CHONG PIK LIN - fp.utm.my · PDF fileHukum Coulomb merupakan asas kepada konsep medan elektrostatik. Hukum ini diasaskan oleh Colonel Charles Coulomb melalui eksperimen yang dijalankan

APLIKASI KALKULUS VEKTOR

DALAM MEDAN ELEKTROSTATIK

CHONG PIK LIN

UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA

APLIKASI KALKULUS VEKTOR DALAM

MEDAN ELEKTROSTATIK

CHONG PIK LIN

Laporan projek ini dikemukakan

sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat penganugerahan

Ijazah Sarjana Muda Sains serta Pendidikan (Matematik).

Fakulti Pendidikan

Universiti Teknologi Malaysia

2 MEI 2006

ii

Tarikh : 2 MEI 2006

iii

DEDIKASI

Dikhaskan kepada Tuhan Yesus yang tercinta.

Kepada ibu bapa saya, dalam hidup saya ini, kasih sayang ibu dan bapa sentiasa

hadir pada setiap saat. Sokongan dan dorongan yang diberikan oleh ibu dan bapa

kepada saya membolehkan saya lebih bertekad menumpukan masa dan perhatian dalam

menyiapkan projek ini.

Kepada abang sulung saya, kesediaan menolong saya dalam meminjamkan

laptop ketika berpeluang datang ke Johor banyak memberi kesenangan dalam penyiapan

laporan ini. Terima kasih atas tunjuk ajar yang diberikan apabila saya menghadapi

masalah dalam komputer.

Kepada abang ngah, kehadiran abang dalam kehidupan saya telah memberi

rangsangan agar saya menjadi seorang yang lebih baik.

Kepada adik saya, teman adik semasa saya membuat tesis melalui mesej pendek

dan perbualan menerusi telefon merupakan saat yang saya hargai.

iv

PENGHARGAAN

Saya ingin merakamkan penghargaan yang tak terhingga kepada Dr. Maslan

Osman yang telah banyak memberi teguran dan pandangan yang bernas semasa saya

menyiapkan projek ini.

Terima kasih juga ditujukan kepada rakan-rakan seperjuangan yang tidak jemu-

jemu memberi perangsang dalam menyiapkan projek ini.

v

ABSTRAK

Semua benda dalam dunia ini terdiri daripada cas. Apabila bilangan cas positif dan

cas negatif dalam jasad tidak sama, jasad adalah bercas. Medan elektrik berpunca

daripada cas atau taburan cas yang berterusan. Keamatan medan elektrik pada

kawasan yang berdekatan dengan cas adalah lebih tinggi daripada kawasan yang

jauh. Untuk penggiraan keamatan medan elektrik, penggunaan kalkulus vektor

diperlukan. Teorem Kecapahan, Teorem Stoke merupakan dua teorem yang

digunakan. Selain itu, laporan ini juga membincangkan beza keupayaan elektrik,

konduktor dan dielektrik dalam medan elektrostatik, ketumpatan fluks elektrik dan

pemalar dielektrik, syarat sempadan dalam medan elektrostatik, kapasitan dan

kapasitor serta daya dan tenaga elektrostatik.

vi

ABSTRACT

Everything in this world contains charge. When positive charge and negative charge

are not equivalence, material is charged. Electric field causes by a charge or a

continuous of charge. The intensity of electric field nearer to the source is stronger

compare to the further. To calculate the electric field intensity, we use calculus vector.

Theorem Divergence and Theorem Stoke are two theorems that involve in this

calculation. Other than that, this report also discusses about electric potential,

conductors and dielectric in static electric field, electric flux density and dielectric

constants, boundary conditions for electrostatic fields, capacitance and capacitors and

lastly, electrostatic energy and forces.

