chuong_3c [Compatibility Mode].pdf

ÑOÀ HOÏA 2DÑOÀ HOÏA 2D

ÑÖÔØNG CONGÑÖÔØNG CONG

Giaûng vieân : Buøi Tieán Leân

Phaân loaïiPhaân loaïi

Quan ñieåm toaùn hoïc- Ñöôøng cong ñöôïc bieåu dieãn baèng haøm soá- Ñöôøng cong ñöôïc bieåu dieãn baèng phöông trình tham soá

Quan ñieåm thieát keá- Ñöôøng cong CAD (Computer Aided Design)

Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 22222222

- Ñöôøng cong CAD (Computer Aided Design)

Ñöôøng cong ñöôïc bieåu dieãn baèng Ñöôøng cong ñöôïc bieåu dieãn baèng haøm soáhaøm soá

Baøi toaùnBaøi toaùn

InputHaøm soá y = f(x)Mieàn ñoái soá [xmin, xmax]

OutputÑoà thò haøm soá

Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 44444444xmaxxmin

y=f(x)

Thuaät toaùnThuaät toaùnBöôùc 1 : Chia mieàn ñoái soá ra N ñoaïn baèng nhau


x0 x1 x2 xN-1xNxmin xmax

Thuaät toaùnThuaät toaùnBöôùc 2 : Tính y

y

y1 y2

yN-1

yN


x0 x1 x2 xN-1xNxmin xmax

y0yN-1

Thuaät toaùnThuaät toaùnBöôùc 3 : Keû ñöôøng gaáp khuùc ñi qua N + 1 ñieåm.

y

y1 y2

yN-1

yN


x0 x1 x2 xN-1xN

y0yN-1

xmin xmax

Caøi ñaëtCaøi ñaët// Hàm vẽ đường cong hàm số

void DrawCurve2D(CDC *pDC, TFunc2D f, double xmin, double xmax)

{

double ∆x, x, y;

∆x = (xmax – xmin)/N;

x = xmin;

y = f(x);

pDC->MoveTo(ConvertWorldToScreen2D(x, y));

for(int i=1; i<=N; i++)



{

x += ∆x;

y = f(x);

pDC->LineTo(ConvertWorldToScreen2D(x, y));

}

}

Caøi ñaëtCaøi ñaët// Lớp phương trình hàm

class TFunc2D {

virtual double operator () (double x) = 0;

};


Vaán ñeà phaân ñoaïnVaán ñeà phaân ñoaïn

Soá phaân ñoaïn N laø bao nhieâu ?

ñoä phaân giaûi coät


Ñoà thò ña thöùc baäc baÑoà thò ña thöùc baäc ba

Choy = ax3 + bx2 + cx + dx ∈ [xmin, xmax]

[ ]4,4x

3x2.0x2.0x1.0y 23

−∈

+−−=


[ ]4,4x −∈

Vaán ñeà tính giaù trò ña thöùcVaán ñeà tính giaù trò ña thöùcCaùch tính thoâng thöôønga*x*x*x + b*x*x + c*x + d;

Caàn 6 pheùp nhaân vaø 3 pheùp coäng

Caùch tính Horner((a*x + b)*x + c)*x + d




Caùch tính caûi tieán?

Vaán ñeà tính giaù trò ña thöùcVaán ñeà tính giaù trò ña thöùcÑa thöùc baäc nhaát y = ax + b

Caùch tính thoâng thöôøng Caùch tính caûi tieán

yi = axi + b y0yi+1

=

=

ax0 + b

yi + a∆∆∆∆x

Tính Tính

y = ax + b y = ax + b


y0 = ax0 + b y0 = ax0 + b

y1 = ax1 + b y1 = y0 + a∆∆∆∆x

y2 = ax2 + b y2 = y1 + a∆∆∆∆x

... ...

yi = axi + b yi = yi-1 + a∆∆∆∆x

yi+1 = axi+1 + b yi+1 = yi + a∆∆∆∆x

... ...

