BK03HTÐ CHƯƠNG 5: SYMBOLIC MATH TOOLBOXES §1. KHÁI NIỆM CHUNG Symbolic Math Toolboxes kếthợp tính toán bằng chữ vào môi trường MATLAB. Các toolbox này bổ sung các tiện ích số và đồ thị với các kiểu tính toán toán học khác nhau. Tiện ích Nội dung Calculus đạo hàm, tích phân, giớihạn, tổng và chuỗi Taylor Linear Algebra nghịch đảo, định thức,giá trị riêng, phân tích và dạng chính tắccủa ma trận. Simplification phương pháp rút gọn các biểu thức đạisố Solution of Equations giảibằng chữ và bằng số các phương trình đạisố và vi phân Variable‐Precision Arithmetic đánh giá độ chính xác của các biểu thức đạisố Transform biến đổi Laplace, Fourrier và z Special Mathematical Function các hàm toán học đặc biệtcủa các ứng dụng toán học kinh điển Động lực tính toán nằmdưới các toolbox là nhân Maple, mộthệ thống tính toán được phát triển đầu tiên ở trường đạihọc Waterloo, Canada và sau đótại Eidgenroessiche Technische Hochschule Zurich, Thuỵ sĩ. Maple được thương mại hoá và hỗ trợ của công ty Waterloo Maple. §2. KHỞI ĐỘNG TOOLBOX 1. Các đốitượng chữ: Trong phần này chúng ta sẽ xem xét cách tạo và dùng các đốitượng chữ. Chúng ta cũng sẽ xem xét các biến chữ mặc định. Symbolic Math Toolbox định nghĩamột kiểudữ liệu MATLAB mớigọi là đốitượng chữ hay sym. Bên trong, một đốitượng chữ là mộtcấu trúc số liệu mà nó lưu biểu diễn chuỗi các kí tự. Symbolic Math Toolbox dùng các đốitượng chữ để biểu diễn các biến chữ, các biểu thức chữ, các ma trận chữ. 2. Tạo các biến và các biểu thức chữ:Lệnh sym cho phép ta xây dựng các biến và các biểu thức chữ. Ví dụ lệnh: 85
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BK03HTÐ
CHƯƠNG 5: SYMBOLIC MATH TOOLBOXES
§1. KHÁI NIỆM CHUNG Symbolic Math Toolboxes kết hợp tính toán bằng chữ vào môi trường MATLAB. Các toolbox này bổ sung các tiện ích số và đồ thị với các kiểu tính toán toán học khác nhau.
Tiện ích Nội dung Calculus đạo hàm, tích phân, giới hạn, tổng và chuỗi
Taylor Linear Algebra nghịch đảo, định thức,giá trị riêng, phân tích và
dạng chính tắc của ma trận. Simplification phương pháp rút gọn các biểu thức đại số Solution of Equations giải bằng chữ và bằng số các phương trình đại số
và vi phân Variable‐Precision Arithmetic
đánh giá độ chính xác của các biểu thức đại số
Transform biến đổi Laplace, Fourrier và z Special Mathematical Function
các hàm toán học đặc biệt của các ứng dụng toán học kinh điển
Động lực tính toán nằm dưới các toolbox là nhân Maple, một hệ thống
tính toán được phát triển đầu tiên ở trường đại học Waterloo, Canada và sau đó tại Eidgenroessiche Technische Hochschule Zurich, Thuỵ sĩ. Maple được thương mại hoá và hỗ trợ của công ty Waterloo Maple.
