Chuong Ii3

Chương II: TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH

1. Các thông số đặc trưng của tín hiệu

2. Tín hiệu xác định thực

3. Tín hiệu xác định phức

4. Phân tích tín hiệu ra các thành phần

5. Phân tích tương quan tín hiệu

6. Phân tích phổ tín hiệu

7. Truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính

Phân tích phổ tín hiệu


6.1 Phổ của tín hiệu năng lượng

6.2 Phổ của tín hiệu công suất

6.3 Mật độ phổ năng lượng, mật độ phổ công suất



6.1.1 Định nghĩa6.1.2 Các tính chất của phổ6.1.3 Phổ của một số tín hiệu thường gặp

Phổ của tín hiệu năng lượng được xác định bởi biến đổi thuận Fourier. Biến đổi Fourier là một công cụ tóan được định nghĩa là một cặp biến đổi thuận – ngược như sau:

6.1.1 Định nghĩa

[ ]( ) ( ) ( ). j tX F x t x t e dtωω∞

−

−∞

= = ∫[ ]1 1

( ) ( ) ( ).2

j tx t F X X e dωω ω ωπ

∞−

−∞

= = ∫

x(t) và gọi là cặp biến đổi Fourier( )X ω

( ) ( )x t X ω↔Ký hiệu

( ) ( ) ( )( ) ( ) jX X e P jQϕ ωω ω ω ω= = +

• Đặc điểm ( )X ω

trong trường hợp tổng quát là một hàm phức( )X ω

( ) ( ) ( )( ) , , ,X P Qω ϕ ω ω ωphổ pha, phổ thực, phổ ảo.

có tên gọi tương ứng là phổ biên độ

( ) ( )2 2( )X P Qω ω ω= +

( )( )( )

Qarctg

P

ωϕ ω

ω=

6.1.2 Các tính chất của phổ

. ( ) . ( ) . ( ) . ( )a x t b y t a X bYω ω+ ⇔ +

• Nếu x(t) là tín hiệu thực thì P(ω),|X(ω)| là hàm chẵn theo ω, Q(ω),ϕ(ω) là hàm lẽ theo ω

3. Tính chất tuyến tính

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x t X

x t X

x t X

x t X

ωωωω

∗ ∗

∗ ∗

↔− ↔ −

↔ −− ↔

2.

( )( )t

x a X aa

ω↔

4. Tính chất đối xứng

( ) ( )x t X ω↔

5. Tính chất đồng dạng

6. Tính chất dịch chuyển trong miền thời gian

( ) 00( ) j tx t t X e ωω −− ↔

6.1.2 Các tính chất của phổ

( ) 00( ) j tx t t X e ωω+ ↔

( )( ) 2X t xπ ω↔ −

7. Tính chất dịch chuyển trong miền tần số (điều chế)

6.1.2 Các tính chất của phổ (tt)

( )00( ) j tx t e Xω ω ω↔ −

( ) ( )0 0 0

1( )cos

2x t t X Xω ω ω ω ω↔ − + +

( )00( ) j tx t e Xω ω ω− ↔ +

( ) ( )0 0 0

1( )sin

2x t t X X

jω ω ω ω ω↔ − − +


9. Vi phân trong miền thời gian

( )( ) . ( )

nn

n

d x tj X

dtω ω⇔

( ) ( )( ) 1, 2,3...

nn n

n

d Xj t x t n

d

ωω

− ↔ =

8. Vi phân trong miền tần số

( )1: ( )

dXn tx t j

d

ωω

= ↔2

22

( )2 : ( )

d Xn t x t

d

ωω

= ↔ −

11. Tích chập trong miền thời gian

( ) ( ) ( ) ( )x t y t X Yω ω∗ ↔

12. Tích chập trong miền tần số

[ ]1( ). ( ) ( ) ( )

2x t y t X Yω ω

π↔ ∗


10. Tích phân trong miền thời gian1

( ) ( )t

x d Xj

τ τ ωω−∞

=∫


13. Phổ của hàm tương quan và tự tương quan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xy x t y t dt x t y tϕ τ τ∞

∗ ∗

−∞

= − = ∗ −∫Theo định nghĩa ta có

( ) ( ) ( )xyF X Yϕ τ ω ω∗ = Đối với hàm tự tương quan x(t) = y(t)