yN = axN+1 + b y0 = yi + a∆∆∆∆x

Vaán ñeà tính giaù trò ña thöùcVaán ñeà tính giaù trò ña thöùcÑa thöùc baäc hai y = ax2 + bx + c

Caùch tính thoâng thöôøng Caùch tính caûi tieán

yi = axi2 + bxi + c y0

∆y0

yi+1

∆yi+1

=

=

=

=

ax02 + bx0 + c

2a∆∆∆∆xx0 + a∆∆∆∆x2 + b∆∆∆∆x

yi + ∆yi

∆yi + 2a∆∆∆∆x2


Vaán ñeà tính giaù trò ña thöùcVaán ñeà tính giaù trò ña thöùc

Ña thöùc baäc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

Caùch tính caûi tieány0

∆y0

∆∆y0

yi+1

=

=

=

=

ax03 + bx0

2 + cx0 + d

3a∆∆∆∆xx02 + (3a∆∆∆∆x2 + 2b∆∆∆∆x)x0 + a∆∆∆∆x3 + b∆∆∆∆x2 + c∆∆∆∆x

6a∆∆∆∆x2x0 + 6a∆∆∆∆x3 + 2b∆∆∆∆x2

yi + ∆yi


yi+1

∆yi+1

∆∆yi+1

=

=

=

yi + ∆yi

∆yi + ∆∆yi

∆∆yi + 6a∆∆∆∆x3

Ñöôøng cong ñöôïc bieåu dieãn baèng Ñöôøng cong ñöôïc bieåu dieãn baèng Phöông trình tham soáPhöông trình tham soá

Baøi toaùnBaøi toaùnInput:Phöông trình tham soáx(t)y(t)

Mieàn tham soát ∈ [tmin, tmax]

Output:


Output:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ]π2,0

sin5cos

cos5cos

∈

=

=

t

ttty

tttx( ) ( )

( ) ( )

btz

taty

tatx

=

=

=

sin

cos

Thuaät toaùnThuaät toaùnBöôùc 1 : Chia mieàn tham soá ra N ñoaïn baèng nhau

t t t t

Mieàn tham soá


to t1 t2 tN

tmin tmax

Thuaät toaùnThuaät toaùnBöôùc 2 : Tính (x, y)

t

ti tN


to

t1

t2

Thuaät toaùnThuaät toaùnBöôùc 3 : Veõ ñöôøng gaáp khuùc ñi qua N + 1 ñieåm

(x2, y2)

(xN, yN)


(x0, y0)

(x1, y1)

(x2, y2)

Caøi ñaëtCaøi ñaët// Hàm vẽ đường cong tham số

void DrawCurve2D(CDC *pDC, TPara2D f, double tmin, double tmax)

{

double ∆t, t;

TPoint2D p;

∆t = (tmax – tmin)/N;

t = tmin;

p = f(t);

pDC->MoveTo(ConvertWorldToScreen2D(p));


pDC->MoveTo(ConvertWorldToScreen2D(p));


{

t += ∆t;

p = f(t);

pDC->LineTo(ConvertWorldToScreen2D(p));

}

}

Caøi ñaëtCaøi ñaët// Lớp phương trình tham số

class TPara2D {

virtual TPoint2D operator () (double t) = 0;

}


Vaán ñeà phaân ñoaïnVaán ñeà phaân ñoaïn

( )

( )

[ ]π∈

=

=

2,0t

tsinty

tcostx


( )

( )

[ ]π∈

=

=

8,0t

tsintty

tcosttx

ÑÖÔØNG CONG BEZIERÑÖÔØNG CONG BEZIER

Ñònh nghóa ñöôøng congÑònh nghóa ñöôøng cong

Inputn +1 ñieåm ñieàu khieån {p0, p1, ... , pn}

Output

p1


p0

pn

Ñöôøng cong Bezier baäc moätÑöôøng cong Bezier baäc moät

p(t) = (1 – t)p0 + tp1

t ∈ [0, 1]