§2. KHỞI ĐỘNG TOOLBOX 1. Các đối tượng chữ: Trong phần này chúng ta sẽ xem xét cách tạo và dùng các đối tượng chữ. Chúng ta cũng sẽ xem xét các biến chữ mặc định. Symbolic Math Toolbox định nghĩa một kiểu dữ liệu MATLAB mới gọi là đối tượng chữ hay sym. Bên trong, một đối tượng chữ là một cấu trúc số liệu mà nó lưu biểu diễn chuỗi các kí tự. Symbolic Math Toolbox dùng các đối tượng chữ để biểu diễn các biến chữ, các biểu thức chữ, các ma trận chữ. 2. Tạo các biến và các biểu thức chữ: Lệnh sym cho phép ta xây dựng các biến và các biểu thức chữ. Ví dụ lệnh:
tạo ra các biến chữ là x và a với x là x và a là alpha. Giả sử ta muốn ta muốn dùng biến chữ để biểu diễn tỉ lệ vàng
251+
=ρ . Ta dùng lệnh:
rho = sym(ʹ(1 + sqrt(5))/2ʹ) Bây giờ ta có thể thực hiên các phép toán khác nhau với rho. Ví dụ :
f = rho^2 ‐ rho ‐ 1 f =
(1/2+1/2*5^(1/2))^2‐3/2‐1/2*5^(1/2) Ta rút gọn biểu thức: simplify(f) ans =
0 Bây giờ giả sử ta muốn giải phương trình bậc 2 cbxaxf 2 ++= . Phát biểu:
f = sym(ʹa*x^2 + b*x + cʹ) gán biểu thức chữ ax2 + bx + c cho biến f. Tuy nhiên trong trường hợp này Symbolic Math Toolbox không tạo ra các biến tương ứng với các số hạng a, b, c và x trong biểu thức. Để thực hiện các phép toán bằng chữ(ví dụ tích phân, đạo hàm, thay thế v.v) trên f ta phải tạo các biến một cách rõ ràng, nghĩa là cần viết:
a = sym(ʹaʹ) b = sym(ʹbʹ) c = sym(ʹcʹ) x = sym(ʹxʹ)
hay đơn giản là : syms a b c x
Nói chung là ta có thể dùng sym hay syms để tạo các biến chữ nhưng nên dùng syms để tiết kiệm thời gian. 2. Biến đổi giữa số và chữ: a. Tạo các biến thực và phức: Lệnh sym cho phép ta mô tả các thuộc tính toán học của các biến chữ bằng cách dùng tuỳ chọn real. Phát biểu:
e. Biến chữ mặc định: Khi dùng các hàm toán học,việc chọn các biến độc lập thường rất rõ ràng. Ví dụ xem bảng sau:
Hàm toán học Lệnh MATLAB
f = xn f = x^n g = sin(at+b) g = sin(a*t+b) h = Jv(z) h = besselj(nu,z)
Nếu ta tìm đạo hàm của các hàm này nhưng không mô tả biến độc lập
(nghĩa là đạo hàm theo biến nào) thì kết quả là: f’ = nxn‐1 gʹ = acos(at + b) hʹ =J v (z)(v/z)‐Jv+1(z). Như vậy các biến độc lập là x, t và z. MATLAB hiểu các biến độc lập là
các chữ thường và nằm ở cuối bảng chữ cái như x, y, z. Khi không thấy các chữ cái này, MATLAB sẽ tìm chữ gần nhất và coi đó là biến độc lập. Các biến khác như n, a, b và v được coi là hằng hay thông số. Tuy nhiên ta có thể lấy đạo hàm của f theo n bằng cách viết rõ biến độc lập ra. Ta dùng các lệnh sau để tạo ra các hàm( lưu trong ct5_2.m):
syms a b n nu t x z f = x^n; g = sin(a*t + b); h = besselj(nu,z);
Để đạo hàm hàm f ta viết: diff(f); ans = x^n*n/x Trong ví dụ trên x là biến độc lập. Nếu muốn tính đạo hàm của f theo n ta cần viết:
diff(f,n) ans = x^n*log(x) 4. Tạo các hàm toán học bằng chữ:
r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) t = atan(y/x) f = sin(x*y)/(x*y)
tạo ra các biểu thức chữ r, t và f. Ta có thể dùng các lệnh diff, int, subs hay các lệnh Symbolic Math Toolbox khác để xử lí các biểu thức như vậy.
b. Tạo các M‐file: M‐file cho phép ta dùng các hàm tổng quát hơn. Ví dụ ta muốn tạo ra hàm sinc = sin(x)/x ta sẽ viết một M‐file (sinc.m) có nội dung như sau:
function z = sinc(x) if isequal(x,sym(0)) z = 1; else z = sin(x)/x; end
Ta có thể mở rộng các ví dụ như vậy cho các hàm và biến khác nhau.
§3. TÍNH TOÁN 1. Đạo hàm: Ta tạo biểu thức chữ:
syms a x f = sin(a*x)
Vậy thì: df = diff(f)
tính đạo hàm của hàm f(x) theo x. Kết quả là: df =