[ ] 2( ) ( ) ( )xF Xϕ τ ω φ ω= = mật độ phổ năng lượng→

14. Định lý Parseval

1( ) ( ) ( ) ( )

2x t y t dt X Y dω ω ω

π

∞ ∞∗ ∗

−∞ −∞

=∫ ∫

Khi x(t) = y(t) 2 21( ) ( )

2 xx t dt X d Eω ωπ

∞ ∞

−∞ −∞

= =∫ ∫

Đl Parseval cho ta một sự liên hệ giữa năng lượng được xác định trong miền thời gian và miền tần số


2 21( ) ( )

2x t dt X dω ω

π

∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫

6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp

α α−=⊗ ( ) 1( ) ( >0)tx t e t 1

t

0

( )x t

( )X ω

( )ϕ ω

1

α

ω2

π

2

π−

α

α ω− ↔

+11( )te tj

( )ωα ω

=+2 2

1X ( )ϕ ωαω−= − 1tan

ω α ω=+1( )Xj

α αα ω

− ↔+2 2

2te

1

t

( )x t ( )X ω2

α

ω

α−=⊗ ( )t

x t e ( )ω αα ω=

+2 2

2X

6.1.3 Phổ một số tín hiệu thường gặp (tt)

1

t

2T

2T−

)(tx

( )

=⊗ Πt txT

( )X ω

ω2

T

π 4

T

π2

T

π−4

T

π−

1

ω

Π ↔2

t TTSaT

( )ω ω=2TX TSa



ω=⊗0

( ) tx t Sa

0ωω

( )X ω

0ω−

0

πω

Áp dụng tính chất đối xứng ta có:

ω ↔

Π2

TSaTt T

t

1

tx

0ωπ

0

2

ωπ

0

3

ωπ

0ωπ−

0

2

ωπ−

0

3

ωπ−

ωπω ωω

↔ Π0

00 2tSa

ωω0 0

2 Sa t ωπω

↔ Π 0

22


=Λ⊗ ( ) tx tT

1

tTT−

)(tx ( )X ω

2

T

π 3

T

π 4

T

π2

T

π−3

T

π−4

T

π−

ω

T

( )

( )2

x

TSaT

TT

t Tx t

ττ

ω

ϕ

↔

= Λ

=Π

Áp dụng tính chất phổ của hàm tự tương quan ta có:

2

2T

F T TSaTτ ω ⇒ Λ =

ω

Λ ↔ 2

2Tt TSa

T

ω=⊗ 20

( ) tx t Sa

t

1

tx

0ωπ

0

2

ωπ

0

3

ωπ

0ωπ−

0

2

ωπ−

0

3

ωπ−

( )X ω

ω0

2ω0

2ω−

0

πω

ωπω ωω

↔ Λ20

00 2tSa


α−⊗ = 2 2/ 2( ) tex t

( )x t1

t

( )X ω2α π

ω

α α ωπα− −↔2 2 2 22/ 2 / 22te e





6.3 Mật độ phổ năng lượng, mật độ phổ công suất



6.2.1 Phổ của tín hiệu công suất không tuần hòan

6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan

6.2.1 Phổ của tín hiệu công suất không tuần hòan

Các tín hiệu công suất không có phổ Fourier thông thường. Để tìm phổ của tín hiệu công suất không tuần hòan, ta có thể biểu diễn nó bởi giới hạn của một dãy tín hiệu năng lượng.

{ }0

( ) lim ( )x

x t x tα→=

Mỗi phần tử có phổ Fourier( )x tα

{ }0

( ) lim ( )X Xααω ω

→=

( )( )X F x tα αω =

→ Phổ Fourier giới hạn

Tín hiệu CS x(t) được biểu diễn qua dãy tín hiệu năng lượng sau:

Nếu tồn tại giới hạn của dãy phổ thì ta sẽ có phổ của

tín hiệu x(t):

{ }( )Xα ω

a. Tín hiệu công suất không tuần hòan (tt)

( )δ⊗ =( ) tx t ( )tδ

t

1 ( )X ω

ω

( ) α

αδ

πα−

→

=

2 2/ 2

20

1lim

2

tt e

α α ω

πα− −↔

2 2 2 2/ 2 / 2

2

1

2

te e

( ) { }α ω

αω −

→= =

2 2 / 2

0lim 1X e

Chọn dãy hàm gần đúng của δ(t) là dãy hàm Gausse

Các phần tử của dãy có ảnh Fourier là:

Phổ của δ(t):

( )δ ↔ 1t


⊗ =( ) 1x t

t

1 ( )x t ( )X ω

ω2π

(tính chất đối xứng)

=⊗ ( ) gn( )x t S t

1t

0

)(tx

-1

( )X ω

ω

( ) { }0

lim sgn( ) tx t t e α

α

−

→=

( ) ( ) ( )0

2 20

21 1t j t t j t j

X e e dt e e dtα ω α ωα

ωωα ω

∞− − −

−∞

−= − + =+∫ ∫

( ) 2 20

2 2lim

jX

jα

ωωα ω ω→

− = = +

( )ωπδ↔1 2

ω↔ 2gn( )

jS t


=⊗ ( ) 1( )x t t1

t0

)(tx ( )X ω

ω( ) 1 11 sgn( )

2 2t t= +

áp dụng kết qủa của hai ví dụ trên ta có: ( ) ( ) 1Xj

ω πδ ω ω= +

( ) ( )ω πδ ω ω πδ ω ωω ω ω ω

↔ − + + + +− +⊗ 1 11cos 1( ) 0 0( ) ( )0 2 0 0t t

j j

( ) ( )π π ωω δ ω ω δ ω ω ω ω+↔ − − +−

⊗ 00 00 2

02 2sin 1( )t

j jt

(áp dụng định lý điều chế cho tín hiệu 1(t)

( )πδ ω ω↔ + 11( )tj

( ) ( )π π ωω δ ω ω δ ω ω ω ω+↔ − + +−0 00 2

0

.1( )2 2

cos t t j

6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan

Để tìm phổ của tín hiệu tuần hòan ta biểu diễn chúng dưới dạng chuỗi Fourier.

0( ) jn tn

n

x t X e ω∞

=−∞

= ∑0

0

1( )

Tjn t

nX x t e dtT

ω−= ∫

0

2, 0; 1; 2...n

T

πω = = ± ±

ω πδ ω ω↔ −002 ( )jn te nTa có:

Phổ Fourier giới hạn của tín hiệu tuần hòan

Tín hiệu TH x(t) được biểu diễn thành chuỗi Fourier phức sau:

( )ω π δ ω ω∞

=−∞

= −∑ 02 ( )nn

X X n (1)

6.2.2 Phổ của tín hiệu tuần hòan (tt)

Các tín hiệu tuần hòan đặc biệt:

0( ) cosx t tω=⊗

( ) ( )0 0( )X ω πδ ω ω πδ ω ω= − + +

0( ) sinx t tω=⊗

( ) ( )0 0( )X j jω πδ ω ω πδ ω ω= − − + +

0( ) j tx t e ω=⊗

( )0( ) 2X ω πδ ω ω= −

(Áp dụng tính chất điều chế)


Ví dụ 1: Phổ của dãy xung vuông góc đơn cực

/2τ/2τ−

A

t......

T-T

x(t) 5T τ=

Ta có hệ số khai triển Fourier

0 0

/ 2 / 20

/ 2 / 2

1( )

2

Tjn t jn t

n

T

nA AX x t e dt e dt Sa

T T T

τω ω

τ

ω ττ− −

− −

= = =∫ ∫

( ) ( )02n

A nX Sa n

T T

τ πτω π δ ω ω∞

=−∞

= −∑

( )X ω

2

T

π 2πτ

4πτ

2

T

π−2πτ

−4πτ

−

ω

2TA τπ

0

2

T

πω =


Ví dụ 2: Phổ của phân bố lược

...... t

0 T 2T 3T-T-2T

1 ||| tT T

( ) 0

/ 2

/ 2

1 1Tjn t

n

T

X t e dtT T

ωδ −

−

= =∫

( ) ( )0

12

n

X nT

ω π δ ω ω∞

=−∞

= −∑

......

0

1T

0ω

( )X ω

02ω02ω− 0ω−

ω


Nhận xét:Gọi xT(t) = x(t)Π(t/T) là phần trung tâm của tín hiệu tuần hòan x(t). THTH x(t) sẽ được biểu diễn bởi tích chập của xT(t) và phân bố lược.

