CHƯƠNG VI: ƯỚC LƯỢNG - lopd5h13b.weebly.comlopd5h13b.weebly.com/uploads/9/7/3/1/9731242/chuong_6.pdf · a) Bài toán thuận: 1 tổng thể có tỷ lệ p chưa xác định

Xác suất thống kê

- 56 -

CHƯƠNG VI: ƯỚC LƯỢNG

§1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TỶ LỆ TỔNG THỂ

I. Khái niệm ước lượng khoảng: 1. Định nghĩa Giả sử 1 tổng thể có đặc trưng chưa xác định được ( có thể vì tổng thể quá lớn) . Nếu có số dương ˆ;ˆ1ˆˆ,0 thiPchosao là khoảng ước lượng của với độ tin cậy 1 và độ chính xác . 2. Bài toán tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ tổng thể a) Bài toán thuận: 1 tổng thể có tỷ lệ p chưa xác định được. Chọn ngẫu nhiên từ tổng thể 1 mẫu có kích thước 30n và tỷ lệ mẫu là f. Dùng mẫu đã chọn để tìm khoảng ước lượng của p, biết rằng ước lượng đó có độ tin cậy là 1 . Các bước giải:

Khoảng ước lượng của tỷ lệ tổng thể p: n

fftWithfpf

1

Bước 1: Tìm t từ độ tin cậy cho trước: tt tablefrom

21 .

Bước 2: Tính sai số (Hay độ chính xác) n

fft

1 .

Bước 3: Kết luận: fpf b) Bài toán ngược1:

Xác định độ tin cậy trong ước lượng tổng thể: Từ ước lượng cho tỷ lệ tổng thể, ta xác định được

ffnt

1 tablefrom

tt 21

Xác định kích thước mẫu trong ước lượng tổng thể Cho trước 1 mẫu có kích thước 0n , tỷ lệ mẫu là 0f Giả sử ước lượng của tỷ lệ tổng thể p có độ tin cậy là 1 và độ chính xác cho trước. Ta phải xét 1 mẫu có kích thước n, n là số nguyên dương bé nhất thỏa bất đẳng thức:

2

002 1

fftn

Ví dụ:

Xác suất thống kê

- 57 -

a)Tìm khoảng ước lượng của tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy 95%, biết mẫu được chọn có kích thước n=100 và tỷ lệ mẫu f=5%. b) Mẫu được chọn có kích thước và tỷ lệ như trên. Hãy tìm độ tin cậy của ước lượng tổng thể biết độ chính xác %4 c) Vẫn với mẫu trên. Bây giờ để ước lượng cho 1 tổng thể p với độ tin cậy 99% và độ chính xác 4%, thì mẫu trên không còn phù hợp. Do đó ta phải xét 1 mẫu mới có kích thứơc là bao nhiêu. GIẢI

9342.04671.0221

4671.0)84.105.0105.0

10004.01

)

%27.9%73.00927.00427.005.00073.00427.005.0

0427.0100

05.0105.096.1

96.1475.095.012)

t

tff

ntb

pff

ttta

tablefrom

tablefrom

c) Kích thước mẫu được chọn là số nguyên dương n thỏa bất đẳng thức: 19861.197

04.005.0105.058.21

22

2002

nfftn

BÀI TẬP 1) Tìm hiểu về tỷ lệ phế phẩm của 1 xí nghiệp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm thì thấy có 40 phế phẩm. a) Tìm khoảng ước lượng tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp với độ tin cậy 95%. b) Hãy tìm độ tin cậy của ước lượng về tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp đó, biết rằng ước lượng có độ chính xác 2%. c) Nếu có 1 ước lượng về tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp đó với độ tin cậy 95%, độ chính xác: 2% thì số sản phẩm đã kiểm tra có thích hợp không. Cần phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm nữa.