–cos(l)*r^2 Chú ý là đối số thứ nhất của hàm jacobian phải là vec tơ cột và đối số thứ hai là vec tơ hàng. Hơn nữa do định thức của ma trận Jacobian là biểu thức lượng giác khá phức tạp nên ta dùng lệnh simple để thay thế và rút gọn. Bảng sau tổng hợp hàm diff và hàm jacobian
Toán tử toán học Lệnh MATLAB f = exp(ax + b) syms a b x
f = exp(a*x + b)
dxdf diff(x) hay
diff(f,x)
dadf diff(f,a)
adfd
2
2
diff(f,a,2)
r = u2 + v2
t = arctan(v/u) syms r t u v r = u^2 + v^2 t = atan(v/u)
)v,u()t,r(J
∂∂
= J = jacobian([r ; t],[u , v])
2. Giới hạn: Đạo hàm của một hàm là giới hạn sau đây nếu nó tồn tại :
Symbolic Math Toolbox cho phép giới hạn của một hàm một cách trực tiếp hơn. Lệnh:
syms h n x dc = limit( (cos(x+h) – cos(x))/h,h,0 )
cho kết quả: dc =
–sin(x) và :
limit( (1 + x/n)^n,n,inf ) cho:
ans = exp(x)
minh hoạ 2 trong số các giới hạn quan trọng của toán học:đạo hàm(trong trường hợp cosx) và hàm mũ. Trong khi nhiều giới hạn :
)x(flimax→
là “hai phía”(nghĩa là kết quả như nhau cho dù x tiến tới bên phải hay bên trái của a) lại có những hàm giới hạn phải và trái khác nhau. Do đó 3 giới hạn:
x1lim,
x1lim,
x1lim
0x0x0x +→−→→
cho 3 kết quả khác nhau: không xác định , ‐∞ và +∞ Trong trường hợp không tồn tại gới hạn Symbolic Math Toolbox trả về kết quả NaN. Ví dụ:
limit(1/x,x,0) cho:
ans = NaN
Lệnh: limit(1/x,x,0,ʹleftʹ)
cho: ans =
–inf Lệnh:
limit(1/x,x,0,ʹrightʹ) cho:
ans = inf
Như vậy limit(f) tương đương với limit(f,x,0). Bảng sau cho các giới hạn:
a. Các vấn đề chung: Nếu f là một biểu thức chữ thì int(f) tìm một biểu thức khác F sao cho diff(F) = f. Như vậy int(f) cho ta tích phân bất định của f. Tương tự như đạo hàm int(f,v) lấy tích phân theo biến độc lập v. Ta có bảng sau:
Hàm toán học Lệnh MATLAB
1nxdxx
1nn
+=
+
∫ int(x^n) hay int(x^n,x)
∫
π
=2
0
1dx)x2sin( int(sin(2*x),0,pi/2) hay int(sin(2*x),x,0,pi/2)
g = cos(at+b)
∫ += )batsin(a1dt)t(g
g = cos(a*t + b) int(g) hay int(g,t)
)z(Jdz)z(J 01 −=∫ int(besselj(1,z) hay int(besselj((1,z),z)
Khi MATLAB không tìm được tích phân nó viết lại lệnh đã nhập vào.
b. Tích phân với hằng số thực: Một trong các vấn đề khi tính tích phân là giá trị của các thông số. Ta xét hàm . Hàm này rõ ràng là có giá trị dương với mọi k và x và có dạng hình chuông. Giá trị của hàm tiến đến 0 khi x→±∞
với mọi số thực k. Ta lấy ví dụ
2)kx(e−
21k = và vẽ đồ thị của hàm bằng các lệnh (
lưu trong ct5_6.m): syms x k = sym(1/sqrt(2)); f = exp(–(k*x)^2); ezplot(f)
Tuy nhiên nhân Maple không coi k2 và x2 là những số dương mà chỉ là các biến
hình thức, không có thuộc tính toán học. Do vậy khi tính bằng các
lệnh:
dxe2)kx(∫
∞
∞−
−
syms x k; f = exp(–(k*x)^2); int(f,x,–inf,inf)
kết quả sẽ là: Definite integration: Canʹt determine if the integral is convergent. Need to know the sign of ‐‐> k^2 Will now try indefinite integration and then take limits. Warning: Explicit integral could not be found. ans = int(exp(–k^2*x^2),x= –inf..inf)
Trong phần sau chúng ta sẽ xét cách làm cho MATLAB hiểu rằng k là số thực và do đó coi k2 là số dương.
c. Các biến thực theo sym: Chú ý là Maple không thể xác định được dấu của k2. Vậy chúng ta giải quyết khó khăn này như thế nào? Câu trả lời là làm cho k trở thành số thực bằng dùng lệnh sym. Một đặc điểm có ích của sym gọi là tuỳ chọn real cho phép ta khai báo k là biến thực. Do vậy tích phân trên hoàn toàn tính được trong toolbox nhờ các lệnh:
syms k real int(f,x,–inf,inf)
kết quả là: ans = signum(k)/k*pi^(1/2)