hoaëc

p1


hoaëcx(t) = (1 – t)p0x + tp1x

y(t) = (1 – t)p0y + tp1y

t ∈ [0, 1]p0

Ñöôøng cong Bezier baäc haiÑöôøng cong Bezier baäc hai

p(t) = (1 – t)2p0 + 2(1 – t)tp1 + t2p2

t ∈ [0, 1]

hoaëc

p2

p1


hoaëcx(t) = (1 – t)2p0x + 2(1 – t)tp1x + t2p2x

y(t) = (1 – t)2p0y + 2(1 – t)tp1y + t2p2y

t ∈ [0, 1]

p0

Ñöôøng cong Bezier baäc baÑöôøng cong Bezier baäc ba

p(t) = (1 – t)3p + 3(1 – t)2tp + 3(1 – t)t2p + t3p

p0

p1

p3

p2


p(t) = (1 – t)3p0 + 3(1 – t)2tp1 + 3(1 – t)t2p2 + t3p3

t ∈ [0, 1]

hoaëcx(t) = (1 – t)3p0x + 3(1 – t)2tp1x + 3(1 – t)t2p2x + t3p3x

y(t) = (1 – t)3p0y + 3(1 – t)2tp1y + 3(1 – t)t2p2y + t3p3y

t ∈ [0, 1]

Moät soá ñöôøng cong Bezier baäc baMoät soá ñöôøng cong Bezier baäc ba


Coâng thöùc xaùc ñònh ñöôøng congCoâng thöùc xaùc ñònh ñöôøng cong

( ) ( )

[ ]( )

( )

hoaëc

t)t1(!kn!k

!ntB vôùi

1,0t

p.tBtp

khieån ñieàu ñieåm 1n bôûi taïo ñöôïc n baäc Bezier cong ñöôøng Ptts

nk

kknnk

nk

0kk

nk −

−=

∈

=

+

∑

=

−

=

=


( ) ( )

( ) ( )

[ ]1,0t

p.tBty

p.tBtx

nk

0kky

nk

nk

0kxk

nk

∈

=

=

∑

∑=

=

=

=

Tính chaát 1Tính chaát 1

Baûo toaøn qua pheùp bieán ñoåi affine.


Tính chaát 2Tính chaát 2

Caùc ñieåm ñieåu khieån taïo thaønh bao loài cuûa ñöôøng cong


Ñoä thaúng cuûa ñöôøng cong BezierÑoä thaúng cuûa ñöôøng cong Bezier

p0

p1 p2

p3


30

322110

pppppppp

f−

−+−+−=

Thuaät toaùn veõ ñöôøng cong BezierThuaät toaùn veõ ñöôøng cong Bezier


Thuaät toaùn veõ ñöôøng cong BezierThuaät toaùn veõ ñöôøng cong Bezier

�Xeùt ñöôøng cong Bezier vôùi caùc ñieåm ñieàu khieån {p0, p1, ... , pn}, noái caùc ñieåm lieân tieáp ñeå taïo thaønh ña giaùc ñieàu khieån�Chia moãi ñoaïn trong ña giaùc vôùi tæ soá t:(1-t), noái caùc ñieåm môùi tính, ta coù ñöôïc ña giaùc vôùi soá ñænh ít hôn 1�Laëp laïi böôùc treân cho ñeán khi chæ coøn moät ñieåm ñôn, chính laø ñieåm cuûa ñöôøng cong Bezier öùng vôùi tham soá t


Laëp laïi böôùc treân cho ñeán khi chæ coøn moät ñieåm ñôn, chính laø ñieåm cuûa ñöôøng cong Bezier öùng vôùi tham soá t

Ñaïo haømÑaïo haøm

p’(0) = 3(p1 – p0)p’(1) = 3(p3 – p2)p”(0) = 6(p0 – 2p1 + p2)p”(1) = 6(p1 – 2p2 + p3)

pp


p0

p3

p2p1

Tính lieân tuïcTính lieân tuïc

•Moät ñöôøng cong Bezier khoâng ñuû phöùc taïp•Gheùp nhieàu ñöôøng cong Bezier vôùi nhau•Yeâu caàu tính lieân tuïc taïi caùc ñieåm gheùp noái