Xác suất thống kê

- 58 -

2) Đo đường kính của 100 chi tiết do 1 máy sản xuất rat a có kết quả sau:

Đường kính(mm) Số chi tiết 19.80-19.85 3 19.85-19.90 5 19.90-19.95 16 19.95-20.00 28 20.00-20.05 23 20.05-20.10 14 20.10-20.15 7 20.15-20.20 4

Người ta quy định: Những chi tiết có đường kính từ 19.9-20.1(mm) là những chi tiết đạt tiêu chuẩn. a) Hãy ước lượng tỷ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 97%. b)Khi ước lượng tỷ lệ muốn đạt độ chính xác 5%, cần phải đo thêm bao nhiêu chi tiết nữa biết độ tin cậy 99%. 3) Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của 1 kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu. a) Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%. b) Với sai số cho phép 3%. Hãy xác định độ tin cậy. 4) Trái cây sau khi thu hoạch được đóng thành sọt, mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái 0 đạt tiêu chuẩn. a) Hãy ước lượng tỷ lệ trái 0 đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%. b) Nếu ước lượng tỷ lệ trái 0 đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0.5%, thì độ tin cậy bằng bao nhiêu. c) Nếu ước lượng tỷ lệ trái 0 đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 1%, và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sọt. 5) Nghiên cứu sự phát triển của 1 loại cây trồng, người ta tiến hành đo chiều cao X(m) và đường kính Y(cm) được cho ở bảng sau:

Y X

20 24 28 32 36

2 3

Xác suất thống kê

- 59 -

a) Những cây cao từ 6m trở lên gọi là cây loại 1. Hãy ước lượng tỷ lệ cây loại 1 với độ tin cậy 89%. b) Với độ chính xác 3%, thì độ tin cậy là bao nhiêu. c) với độ chính xác 4%, và độ tin cậy 95% thì phải kiểm tra bao nhiêu cây. 6) Tiến hành quan sát về độ chảy X và độ bền Y của 1 loại vật liệu, kết quả cho ở bảng sau:

Để có ước lượng tỷ lệ vật liệu bền với độ chính xác 4%, và độ tin cậy 80% thì phải quan sát bao nhiêu vật liệu. 7) Nghiên cứu 103 cây trồng của 1 vùng, người ta thấy có 38 cây cao từ 6m trở lên. a) Hãy ước lượng cho tỷ lệ cây trồng cao từ 6m trở lên với độ tin cậy 75% b) Hãy tìm độ tin cậy nếu độ chính xác của ước lượng là 2% c) Để có ước lượng tỷ lệ với độ chính xác 4%, và độ tin cậy 80% thì phải quan sát bao nhiêu cây trồng. 8) Để dự đoán số cò thường nghỉ ở vườn nhà mình, người chủ bắt 89 con đeo khoen cho chúng rồi thả đi. Sau 1 thời gian ông bắt ngẫu nhiên 120 con thì có 7 con đeo khoen. Hãy dự đoán số cò giúp ông chủ với độ tin cậy 99%. 9) 1 kho hàng có 10000 sản phẩm của 2 xí nghiệp A& B.Người ta lấy từ kho hàng đó ra 100 sản phẩm thì có 60 sản phẩm của xí nghiệp A Với độ tin cậy 92%. Hãy ước lượng số sản phẩm của xí nghiệp B có trong lô hàng.

3 5 2 3 4 10 8 4 5 14 16 6 10 7 8 7 13

X Y

30-40 40-50 50-60 60-70 70-80

70-90 7 4 90-110 6 13 20 110-130 12 15 10 130-150 8 8 5 3 150-170 1 2 2

Xác suất thống kê

- 60 -

10) Điều tra về số cá có trong hồ, người ta bắt từ hồ lên 300 con đánh dấu rồi thả lại vào hồ. Sau đó người ta bắt lên 500 con thì thấy có 80 con bị đánh dấu, với độ tin cậy 90% .Hãy ước lượng số cá có trong hồ.

Xác suất thống kê

- 61 -

§2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

I. Khái niệm: 1 tổng thể có trung bình tổng thể chưa xác định, chọn ngẫu nhiên từ tổng thể 1 mẫu có kích thước n, trung bình mẫu x và độ lệch mẫu hiệu chỉnh s. Hãy dùng mẫu đã chọn để tìm khoảng ước lượng của . Biết rằng ước lượng đó có độ tin cậy là 1 . GỈAI Với mẫu và độ tin cậy đã cho, khoảng ước lượng tổng thể có dạng: xx ; Trong đó độ chính xác của ước lượng tính theo công thức:

tn

st phụ thuộc 1;n

Trường hợp 1: Nếu 30n thì t được xác định từ pt: 12 t . Trường hợp 2: Nếu 30n và tổng thể là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn thì