Chú ý là k bây giờ là đối tượng chữ trong vùng làm việc của MATLAB và là biến thực trong vùng làm việc của Maple. Khi nhập lệnh: clear k ta chỉ xoá được k trong vùng làm việc của MATLAB. Muốn là cho k không còn là số thực trong vùng làm việc của Maple ta phải dùng lệnh:
t = taylor(g,12,2) tạo ra khai triển Taylor của f(x) tại x = 2 và chứa đến 12 số hạng khác 0. Ta vẽ các hàm này lên cùng một đồ thị để thấy được khả năng xấp xỉ của chuỗi Taylor với hàm thực g (lưu trong ct5_8.m):
xd = 1:0.05:3; yd = subs(g,x,xd); ezplot(t, [1,3]); hold on; plot(xd, yd, ʹr‐.ʹ) title(ʹXap xi Taylor ʹ); legend(ʹHamʹ,ʹTaylorʹ)
Tiếp đó ta dùng lệnh:
1 1.5 2 2.5 31
2
3
4
5
6
x
Xap xi Taylor
Ham Taylor
pretty(T) để in kết quả dưới dạng các biểu thức toán học dễ đọc. 6. Tính toán mở rộng: Ta xét hàm:
xcos451)x(f
+=
Các lệnh: syms x f = 1/(5+4*cos(x))
lưu biểu thức chữ định nghĩa hàm f(x). Symbolic Math Toolbox cung cấp một bộ các lệnh dễ dùng để vẽ đồ thị các biểu chữ, bao gồm các đường cong trong mặt phẳng(ezplot), các đường đẳng mức(ezcontour và ezcontourf), các mặt cong(ezsurf, ezsurfc, ezmesh và ezmeshc), đồ thị trong toạ độ cực(ezpolar) và đường cong dưới dạng thông số
(ezplot và ezplot3) và mặt dưới dạng thông số (ezsurf). Trong phần này chúng ta xem cách dùng hàm ezplot vẽ đồ thị hàm f(x). Đồ thị của hàm như sau: Phạm vi mặc định khi vẽ đồ thị của hàm là [‐2π ÷ 2π ]. Để chỉ cụ thể phạm vi vẽ đồ thị ta dùng lệnh:
ezplot(f,[a b]) Lúc này đồ thị của hàm được vẽ trong đoạn [a, b]
Bây giờ ta tìm đạo hàm bậc 2 của f(x): f2 = diff(f,2) f2 =
32/(5+4*cos(x))^3*sin(x)^2+4/(5+4*cos(x))^2*cos(x) Ta có thể nhập lệnh:
f2 = diff(f,x,2). Ta vẽ đồ thị của f2:
ezplot(f2) axis([–2*pi 2*pi –5 2])
Từ đồ thị ta thấy rằng giá trị của f”(x) nằm trong khoảng [‐4 , 1]. Giá trị max và min của f”(x) xuất hiện tại f”’(x)=0. Phát biểu:
f3 = diff(f2); cho
32/(5+4*cos(x))^3*sin(x)^2+4/(5+4*cos(x))^2*cos(x) và :
pretty(f3) cho:
234
3
))xcos(45()xsin(4
))xcos(45()xcos()xsin(96
))xcos(45()xsin(384
+−
++
+
Ta rút gọn f3 và viết lại dưới dạng dễ đọc: f3 = simple(f3); pretty(f3)
Mỗi hàng là một nghiệm của f”’(x). Lệnh: format; zr = double(z)
converts the zeros to double form. zr = 0 0
0 2.4483
–2.4483 Như vậy ta đã tìm được 5 nghiệm. Tuy nhiên đồ thị của f3 cho thấy ta chưa tìm đủ nghiệm của nó (lưu trong ct5_9.m).
ezplot(f3) hold on; plot(zr,0*zr,ʹroʹ) plot([–2*pi,2*pi], [0,0],ʹg‐.ʹ); title(ʹZeros of f3ʹ)
Điều này xảy ra do f”’(x) chứa số hạng sinx, bằng 0 tại các giá trị nguyên lần π nhưng hàm solve(sin(x)) lại chỉ đưa ra giá trị 0 tại x = 0. Chúng ta có thể nhận được tất cả các nghiệm bằng cách biến đổi zr = [0 zr(4) pi 2*pi ‐zr(4)] bằng cách nhân 2π và có zr = [zr‐2*pi zr zr+2*pi] Bây giờ ta vẽ zr đã biến đổi lên đồ thị của f3:
plot(zr,0*zr,ʹkxʹ) Điểm 0 đầu tiên của f”’(x) tìm bởi solve là tại x = 0. Chúng ta thay thế 0 vào biến chữ trong f2: f20 = subs(f2,x,0) để tìm giá trị tương ứng của f”(0). Kết quả là: f20 = 0.0494 Trên đồ thị của f”(x) giá trị này chỉ là cực tiểu địa phương. Ta thể hiểu điều này trên đồ thị bằng các lệnh:
clf ezplot(f2) axis([–2*pi2*pi –4.25 1.25]) ylabel(ʹf2ʹ); title(ʹVe do thi f2 = fʹʹʹʹ(x)ʹ) hold on plot(0,double(f20),ʹroʹ) text(–1,–0.25,ʹLocal minimumʹ)
Từ đồ thị ta thấy rằng điểm cực tiểu xảy ra tại x gần ±π. Ta có thể tính chính xác là điểm cực tiểu đúng tại ±π bằng cách dùng các lệnh theo trình tự sau. Trước hết ta thay ±π vào f”’(x):
simple([subs(f3,x,–sym(pi)),subs(f3,x,sym(pi))]) Kết quả:
ans = [ 0, 0]
Như vậy x = ±π là điểm đặc biệt của f”’(x). Ta thấy rằng x = ±π là điểm cực tiểu toàn cục của f2.