vii

KANDUNGAN

BAB PERKARA MUKA SURAT

PENGESAHAN STATUS LAPORAN

PENGESAHAN PENYELIA

JUDUL i

PENGAKUAN ii

DEDIKASI iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

KANDUNGAN vii

SENARAI SIMBOL xi

SENARAI RAJAH xiii

BAB 1 PENGENALAN

1.1 Pendahuluan 1

1.2 Kepentingan Kajian 2

1.3 Objektif Laporan 3

1.4 Skop Kajian 4

1.5 Rangka Penulisan 4

viii

BAB 2 KALKULUS VEKTOR

2.1 Pengenalan 5

2.2 Skala dan Vektor 5

2.3 Vektor Unit 6

2.4 Aljabar Vektor 7

2.4.1 Penambahan dan Penolakan Vektor 8

2.4.2 Pendaraban Vektor 9

2.4.2.1 Pendaraban vektor dengan skala 9

2.4.2.2 Hasil Darab Bintik 9

2.4.2.3 Hasil Darab Silang 10

2.4.2.4 Pendaraban Antara Tiga Vektor 11

2.5 Sistem Koordinat Ortogonal 12

2.5.1 Sistem Koordinat Cartesian 13

2.5.2 Sistem Koordinat Silinder 14

2.5.3 Sistem Koordinat Sfera 15

2.6 Kalkulus Vektor 17

2.6.1 Kecerunan φ 18

2.6.2 Kecapahan f 18

2.6.2.1 Kecapahan 18

2.6.2.2 Laplacian 19

2.6.2.3 Teorem Kecapahan 20

2.6.3 Keikalan f 22

2.6.3.1 Keikalan f 22

2.6.3.2 Keikalan Bagi Kecerunan dan Kecapahan 23

Bagi Keikalan

2.6.3.3 Teorem Stoke 23

2.7 Penutup 25

ix

BAB 3 TEORI ASAS MEDAN ELEKTROSTATIK

3.1 Pengenalan 26

3.2 Aksiom Asas Elektrostatik Dalam Ruang Bebas 27

3.3 Hukum Coulomb 30

3.3.1 Medan Elektrik Dalam Sistem Cas Asingan 36

3.3.2 Medan Elektrik Bagi Cas Taburan Selanjar 39

3.4 Hukum Gauss dan Aplikasi 41

3.5 Keupayaan Elektrik 44

3.5.1 Keupayaan Elektrik Bagi Cas Taburan 46

3.6 Penutup 50

BAB 4 KONDUKTOR DAN DIELEKTRIK DALAM MEDAN

ELEKTROSTATIK

4.1 Pengenalan 51

4.2 Konduktor Dalam Medan Elektrostatik 52

4.3 Dielektrik Dalam Medan Elektrostatik 57

4.3.1 Taburan Cas Yang Seimbang Bagi Dielektrik 58

Terkutub

4.4 Ketumpatan Fluks Elektrik dan Pemalar Dielektrik 62

4.4.1 Kekuatan Dielektrik 69

4.5 Syarat Sempadan Dalam Medan Elektrostatik 71

4.6 Penutup 74

x

BAB 5 KAPASITOR DAN TENAGA ELEKTROSTATIK

5.1 Pengenalan 76

5.2 Kapasitan dan Kapasitor 76

5.2.1 Kapasitor Yang Disambung Secara Siri dan 80

Secara Selari

5.3 Daya dan Tenaga Elektrostatik 83

5.3.1 Tenaga Elektrostatik Dalam Sebutan 89

Quantiti Medan

5.3.2 Daya Elektrostatik 94

5.3.2.1 Sistem Bagi Jasad Dengan Cas Malar 94

5.3.2.2 Sistem Jasad Konduktor Dengan Beza 96

Keupayaan Yang Malar

5.4 Penutup 100

BAB 6 KESIMPULAN

6.1 Kesimpulan 101

6.2 Cadangan 106

Rujukan 107

xi

SENARAI SIMBOL

Simbol Takrif

∫∫∫vdv Kamiran isipadu / Kamiran terhadap isipadu

∫∫sds Kamiran permukaan / Kamiran terhadap permukaan

∫Ld Kamiran garisan / Kamiran terhadap garisan

eR Vektor unit dalam arah R

i Vektor unit dalam arah x

j Vektor unit dalam arah y

k Vektor unit dalam arah z

(x, y, z) Sistem Koordinat Cartesian

(r, θ, z) Sistem Koordinat Silinder

(ρ, θ, φ ) Sistem Koordinat Sfera

∇ Vektor pengoperasian / Pengoperasian

∇ f Kecerunan f

f•∇ Kecapahan f

f×∇ Keikalan f

ρ Ketumpatan isipadu

ρs Ketumpatan permukaan

ρℓ Ketumpatan garisan

εo Ketelusan ruang bebas

ε Ketelusan mutlak

Q Cas

E Keamatan medan elektrik / medan elektrik

F Daya

ℓ

xii

V Beza keupayaan

P Vektor pengkutuban

p Momen elektrik dwikutub

D Ketumpatan fluks elektrik / sesaran elektrik

χe Kerentanan elektrik

C Kapasitan

Cll Jumlah kapasitan bagi sambungan kapasitor-kapasitor yang selari

Csr Jumlah kapasitan bagi sambungan kapasitor-kapasitor yang sesiri

W Tenaga elektrostatik

we Ketumpatan tenaga elektrostatik

We Tenaga elektrostatik semulajadi

TQ Kuasa pusingan jasad (torque)

