-
UNEXPO
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA
ANTONIO JOS DE SUCRE
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ
DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA
SECCIN DE TERMOFLUIDOS
DINAMICA DE GASES
DINAMICA DE
GASES (322678)
Profesor: LUIS M. BUSTAMANTE
Puerto Ordaz. 2013.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
2
CAPITULO VII
CHOQUE OBLICUO Y ONDAS DE EXPANSIN
7.1 Origen de la Onda de Choque Oblicua. 7.2 Choque Oblicuo.
Ecuaciones. 7.3 Flujo Supersnico sobre Cuas y Conos. 7.4 Choque
Polar. 7.5 Reflexin Regular en los Lmites de un
Slido. 7.6 Diagrama de Presin-Deflexin 7.7 Interseccin de Ondas
de Choque Oblicuas
de Familias Opuestas 7.8 Interseccin de Ondas Oblicuas de
Familias
Similares. 7.9 Ondas de Expansin Prandtl-Meyer. 7.10 Resumen de
ecuaciones. 7.11 Aplicaciones. 7.12 Problemas. 7.13 Tablas. 7.14
Bibliografa. 7.15 Anexo.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
3
CAPTULO VII
CHOQUE OBLICUO Y ONDAS DE EXPANSIN
7.1.- ORIGEN DE LA ONDA DE CHOQUE OBLICUA.
La onda de choque normal, ya considerada, es en cierto modo un
caso especial
de una familia ms general de ondas de choque oblicuas que
ocurren en un campo de
flujo supersnico. Los choques oblicuos ocurren generalmente
cuando el flujo
supersnico es retornado en si mismo, como se muestra en la
figura 7.1a. Aqu, el
campo de flujo supersnico, que originalmente era uniforme y
paralelo a la superficie,
es obligado a girar. En el punto A, toda la corriente supersnica
es desviada hacia
arriba a travs de un ngulo ., (giro cncavo), Este cambio, en la
direccin de la
corriente, hace que se genere una onda de choque. La corriente
aguas abajo del
choque es tambin uniforme y paralela a la superficie. Al otro
lado de la onda de
choque, el nmero de Mach puede continuar siendo supersnico o
disminuye, y la presin, la temperatura y la densidad
aumentan.
1 2
11 M12
12
12
1
TT
pp
MM2
bA
1 2
11 M 12
12
12
1
TT
pp
MM2
a
A
OblicuaChoquedeOnda .ExpansindeOnda
. . . 7.1FIGURA
ConvexoGirobCncavoGiroaesquinaunasobreoSupersnicFlujo
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
4
En el caso contrario, cundo el campo de flujo supersnico se
aleja bruscamente
de s, (giro convexo), ver la figura 7.1b, se esta generando una
onda de expansin.
Aqu, toda la corriente es desviada hacia abajo a travs de un de
ngulo . Esta onda
de expansin se despliega en forma de abanico, existirn, as,
infinitas ondas de
expansin. La corriente es desviada hasta que vuelve a ser
paralela a la superficie. Al
otro lado del onda de expansin, el nmero de Mach aumenta y la
presin, la
temperatura, y la densidad disminuyen.
Los choques oblicuos y las ondas de expansin son habituales en
los flujos
supersnicos bi y tridimensionales. Estas ondas son
intrnsecamente bidimensionales
en la naturaleza, en contraste con las ondas de choque ya
estudiadas, que son de
carcter unidimensional. Es decir, las propiedades del campo de
flujo estn en funcin
de las coordenadas x e y . La idea central de este captulo es
presentar los cambios
que se generan en las propiedades de un campo de flujo al
existir ondas de choque
bidimensionales.
Las ondas de choque oblicuas y las ondas de expansin, al igual
que las ondas
de choque normal, son generadas por perturbaciones que crean
colisiones moleculares
a una determinada velocidad del sonido, algunas de las cuales se
unen al final
generando choques y otras se separaran en forma de ondas de
expansin.
7.2.- CHOQUE OBLICUO. ECUACIONES.
La geometra de un campo de flujo con una onda de choque oblicua
es mostrada
en la figura 7.2 La velocidad aguas arriba del campo de flujo es
1V y la corriente es
paralela a la superficie. El nmero de Mach correspondiente es 1M
. El choque oblicuo
se genera con un ngulo con respecto a 1V . Detrs de la onda de
choque, la
corriente es desviada en un ngulo . La velocidad y el nmero de
Mach, luego de la
onda de choque, son 2V y 2M respectivamente. Los componentes de
1V ,
perpendiculares y paralelos a la onda de choque, son 1u y 1w ,
respectivamente; y en
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
5
forma anloga, los componentes de 2V perpendiculares y paralelos
a la onda de
choque, son 2u y 2w , respectivamente, tal y como se muestra la
figura 7.2. De esta
forma se pueden considerar que existen, corriente arriba de la
onda de choque,
nmeros de Mach normales y tangenciales, denominados 1nM y 1tM
,
Respectivamente. De forma semejante, existe los nmeros de Mach
2nM y 2tM ,
normales y tangenciales a la onda de choque, aguas abajo de la
onda de choque
oblicua.
Considrese el volumen de control abcdef , y 21 AA , siendo 1A el
rea de la
cara a y 2A el rea de la cara b . Ambas caras son paralelas a la
onda de choque.
Aplicando la forma integral de la ecuacin de continuidad a este
volumen de control
para un flujo permanente, se tiene
2211 uu (7.1)
La forma integral de la ecuacin del momentum es una ecuacin
vectorial y por
facilidades de calculo, debe ser resuelta en sus dos componentes
paralelos y
bc
d
ef
a2V
1V
22 ,MV
1 2
11,MV
11, nu M22 , nu M
11, tw M22 , tw M
.OblicuaChoquedeOndaunadeGeometra 9.2 FIGURA
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
6
perpendiculares a la onda de choque oblicua. Considerando el
volumen de control
abcdef , flujo permanente y sin fuerzas de masa, se tiene
0222111 wuwu (7.2)
dividiendo la ecuacin (7.2) por (7.3), se deduce que
21 ww (7.3)
ste es un resultado sorprendente, es decir, el componente
tangencial de la
velocidad del flujo se conserva a travs de la onda de choque
oblicua.
retornando a la figura 7.2 y desarrollando componente normal, se
tiene
21222111 ppuuuu
o
22222
111 upup (7.3a)
Aplicando la forma integral de la ecuacin de la energa al
volumen de control
abcdef y para un flujo adiabtico, permanente y sin fuerzas de
masa.
22
2221
2
1112211
22u
Veu
Veupup
o
22
2
2211
2
11
22u
Vhu
Vh
(7.4)
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
7
dividiendo la ecuacin (7.4) por (7.2),
22
2
22
2
11
Vh
Vh (7.5)
Por la geometra Fig. 7.2, se tiene que 222 wuV y como 21 ww
2221222221212221 uuwuwuVV
por lo tanto, la ecuacin (7.5) se convierte en
22
2
22
2
11
uh
uh (7.6)
Observando las ecuaciones (7.2), (73a), y (7.6) cuidadosamente,
se nota que son
idnticas a las ecuaciones de continuidad, momentum y energa del
choque normal.
Adems, en ambos grupos de ecuaciones las velocidades son
normales a la onda de
choque. Por lo tanto, los cambios que se generan en una onda de
choque oblicua son
gobernados por el componente normal de la velocidad. Aplicando
el lgebra a la figura
7.2, se tiene
MM Senn 11 (7.7)
para un gas calricamente perfecto,
21
12
2
1
2
1
1
n
n
k
k
M
M
(7.8)
1M1
21 2
1
2
1
n
k
k
p
p (7.9)
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
8
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
n
n
n
k
k
k
M
M
M (7.10)
2
1
1
2
!
2
p
p
T
T (7.11)
Ntese que el nmero de Mach luego de la onda de choque oblicua,
2M , puede
ser calculado de 2nM de la forma,
Sen
n22
MM (7.12)
En el captulo que trato el tema de la onda de choque normal, se
enfatiz que
las propiedades eran una funcin de una variable solamente y esa
variable era el
nmero de Mach antes de la onda de choque normal. Ahora, de la
ecuacin (7.7) a la
(7.11), se observa que los cambios a travs de la onda de choque
oblicua son una
funcin de dos variables, tanto como 1M , como . Se observa
tambin que el choque
normal en realidad slo un caso especial de los choques oblicuos
cuando 2/ .
La ecuacin (7.12) muestra que 2M no puede ser calculado hasta
que el ngulo
de desviacin del flujo sea obtenido. Sin embargo es tambin una
funcin nica de
1M y , por la geometra de la figura 7.2
1
1tanw
u (7.13)
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
9
2
2tanw
u - (7.14)
combinando las ecuaciones. (7.13) y (7.14), donde 21 ww
1
2
tan
tan
u
u
(7.15)
y asociando la ecuacin. (7.15) con las ecuaciones (7.2), (7.7),
y (7.8), se obtiene
2
M
M
senk
senk2
1
22
1
1
12
tan
tan
(7.16)
con un poco de manipulacin trigonomtrica, la ecuacin (7.16)
puede ser expresada
como
22cos
1cot2tan
2
1
22
1
k
sen
M
M (7.17)
la ecuacin (7.17) es denominada la relacin M y establece el
ngulo como
una funcin nica de 1M y .
Esta relacin es vital para el anlisis de los choques oblicuos, y
los resultados
obtenidos de ella son graficados en el anexo F1 para k = 1,4.