Các phân tích trên cho thấy là phạm vi giá trị của f”(x) là từ [ ‐4 ,1]. Ta tiếp tục kiểm tra các điểm 0 khác cho bởi solve. Trước hết ta tách nghiệm thứ 4 trong z và gán nó cho một biến riêng:
s = z(4) và nhận được kết quả:
s = atan((–255+60*19^(1/2))^(1/2)/(10–3*19^(1/2)))+pi
để thấy được là s là điểm max. Giá trị max này là M1 = 1.0051 Bây giờ ta tích phân f”(x) hai lần bằng lệnh: g = int(int(f2)) và có kết quả:
g = ‐8/(tan(1/2*x)^2+9)
Đây không phải là hàm f(x) ta xét ban đầu. Sai khác giữa g(x) và f(x) là: d = f ‐ g cho ta:
d = 1/(5+4*cos(x))+8/(9+tan(1/2*x)^2)
pretty(d)
2)x2/1tan(98
)xcos(451
++
+
Ta có thể rút gọn d bằng lệnh simple(d) hay simplify(d). Cả hai cho kết quả: ans =
1 Điều này minh hoạ cho khái niệm là đạo hàm hàm f(x) hai lần và rồi tích phân kết quả hai lần ta nhận được một hàm khác với f(x) bởi một hàm tuyến tính của x. Cuối cùng tích phân f(x) một lần ta có: F = int(f)
F = 2/3*atan(1/3*tan(1/2*x))
bao gồm cả hàm arctan.Như vậy F(x) là nguyên hàm của một hàm liên tục nhưng bản thân lại là hàm không liên tục mà có đồ thị như sau:
ezplot(F) Hàm F(x) gián đoạn tại ±π.
§4. RÚT GỌN VÀ THAY SỐ
1. Rút gọn biểu thức: Ta xét 3 biểu thức khác nhau (lưu trong ct5_10.m):
syms x f = x^3‐6*x^2+11*x‐6 g = (x‐1)*(x‐2)*(x‐3) h = x*(x*(x‐6)+11)‐6
Thực hiện các lệnh: pretty(f), pretty(g), pretty(h)
ta nhận được: f = x3 ‐ 6x2 +11x‐6 g = (x‐1)(x‐2)(x‐3) h = x(x(x‐6)+11)‐6 Cả 3 biểu thức này là các dạng biểu diễn toán học khác nhau của cùng một hàm toán học‐đó là đa thức bậc 3 theo x. Mỗi một dạng thích hợp với một dạng tính toán. Dạng thứ nhất f là dạng chung nhất thường được dùng biểu diễn đa thức. Nó đơn giản là một tổ hợp tuyến tính của các số mũ của x. Dạng thứ 2, hàm g, là dạng phân tích thành thừa số. Nó biểu diễn nghiệm của đa thức. Tuy nhiên không phai đa thức nào cũng có nghiệm, nghĩa là có thể phân tích thành thừa số. Dạng thứ 2 là dạng Horner của đa thức. Nó rất tiện dùng để tính trị số của đa thức tại một giá trị nào đó của x. Symbolic Math Toolbox cung cấp một số hàm dùng để biến đổi các biểu thức đại số và lượng giác thành các biểu thức đơn giản hơn. Chúng gồm: collect, expand, horner, factor, simplify, và simple.
a.collect: Phát biểu: collect(f)
xem f như một đa thức gồm các biến chữ x và gộp tất cả các hệ cùng bậc của x. Đối số thứ 2 của chỉ rõ biến định gộp nếu có nhiều iến trong biểu thưc. Sau đây là một số ví dụ:
f collect(f) (x‐1)(x‐2)(x‐3) x^3‐6*x^2+11*x‐6 x*(x*(x‐6)+11)‐6 x^3‐6*x^2+11*x‐6 (1+x)*t + x*t 2*x*t+t
Lệnh pretty thừa kế khái niệm %n(n là một số nguyên) từ Maple để định nghĩa biểu thức con gặp nhiều lần trong đối tượng chữ. Hàm subexpr cho phép ta lưu các biểu thức con này cũng như các đối tượng chữ được viết trong biểu thức con. Các biểu thức con được lưu trong một ma trận cột gọi là sigma. Tiếp tục ví dụ của ta:
r = subexpr(s) cho ta
sigma = ‐108+12*(12*a^3+81)^(1/2) r =
[ 1/6*sigma^(1/3)‐2*a/sigma^(1/3)] [ ‐1/12*sigma^(1/3)+a/sigma^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)+2*a/sigma^(1/3))] [ ‐1/12*sigma^(1/3)+a/sigma^(1/3)‐1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)+2*a/sigma^(1/3))] ta thấy rằng subexpr tạo biến sigma trong vùng làm việc của MATLAB.