1&0 nttPt trong đó t là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Student với n-1 bậc tự do, nghĩa là ta có 011 ntwithntt được tra từ bảng giá trị t với n-1 bậc tự do(phụ lục 5) Chú ý: Nếu bài toán cho phương sai tổng thể 2 thì thay độ lệch mẫu hiệu chỉnh s bởi

như sau: n

t

1.Bài toán thuận: Tìm khoảng ước lượng trung bình tổng thể với độ tin cậy 98%, xét 1 mẫu có kích thước n=100, trung bình mẫu mx 8 ,độ lệch mẫu hiệu chỉnh ms 5.0 GIẢI

mmn

st

ttn tablefrom

1165.01005.033.2

33.249.0100

Vậy khoảng ước lượng của là mm 1165.8;8835.7 Ví dụ: Nếu ta thay mẫu trên bằng mẫu có kích thước n=25 Tìm khoảng ước lượng trung bình tổng thể với độ tin cậy 98%, trung bình mẫu mx 8 ,độ lệch mẫu hiệu chỉnh

ms 5.0 GIẢI:

Xác suất thống kê

- 62 -

mmn

st

ttnttn k

2492.01005.0492.2

492.224102.098.01,3025 24;02.002.002.0

Vậy khoảng ước lượng của là mm 2492.8;7508.7 2. Bài toán ngược1: Xác định độ tin cậy trong ước lượng trung bình tổng thể Nếu 1 mẫu có kích thước n, độ lệch mẫu hiệu chỉnh s cho trước, ta có ước lượng của với

độ chính xác thì1

1

n

n ntn

t

Trường hợp 1: Nếu 30n thì t được xác định từ pt: 12 t . Trường hợp 2: Nếu 30n t được xác định từ 1 ntt (tra bảng phụ lục 5) Ví dụ: Xác định độ tin cậy trong ước lượng trung bình tổng thể biết m1.0 Nếu 1 mẫu có kích thước n=100, độ lệch mẫu hiệu chỉnh s=0.5m cho trước. GIẢI

%46.954773.022125.01001.0

1

1

tntn

tn

n 3.

Bài toán ngược 2 Xác định kích thước mẫu trong ước lượng trung bình tổng thể: Cho trước 1 mẫu có kích thước 0n và phương sai mẫu hiệu chỉnh 2s . Nếu ta có 1 ước lượng trung bình tổng thể với độ tin cậy 12 t và độ chính xác thì ta phải xét 1 mẫu có kích thước tối thiểu n, trong đó n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa bất đẳng

thức: 2

22

stn

Ví dụ: Cho 1 mẫu có n=100, phương sai mẫu hiệu chỉnh 25.02 s . Nếu ta có 1 trung bình tổng thể có độ tin cậy 97% và độ chính xác 0.1m thì ta phải xét 1 mẫu có kích thước tối thiểu

là n thỏa bất đẳng thức: 11872.1171.025.017.2 2

22

22 nstn

Ví dụ:

Xác suất thống kê

- 63 -

Tuổi thọ của 1 loại bóng đèn được coi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn hs 100ˆ a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để kiểm tra thì thấy tuổi thọ trung bình là 1500h. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn đó biết độ tin cậy 95%. b) Nếu ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn đó độ chính xác 15h thì độ tin cậy của loại bóng đèn đó là bao nhiêu. c) Nếu ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn đó độ chính xác 15h và độ tin cậy 98% thì cần kiểm tra bao nhiêu bóng đèn. GIẢI

6.19100

10096.1

96.1475.0100)

nst

ttna tablefrom

Vậy khoảng ước lượng của là hh 9.1519;4.1480

%64.864332.02215.1100

10015)

tntn

tb

24228.24115

1000033.2) 22

2

22 nstnc

Ví dụ: Trọng lượng các bao gạo bán tại 1 cửa hàng lương thực được coi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phương sai 25.02 a) Kiểm tra ngẫu nhiên 25 bao của cửa hàng thì có trọng lượng trung bình là 48kg. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình các bao gạo tại cửa hàng đó với độ tin cậy 95%. b) Nếu ước lượng đó có độ chính xác 200g thì độ tin cậy bằng bao nhiêu. c) Hãy cho biết số bao gạo tối thiểu phải kiểm tra để có 1 ước lượng trung bình của các bao gạo có độ tin cậy 99%, độ chính xác 200g. Biết rằng số bao gạo phải kiểm tra không ít hơn 30 bao. GỈAI