Examinando la grfica del
anexo F.1, se concluye lo siguiente:
1. Para un valor dado de 1M existe un ngulo de desviacin mximo (
MAX ). Si
fsicamente es mayor a MAX para este ngulo no existe solucin de
choque oblicuo.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
10
2. Para cualquier ngulo menor al mximo existirn dos valores de
provenientes
de la relacin M . Los cambios a travs de la onda de choque
oblicua son ms
fuertes en la medida en que aumenta, esto se demuestra
analizando las ecuaciones
(7.8) y (7.9), es decir, el nmero de Mach puede continuar siendo
supersnico, luego de
la onda de choque oblicua, en la medida en que el ngulo
disminuya. Se ha
establecido que para valores altos de la onda de choque es
fuerte; y para valores
pequeos de la onda de choque es dbil. Por lo general, en la
naturaleza, la solucin
de de choque dbil es la que generalmente ocurre.
3. Si 0 , entonces 2
, correspondiendo a un choque normal, y para ,
corresponde a una onda de Mach.
4. Para un determinado ngulo de desviacin, el ngulo de la onda
de choque puede
aumentar o disminuir, si la solucin de la onda de choque es
fuerte o dbil
respectivamente. Adems el ngulo de Mach puede aumentar o
disminuir a medida de
que el ngulo de la onda aumente o disminuya y a medida de que la
solucin de la onda
de choque sea dbil o fuerte.
Estas observaciones son importantes, y deben ser estudiadas
cuidadosamente.
Es importante tener una visin preliminar del comportamiento
fsico de las ondas de
choque oblicuas. Si se considera la figura del anexo F.1, junto
con las relaciones del
choque oblicuo dadas por las ecuaciones (7.7) hasta la (7.12),
se puede observar, por
ejemplo, que para un nmero de Mach fijo, cuando es incrementado,
, p2, T2 y 2
aumentan mientras 2M disminuye.
7.3.- FLUJO SUPERSNICO SOBRE CUAS Y CONOS.
Las propiedades del choque oblicuo ya estudiadas representan la
solucin
exacta para un campo de flujo sobre una cua o una esquina de
compresin
bidimensional. Las lneas de corriente aguas arriba de la onda de
choque oblicua son
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
11
y
x
1
2
2V
2yV
2xV
1V
11 VVx 01 yV
FIGURA 7.3.- Plano Fsico (x,y)
paralelas a la superficie de la cua. La presin sobre la
superficie de la cua es
constante e igual a 2p .
Las ondas de choque oblicuas tambin se generan en la punta de un
cono. Las
propiedades de este choque oblicuo son dadas por las relaciones
ya estudiadas. Sin
embargo, a raz de que el campo de flujo sobre el cono es,
intrnsecamente, en tres
dimensiones, el campo de flujo entre la onda de choque y la
superficie del cono no es
totalmente uniforme. Las lneas de corriente son curvas y la
presin sobre la superficie
del cono tampoco es uniforme. El hecho de existir una tercera
dimensin, permite que el
flujo pueda moverse ms cmodamente, aliviando algunos de los
obstculos creados
por la presencia del cuerpo cnico. Esto es llamado como el
efecto aliviador en tres
dimensiones", que es caracterstico de todos flujos
tridimensionales.
7.4.- CHOQUE POLAR.
Otra de las formas de estudiar el flujo supersnico con onda de
choque es
grficamente y en el caso del flujo supersnico con choque oblicuo
la forma grfica de
estudiarlo es bajo el mtodo del choque polar. El cual se
describe a continuacin.
Considrese un choque oblicuo con una velocidad, corriente arriba
de la onda,
de 1V y un ngulo de desviacin de , como se indica en la fig.
7.3. Tambin,
considrese un sistema de coordenadas cartesianas x y, en donde
el eje x est en la
yV
xV
2yV
2xV
2V
A0
B
1xV
FIGURA 7.4.-Plano Hologrfico.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
12
direccin de 1V . La figura 7.3 se denominar plano fsico (x,y).
Defnase 1xV , 1yV , 2xV , y
2yV como las componentes x y de las velocidades delante y detrs
de la onda de choque
oblicua respectivamente.
Seguidamente se trazan estas
velocidades en un grfico en donde los
ejes corresponden a xV y yV , como se
indica en la Fig. 7.4. Este grfico de
componentes de velocidad se
denominar plano hologrfico. La
lnea OA representa la velocidad 1V ,
(velocidad delante de la onda de choque). La lnea OB representa
la velocidad 2V ,
(velocidad detrs de la onda de choque). A su vez, el punto A, en
el plano hologrfico,
representa el campo de flujo en su totalidad en la regin 1 del
plano fsico de la Fig. 7.3.
Similarmente, el punto B, del plano hologrfico, representa el
campo de flujo en su
totalidad en la regin 2 del plano fsico. Si ahora el ngulo de la
desviacin en Fig. 7.3
se incrementa a C , entonces la velocidad 2V se orientar en un
ngulo de C y la
magnitud de la velocidad disminuye porque la onda de choque
oblicua se pone ms
fuerte. Esta condicin se muestra como el punto C del diagrama
hologrfico que se
muestra en la Fig. 7.5, el cual representa como la velocidad
aguas abajo de la onda de
choque polar vara al aumentar el ngulo de desviacin para una
velocidad fija aguas
arriba de la onda de choque oblicua. El
lugar geomtrico de la unin todos los
puntos de las puntas de los vectores de
las velocidades 2V , para una velocidad
1V determinada, se denomina choque
polar. Los puntos A , B y C , en las
figuras 7.4 y 7.5, son justamente tres
puntos sobre el choque polar para una
velocidad dada 1V .
B
C
C
B
A
2V
2V
1V
yV
xV
. 7.5FIGURA 1VvelocidadunaparaPolarChoque
max
B
A
aVx
.
7.6FIGURA
polarmtodoelutilizando
geomtricanConstruci
C
H
D
1M
SnicoCirculo
aVy
O
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
13
Por conveniencia, se graficarn las velocidades en forma no
dimensional,
dividiendo por a , (definida en captulo anterior), (ver Fig.
7.6). Recordando que el
campo de flujo a travs de la onda de choque, entonces a es la
misma delante y
detrs de de la onda de choque. De igual forma, se obtendr un
choque polar de la
unin de todos los posibles 2M para un
1M dado, como se muestra en la figura Fig.
7.6. La conveniencia de utilizar M est en que, cuando M , 45,2M
. El choque
polar, para una gama amplia de nmeros de Mach, se puede graficar
en un mismo
grfico. En la figura 7.6 se indica un circulo cuando 1M , este
se denomina circulo
snico. Dentro de este crculo, todas las velocidades son
subsnicas; fuera de l, todas
las velocidades son supersnicas.
De la figura 7.6 se pueden enumerar las siguientes propiedades
del choque
polar.
1. Para un ngulo de desviacin dado, el choque polar es cortado
en dos puntos, B y
D. Estos puntos representan la solucin dbil y fuerte
respectivamente del choque
oblicuo. El punto D esta dentro del circulo snico como se
esperaba.
2. La lnea OC, dibujada tangente al choque polar, representa el
mximo ngulo de
desviacin max para un valor dado de
1M , (tambin para un 1M dado). Para MAX ,
no hay solucin para choque oblicuo.
3. Los puntos E y A representan la condicin de que no existe
desviacin del campo de
flujo. El punto E es la solucin del choque normal; el punto A
corresponde a la lnea de
Mach.
4. Si se traza una lnea travs de A y B, y la lnea OH es trazada
perpendicular a AB,
entonces el ngulo HOA es el ngulo de la onda de choque
correspondientemente a
la solucin del choque en el punto B. Esto puede demostrarse por
el simple argumento
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
14
geomtrico de que la componente tangencial de la velocidad se
conserva a travs de la
onda de choque.
La ecuacin analtica para el choque polar (Vy/a* contra Vx/a*)
puede ser
obtenida por del choque oblicuo El resultado es dado por la
siguiente ecuacin:
2
1
2
1
1
2
1**
*)(1
2
*/
*
MM
M
a
Vx
y
aV
a
Vy x .
7.5.- REFLEXIN REGULAR EN LOS LMITES DE UN SLIDO
Considrese una onda de choque oblicua sobre las paredes de un
slido como
se muestra en la Fig. 7.7.
El campo de flujo, antes de encontrarse con la perturbacin, es
paralelo a las
paredes del slido. El
flujo en la regin 1, con
un Mach 1M , se desva
con un ngulo en el
punto A. Si se crea una
onda de choque oblicua,
sta se produce con un
ngulo 1 , chocando
con la pared superior en el punto B. En la regin 2 las lneas de
corriente tendrn un
ngulo de inclinacin de . Todas las condiciones en la regin 2 se
definen
singularmente por 1M y a travs de las relaciones del choque
oblicuo discutidas
anteriormente. En el punto B, para que el campo de flujo
permanezca tangente a la
pared superior, las lneas de corriente deben desviarse un ngulo
. Esto slo puede
producirse por una segunda onda de choque, originada en B, con
suficiente energa
FIGURA 7.7.- Reflexin de una onda de choque oblicua.
B
1
2
A
1
2 31M
2M
3M
reflejadaOnda
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
15
como para girar el flujo un ngulo . Este segundo choque se
denomina choque
reflejado; su intensidad esta condicionado por los valores de 2M
y , generando las
consecuentes propiedades en la regin 3. Si 12 MM , la onda de
choque reflejada es
ms dbil que la onda incidente, y el ngulo , que se genera con la
pared superior,
no es igual a 1 .