b. subs: Ta tìm giá trị riêng và vec tơ riêng của ma trận vòng A(lưu trong ct5_15.m)
syms a b c A = [a b c; b c a; c a b]; [v,E] = eig(A)
v = [ 1, ‐(a+(b^2‐b*a‐c*b‐c*a+a^2+c^2)^(1/2)‐b)/(a‐c), ‐(a‐(b^2‐b*a‐c*b‐c*a+a^2+c^2)^(1/2)‐b)/(a‐c)] [ 1, ‐(b‐c‐(b^2‐b*a‐c*b‐c*a+a^2+c^2)^(1/2))/(a‐c), ‐(b‐c+(b^2‐b*a‐c*b‐c*a+a^2+c^2)^(1/2))/(a‐c)] [ 1, 1, 1] E = [ b+a+c, 0, 0] [ 0, (b^2‐b*a‐c*b‐c*a+a^2+c^2)^(1/2), 0] [ 0, 0, ‐(b^2‐b*a‐c*b‐c*a+a^2+c^2)^(1/2)] Giả sử ta muốn thay biểu thức khá dài:
(b^2‐b*a‐c*b‐c*a+a^2+c^2)^(1/2) trong v và E. Trước hết ta dùng subexpr:
Sau đó thay S vào E: E = subs(E,S,ʹSʹ) E = [ S, 0, 0] [ 0, ‐S, 0] [ 0, 0, b+c+a]
Bây giờ giả sử ta muốn tính v khi a = 10. Ta dùng lệnh sau: subs(v,a,10)
sẽ thay các biến a trong v bằng số 10: [ ‐(10+S‐b)/(10‐c), ‐(10‐S‐b)/(10‐c), 1] [ ‐(b‐c‐S)/(10‐c), ‐(b‐c+S)/(10‐c), 1] [ 1, 1, 1]
Chú ý là các biểu thức có S không bị ảnh hưởng gì cả,nghĩa là biến a trong S không được thay bằng 10. Hàm subs là hàm hữu ích để thay thế nhiều giá trị của nhiều biến trong một biểu thức. Ta xem S. Giả sử ngoài việc thay a =10 ta cũng muốn thay giá trị b = 2 và c = 10 vào biểu thức. Cách đơn giản nhất là đặt giá trị a, b, c trong vùng làm việc của MATLAB. Sau đó subs sẽ tính kết quả.
a = 10; b = 2; c = 10; subs(S) ans =
8 Lệnh subs có thể kết hợp với lệnh double để tính trị số của một biểu thức chữ. Giả sử ta có:
syms t M = (1‐t^2)*exp(‐1/2*t^2); P = (1‐t^2)*sech(t);
và muốn xem trên đồ thị P và M khác nhau như thế nào. Ta dùng các lệnh (ly ct5_16.m):
Đây là vec tơ chữ mà các phần tử của nó là 2 nghiệm của phương trình. Nếu ta muốn tìm nghiệm với một biến được mô tả, ta phải chỉ rõ biến như một thông số phụ. Ví dụ nếu ta muốn giải S theo b thì phải viết:
b = solve(S,b) và nhận được kết quả:
b = ‐(a*x^2+c)/x
Chú ý rằng ví dụ này giả thiết phương trình có dạng f(x) = 0. Nếu ta muốn giải phương trình có dạng f(x) = q(x) ta phải sử dụng chuỗi. Đặc biệt lệnh:
Ta tính giá trị số của nghiệm: double(s) ans = 2.24697960371747 + 0.00000000000000i ‐0.80193773580484 + 0.00000000000000i 0.55495813208737 ‐ 0.00000000000000i
Nó cho thấy tất cả các nghiệm của phương trình là số thực. Điều này không đúng. Dùng lệnh vpa để xác định độ chính xác:
vpa(s, 10) tạo ra:
ans = [ 2.246979604+.1e‐9*i]
[ ‐.8019377357+.3e‐9*i] [ .5549581323‐.5e‐9*i]
Điều này nghĩa là phần ảo của s rất nhỏ nhưng khác 0. Ta xem một ví dụ khác(lưu trong ct5_18.m):
syms x s = solve(tan(x)+sin(x)–2);
Kết quả là một vec tơ 4×1. Như trên, ta dùng lệnh double: X = double(s)
‐1.89793604072796 2.07662070137841 2.07662070137841 2. Hệ phương trình đại số: Bây giờ ta xét hệ phương trình. Giả sử ta có hệ phương trình (lưu trong ct5_19.m):
⎪⎩
⎪⎨⎧
α=−
=
2yx
0yx 22
và ta cần tìm x và y. Trước hết ta tạo ra các đối tượng cần thiết: syms x y alpha
Có nhiều cách để biểu diễn nghiệm. Một trong các cách đó là viết: [x,y] = solve(x^2*y^2, x–(y/2)–alpha)
Cách gán các nghiệm như trên chỉ thích hợp với hệ có ít phương trình. Với hệ có nhiều phương trình, solve tạo ra một cấu trúc mà các trường của nó là các nghiệm. Ta khảo sát hệ phương trình:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+=+
3a2a1vuavu
2
222
Lệnh (lưu trong ct5_21.m): S = solve(ʹu^2–v^2 = a^2ʹ,ʹu + v = 1ʹ,ʹa^2–2*a = 3ʹ)
Cho kết quả: S =
a: [2x1 sym] u: [2x1 sym]
v: [2x1 sym] Các nghiệm là các trường của S. Đó là:
S.a Tạo ra:
ans = [ ‐1] [ 3]
Tương tự ta tìm được nghiệm u và v. Cấu trúc S bây giờ có thể được xử lí bằng trường và chỉ số để truy cập đến các phần riêng biệt của nghiệm. Ví dụ nếu ta muốn kiểm tra nghiệm thứ 2, ta có thể dùng phát biểu sau:
s2 = [S.a(2), S.u(2), S.v(2)] để trích thành phần tứ 2 của mỗi trường.