1( ) ( ) |||T

tx t x t

T T = ∗

Với xT(t) là THNL thời hạn hữu hạn (-T/2,T/2) sẽ có phổ Fourier là XT(ω) = F[xT(t)]

và ( )0

1 1||| 2

n

tn

T T Tπ δ ω ω

∞

=−∞

↔ − ∑


Theo tính chất về phổ của tích chập ta có:

( ) ( ) ( )0

1 1||| .2T T

n

tx t X n

T T Tω π δ ω ω

∞

=−∞

∗ ↔ − ∑

Hay

( ) ( ) ( )002 T

n

X nX n

T

ωω π δ ω ω

∞

=−∞

= −∑ (2)

Từ (1), (2) → ( )0Tn

X nX

T

ω=


Tính chất:

{ }{ }

{ }

( )

( )

( )

n

n

n

x t X

x t X

x t X

−

−

∗ ∗

∗ ∗

− ↔

↔

− ↔

2.

{ }( ) nx t X↔ { }( ) ny t Y↔

n n

n n

X X

ϕ ϕ−

−

== −

1.

{ } { }3. . ( ) . ( ) . .n na x t b y t a X b Y+ ↔ +

{ }4. ( ) ; a R(-0)n

tx a Xa

↔ ∈

{ }005. ( ) jn t

nx t t X e ω−− ↔

{ }06. ( ) jn tn mx t e Xω−↔

( ) { }7. ( ) n nx y t X Yτ τ− ↔

( ) ( )8. i n ii

x t y t X Y∞

−=−∞

↔ ∑

( ) { }( ) ( ) { }2

x

9. ( )

( )

n n

n

x y t X Y

x x t X

τ τ

ψ τ τ τ

∗ ∗

∗

− ↔

= − ↔

( )

2 2 22x 0

1

10. ( )

P ( ) 2

n nn

n nn n

x t y t X Y

x t X X X

∞∗

=−∞

∞ ∞

=−∞ =

=

= = = +

∑

∑ ∑


6.3 Mật độ phổ năng lượng – Mật độ phổ công suất

6.3.1 Mật độ phổ năng lượng

6.3.2 Mật độ phổ công suất

a. Tín hiệu công suất không tuần hòan

b. Tín hiệu tuần hòan



Mật độ phổ năng lượng của tín hiệu năng lượng là đại lượng ( ) ( )φ ω ω=

2X

Theo tính chất của phổ(tc 13) ta có: ( ) ( )ϕ τ ω↔2

x X

Như vậy ϕ(τ) và φ(ω) là cặp biến đổi Fourier

( ) ( ) ωτφ ω ϕ τ τ∞

−

−∞

= ∫ jx e d

( ) ( ) ωτϕ τ φ ω ωπ

∞

−∞

= ∫1

2j

x e d

Với tín hiệu thực, HTTQ chẵn, do đó mật độ phổ năng lượng cũng là hàm chẵn theo ω .

6.3.1 Mật độ phổ năng lượng (tt)

Như vậy năng lượng của TH có thể được xác định theo 3 cách sau:

Khi thay τ = 0 vào HTTQ ta có:

( ) ( )ϕ φ ω ωπ

∞

−∞

= = →∫1

02x xd E Năng lượng của TH được xác

định trong miền tần số

(1) Tính trực tiếp từ tích phân bình phương tín hiệu Ex = [x2].

(2) Tính từ hàm tự tương quan Ex= ϕ(0).

( ) ( )φ ω ω φ ωπ π

∞ ∞

−∞

= =∫ ∫0

1 1

2xE d ( k h i φ c h ẵn )

(3) Tính từ mật độ phổ năng lượng

Năng lượng một dải tần ∆ω = ω2- ω1

( ) ( ) ( )ω ω ω

ω ω ω

φ ω ω φ ω ω φ ω ωπ π π

−

−

= + → =∫ ∫ ∫1 2 2

2 1 1

1 1 1

2 2x xE d d E d( khi φ chẵn)



Ví dụ: Tìm mật độ phổ năng lượng và năng lượng của tín hiệu x(t) = e-αt1(t) (α>0)

Ta có: ( )ωα ω

=+1

Xj

( )φ ωα ω

⇒ =+2 2

1

( ) ( ) α τϕ τ φ ωα

−− = = 1 1

2F e

α⇒ = 1

2xE

Năng lượng tín hiệu trong dải tần :ω α α

∆ =

3,

3

( )α

α

ω ωπ α ω α

∆ = = =+∫ 2 2

3

3

1 1 1 1

12 6x xE d E


Mật độ phổ năng lượng tương hỗ:

( ) ( ) ( ) ωτφ ω ϕ τ ϕ τ τ∞

−

−∞

= = ∫ jxy xy xyF e d

( ) ( ) ( ) ωτϕ τ φ ω φ ω ωπ

∞−

−∞

= = ∫1 1

2j

xy xy xyF e d

( ) ( )φ ω ϕ τ = yx yxF

( ) ( )ϕ τ φ ω− = 1

yx yxF

Tương tự:

( ) ( )φ ω φ ω∗=xy yx

Bởi vì HTQ có tính chất nên( ) ( )ϕ τ ϕ τ∗= −yxxy

6.3 Mật độ phổ năng lượng – Mật độ phổ công suất






6.3.2 Mật độ phổ công suất a. Tín hiệu công suất không tuần hòan

Ta có HTTQ của THCS x(t):

( ) ( ) ( )/ 2

/ 2

1lim

T

TT

x t x t dtT

ψ τ τ∗

→∞−

= −∫

( ) ( ) ( ) ωτψ τ τ τ∗ −

→∞− −

= −

∫ ∫/ 2 / 2

/ 2 / 2

1lim

T Tj

TT T

F x t x t dt e dT

( )/ 2

/ 2

1lim

Tj t

TTT

e dT

ωϕ τ τ−

→∞−

= ∫ ( ) ( )1lim TT T

φ ω ψ ω→∞

= =

Phổ Fourier giới hạn

( ) ( ) ωττ τ∗ −

→∞− −

= −

∫ ∫/ 2 / 2

/ 2 / 2

1lim

T Tj

TT T

x t x t dt e dT

Như vậy HTTQ và mật độ phổ CS là cặp biến đổi Fourier giới hạn ( ) ( )ϕ τ ψ ω↔

trong đó φT(ω) là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu xT(t) = x(t)Π(t/T) tức x(t) được xét trong khỏang thời gian T


( ) ( )φ ωψ ω

→∞= lim T

T Tvà


Công suất của TH

→∞−

= ∫/ 2

2

/ 2

1lim ( )

T

x TT

P x t dtT

( )ψ ω ωπ

∞

−∞

→ = ∫1

2xP d

Tín hiệu xT(t) có năng lượng :

( )φ ω ωπ

∞

− −∞

= =∫ ∫/ 2

2

/ 2

1( )

2T

T

x T

T

E x t dt d

Công suất của x(t) được xác định theo biểu thức sau:

( )φ ω ωπ

∞

→∞−∞

= ∫1 1

lim2 TT

dT

( ) ( )φ ω ω ψ ω ωπ π

∞ ∞

→∞−∞ −∞

= =∫ ∫1 1 1

lim2 2TT

d dT

Như vậy CS của tín hiệu có thể được xác định theo các cách sau:

(1) Tính trực tiếp từ trị trung bình bình phương tín hiệu Px = <x2>.

(2) Tính từ hàm tự tương quan Px= ψ(0).

(3) Tính từ mật độ phổ công suất

( ) ( )ψ ω ω ψ ω ωπ π

∞ ∞

−∞

= =∫ ∫0

1 1

2xP d d ( khi ψ chẵn)

( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω

ω ω ω

ω ψ ω ω ψ ω ω ψ ω ωπ π π

−

−

∆ = + =∫ ∫ ∫1 2 2

2 1 1

1 1 1

2 2xP d d d



Theo tính chất của phổ ta có:

( ) { }ψ τ ↔ 2

x nX

Như vậy, mật độ phổ công suất của THTH:

( ) ( ) ( )ψ ω π δ ω ω π ψ δ ω ω∞ ∞

=−∞ =−∞

= − = −∑ ∑2

0 02 2x n nn n

X n n

ψ = 2

n nX là hệ số khai triển Fourier của HTTQ

Mật độ phổ công suất của THTH là phổ của HTTQ

Công suất được xác định từ mật độ phổ công suất :

( ) ( )ψ ω ω δ ω ω ωπ

∞ ∞∞ ∞

=−∞ =−∞−∞ −∞

= = − =∑ ∑∫ ∫2 2

0

1

2x n nn n

P d X n d X

ψ∞

=−∞

= ∑x nn

P

ψ ψ∞

=

= + ∑01

2x nn

P

Với tín hiệu thực, phổ biên độ là hàm chẵn, do đó

b. Tín hiệu tuần hòan (tt)

Chuong Ii3

Education