7.6.- DIAGRAMA DE PRESIN-DEFLEXION
Las ondas de choque discutidas en la seccin anterior son un
ejemplo de los
diferentes procesos de interaccin entre las ondas de choque
oblicuas y alguna
superficie de un slido. Existen otros tipos de procesos de
interaccin que involucran el
choque oblicuo y la onda de expansin con los lmites de un slido.
Para entender
algunas de estas interacciones, se introduce la definicin de
diagrama de presin-
deflexin, el cual no es otra cosa que el lugar geomtrico de
todos los posibles valores
de las presiones estticas pueden tener detrs de una onda de
choque oblicua, como
una funcin del ngulo de la desviacin y las condiciones del campo
de flujo aguas
arriba de la onda de choque.
Considrese la Fig. 7.8, la cual muestra, en su parte superior,
las dos formas en
que se pueden generan las ondas de choque oblicuas. La figura
superior izquierda
muestra una onda que es girada hacia la izquierda, es denominada
as porque, si se
esta sobre la onda y se observa aguas abajo, se nota que la onda
gir a la izquierda. El
flujo realiza una deflexin de 2 hacia arriba, el cual ser
considerado como positiva. En
contraste, la figura superior derecha muestra una onda que es
girada hacia la derecha.
El flujo realiza una deflexin de 2 hacia abajo, el cual ser
considerado como negativo.
La presin esttica aguas arriba de la onda de choque dnde 0 , es
1p ; la presin
esttica aguas abajo de la onda de choque, dnde 2 , es 2p . Estas
dos
condiciones se ilustran por los puntos 1 y 2, respectivamente en
un grfico presin
versus ngulo de deflexin en la figura 7.8. Para el movimiento
hacia la derecha de la
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
16
onda, si 22 en la magnitud absoluta, (pero diferentes en signo),
la presin en regin
2' ser 2p . Esta condicin es indicada por el punto 2' de Fig.
7.8. Cundo el rango del
ngulo de desviacin son todos los
posibles tal que MAX para una solucin del choque oblicuo, el
lugar geomtrico de
todos los posibles valores de las presiones, para un 1M y 1p
dados; estn graficados
en el diagrama presin-deflexin de la figura 7.8. El lbulo
derecho de esta figura
corresponde a positivo, el lbulo izquierdo para negativos.
7.7.- INTERSECCIN DE ONDAS DE CHOQUE OBLICUAS DE FAMILIAS
OPUESTAS
Considrese las intersecciones de las diferentes ondas de choques
indicadas en
la figura 7.9. El campo de flujo es uniforme y paralelo a la
superficie con un valor del
nmero de Mach mayor a la unidad. Debido a los ngulos de
desviacin 1 y 2 , se
generan ondas de choque oblicuas con sus respectivos ngulos de
onda 1 y 2 . Estas
se refractan en el punto C y se generan otras ondas de choque y
no necesariamente
izquierdalahaciaGiro derechalahaciaGiro
1M 1M
2M
2M
1
1 2
22
2 p
22
2222 pp
1p1
. M Pr 7.8FIGURA 1 dadounparaDeflexinesinDiagrama
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
17
ondas de choque oblicuas, las cuales continan reflejndose y
retractndose, hasta que
el nivel de energa de las mismas sea tal que no se genere
ninguna onda de choque
Este proceso genera las diferentes propiedades del campo de
flujo en las
diferentes zonas, tales como la 2, 3, 4 y 4. Al existir zonas
conjuntas como la 4 y 4, las
cuales poseen diferentes propiedades, existir una lnea
imaginaria denominada lnea
de deslizamiento en la cual existe una discontinuidad en los
cambio de la entropa. Sin
embargo, se toman las siguientes condiciones fsicas bsicas,
necesarias para los
clculos:
1. La presin debe ser la misma, '44 pp de lo contrario la lnea
de deslizamiento sera
curva, inconsistente con la geometra de la superficie
2. Las velocidades en las regiones 4 y 4' deben de tener la
misma direccin, aunque no
necesariamente la misma magnitud. Si las velocidades tuvieran
direcciones diferentes,
existira la nulidad del campo de flujo en la vecindad de la lnea
de deslizamiento, lo
cual es una situacin fsica insostenible.
2
3
4
4
A
B
C
D
F
1 2
3 4 4E
11M
FIGURA 7.9.- Interseccin de ondas de choque de familias
opuestas.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
18
Estas dos condiciones, junto con las propiedades conocidas en
regin 1 y los
ngulos 2 y 3 , determinan completamente las propiedades de las
diferentes zonas de
choque. Las temperaturas y densidades, as como la entropa y la
magnitud de las
velocidades, son diferentes en las regiones 4 y 4'.
Se observa en la figura 7.9, que si 32 , los procesos de
reflexin y refraccin
son simtricos y no existir ninguna lnea de deslizamiento.
7.8.- INTERSECCIN DE ONDAS OBLICUAS DE FAMILIAS SIMILARES.
Considrese una esquina de compresin tal y como se indica en la
figura 7.10,
en dnde el campo de flujo supersnico, en la regin 1, es desviado
un ngulo , con la
consecuencia de generarse una onda de choque oblicua en el punto
B. Ahora
considrese una onda de Mach generada en el punto A, aguas arriba
de la onda de
choque. La onda de Mach se interceptar con la onda de choque, o
por el contrario se
alegar de la misma. La anterior se puede comprobar aplicando la
ecuacin (7.7),
escrita en los trminos de velocidad, es decir:
senVu 11
11 M
MachdeOnda
MachdeOnda
A B
C
1
2
ChoquedeOnda
1 2
FIGURA 7.10.- Onda de Mach antes y despus de una onda de choque
oblicua.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
19
de aqu
1
1
V
usen (7.18)
recordando la ecuacin (7.1)
1
11
V
asen (7.19)
Ya se ha demostrado que, para existir el choque normal, la
componente normal
de la velocidad del campo de flujo aguas arriba de la onda de
choque debe ser
supersnica. De este modo, 11 au y por consiguiente, de las
ecuaciones (7.18) y
(7.19), 1 . Por consiguiente, refirindose a la figura 7.10, la
onda de Mach en A
interceptar a la onda de choque.
Considerando ahora una onda de Mach generada en el punto C,
aguas abajo de
la onda de choque. De la ecuacin (7.12)
senVu 22
de aqu
2
2
V
usen (7.20)
recordando la ecuacin (7.1)
2
22
V
asen (7.21)
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
20
Ya se ha demostrado que el componente normal de la velocidad del
campo de flujo
aguas abajo de la onda de choque es subsnica. De este modo, 22
au y por
consiguiente, de las ecuaciones (7.20) y (7.21), 2 . Por
consiguiente,
refirindose a la figura 7.10, la onda de Mach en C interceptar a
la onda de choque.
7.9.- ONDAS DE EXPANSION PRANDTL-MEYER.
Cuando un flujo supersnico gira alrededor de s mismo segn lo
discutido
anteriormente, se crea una onda de expansin como lo indicada en
la figura 7.1b. Esto
es directamente contrario a la situacin cuando el flujo gira
alrededor de s mismo con la
formacin de una onda de choque oblicua como la indicada en la
figura 7.1a. Las ondas
de expansin son la anttesis de las ondas de choque oblicuas.
Para apreciar esto ms
completamente, algunos aspectos cualitativos que experimenta el
campo de flujo que
atraviesa una onda de expansin se detallan como sigue:
1. 12 MM . Una esquina de expansin es el medio para aumentar el
nmero de Mach.
2. .1 ,1 ,11
2
1
2
1
2 T
Tp
p
La presin, densidad, y la temperatura disminuyen a
travs de una onda de expansin.
3. El abanico creado por las infinitas ondas de expansin es una
regin de expansin
continua, integrada por un nmero infinito de las ondas del Mach,
limitado, aguas
arriba de la corriente. por 1 y aguas abajo por 2 (vase la
figura 7.11, donde
1
11
Marcsen y
2
21
Marcsen ).
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
21
4. Las lneas de corriente a travs de una onda de expansin son
lneas curvadas
lisas.
5. Puesto que la onda de
expansin ocurre con una sucesin
continua de las ondas del mach, y
0ds para cada onda del mach, la
onda de expansin es isentrpica.
Las ondas de expansin que se
crean en una esquina convexa
aguda, tal y como se ensea en las
figuras 7.1b y 7.11, son denominadas ondas de expansin centradas
y gracias a los
trabajos realizados por Prandtl en 1907, seguido por Meyer en
1908, se crea lo que se
conoce como la teora de las ondas de expansin de
Prandtl-Meyer.
