeán xác suất xaûy ra của

bieán coá kia.

2. Xaùc suaát

Xaùc suaát cuûa bieán coá: P(A) = ( )( )n An Ω =

AΩΩ ; 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0

(Với n(A): là số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra; n( Ω ) là số trường hợp đồng khả năng của không gian mẫu)

Xác suất của biến cố đối: P( A) = 1 – P(A);

Qui taéc coäng: nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Vôùi A, B baát kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B);

Qui taéc nhaân: Neáu A, B ñoäc laäp thì P(A.B) = P(A). P(B) (Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng: 2a c b+ = . Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: 2.a c b= )

16


ĐẠI SỐ 10 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) , ta có: ∆ = b2 – 4ac

∆ > 0a

bx

21

∆+−= , a

bx

22

∆−−=

∆ = 0 Nghiệm kép a

bxx

221 −==

∆ < 0 Vô nghiệm Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a ≠ 0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó thỏa:

Hệ thức Vi-ét: 1 2

1 2.

bx x

ac

x xa

+ = − =

Chú ý:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 = c

a

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 = c

a−

Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0

2 .PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN

a/ 2

0BA B

A B

≥= ⇔

= ; b/ 0 ( 0)

A BA B

A hayB

== ⇔ ≥ ≥

3 .BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN

a/ 2

0

0

A

A B B

A B

≥< ⇔ > <

; b/ 2

00

0

BBA B

A A B

≥< > ⇔ ∨ ≥ > ; c/

2

0

0

A

A B B

A B

≥≤ ⇔ ≥ ≤

4 .PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

a/ 0 0

A B A BA B

B B

= = − = ⇔ ∨ ≥ ≥ ; b/

−=

=⇔=

BA

BABA ;

5.BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

a/

><<−

⇔<0B

BABBA ; b/ A B A B A B> ⇔ <− ∨ > ; c/

22 BABA >⇔>

6. a. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi)

Cho hai số không âm ;a b . Ta có: 2

a bab

+ ≥ . Dấu “=” xảy ra khi a = b.

b. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

17

nếu x ≥ 0nếu x < 0


0

0

xx

x

>= − >

.Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R∈ ta có: |x| ≥ 0; |x|2 = x2; x ≤ |x| và -x ≤ |x|

Định lí: Với mọi số thực a và b ta có: |a + b| ≤ |a| + |b| (1); |a – b| ≤ |a| + |b| (2)|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0

HÌNH HỌC 10

18


I. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNGBaøi 1. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ

1. Điểm →→→

+=⇔ 21),( yexeOMyxM .

2. Cho A( xA, yA ), B( xB, yB );

a. ),( ABAB yyxxAB −−=→

; b. 2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − ; c. Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :

+=

+=

2

2

BA

BA

yyy

xxx

d. Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k ≠ 1 :

−−

=

−−

=

k

ykyy

k

xkxx

BA

BA

1

.1

.

3.Pheùp toaùn : Cho ),( 21 aaa =→

, ),( 21 bbb =→

a.

==

⇔=→→

22

11

ba

baba ; b. ),( 2211 bababa ±±=±

→→

; c. ),(. 21 mamaam =→

; d. 2211 bababa +=→→

e. 2

22

1 aaa +=→

; f. 02211 =+⇔⊥→→

bababa ; g. 22

21

22

21

2211

.,

bbaa

bababaCos

++

+=

→→

Baøi 2 . ÑÖÔØNG THAÚNG

1/. Phöông trình tham soá :

+=+=

tayy

taxx

20

10, vectô chæ phöông laø: ),( 21 aaa =

→

2/. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0)

a. Vectô phaùp tuyeán: ),( BAn =→

; b. Vectô chæ phöông laø: ),( ABa −=→

( hay ),( ABa −=→

)

c.Heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng laø ( 0)A

k BB

= − ≠

3/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc k : 0 0( )y y k x x− = −

4/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)

hay AB

A

AB

A

yy

yy

xx

xx

−−

=−

−

5/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén): 1=+b

y

a

x

19

a a mh

a

bc

MH CB

A


II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCA. Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù)

Ñònh lí haøm soá Cosin 2 2 2 2 .a b c bc cosA= + − ⇒2 2 2

2

b c acosA

bc

+ −=

Ñònh lí haøm soá Sin 2a b c

RsinA sinB sinC

= = = ⇒ 2 . ;sin2

aa R sinA A

R= =

Ñònh lí haøm soá Tan2

2

A Btan a b

A B a btan

−−=+ +

Caùc chieáu cCosBbCosCa +=

Ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán 4

)(2 2222 acb

ma

−+=

Ñoä daøi ñöôøng phaân giaùc2 .

2a

Abc Cos

lb c

=+

Dieän tích tam giaùc thường1. cba chbhahS

2

1

2

1

2

1 === ; 2. prS =

2. R

abcS

4= ; 4. ))()(( cpbpappS −−−=

5. abSinCacSinBbcSinAS2

1

2

1

2

1 ===

1. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3

2; b) S =

2a 3

4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

2. Tam giác vuông: S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

3. Tam giác vuông cân a) S = 1

2a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) ; b) Cạnh huyền bằng a 2

4. Tam giác cân: S = 1

ah2

(h: đường cao; a: cạnh đáy)

5. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

6. Hình thoi: S = 1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

7. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 28. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)9. Đường tròn: a) C = 2 πR (R: bán kính đường tròn) b) S = πR2 (R: bán kính đường tròn)

Chuù yù:

1. ( ) ( ) ( )2 2 2

S A B Cr p a tan p b tan p c tan

p= = − = − = − với rlà bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác.

2. 4 2 2 2

abc a b cR

S sinA sinB sinC= = = =

Vôùi a, b, c :caïnh tam giaùc; A, B, C: goùc tam giaùc;

20

HB C

A


ha: Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a; ma:Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A

3.R, r :Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc, 2

cbap

++= là nửa chu vi tam giaùc.B. Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng:

1. 2 .AH BH CH= ;

2. . .AH BC AB AC= ;

3. BCBHAB .2 = ;

4. 2 2 2

1 1 1

AH AB AC= + hay 2 2 2

1 1 1h a c

= + ;

5. CBCHAC .2 = ;

6. 222 ACABBC +=

Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới !

21

Chuyên đề ly thuyet on tap toan thpt

Documents