•Lieân tuïc tham soáC0: lieân tuïc tham soá baäc 0, hai Bezier coù cuøng ñaàu muùtC1: C0 + coù cuøng vector tieáp tuyeán taïi ñieåm ñaàu muùt


C1: C0 + coù cuøng vector tieáp tuyeán taïi ñieåm ñaàu muùtC2: C1 + coù cuøng ñaïo haøm baäc 2 taïi ñieåm ñaàu muùt


Lieân tuïc baäc 0





•Lieân tuïc hình hoïc•G1: tieáp tuyeán cuøng höôùng nhöng khoâng caàn cuøng ñoä lôùn•G2: cuøng tieáp tuyeán vaø cuøng ñoä cong


Thuaät toaùn veõ ñeä quiThuaät toaùn veõ ñeä quip1 p2

p3


p0

p3

l0

r3

l1

l2 l3

r2

r1r0

Thuaät toaùn veõ ñeä quiThuaät toaùn veõ ñeä qui

3211

32100

101

00

4pp2p

r

8pp3p3p

r

2pp

l

pl

++=

+++=

+=

=


33

322

1

32103

2102

1

pr

2pp

r

4

8pp3p3p

l

4pp2p

l

2

=

+=

+++=

++=

Thuaät toaùn veõ ñeä quiThuaät toaùn veõ ñeä quiVeõ Bezier (p0, p1, p2, p3)

Baét ñaàuNeáu Thaúng (p0, p1, p2, p3) thìVeõ ñoaïn thaúng p0p3

Ngöôïc laïiChia {pi} thaønh {li} vaø {ri}

Veõ Bezier (l0, l1, l2, l3)


0 1 2 3

Veõ Bezier (r0, r1, r2, r3)

Keát thuùc

ÑÖÔØNG CONG HERMITEÑÖÔØNG CONG HERMITE

Ñònh nghóa ñöôøng congÑònh nghóa ñöôøng cong

Input2 ñieåm {p0, p1}2 vector {v0, v1}

Ouput


p0 p1

0v�

1v�

Coâng thöùc xaùc ñònh ñöôøng congCoâng thöùc xaùc ñònh ñöôøng cong

p0 p1

0v�

1v�


p(t) = H03(t)p0 + H13(t)p1 + H23(t)v0 + H33(t)v1p(t) = (2t3 + 3t2 + 1)p0 + (-2t3 + 3t2)p1 + (t3 – 2t2 + t)v0 + (t3 – t2)v1t ∈ [0, 1]

hoaëc

x(t) = (2t3 + 3t2 + 1)p0x + (-2t3 + 3t2)p1x + (t3 – 2t2 + t)v0x + (t3 – t2)v1xy(t) = (2t3 + 3t2 + 1)p0y + (-2t3 + 3t2)p1y + (t3 – 2t2 + t)v0y + (t3 – t2)v1yt ∈ [0, 1]

Moät soá ñöôøng cong HermiteMoät soá ñöôøng cong Hermite


Ñöôøng cong Bezier baäc ba & HermiteÑöôøng cong Bezier baäc ba & Hermite

( )( )B2B3

H1

B0

B1

H0

B3

H1

B0

H0

pp3v

pp3v

pp

pp

−=

−=

=

=


H0pB

0p

B1p

B2p

B3p H

1pH0v

H1v

Daãn nhaäpDaãn nhaäp

Bao nhieâu Bao nhieâu Bao nhieâu Bao nhieâu ñöôøng cong?ñöôøng cong?