La teora de las ondas de expansin de Prandtl-Meyer puede ser
explicada
basndose en la figura 7.11. En base a unos valores de 1M , 1p ,
1T y 2 dados, se
pueden calcular los valores de 2M , 2p y 2T . El anlisis se
puede comenzar
considerando los cambios infinitesimales a travs de una onda muy
dbil,
(esencialmente una onda de Mach), producida por una desviacin
infinitesimal del flujo,
d , segn lo ilustrado en la figura. 7.12. De la ley de senos
1
1
1 1
T
p
M
2
2
2
T
p
M
PosteriorMachdeLnea
AnteriorMachdeLnea
1 2
2
FIGURA 7.-11.- Lneas de Expansin Prandtl-Mayer
V
MachdeOnda
V
2
2
d2
d
dVV
FIGURA 7.12.- Construccin geomtrica de los cambios
infinitesimales a travs de una onda de choque oblicua
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
22
dsen
sen
V
dVV
2
2 (7.22)
De las identidades trigonomtricas,
cos22
sensen (7.23)
sendsendddsen
coscoscos
2 (7.24)
y sustituyendo la ecuacin (7.23) y (7.24) dentro de (7.22), se
obtiene
sendsendV
dV
coscos
cos1 (7.25)
Para un pequeo d , se puede hacer la suposicin de que, para
ngulos
pequeos, dsend y 1cos d . Entonces la ecuacin (7.25) se
convierte en
tan1
1
cos
cos1
dsendV
dV
(7.26)
recordando la serie de expansin para x < 1
...11
1 32
xxxx
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
23
la ecuacin (7.26) puede ser expandida, ignorando de trminos de
segundo orden y de
una orden mayor, como
...tan11 dV
dV (7.26 a)
As, de la ecuacin (7.26a)
tan
VdV
d (7.27)
sin embargo, a partir de la ecuacin (7.1)
M
1sin 1
y escrita como
1
1tan
2
M (7.28)
y sustituyndola en la (7.27), se obtiene
V
dVMd 12 (7.29)
La ecuacin (7.29) es la ecuacin diferencial que gobierna el
flujo de Prandtl-Meyer.
Obsrvese, de ella, los siguientes aspectos:
1. Es una ecuacin aproximada para un valor finito de d , pero se
convierte en una
igualdad verdadera cuando 0d .
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
24
2. Fue derivada estrictamente en base de una geometra, donde
solamente la
condicin fsica est asociada a la definicin de una onda del Mach.
Por lo tanto, es
una relacin general para los gases perfectos, los gases que
reaccionan
qumicamente y los gases reales.
3. Es tratada para ngulos infinitesimalmente pequeos de ondas de
expansin d ,
Para analizar totalmente la onda de expansin de Prandtl-Meyer la
ecuacin
(7.29) debe ser integrada sobre el ngulo completo 2 y en las
regiones 1 a 2,
V
dVMd
M
M
2
1
2
2
1
1
(7.30)
La integral en el lado derecho se puede evaluar despus de que
V
dV se obtenga
en trminos de M. De la definicin del nmero de Mach,
MaV
aMV lnlnln (7.31)
diferenciando la ecuacin (7.31)
a
da
M
dM
V
dV (7.32)
relacionndola a un gas calrico perfecto, la ecuacin adiabtica de
la energa puede
ser de nuevo escrita como
2
2
2
11 M
k
T
T
a
a oo
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
25
o, solucionando para a
21
2
2
11
M
kaa o (7.33)
diferenciando la ecuacin (7.33)
dMMk
Mk
a
da1
2
2
11
2
1
(7.34)
y substituyendo la ecuacin (7.34) en la (7.32), se obtiene
M
dM
MkV
dV
2
2
11
1
(7.35)
La ecuacin (7.35) es la relacin deseada para V
dV en trminos de M,.
Substituyndola en la ecuacin (7.29):
2
1 2
2
2
2
1
2
11
10
M
MM
dM
Mk
Md
(7.36)
En la ecuacin (7.36), el trmino
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
26
M
dM
Mk
MM
2
2
2
11
1 (7.37)
se denomina la funcin de Prandtl-Meyer, y se representa por el
smbolo . Realizando
la integracin, la ecuacin (7.37) se convierte en
1tan11
1tan
1
1 2121
MM
k
k
k
kM (7.38)
La constante de integracin que debiera aparecer en la ecuacin
(7.38) no es
importante, porque cae hacia fuera cuando la ecuacin (7.38) es
sustituida dentro de la
ecuacin (7.36). Por conveniencia, se elige como cero 0M cuando
1M ,
Finalmente se puede ahora escribir la ecuacin (7.36),
combinndola con la (7.37),
como
122 MM (7.39)
donde M es dado por la ecuacin (7.38) para un gas calrico
perfecto. La funcin de
Prandtl-Meyer es tabulada, en funcin de M, en el anexo F.2 para
k = 1.4, junto con los
valores del ngulo de Mach, para la conveniencia de los futuros
clculos.
Retornando a la figura. 7.12 y en base a las ecuaciones (7.39) y
(7.38), la forma
de clculo de una onda de expansin Prandtl-Meyer, es como
sigue:
1. Obtener 1M del anexo F.2 para el valor de 1M dado.
2. Calcular 2M de la ecuacin (7.39) con el valor de 2 dado y 1M
obtenido en el
paso 1.
3. Obtener el 2M del anexo F.2 que corresponde al valor de 2M
del paso 2.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
27
4. Reconociendo de que la expansin es isentrpica, los valores de
oT y op
permanecen constantes a travs de la onda, por lo tanto las
ecuaciones. (3.28) y
(3.30) deben utilizarse para estimar las propiedades del campo
de flujo despus de
la onda de expansin
2
1
2
2
2
1
2
11
2
11
Mk
Mk
T
T
y
1
2
1
2
2
2
1
2
11
2
11
kk
Mk
Mk
p
p
7.10.- RESUMEN DE FORMULAS.
2211 uu
(7.1)
0222111 wuwu
(7.2)
21 ww
(7.3)
2
222
2
111 upup
(7.3a)
22
2
2211
2
11
22u
Vhu
Vh
(7.4)
22
2
22
2
11
Vh
Vh
(7.5)
22
2
22
2
11
uh
uh
(7.6)
SenMMn 11
(7.7)
21
12
2
1
2
1
1
n
n
Mk
Mk
(7.8)
11
21 2
1
2
1
nM
k
k
p
p
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de
Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
28
(7.9)
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
n
n
n
Mk
k
kM
M
(7.10)
2
1
1
2
!
2
p
p
T
T
(7.11)
Sen
MM
n22
(7.12)
1
1tanw
u
(7.13)
2
2tanw
u -
(7.14)
1
2
tan
tan
u
u
(7.15)
2
senMk
senMk2
1
22
1
1
12
tan
tan
(7.16)
22cos
1cot2tan
2
1
22
1
kM
senM
(7.17)
1
1
V
usen
(7.18)
1
11
V
asen
(7.19)
2
2
V
usen
(7.20)
2
22
V
asen
(7.21)
dsen
sen
V
dVV
2
2
(7.22)
cos22
sensen
(7,23)
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de
Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
29
sendsend
ddsen
coscos
cos2
(7.24)
sendsendV
dV
coscos
cos1
(7.25)
tan1
1
cos
cos1
dsendV
dV
(7.26)
...tan11 dV
dV
(7.26 a)
tan
VdV
d
(7.27)
1
1tan
2
M
(7.28)
V
dVMd 12
(7.29)
V
dVMd
M
M
2
1
2
2
1
1
(7.30)
aMV lnlnln
(7.31)
a
da
M
dM
V
dV
(7.32)
21
2
2
11
M
kaa o
(7.33)
dMMk
Mk
a
da1
2
2
11
2
1
(7.34)
M
dM
MkV
dV
2
2
11
1
(7.35)
2
1 2
2
2
2
1
2
11
10
M
MM
dM
Mk
Md
(7.36)
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de
Termofluidos.
Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
30
M
dM
Mk
MM
2
2
2
11
1
(7.37)
1tan11
1tan
1
1 2121
MM
k
k
k
kM
(7.38)
122 MM
(7.39)
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
7.11.- APLICACIONES
N 1.- Circula aire sobre una cua tipo diamante cuyo ngulo cncavo
y convexo es de 2 y tiene
una inclinacin convexa, con relacin a las lneas de corriente
horizontales, de 8. En la cara
frontal de la cua y en la zona superior de la misma se generan
ondas de expansin. En el
vrtice convexo superior de la cua igualmente se generan ondas de
expansin. Al final de la
cua se genera una onda de choque oblicua a causa de una
perturbacin cncava cuyo ngulo
es de 4. Aguas abajo de sta ltima onda de choque, resultan las
siguientes propiedades y
relaciones: presin esttica y de estancamiento 51,77 kPa y
1341,89 kPa respectivamente y
p4/p3 = p(luego de la onda de choque)/p(antes de la onda de
choque) = 1,34953. Determine las
siguientes propiedades aguas arriba de la cua: a) el nmero de
Mach; b) la presin esttica; c)
la presin de estancamiento; y d) las lneas de Mach anterior y
posterior de todas las ondas de
expansin. ( R = 287 J/kg K; k = 1,4)
Solucin. 1.- Leer.
2.- Datos: p4 = 51,77 kPa; po4 = 1341,89
kPa; p4/p3 = 1,34953; 4 = 4; 1 = 8; 2 =
2; k = 1,4; R = 287 J/kg K.
3.- Pregunta: Determinar las siguientes
propiedades aguas arriba de la cua: a) el
nmero de Mach; b) la presin esttica; c) la
presin de estancamiento; y d) las lneas de
Mach anterior y posterior de cada onda de
expansin.
4.- Esquema:
5.- Hiptesis: Flujo isentrpico. Gas
Calricamente perfecto
6.- Leyes y Ecuaciones. Conservacin de la
masa. Segunda Ley. Energa. Tablas de
Prandtl-Meyer. Tablas Isentrpicas. Tablas
de choque normal.
11
21 21
1
2
nM
k
k
p
p
8
2
p
po
4
3
2
1
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
sen
MM n22
senMMn 11
122 MM
1
2
2
2
3
3
2
2
11
2
11
k
k
Mk
Mk
p
p
7.- Desarrollo.