234.0205.0093.2

093.219;05.01905.01505.095.01,3020)

nst

tktnttna

Vậy khoảng ước lượng của là hkg 234.48;766.47

%909.01.012119789.15.0202.0) 1.0

ttntn

tb

426.412.025.058.2) 2

22

22 nstnc

Xác suất thống kê

- 64 -

BÀI TẬP 1) Chiều cao của các thanh niên tại địa phương M là đại lượng ngẫu nhiên

100;165cmNX . Khảo sát ngẫu nhiên chiều cao của 100 thanh niên tại địa phương đó. a) Tính xác suất để chiều cao trung bình của 100 thanh niên được khảo sát vượt quá 168cm b) Tính xác suất để chiều cao trung bình của 100 thanh niên được khảo sát sai lệch so với chiều cao trung bình của thanh niên tại địa phương đó không vượt quá 2cm. c) Nếu muốn xác suất để chiều cao trung bình của những thanh niên được khảo sát sai lệch so với chiều cao trung bình của thanh niên tại địa phương đó nhỏ hơn 1cm là 99% thì số thanh niên được khảo sát chiều cao phải là bao nhiêu người. 2) Sản lượng hằng ngày của 1 phân xưởng là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Qua theo dõi về sản lượng của phân xưởng đó trong 10 ngày ta có kết quả sau: 23; 27; 26; 21; 28; 25; 30; 26; 23; 26 . a) Hãy ước lượng sản lượng trung bình hằng ngày của phân xưởng đó với độ tin cậy 90%. b) Hãy ước lượng phương sai sản lượng hằng ngày với độ tin cậy 99%. GIẢI:

525.110

6352.283.1

6352.2&222.25:

83.1911.09.01,3010) 9;1.01.01.0

nst

sxtablefrom

ttnttna k

Vậy khoảng ước lượng của là 747.26;697.23 3) Trọng lượng các quả trứng tại 1 trại nuôi gà là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có độ lệch chuẩn là 1.5g. Cân thử 100 quả của trại nuôi gà đó ta có số liệu sau:

Trọng Lượng(g)

32 33 34 35 36 37 38 39 40

Số quả trứng

2 3 15 28 30 8 5 5 4

a) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các quả trứng tại trại nuôi gà đó với độ tin cậy 99%.. Nếu ước lượng có độ chính xác 0.35g thì độ tin cậy của ước lượng này là bao nhiêu. b) Những quả trứng có trọng lượng dưới 35g được gọi là trứng loại 2. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của trứng loại 2 với độ tin cậy 98%. c) Nếu ước lượng trọng lượng trung bình của các quả trứng tại trại nuôi gà đó có tin cậy 99% và độ chính xác 0.3g thì cần phải cân thử bao nhiêu quả trứng. GIẢI

Xác suất thống kê

- 65 -

74.35:

387.0100

5.158.2

58.2495.0100)

xtablefromn

st

ttna tablefrom

Vậy khoảng ước lượng của là gg 127.36;353.35

852.0205.154.2

5.1&65.33:

54.219102.098.01,3020

65.33:)

%9849.022133.25.110035.0

19;02.002.002.0

nst

sxtablefrom

ttnttn

xtablefromb

tntn

t

k

Vậy

khoảng ước lượng của là gg 502.34;798.32

1675.1663.05.158.2

58.2495.0100)

2

22

2

22

nstn

ttnc tablefrom

4) Qua nghiên cứu về hàm lượng vitamin của 1 loại trái cây ta có các kết quả cho trong bảng sau

Hàm lượng Vitamin(%)

6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12

Số trái

5 10 20 35 25 5

a) Hãy ước lượng hàm lượng Vitamin trung bình trong mỗi trái của loại trái cây đó với độ tin cậy là 95% b) Những trái cây có hàm lượng vitamin từ 10% trở lên thì gọi là trái cây loại 1. Hãy ước lượng tỷ lệ trái cây loại 1 của loại trái cây đó với độ tin cậy 99%. c) Muốn độ chính xác khi ước lượng hàm lượng vitamin trung bình trong mỗi trái cây là 0.2% và độ chính xác khi ước lượng tỷ lệ trái cây loại 1 là 5%, cả 2 ước lượng đều có độ tin cậy là 95% thì cần phải quan sát thêm bao nhiêu trái cây nữa.