mà mỗi hàng là một nghiệm của hệ. Nếu hệ phương trình là tuyến tính ta có thể dùng ma trận để giải hệ. Ví dụ (lưu trong ct5_22.m):
clear u v x y syms u v x y S = solve(x+2*y–u, 4*x+5*y–v); sol = [S.x;S.y]
và: A = [1 2; 4 5]; b = [u; v]; z = A\b
cho: sol =
[ ‐5/3*u+2/3*v] [ 4/3*u‐1/3*v]
z =
[‐5/3*u+2/3*v] [ 4/3*u‐1/3*v]
Như vậy ta có cùng một nghiệm cho dù phương pháp giải khác nhau. 3. Giải phương trình vi phân: Hàm dsolve tính nghiệm bằng chữ của phương trình vi phân thường. Các phương trình được mô tả bằng các biểu thức chữ chứa các chữ cái D để chỉ các đạo hàm. Kí hiệu D2,D3,. . ,Dn tương ứng với đạo hàm cấp 1,cấp 2,..,cấp n. Như vậy D2y trong Symbolic Math Toolbox là
2
2
dxyd . Biến phụ thuộc là biến được xử lí bởi D và biến độc lập mặc định là t.
Như vậy tên các biến kí tự không được có D. Có thể dùng biến độc lập khác bằng cách chỉ ra nó như là thông số cuối cùng trong lệnh dsolve. Điều kiện đầu có thể mô tả như là một phương trình phụ. Nếu điều kiện đầu không có,
nghiệm sẽ chứa các hằng số tích phân C1,C2 v.v. Cú pháp của dsolve được mô tả trong bảng sau:
Cú pháp Phạm vi y = dsolve(‘Dyt = y0*y’) Một phương trình, một nghiệm [u,v] = dsolve(ʹDu = vʹ, ʹDv = uʹ) Hai phương trình, hai nghiệm S = dsolve(ʹDf=gʹ,ʹDg=hʹ,ʹDh=–fʹ) S.f, S.g, S.h
Ba phương trình, ra là cấu trúc Nghiệm
Ví dụ 1: Ta dùng lệnh:
dsolve(ʹDy = 1+y^2ʹ) và có kết quả:
ans = tan(t‐C1)
Để mô tả điều kiện đầu, ta dùng: y = dsolve(ʹDy=1+y^2ʹ,ʹy(0)=1ʹ)
và có: y =
tan(t+1/4*pi) Chú ý là y ở trong vùng làm việc của MATLAB nhưng biến độc lập t thì không. Như vậy lệnh diff(y,t) gây ra lỗi. Để đặt t vào vùng làm việc của MATLAB phải dùng syms t Ví dụ 2: Các phương trình phi tuyến có thể có nhiều nghiệm, thậm chí ngay cả khi đã cho điều kiện đầu.
x = dsolve(ʹ(Dx)^2+x^2=1ʹ,ʹx(0)=0ʹ) cho kết quả:
x = [‐sin(t)] [ sin(t)]
Ví dụ 3: Đây là một phương trình bậc 2 với 2 điều kiện đầu. Lệnh (lưu trong ct5_23.m):
y = simplify(dsolve(ʹD2y=cos(2*x)–yʹ,ʹy(0)=1ʹ,ʹDy(0)=0ʹ, ʹxʹ)) tạo ra:
ta dùng các lệnh sau (lưu trong ct5_24.m): u = dsolve(ʹD3u=uʹ,ʹu(0)=1ʹ,ʹDu(0)=–1ʹ,ʹD2u(0) = piʹ,ʹxʹ)
4. Hệ phương trình vi phân: Hàm dsolve có thể xử lí hệ phương trình vi phân, có hay không có điều kiện đầu. Ví dụ ta có hệ phương trình: y’=3f + 4g g’ = ‐4f + 3g Để giải hệ ta dùng lệnh (lưu trong ct5_25.m):
S = dsolve(ʹDf = 3*f+4*gʹ, ʹDg = –4*f+3*gʹ) Nghiệm được tính và trả về dưới dạng cấu trúc S:
S = f: [1x1 sym] g: [1x1 sym] Ta có thể xác định giá trị của f và g bằng lệnh:
f = S.f f =
exp(3*t)*(cos(4*t)*C1+sin(4*t)*C2) g = S.g g =
‐exp(3*t)*(sin(4*t)*C1‐cos(4*t)*C2) Nếu ta cho cả điều kiện đầu thì viết:
1. Biến đổi Fourier và Fourier ngược: a. Biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier dùng để biến đổi phương trình vi phân thành phương trình đại số. Cú pháp:
F = fourier(f) F = fourier(f,v) F = fourier(f,v,u)
F = fourier(f) là dạng biến đổi Fourier của biến kí tự vô hướng f với biến độc lập mặc định là x. Kết quả trả về mặc định là hàm theo w. đổi Fourier thực hiện trên hàm của x và trả về hàm của w: f = f(x) ⇒ F = F(w) Nếu f = f(t) thì biến đổi trả về F = F(t). Hàm F(w) được định nghĩa:
∫∞
∞−
−= dxe)x(f)w(F iwx
F = fourier(f,v) làm cho F là hàm của v thay vì của w. Trong đó:
∫∞
∞−
−= dxe)x(f)v(F ivx
F = fourier(f,v,u) làm cho f là hàm của u và F là hàm của v thay cho biến
b. Biến đổi Laplace ngược: Khi có ảnh của hàm,ta có thể tìm lại hàm gốc bằng biến đổi Laplace ngược. Cú pháp:
F = ilaplace(L) F = ilaplace(L,y) F = ilaplace(L,y,x)
F = ilaplace(L) là biến đổi Laplace ngược của một đối tượng kí tự vô hướng L với biến mặc định là s. Trả về mặc định là hàm của t. L = L(s) ⇒ F = F(t) Nếu L = L(t), ilaplace trả về hàm của x.