1
1
21 23
3
4nM
k
k
p
p
1
1
2
13
4
3
k
k
p
p
M n
1
14,1
4,12
134953,13 x
M n
14000,129960,13 nM
se puede estimar tambin Mn3 por medio de
p4/p3 y las tablas de choque normal, dando
as el mismo resultado.
Por las tablas de choque normal y Mn3 se
determina:
Mn4 = 0,88204
03858,085,1341
77,51
4
4 op
p
por las tablas de flujo isentrpico se tiene:
M4 = 2,77
4
88204,077,2 44
sensen
MM n
31843,077,2
88204,04sen
31843,04 sen
568,1831843,01sens
568,224568,18
senMMn 33
97045,2
568,22
14,133
sensen
MM n
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
34953,13
4
p
p
kPap
p 362,3834953,1
77,51
34953,1
43
3 1932,49M
por el dibujo 3 = 4, entonces:
3 = (M3) (M2) => (M2) = (M3) - 3
(M2) = 49,1932 4 = 45,193
por la tabla de Prandtl-Meyer
M2 = 2,7735
1
2
2
2
3
3
2
2
11
2
11
k
k
Mk
Mk
p
p
14,1
4,1
2
2
7735,22
14,11
97045,22
14,11
kPaxxpp
p
p
723,5134828,1362,3834828,1
34828,108913,153846,2
76471,2
32
5,3
5,3
3
2
por el dibujo 2 = 6, entonces:
2 = (M2) (M1) => (M1) = (M2) 2
(M1) = 45,193 6 = 39,193
a) por la tabla de Prandtl-Meyer
M1 = 2,503
b)
1
2
1
2
2
2
1
2
11
2
11
k
k
Mk
Mk
p
p
14,1
4,1
2
2
503,22
14,11
7735,22
14,11
51821,112670,125300,2
53846,2 5,35,3
2
1
p
p
kPaxxpp 53,7851821,1723,5151821,121
c) por las tablas de flujo isentrpico y con M1
= 2,503
p/po = p1/po1 = 0,05853 =>
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
po1 = p1/0,05853 = 78,53/0,05853 = 1341,71
kPa
d)
1) Angulo de la lnea anterior de la primera
onda de expansin = sen-1(1/M1) = sen-
1(1/2,503) = 23,55
2.- Angulo de la lnea posterior de la primera
onda de expansin = sen-1(1/M2) 6 = sen-
1(1/2,773) - 6 = 15,14
3.- Angulo de la lnea anterior de la segunda
onda de expansin = sen-1(1/M2) = sen-
1(1/2,7725) = 21,14
4.- Angulo de la lnea posterior de la
segunda onda de expansin = sen-1(1/M3)
4 = sen-1(1/2,970) - 4 = 15,67
RESULTADOS:
a) M1 = 2,503
b) p1 = 78,53 kPa
c) po1 = 1341,71 kPa
d) 1.- Angulo de la lnea anterior de la
primera onda de expansin = 23,55
2.- Angulo de la lnea posterior de la
primera onda de expansin = 15,13
3.- Angulo de la lnea anterior de la
segunda onda de expansin = 21,13
4.- Angulo de la lnea posterior de la
segunda onda de expansin = 15,67
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
N 2.- En un tnel supersnico para aire, (fig. n 1a), en la
entrada del difusor se
forma un sistema de dos pares de ondas de choque inclinadas
respecto al eje del
tnel (fig. n 1b). con esto, las ondas AB, AB son oblicuas, con
relacin al flujo de la
zona de trabajo, en tanto que las ondas CB, CB, son normales en
lo que atae al
flujo tras las ondas de choque AB, AB. Determine la presin de
estancamiento, con
el fin de obtener un flujo con nmero M1 = 3 en la zona de
trabajo y vencer en la
salida del difusor la contrapresin atmosfrica pB = 1,275x105 Pa
a una velocidad del
flujo correspondiente a MB = 0,3. El ngulo de la perturbacin es
de 30.
Solucin 1.- Leer. 2.- Datos: M1 = 3. = 30. pB = 1,275x105 Pa
(atm). MB = 0.3. k = 1.4 3.- Pregunta: Determinar la presin de
estancamiento, con el fin de obtener un
flujo con nmero M1 = 3 en la zona de
trabajo y vencer en la salida del difusor
la contrapresin atmosfrica pB =
1,275x105 Pa a una velocidad del flujo
correspondiente a MB = 0,3.
4,. Esquema o dibujo.
M1 =
3
A
C
C
B(B)
A
3
0
P0
1
P0
2
P0
3
PB =
1,275x1
05 Pa
MB = 0.3
Fig. n 1a
M1 MB
pB
po
Fig. n
1b
M1
A
C
C
B(B)
A
30
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
5.- Hiptesis. Flujo isentrpico en todo el ducto. 6.- Leyes y
ecuaciones. Tablas de Flujo isentrpico. Tablas de choque normal.
Grafico M.
22cos
12
12
21
2
kM
senMctgtg ;
1232
11
k
k
B
B
o Mk
p
P;
1
1
2
1/2
12
12
22
n
nn
Mk
k
kMM ;
sen
MM n22 ; senMMn 11
7.- Desarrollo. a) por el grafico M = 51 Ajustando se tiene que
= 52 para = 29,99.
b) senMMn 11 = 2.36
c) por la tabla de choque normal y para M = 2.36; se tiene: po2
/po1 = 0,5615
d) utilizando
1
1
2
1/2
12
12
22
n
nn
Mk
k
kMM =
0,28. entonces: Mn2 = 0,5275 = 0,53 utilizando la tabla de
choque normal se comprueba que Mn2 = 0,5286 = 0,53
e)
sen
MM n22 = 1,41
f) por la tabla de choque normal y para M2 = 1,41; se tiene: po3
/po2 = 0,95566
g) utilizando 123
2
11
k
k
B
B
o Mk
p
P =
1,06; se tiene po3 = 1,36x10
5 Pa h) po2 = 1,36x10
5 Pa/0,95566 = 1,42x105 Pa i) po1 = 1,42x10
5 Pa/0,5615 = 1,42x105 Pa RESULTADO:
po1 = 1,42x105 Pa
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
N 3.- Circula aire a travs de un ducto con un nmero de Mach de
4,5 y a una
temperatura de estancamiento de 60 C. Aguas abajo del ducto se
encuentran dos
perturbaciones cncavas, con relacin al flujo, una en la cara
superior y la otra en la
cara inferior del ducto, las cuales generan un par de ondas de
choque oblicuas.
Estas ondas se refractan en otro par de ondas de choque de
carcter normal,
continuando el flujo con la misma direccin original. Determine:
a) las condiciones de
velocidad y temperatura estticas para el estado posterior a las
ondas de choque
normal; y b) el cambio de entropa para las ondas de choque
normal. El ngulo de la
perturbacin cncava inferior es de 30 y el de la perturbacin
cncava superior es
de 20. (R 0 287 j/kg K; k = 1,4)
Solucin 1.- Leer. 2.- Datos: T0 = 60 C = 333 K; p0
=3,35x105 kPa; M1 = 4,5; 1 = 30; 2 =
20; k = 1,4; R = 287 J/kg K.
3.- Pregunta: Determine a) las
condiciones de velocidad y temperatura
estticas para el estado posterior a las
ondas de choque normales; b) el cambio
de entropa para las ondas de choque
normal.
4.- Esquema:
5.- Hiptesis: Flujo sin friccin e isentrpico. Gas Calricamente
perfecto 6.- Leyes y Ecuaciones. Conservacin
de la masa. Segunda Ley. Energa.
Tablas de Flujo Isentrpico; de choque
normal y de Funcin Prandtl-Mayer.
Grafico de relacinM.
senMMn 11 ; ,)(
22
sen
MM n ;
kRTa ; a
uM ;
,
22cos
12
21
22
1
kM
senMctgtg
7.- Desarrollo.
a) Con M1 = 4,5 y 1 = 30 entonces 3 =
43,539
Con M1 = 4,5 y 2 = 20 entonces 2 =
30,938
30
M1
po To
20
1
2
3
4 5
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
Mn1-3 = M1xsen3 = 4,5xsen(43,539) =
3,10
Mn1-2 = M1xsen2 = 4,5xsen(30,938) =
2,31
De las tablas de choque normal:
Mn2-3 = 0,47038
Mn2-2 = 0,53322
Entonces:
00925,2
30539,43
47038,0
13
323
sensen
MM n
81017,2
20938,30
53322,0
22
222
sensen
MM n
De las tablas de choque normal se
tiene:
M4 = 0,57565
M5 = 0,48746
Con los valores de los nmeros de
Mach calculados se estiman los
siguientes valores por las tablas de flujo
isentrpico y de choque normal.