ÑÖÔØNG CONG PHÖÙCÑÖÔØNG CONG PHÖÙC

Ñònh nghóa ñöôøng cong phöùcÑònh nghóa ñöôøng cong phöùc

Ñöôøng cong phöùc laø söï keát hôïp cuûa nhöõng ñöôøng cong cô sôû C = {C1, C2, … , Cn}

C2 C3

C


C1

C4

Yeâu caàu thieát keá ñöôøng cong phöùcYeâu caàu thieát keá ñöôøng cong phöùc

Ñoái vôùi ngöôøi thieát keá1. Deã veõ2. Lieân tuïc3. Cuïc boä

Ñoái vôùi ngöôøi laäp trình


Ñoái vôùi ngöôøi laäp trình1. Bieåu dieãn deã daøng vaø hieäu quaû2. Tính toaùn hieäu quaû






Phaân loaïiPhaân loaïi

1. Ñöôøng cong Splines2. Ñöôøng cong B-Splines3. Ñöôøng cong Nurbs (NonUniform Rational B-Splines)


CAÙC ÑÖÔØNG CONG SPLINESCAÙC ÑÖÔØNG CONG SPLINES

Ñònh nghóa ñöôøng cong SplinesÑònh nghóa ñöôøng cong SplinesInputn +1 ñieåm {P0, P1, ... , Pn}vaø moät soá thoâng tin khaùcOutputC = {C1, C2, …, Cn} vôùi Ci laø caùc ñöôøng cong Hermite

P


P0

P1

P2

Pn-1

Pn

C1

C2Cn

Cardinal SplinesCardinal Splines

- Tham soá tension t

Pk

Pk+1

k0

Pp

Pp

=

=


Pk-1

Pk+2

( )( )

( )( )k2k1

1k1k0

1k1

PP2t1

v

PP2t1

v

Pp

−−

=

−−

=

=

+

−+

+

AÛnh höôûng cuûa tham soá tension tAÛnh höôûng cuûa tham soá tension t


t<0 t>0

CatmullCatmull--Rom SplinesRom Splines

�Laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa Cardinal Splines vôùi t = 0

Pp

Pp

21

10

=

=

P1

P2

P4


2PP

v

2PP

v

Pp

131

020

21

−=

−=

=

P0

P1

P3

P4

KochanekKochanek--Bartels SplinesBartels Splines

�Laø tröôøng hôïp toång quaùt cuûa Cardinal Splines- Tham soá tension t- Tham soá bias b- Tham soá continuity c

k0 Pp =


( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]

( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]1k2kk1k1

k1k1kk0

1k1

k0

PPc1b1PPc1b1t121

v

PPc1b1PPc1b1t121

v

Pp

Pp

+++

+−

+

−−−+−++−=

−+−+−−+−=

=

=

AÛnh höôûng cuûa tham soá bias bAÛnh höôûng cuûa tham soá bias b


b<0 b>0

Natural SplinesNatural Splines

�Laø ñöôøng cong lieân tuïc C2

P1

P

v0v1

v3


P0

P2

P3

v2


P1

P

v0v1

v3


P0

P2

P3

v2


Tröôøng hôïp 1 : Bieát caùc vector v0 vaø vn

( )

( )

−

−

02

0

1

0

PP3

PP3

v

v

v

v

141

141

1

………

………

……………


( )

( )

−

−=

−−

n

2nn

13

n

1n

2

v

PP3

PP3

v

v

v

1

141

141

……

……………

………

………………

………


Tröôøng hôïp 2 : Ñaïo haøm baäc hai taïi hai ñieåm P0 vaø Pn ñeàu baèng 0

( )

( )

−

−

02

01

1

0

PP3

PP3

v

v

141

12

………

…………


( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

=

−

−−

1nn

2nn

13

02

n

1n

2

1

PP3

PP3

PP3

PP3

v

v

v

v

21

141

141

141

……

…………

………

………………

………

………

Free SplinesFree Splines

�Laø ñöôøng cong lieân tuïc C0


ÑÖÔØNG CONG BÑÖÔØNG CONG B--SPLINESSPLINES

Ñònh nghóaÑònh nghóaInputn +1 ñieåm {P0, P1, ... , Pn}, Baäc k – 1, Taäp hôïp tham soá knot {t0, t1, … , tn+k}OutputC = {C1, C2, …, Cn-2} vôùi Ci laø caùc ñöôøng cong Bezier

P1 P2

Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 6767676767676767P0 P3 P4

P5C1

C2

C3

Coâng thöùcCoâng thöùc

( ) ( )

[ ]