Xác suất thống kê

- 66 -

GIẢI

Hàm lượng Vitamin(%)

6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5

Số trái

5 10 20 35 25 5

238.010021.196.121.1,3.9:

96.1475.0100)

nstsxtablefrom

ttna tablefrom

Vậy khoảng ước lượng của là 538.9;062.9

b) ước lượng tỷ lệ trái loại 1

4182.0;1822.0118.01

58.2495.0,3.010030

pn

fft

ttf tablefrom

1416.140002.00121.096.1

32369.3227.03.005.096.11

96.1475.0)

22

22

2

22

2

122

1

nstn

nfftn

ttc tablefrom

Số trái cây phải quan sát thêm là:323-100=223 5) Năng suất lúa tại 1địa phương nọ là 1 đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Qua theo dõi năng suất lúa trên 1 số hecta trong vụ gặt vừa qua ta có kết quả sau

Năng suất(tạ/ha) 40-42 42-44 44-46 46-48 48-50 50-52

Số hecta 7 13 25 35 30 5 a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình ở địa phương đó với độ tin cậy là 95% b) Những thửa ruộng có năng suất không quá 44 tạ/ha là ruộng có năng suất thấp. Hãy ước lượng năng suất trung bình của những thửa ruộng có năng suất thấp với độ tin cậy 99%. c) Hãy ước lượng tỷ lệ ruộng có năng suất thấp với độ tin cậy 97%.

Xác suất thống kê

- 67 -

GIẢI

Năng suất(tạ/ha)

41 43 45 47 49 51

Số hecta

7 13 25 35 30 5

4607.01155207.296.15207.2,4.46:

96.1475.0115)

nstsxtablefrom

ttna tablefrom

Vậy khoảng ước lượng của là 904.46;9823.45

9259.42;6741.41

6259.020

9787.086.2

86.219101.099.01,3020

9787.0,3.42:)19;01.0

01.001.0

nst

ttnttn

sxtablefrombk

c) ước lượng tỷ lệ cho ruộng có năng suất thấp

2507.0;0973.00767.0

115174.01174.017.21

17.2485.0,174.0

pn

fft

ttf tablefrom

6) Khảo sát trọng lượng X của 1 loại vật nuôi trong nông trại, người ta quan sát 1 mẫu và có kết quả sau:

X(Kg) 28-32 32-36 36-40 40-44 44-48 48-52 52-56 Số con 15 10 15 25 15 10 10

a) ước lượng trọng lượng trung bình của vật nuôi với độ tin cậy: 99%. b) Nếu muốn ước lượng trọng lượng trung bình của vật nuôi trên với độ tin cậy 99%, độ chính xác: 1.5kg thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu con nữa. c) Những con vật có trọng lượng từ 40kg trở lên gọi là những con “đạt tiêu chuẩn” . Hãy ước lượng tỷ lệ những con “đạt tiêu chuẩn” với độ tin cậy 95%.

Xác suất thống kê

- 68 -

GỈAI

X(Kg) 30 34 38 42 46 50 54 Số con 15 10 15 25 15 10 10

892.1100333.758.2333.7,4.41:

58.2495.0100)

nstsxtablefrom

ttna tablefrom

Vậy khoảng ước lượng của là 292.43;508.39

1599.1585.133.758.2

58.2495.0)

2

22

2

22

nstn

ttb tablefrom

Vậy cần phải điều tra thêm 159-100=59 vật nuôi nữa c) ước lượng tỷ lệ những con vật “đạt tiêu chuẩn”

696.0;504.0096.0

1004.06.096.11

96.1475.0,6.0

pn

fft

ttf tablefrom

Xác suất thống kê

- 69 -

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Hành- Trần Đình Ánh. Xác suất Thống Kê. Đại học Lạc Hồng.

[2] GS. Đặng Hấn. Xác suất và Thống Kê Toán. Trường Đại học Kinh Tế TP. HCM.

[3] PGS.TS Phạm Xuân Kiều. Gíao trình Xác suất và Thống Kê Toán. Nhà Xuất Bản Gíao

Dục-2006.

[4] Đặng Hùng Thắng. Bài tập Xác suất. Nhà Xuất Bản Gíao Dục-2008.

[5] Dương Ngọc Hảo-Đinh Xuân Lộc-Lê Cảnh Hường. Xác suất và Thống Kê Toán.

Trường Đại học SPKT TP. HCM-2003