a) M = 4,5 y con las tablas de flujo
isentrpico:
T/To = T1/To1 = 0,19802
b) M = 3,10 y con las tablas de choque
normal:
Ty/Tx = T3/T1 = 2,8062
c) M = 2,31 y con las tablas de choque
normal:
Ty/Tx = T2/T1 = 1,9560
d) M = 2,009 y con las tablas de choque
normal:
poy/pox = po5/po3 = 0,71619
Ty/Tx = T5/T3 = 1,6956
e) M = 2,8107 y con las tablas de
choque normal:
poy/pox = po4/po2 = 0,38618
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
Ty/Tx = T4/T2 = 2,4622
De tal forma que:
T1 = To1x0,19802 = 333x0,19802 =
65,94 K
T3 = T1x2,8062 = 65,94x2,8062 = 185,04
K
T2 = T1x1,9560 = 65,94x1,9560 = 128,98
K
T5 = T3x1,6956 = 185,04x1,6956 =
313,75 K
T4 = T2x2,4622 = 128,98x2,4622 =
317,57 K
Por lo tanto
smxxkxRxTa /06,35575,3132874,155
smxxkxRxTa /21,35757,3172874,144
smxxaMu /63,20521,35757565,0444
smxxaMu /08,17406,35548746,0555
b)
71619,0ln287ln3
535 x
p
pRs
o
o
kgKJxs /80,95334,028735
38618,0ln287ln2
424 x
p
pRs
o
o
kgKJxs /94,272951,028724
RESULTADOS:
T4 = 317,57 K
T5 = 313,75 K
u4 = 205,63 m/s
u5 = 152,94 m/s
s5-3 = 95,80 J/kg K
s4-2 = 272,94 J/kg K
7.12.- PROBLEMAS PROPUESTOS
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
7.1.- Aire a un M = 2.0 y p = 68,95 kPa (abs) es forzado a
circular por una
perturbacin superficial con un ngulo de deflexin de 10 y se
genera una onda
de choque oblicua. Determine: a) el ngulo de la onda ; b) M2;; y
c) p2
7.2.- Fluye aire sobre una cua con M = 3. El ngulo de deflexin
es de 10. Una
onda de choque oblicua dbil se refleja un una superficie que
conserva la horizontal
con el eje de simetra longitudinal de la cua. Determine: a) el
nmero de Mach
luego del reflejo de la onda en la pared; y b) el ngulo de
reflejo de la onda en la
pared.
7.3.- Fluye aire sobre una cuya con M = 2,829; po = 101325 Pa y
To = 20 C. El
ngulo de inclinacin de la onda de choque oblicua es de 45.
Determine: a) el
nmero de Mach despus de la onda de choque; b) la direccin de las
lneas de
corriente directamente despus de la onda de choque, y c) al
ngulo de Mach.
7.4.- Un flujo supersnico con M = 3 forma una onda de choque
oblicua como
resultado de encontrarse con una esquina cuyo ngulo de deflexin
es de 30.
Determine: a) los posibles ngulos de reflejo ; y b) los posibles
nmeros de Mach.
7.5.- Dos ondas de choque oblicua se interceptan formando entre
si un ngulo de
120. Determine: a) el ngulo de las ondas de choque reflejadas si
el flujo de aire
debe salir paralelo a su original; y b) el nmero de Mach despus
de reflejadas las
ondas de choque. Considere un M = 2 antes de la intercepcin de
las ondas.
7.6.- En un tnel supersnico para aire, (fig. n 1a), en la
entrada del difusor se
forma un sistema de dos pares de ondas de choque inclinadas
respecto al eje del
tnel (fig. n 1b). con esto, las ondas AB, AB son oblicuas, con
relacin al flujo de la
zona de trabajo, en tanto que las ondas CB, CB, son igualmente
oblicuas en lo que
atae al flujo tras las ondas de choque AB, AB. Determine la
presin de
estancamiento, con el fin de obtener un flujo con nmero M1 = 3
en la zona de
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
trabajo y vencer en la salida del difusor la contrapresin
atmosfrica pB = 1,275x105
Pa a una velocidad del flujo correspondiente a MB = 0,3. El
ngulo de la perturbacin
es de 30.
7.7.- En la zona de trabajo de un tnel aerodinmico se encuentra
un cuerpo
cuneiforme. La circulacin alrededor de ste va acompaada por la
formacin de
una onda de choque oblicua que incide en la pared opuesta a la
cua. Tras la onda
de choque la velocidad no es paralela a la pared, por lo que
ella interacciona con el
flujo provocando la aparicin de una onda reflejada, detrs de la
cual el flujo se hace
paralelo a la pared. Determine el ngulo de reflexin de la onda
de choque, a
condicin de que delante de la onda el nmero de M1 = 5 y el ngulo
cua = 15.
7.8.- Fluye aire sobre una superficie convexa de 20 con un M1 =
3 y p1 = 200 kPa.
Determine la presin y el nmero de Mach para luego de la onda de
expansin.
7.9.- Un flujo de aire supersnico con M1 = 2; T1 = 0 C y p1 = 20
kPa (abs), da vuelta
a una esquina convexa. Si M2 = 4, Qu ngulo deber tener la
esquina? Calcule
tambin T2 y u2.
Fig. n 1a
M1 MB
pB
po
Fig. n1b
1b
M1
A
C
C
B(B)
A
30
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
7.10.- Un campo de flujo con M1 = 3,2 y p1 = 50 kPa se dirige
hacia dos esquinas de
30 cada una. Calcule el nmero de Mach y la presin en la ultima
zona del campo
de flujo si: a) primero se genera una onda de choque oblicua y
luego ana onda de
expansin; b) primero se genera una onda de expansin y luego ana
onda de
choque oblicua.
7.11.- Fluye aire a travs de una cua tipo diamante cuyo ngulo
cncavo y convexo
es de 15 en condicin supersnica. Se genera una onda de choque
oblicua en la
cara frontal de la cua y en el vrtice convexo se generan ondas
de expansin.
Aguas debajo de las ondas de expansin la presin esttica y la de
estancamiento
valen 0,1 atm 2,596 atm respectivamente. Determine el nmero de
Mach antes de la
onda de choque oblicua.
7.12.- Un campo de flujo circula sobre una placa plana la cual
tiene una inclinacin
convexa; con relacin a las lneas de corriente horizontales, de
8. El nmero de
Mach es de 2,5; p1 = 100 kPa; po1 = 1709 kPa; y la funcin de
Prandatl-Meyer para
M1 [(M1)] vale 39,124. En la zona superior de la placa se
generan ondas de
expansin y en la zona inferior de la placa se generan ondas de
choque oblicuo.
Determine: 1) para la zona superior: a) nmero de Mach; b) presin
esttica; y
funcin Prandatl-Meyer. 2) para la zona inferior: a) ngulo de
inclinacin de la onda
de choque; b) nmero de Mach; y c) presin esttica.
7.13.- Un campo de flujo circula sobre una cua tipo diamante
cuyo ngulo cncavo
y convexo es de 2 y tiene una inclinacin convexa, con relacin a
las lneas de
corriente horizontales, de 8. El nmero de Mach es de 2,5; p1 =
100 kPa; po1 = 1709
kPa; y la funcin de Prandatl-Meyer para M1 [(M1)] vale 39,124.
En la cara frontal
de la cua y en la zona superior de la cua se generan ondas de
expansin y en la
zona inferior de la misma se generan ondas de choque oblicuo. En
los vrtices
convexos de la cua igualmente se generan ondas de expansin.
Determine: 1) para
las zonas donde se generan ondas de expansin: a) nmero de Mach;
b) presin
esttica; y funcin Prandatl-Meyer. 2) para la zona donde se
genera onda de choque
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
oblicuo: a) ngulo de inclinacin de la onda de choque; b) nmero
de Mach; y c)
presin esttica.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
7.13.- TABLAS.