[ ]t,tt neáu1

Vôùi

1,0t

PtNtpni

0ii

ki

=

=

∈

=∑


( )[ ]

( ) ( ) ( )tNtttt

tNtttt

tN

khaùc0

t,tt neáu1tN

1k1i

1iki

ki1ki

i1ki

iki

1ii1i

−

+

++

+−

−+

+

−

−+

−

−=

∈

=

Coâng thöùc BCoâng thöùc B--Splines baäc ba ñeàuSplines baäc ba ñeàu

P1 P2

P5p0

p1 p2

p3

3PP2

p

6PP4P

p

211

2100

+=

++=


P0 P3 P4

6PP4P

p

3P2P

p

3

3213

212

++=

+=

Coâng thöùc BCoâng thöùc B--Splines baäc hai ñeàuSplines baäc hai ñeàu

P1 P2

P5

p2

p1

Pp

2PP

p 010

=

−=


P0 P3 P4

p0

2PP

p

Pp

122

11

−=

=

ÑÖÔØNG CONG HÖÕU TÆÑÖÔØNG CONG HÖÕU TÆ

Ñònh nghóaÑònh nghóa

�Laø ñöôøng cong trong ñoù caùc haøm x(t) vaø y(t) laø caùc haøm ña thöùc höõu tæ


Ñöôøng troøn Ñöôøng ellipse

Ñöôøng ConicÑöôøng Conic

Daïng chuaån

yx

Hyperbola

0 b a, 1by

ax

Ellipse

22

2

2

2

2

>=+


0 a ax4y

Parabola

0 b a, 1by

ax

2

2

2

2

2

>=

>=−

Ñöôøng ConicÑöôøng Conic

Daïng tham soá

( )

( )( )∞∞−∈

+=

+

−=

,t

t1t2

bty

t1t1

atx

Ellipse

2

2

2


( )

( )( )∞∞−∈

−=

−

+=

+

,t

t1t2

bty

t1t1

atx

Hyperbolat1

2

2

2

Ñöôøng Bezier höõu tæ baäc haiÑöôøng Bezier höõu tæ baäc hai

Input p0(x0, y0) vaø troïng soá w0p1(x1, y1) vaø troïng soá w1p2(x2, y2) vaø troïng soá w2Output

p1,w1


p0,w0

p1,w1

p2,w2


Heä toïa ñoä thuaàn nhaát

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

++

+

+

=

2221

210

20

2

2

222

1

1

121

0

0

020

xtBxtBxtB

w

y

x

tB

w

y

x

tB

w

y

x

tB

tw

ty

tx


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

++

++=

2221

210

20

2221

210

20

221100

wtBwtBwtB

ytBytBytB


Heä toïa ñoä ñeà caùc

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2221

210

20

2221

210

20

2221

210

20

2221

210

20

xxx

wtBwtBwtBytBytBytBwtBwtBwtBxtBxtBxtB

ty

tx

++

++

++

++

=


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2221

210

20

2

22

22

1

11

21

0

00

20

2221

210

20

2

222

1

121

0

020

wtBwtBwtBy

xwtB

y

xwtB

y

xwtB

wtBwtBwtBy

xtB

y

xtB

y

xtB

++

+

+

=

++

+

+

=

Bieåu dieãn Conic baèng Bezier höõu tæBieåu dieãn Conic baèng Bezier höõu tæ

Ñöôøng Ellipse

( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0tBatBatB

t1t2b

t1a

ty

tx

22

21

20

2

2

++

+

−

=


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2.tB1.tB1.tBb

0.2.tB

b

a.1.tB

0

a.1.tB

2tBtBtBb2tBbtB0tB

22

21

20

21

21

20

22

21

20

22

21

20

210

++

+

+

=

++

++

=

ÑÖÔØNG CONG NURBSÑÖÔØNG CONG NURBS

Ñònh nghóaÑònh nghóa

�Laø ñöôøng cong phöùc C = {C1, C2, …, Cn-2} vôùi Ci laø caùc ñöôøng cong Bezier höõu tæ


chuong_3c [Compatibility Mode].pdf

Documents