∫∞+
∞−
=ic
ic
stdse)s(L)t(F
F = ilaplace(L,y) làm cho F là hàm của y thay cho biến mặc định t.
∫∞+
∞−
=ic
ic
sydse)y(L)y(F
F = ilaplace(L,y,x) coi F là hàm của x và L là hàm của y thay cho biến mặc định t và s.
f = 1/(u^2‐a^2) ilaplace(f) cho 1/(2*a*exp(a*x))‐1/(2*a*exp(‐a*x))
3. Biến đổi z và z ngược:
a. Biến đổi z: Thực hiện phép biến đổi z trên hệ thống rời rạc để đưa phương trình vi phân về phương trình đại số. Cú pháp:
F = ztrans(f) F = ztrans(f,w) F = ztrans(f,k,w)
F = ztrans(f) là phép biến đổi z của kí hiệu vô hướng f với biến độc lập mặc định n. Mặc định trả về hàm của z. Biến đổi z được định nghĩa:
∑∞
=0
nz)n(f)z(F
Trong đó n là biến kí hiệu của f. Nếu f = f(z) thì ztrans trả về hàm của w F = F(w). F = ztrans(f,w) làm cho f thành hàm của w thay cho biến mặc định z.
∑∞
=0
nw)n(f)w(F
F = ztrans(f,k,w) coi f là hàm của k
∑∞
=0
nk)k(f)w(F
Biến đổi z Lệnh MATLAB
4n)n(f =
5
23
0n
n
)1z()1z11z11z(zz)n(f]f[Z
−+++
== ∑∞
=
−
f = n^4 ztrans(f) cho z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z‐1)^5
b. Biến đổi z ngược: Khi có ảnh của biến đổi z ta có thể tìm lại gốc của nó nhờ biến đổi z ngược.Cú pháp:
f = iztrans(F) f = iztrans(F,k) f = iztrans(F,w,k)
f = iztrans(F) là biến đổi z ngược của đối tượng kí hiệu F với biến độc lập z. Mặc định trả về hàm của n:
∫=
− =π
=R|z|
1n ,....2,1ndzz)z(Fi2
1)n(f
Trong đó R là số dương được chọn sao cho hàm F(z) là giải tích trên và ngoài vòng tròn | z | = R. Nếu F = F(n) iztrans trả về hàm của k: f = f(k). f = iztrans(F,k) coi f là hàm của k thay cho biến mặc định n. Trong đó k là đối tượng kí hiệu vô hướng. f = iztrans(F,w,k) coi F là hàm của w thay vì của biến mặc định.
Biến đổi z ngược Lệnh MATLAB
2)2z(z2)z(f−
=
∫=
−− =π
=R|z|
n1n1 2ndzz)s(fi2
1]f[Z
f = 2*z/(z‐2)^2 iztrans(f) cho n*2^n
1n2n)1n(n)n(g 2 ++
+=
k
R|z|
1k1 1dnn)n(gi2
1]f[Z −=π
= ∫=
−−
g = n*(n‐1)/(n^2+2*n+1) iztrans(g) cho (‐1)^k
azz)z(f−
=
∫=
−− =π
=R|z|
k1k1 adzz)z(fi2
1]f[Z
f = z/(z‐a) iztrans(f) cho a^k
z2z2
z
exe2x)ex(x)z,x(f+−
−=
∫=
−− =π
=R|x|
kz1k1 edxz)z,x(fi2
1]f[Z
f = x*(x‐exp(z))/(x^2‐2*x*exp(z) + exp(2*z)) iztrans(f) cho exp(z)^k