TABLA F2.- Funcin Prandtl-Meyer y Angulo de Mach para un gas
calricamente perfecto con calor especifico y peso molecular
constante
k = 1,4
M M M
1.0000 0.000E+00 9.000E+01 1.5000 1.191E+01 4.181E+01 2.0000
2.638E+01 3.000E+01
1.0125 6.240E-02 8.099E+01 1.5125 1.227E+01 4.139E+01 2.0125
2.672E+01 2.979E+01
1.0250 1.751E-01 7.732E+01 1.5250 1.264E+01 4.098E+01 2.0250
2.707E+01 2.959E+01
1.0375 3.191E-01 7.455E+01 1.5375 1.301E+01 4.057E+01 2.0375
2.741E+01 2.939E+01
1.0500 4.874E-01 7.225E+01 1.5500 1.338E+01 4.018E+01 2.0500
2.775E+01 2.920E+01
1.0625 6.758E-01 7.025E+01 1.5625 1.375E+01 3.979E+01 2.0625
2.809E+01 2.900E+01
1.0750 8.815E-01 6.847E+01 1.5750 1.412E+01 3.941E+01 2.0750
2.843E+01 2.881E+01
1.0875 1.102E+00 6.686E+01 1.5875 1.449E+01 3.904E+01 2.0875
2.876E+01 2.862E+01
1.1000 1.336E+00 6.538E+01 1.6000 1.486E+01 3.868E+01 2.1000
2.910E+01 2.844E+01
1.1125 1.582E+00 6.401E+01 1.6125 1.523E+01 3.833E+01 2.1125
2.943E+01 2.825E+01
1.1250 1.839E+00 6.273E+01 1.6250 1.560E+01 3.798E+01 2.1250
2.976E+01 2.807E+01
1.1375 2.106E+00 6.154E+01 1.6375 1.597E+01 3.764E+01 2.1375
3.010E+01 2.789E+01
1.1500 2.381E+00 6.041E+01 1.6500 1.634E+01 3.731E+01 2.1500
3.043E+01 2.772E+01
1.1625 2.665E+00 5.934E+01 1.6625 1.671E+01 3.698E+01 2.1625
3.075E+01 2.754E+01
1.1750 2.956E+00 5.833E+01 1.6750 1.707E+01 3.666E+01 2.1750
3.108E+01 2.737E+01
1.1875 3.254E+00 5.736E+01 1.6875 1.744E+01 3.634E+01 2.1875
3.141E+01 2.720E+01
1.2000 3.558E+00 5.644E+01 1.7000 1.781E+01 3.603E+01 2.2000
3.173E+01 2.704E+01
1.2125 3.868E+00 5.556E+01 1.7125 1.818E+01 3.573E+01 2.2125
3.206E+01 2.687E+01
1.2250 4.184E+00 5.472E+01 1.7250 1.854E+01 3.543E+01 2.2250
3.238E+01 2.671E+01
1.2375 4.505E+00 5.391E+01 1.7375 1.891E+01 3.514E+01 2.2375
3.270E+01 2.655E+01
1.2500 4.830E+00 5.313E+01 1.7500 1.927E+01 3.485E+01 2.2500
3.302E+01 2.639E+01
1.2625 5.159E+00 5.238E+01 1.7625 1.964E+01 3.457E+01 2.2625
3.334E+01 2.623E+01
1.2750 5.493E+00 5.166E+01 1.7750 2.000E+01 3.429E+01 2.2750
3.365E+01 2.608E+01
1.2875 5.830E+00 5.096E+01 1.7875 2.036E+01 3.402E+01 2.2875
3.397E+01 2.592E+01
1.3000 6.170E+00 5.028E+01 1.8000 2.073E+01 3.375E+01 2.3000
3.428E+01 2.577E+01
1.3125 6.514E+00 4.963E+01 1.8125 2.109E+01 3.349E+01 2.3125
3.460E+01 2.562E+01
1.3250 6.860E+00 4.900E+01 1.8250 2.145E+01 3.323E+01 2.3250
3.491E+01 2.547E+01
1.3375 7.209E+00 4.839E+01 1.8375 2.181E+01 3.297E+01 2.3375
3.522E+01 2.533E+01
1.3500 7.561E+00 4.779E+01 1.8500 2.216E+01 3.272E+01 2.3500
3.553E+01 2.518E+01
1.3625 7.914E+00 4.722E+01 1.8625 2.252E+01 3.247E+01 2.3625
3.583E+01 2.504E+01
1.3750 8.270E+00 4.666E+01 1.8750 2.288E+01 3.223E+01 2.3750
3.614E+01 2.490E+01
1.3875 8.628E+00 4.611E+01 1.8875 2.323E+01 3.199E+01 2.3875
3.644E+01 2.476E+01
1.4000 8.987E+00 4.558E+01 1.9000 2.359E+01 3.176E+01 2.4000
3.675E+01 2.462E+01
1.4125 9.348E+00 4.507E+01 1.9125 2.394E+01 3.153E+01 2.4125
3.705E+01 2.449E+01
1.4250 9.710E+00 4.457E+01 1.9250 2.429E+01 3.130E+01 2.4250
3.735E+01 2.435E+01
1.4375 1.007E+01 4.408E+01 1.9375 2.464E+01 3.107E+01 2.4375
3.765E+01 2.422E+01
1.4500 1.044E+01 4.360E+01 1.9500 2.499E+01 3.085E+01 2.4500
3.795E+01 2.409E+01
1.4625 1.080E+01 4.314E+01 1.9625 2.534E+01 3.063E+01 2.4625
3.824E+01 2.396E+01
1.4750 1.117E+01 4.268E+01 1.9750 2.569E+01 3.042E+01 2.4750
3.854E+01 2.383E+01
1.4875 1.154E+01 4.224E+01 1.9875 2.603E+01 3.021E+01 2.4875
3.883E+01 2.370E+01
2.5000 52.56842 23.57812 3.0000 64.61849 19.47118 3.5000
72.50943 16.60151
2.5125 52.93007 23.45377 3.0125 64.86070 19.38714 3.5125
72.66555 16.54073
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
2.5250 53.28849 23.33077 3.0250 65.10032 19.30385 3.5250
72.81995 16.48040
2.5375 53.64369 23.20909 3.0375 65.33737 19.22128 3.5375
72.97266 16.42051
2.5500 53.99565 23.08872 3.0500 65.57187 19.13943 3.5500
73.12369 16.36107
2.5625 54.34440 22.96962 3.0625 65.80384 19.05829 3.5625
73.27308 16.30205
2.5750 54.68994 22.85179 3.0750 66.03331 18.97785 3.5750
73.42082 16.24347
2.5875 55.03227 22.73519 3.0875 66.26030 18.89809 3.5875
73.56695 16.18532
2.6000 55.37140 22.61981 3.1000 66.48484 18.81902 3.6000
73.71148 16.12758
2.6125 55.70735 22.50563 3.1125 66.70694 18.74062 3.6125
73.85443 16.07026
2.6250 56.04011 22.39264 3.1250 66.92663 18.66288 3.6250
73.99583 16.01336
2.6375 56.36971 22.28080 3.1375 67.14394 18.58580 3.6375
74.13567 15.95686
2.6500 56.69615 22.17011 3.1500 67.35888 18.50936 3.6500
74.27400 15.90076
2.6625 57.01944 22.06054 3.1625 67.57148 18.43356 3.6625
74.41081 15.84506
2.6750 57.33961 21.95208 3.1750 67.78177 18.35839 3.6750
74.54614 15.78976
2.6875 57.65665 21.84471 3.1875 67.98976 18.28385 3.6875
74.67999 15.73484
2.7000 57.97058 21.73841 3.2000 68.19548 18.20991 3.7000
74.81238 15.68031
2.7125 58.28143 21.63317 3.2125 68.39895 18.13659 3.7125
74.94334 15.62617
2.7250 58.58920 21.52897 3.2250 68.60019 18.06386 3.7250
75.07288 15.57240
2.7375 58.89391 21.42580 3.2375 68.79923 17.99172 3.7375
75.20101 15.51900
2.7500 59.19557 21.32364 3.2500 68.99609 17.92017 3.7500
75.32776 15.46597
2.7625 59.49421 21.22247 3.2625 69.19079 17.84920 3.7625
75.45313 15.41331
2.7750 59.78984 21.12228 3.2750 69.38336 17.77879 3.7750
75.57715 15.36101
2.7875 60.08248 21.02306 3.2875 69.57382 17.70895 3.7875
75.69982 15.30907
2.8000 60.37214 20.92478 3.3000 69.76218 17.63966 3.8000
75.82118 15.25749
2.8125 60.65885 20.82745 3.3125 69.94848 17.57092 3.8125
75.94122 15.20625
2.8250 60.94262 20.73104 3.3250 70.13273 17.50273 3.8250
76.05997 15.15536
2.8375 61.22347 20.63553 3.3375 70.31495 17.43507 3.8375
76.17744 15.10482
2.8500 61.50142 20.54093 3.3500 70.49518 17.36794 3.8500
76.29365 15.05462
2.8625 61.77650 20.44721 3.3625 70.67342 17.30133 3.8625
76.40862 15.00475
2.8750 62.04872 20.35436 3.3750 70.84971 17.23524 3.8750
76.52235 14.95521
2.8875 62.31811 20.26237 3.3875 71.02405 17.16967 3.8875
76.63486 14.90601
2.9000 62.58468 20.17122 3.4000 71.19648 17.10460 3.9000
76.74616 14.85713
2.9125 62.84846 20.08092 3.4125 71.36702 17.04002 3.9125
76.85628 14.80858
2.9250 63.10946 19.99143 3.4250 71.53568 16.97594 3.9250
76.96522 14.76034
2.9375 63.36771 19.90276 3.4375 71.70248 16.91235 3.9375
77.07300 14.71242
2.9500 63.62324 19.81488 3.4500 71.86746 16.84924 3.9500
77.17963 14.66482
2.9625 63.87605 19.72780 3.4625 72.03062 16.78661 3.9625
77.28513 14.61753
2.9750 64.12619 19.64149 3.4750 72.19199 16.72444 3.9750
77.38950 14.57054
2.9875 64.37366 19.55595 3.4875 72.35159 16.66275 3.9875
77.49277 14.52386
4.0000 77.59495 14.47748 4.5000 80.91683 12.83956 5.0000
83.13651 11.53693
4.0125 77.69604 14.43140 4.5125 80.98366 12.80339 5.0125
83.18175 11.50777
4.0250 77.79606 14.38561 4.5250 81.04982 12.76742 5.0250
83.22655 11.47875
4.0375 77.89503 14.34012 4.5375 81.11531 12.73166 5.0375
83.27094 11.44988
4.0500 77.99295 14.29492 4.5500 81.18016 12.69609 5.0500
83.31490 11.42116
4.0625 78.08984 14.25000 4.5625 81.24436 12.66073 5.0625
83.35846 11.39258
4.0750 78.18571 14.20537 4.5750 81.30792 12.62557 5.0750
83.40161 11.36415
4.0875 78.28058 14.16102 4.5875 81.37085 12.59060 5.0875
83.44435 11.33585
4.1000 78.37445 14.11695 4.6000 81.43316 12.55583 5.1000
83.48669 11.30770
4.1125 78.46733 14.07315 4.6125 81.49485 12.52125 5.1125
83.52864 11.27969
4.1250 78.55925 14.02963 4.6250 81.55593 12.48686 5.1250
83.57020 11.25182
4.1375 78.65020 13.98638 4.6375 81.61641 12.45266 5.1375
83.61138 11.22409
4.1500 78.74021 13.94340 4.6500 81.67630 12.41865 5.1500
83.65217 11.19649
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
4.1625 78.82927 13.90069 4.6625 81.73560 12.38483 5.1625
83.69258 11.16903
4.1750 78.91741 13.85824 4.6750 81.79431 12.35119 5.1750
83.73261 11.14171
4.1875 79.00464 13.81605 4.6875 81.85245 12.31774 5.1875
83.77228 11.11452
4.2000 79.09095 13.77411 4.7000 81.91002 12.28447 5.2000
83.81158 11.08746
4.2125 79.17638 13.73244 4.7125 81.96703 12.25137 5.2125
83.85052 11.06054
4.2250 79.26092 13.69102 4.7250 82.02348 12.21846 5.2250
83.88910 11.03375
4.2375 79.34458 13.64985 4.7375 82.07938 12.18573 5.2375
83.92732 11.00708
4.2500 79.42739 13.60893 4.7500 82.13473 12.15317 5.2500
83.96520 10.98055
4.2625 79.50934 13.56826 4.7625 82.18955 12.12079 5.2625
84.00272 10.95414
4.2750 79.59044 13.52783 4.7750 82.24384 12.08858 5.2750
84.03991 10.92787
4.2875 79.67072 13.48764 4.7875 82.29760 12.05654 5.2875
84.07675 10.90172
4.3000 79.75017 13.44770 4.8000 82.35084 12.02467 5.3000
84.11325 10.87569
4.3125 79.82880 13.40799 4.8125 82.40357 11.99297 5.3125
84.14943 10.84979
4.3250 79.90663 13.36852 4.8250 82.45579 11.96144 5.3250
84.18527 10.82401
4.3375 79.98367 13.32928 4.8375 82.50751 11.93008 5.3375
84.22079 10.79836
4.3500 80.05992 13.29027 4.8500 82.55873 11.89888 5.3500
84.25598 10.77283
4.3625 80.13539 13.25150 4.8625 82.60946 11.86785 5.3625
84.29086 10.74742
4.3750 80.21010 13.21295 4.8750 82.65970 11.83698 5.3750
84.32541 10.72213
4.3875 80.28404 13.17463 4.8875 82.70946 11.80627 5.3875
84.35966 10.69696
4.4000 80.35724 13.13653 4.9000 82.75874 11.77572 5.4000
84.39360 10.67190
4.4125 80.42969 13.09865 4.9125 82.80756 11.74533 5.4125
84.42723 10.64697
4.4250 80.50142 13.06099 4.9250 82.85591 11.71509 5.4250
84.46055 10.62215
4.4375 80.57242 13.02355 4.9375 82.90379 11.68501 5.4375
84.49358 10.59745
4.4500 80.64270 12.98633 4.9500 82.95123 11.65509 5.4500
84.52631 10.57286
4.4625 80.71227 12.94932 4.9625 82.99821 11.62532 5.4625
84.55874 10.54839
4.4750 80.78115 12.91252 4.9750 83.04475 11.59571 5.4750
84.59089 10.52404
4.4875 80.84933 12.87594 4.9875 83.09085 11.56625 5.4875
84.62275 10.49979
5.5000 84.65432 10.47566 6.0000 85.71338 9.59405 6.5000 86.46456
8.84986
5.5125 84.68561 10.45164 6.0125 85.73542 9.57391 6.5125 86.48031
8.83274
5.5250 84.71662 10.42772 6.0250 85.75728 9.55386 6.5250 86.49592
8.81568
5.5375 84.74735 10.40392 6.0375 85.77894 9.53390 6.5375 86.51142
8.79869
5.5500 84.77781 10.38023 6.0500 85.80043 9.51402 6.5500 86.52678
8.78177
5.5625 84.80800 10.35665 6.0625 85.82173 9.49422 6.5625 86.54202
8.76491
5.5750 84.83792 10.33317 6.0750 85.84285 9.47450 6.5750 86.55713
8.74812
5.5875 84.86758 10.30980 6.0875 85.86379 9.45487 6.5875 86.57212
8.73139
5.6000 84.89697 10.28654 6.1000 85.88455 9.43532 6.6000 86.58699
8.71472
5.6125 84.92611 10.26338 6.1125 85.90514 9.41585 6.6125 86.60173
8.69812
5.6250 84.95498 10.24032 6.1250 85.92556 9.39646 6.6250 86.61636
8.68158
5.6375 84.98361 10.21737 6.1375 85.94580 9.37715 6.6375 86.63086
8.66511
5.6500 85.01197 10.19453 6.1500 85.96587 9.35791 6.6500 86.64525
8.64869
5.6625 85.04009 10.17178 6.1625 85.98577 9.33876 6.6625 86.65952
8.63234
5.6750 85.06797 10.14914 6.1750 86.00550 9.31969 6.6750 86.67367
8.61605
5.6875 85.09559 10.12660 6.1875 86.02507 9.30069 6.6875 86.68771
8.59983
5.7000 85.12298 10.10416 6.2000 86.04447 9.28178 6.7000 86.70163
8.58366
5.7125 85.15012 10.08182 6.2125 86.06371 9.26294 6.7125 86.71544
8.56756
5.7250 85.17703 10.05958 6.2250 86.08279 9.24417 6.7250 86.72914
8.55151
5.7375 85.20370 10.03743 6.2375 86.10171 9.22549 6.7375 86.74273
8.53553
5.7500 85.23014 10.01539 6.2500 86.12047 9.20687 6.7500 86.75620
8.51960
5.7625 85.25635 9.99344 6.2625 86.13908 9.18834 6.7625 86.76957
8.50374
5.7750 85.28233 9.97159 6.2750 86.15752 9.16988 6.7750 86.78283
8.48793
5.7875 85.30808 9.94983 6.2875 86.17582 9.15149 6.7875 86.79598
8.47219
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
5.8000 85.33362 9.92817 6.3000 86.19396 9.13318 6.8000 86.80902
8.45650
5.8125 85.35892 9.90660 6.3125 86.21195 9.11494 6.8125 86.82196
8.44087
5.8250 85.38401 9.88513 6.3250 86.22979 9.09677 6.8250 86.83479
8.42530
5.8375 85.40889 9.86375 6.3375 86.24748 9.07868 6.8375 86.84752
8.40978
5.8500 85.43354 9.84246 6.3500 86.26502 9.06065 6.8500 86.86015
8.39433
5.8625 85.45799 9.82127 6.3625 86.28242 9.04270 6.8625 86.87268
8.37893
5.8750 85.48222 9.80017 6.3750 86.29968 9.02482 6.8750 86.88510
8.36358
5.8875 85.50624 9.77916 6.3875 86.31679 9.00702 6.8875 86.89743
8.34829
5.9000 85.53006 9.75823 6.4000 86.33376 8.98928 6.9000 86.90965
8.33306
5.9125 85.55367 9.73740 6.4125 86.35059 8.97161 6.9125 86.92178
8.31789
5.9250 85.57708 9.71666 6.4250 86.36727 8.95401 6.9250 86.93381
8.30277
5.9375 85.60029 9.69601 6.4375 86.38383 8.93648 6.9375 86.94574
8.28770
5.9500 85.62330 9.67544 6.4500 86.40024 8.91902 6.9500 86.95757
8.27269
5.9625 85.64611 9.65496 6.4625 86.41652 8.90163 6.9625 86.96931
8.25774
5.9750 85.66873 9.63457 6.4750 86.43266 8.88431 6.9750 86.98096
8.24283
5.9875 85.69115 9.61427 6.4875 86.44868 8.86705 6.9875 86.99251
8.22799
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
7.14.- BIBLIOGRAFA.
Anderson, J. D. (1990). Modern Compressible Flow With Historical
Perspective. 2da. Edicin McGraw Hill. Inc.
Bustamante, L. M. (1999). La Dinmica del Flujo Compresible.
Volumen I. UNEXPO.
Bustamante, L. M. (2009). La Dinmica del Flujo Compresible.
Volumen II. UNEXPO.
Bustamante, L. M. (1999). Problemas de Dinmica de Gases.
UNEXPO.
Bustamante, L. M. (1999). Dinmica de Gases. Apndice. UNEXPO.
Bolinaga J. (1992). Mecnica elemental de los fluidos. Fundacin
Polar UCAB.
Encyclopedia and Compressible Flows. (1989). Volumen 8.
Aerodynamics and Compressible Flows.
Fox, Robert y McDonald, Alan (1991). Introduccin a la Mecnica de
los Fluidos. Iberoamericana S.A.
Jones, J. B.; Dugan, R. E. (1997). Ingeniera Termodinmica.
Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Primera Edicin. Mxico.
Lames, Irwinig. (1995). La Mecnica de Fluidos. McGraw-HILL.
Middleman Stanley.- (1998). An Introduction to Fluid Dynamics.
John Wiley & Sons, Inc.
Munson, B. R. ((1998). Fundamentals of Fluid Mechanics. New
York. John Wiley & Sons, Inc. Third Edition.
P. Gerhart, R. Gross y J.Hochstein (1995). Fundamentos de
Mecnicas de Fluidos. Addison Wesley.
Rotty R. (1968). Introduccin a la Dinmica de Gases. Centro
Regional de Ayuda Tcnica. Agenda para el Desarrollo Internacional.
Mxico.
Shapiro A. H. (1953). The Dynamics and Thermodynamics of
Compressible Fluid Flow. Vol. I/II. Ronald Press. New York.
Streeter V. L. y Wylie E. B. (1990). Mecnica de Fluidos.
Wylen, Van y Sonntag. (1997). Fundamentos de Termodinmica.
Limusa. Vigsima segunda Reimpresin.
7.15.- ANEXO.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO,
UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.