xiii

SENARAI RAJAH

No. Rajah Tajuk Muka Surat

3.1 Lintasan tertutup 30

3.2 Cas titik pada asalan 31

3.3 Cas titik tidak berada pada asalan 31

3.4 Sistem pemesongan elektostatik bagi sinar katod osiloskop 34

3.5 Medan elektrik bagi dwikutub 36

3.6 Medan elektrik yang disebabkan oleh taburan cas selanjar 39

3.7 Cas garisan yang lurus dan takterhingga panjangnya 40

3.8 Hukum Gauss diaplikasikan ke dalam cas garis yang tak terhingga

panjangnya 43

3.9 Hubungan antara arah E dan penambahan V 46

3.10 Lintasan cas titik 47

3.11 Dwikutub dielektrik 47

3.12 Cas tertabur seragam dalam bulatan 49

4.1 Sempadan antara konduktor dan ruang bebas 52

4.2 Keamatan medan elektrik dan beza upaya bagi cas titik +Q pada pusat

rangka konduktor 56

4.3 Perantaraan dielektrik terkutub 57

4.4 Perbezaan medan bagi satu cas positif yang berada pada pusat rangka

dielektrik 67

4.5 Dua sfera konduktor yang bersambung 70

4.6 Perantara muka bagi dua perantaraan 71

4.7 Keadaan sempadan pada perantara muka antara dua perantaraan

dielektrik 73

xiv

5.1 Satu kapasitor yang terdiri daripada dua konduktor sebagai platnya 77

5.2 Kapasitor sfera 79

5.3 Sambungan kapasitor secara siri 80

5.4 Sambungan kapasitor secara selari 81

5.5 Gabungan kapasitor-kapasitor 81

5.6 Penghimpunan sfera seragam cas 86

5.7 Kapasitor dengan plat selari yang dicaskan 91

5.8 Kapasitor bentuk silinder 93

BAB 1

PENGENALAN

1.1 Pendahuluan

Setiap benda dalam dunia ini mempunyai cas. Cas-cas yang hadir ini terdiri

daripada cas negatif dan cas positif. Suatu benda yang mempunyai bilangan cas positif

dan cas negatif yang sama adalah bersifat neutral. Apabila bilangan cas ini tidak sama,

medan elektrik terbentuk.

Medan dalam pengertian umum bermakna lapangan atau kawasan lapang.

Medan elektrik wujud adalah kesan cas elektrik yang pegun di mana cas ini berfungsi

sebagai sumber kepada medan elektrik. Medan elektrik yang berubah mengikut masa

adalah medan magnetik. Medan elektrik yang bukan fungsi masa adalah medan

elektrostatik.

Dua benda yang penting dalam medan elektrostatik adalah keamatan medan

elektrik dan beza keupayaan. Keamatan medan elektrik bergantung kepada kedudukan

titik dari sumber. Keamatan medan elektrik adalah lebih tinggi bagi kawasan dekat

dengan sumber. Beza upaya antara dua titik Vab ditakrifkan sebagai kerja dalam joule

2

yang mesti dilakukan untuk menggerakkan satu unit cas titik positif dari titik b ke a

dalam keamatan medan elektrik.

1.2 Kepentingan Kajian

Hukum Coulomb merupakan asas kepada konsep medan elektrostatik. Hukum

ini diasaskan oleh Colonel Charles Coulomb melalui eksperimen yang dijalankan pada

tahun 1785. Walau bagaimanapun, kalkulus vektor adalah penting dalam pengiraan.

Kajian ini bertujuan untuk melihat penerbitan rumus bagi medan elektrostatik

secara mendalam. Konsep-konsep dalam kalkulus vektor digunakan. Kecapahan dan

keikalan merupakan asas dalam kalkulus vektor. Penggunaan kecapahan dan keikalan

membentuk aksiom asas kepada medan elektrostatik. Dengan itu, Teorem kecapahan

dan teorem Stoke banyak digunakan dalam kajian ini. Setiap langkah penerbitan bagi

rumus yang berkaitan dengan medan elektrostatik ditunjukkan.

1.3 Objektif Kajian

Objektif laporan projek ini adalah untuk

i) menerbitkan persamaan keamatan medan elektrik dengan menggunakan

teorem kecapahan,

ii) menerbitkan persamaan keamatan medan elektrik bagi cas taburan

berterusan,

iii) menerbitkan persamaan beza keupayaan bagi taburan cas,

3

iv) menerbitkan persamaan keamatan medan elektrostatik dengan menggunakan

teorem Stoke,

v) menerbitkan beza keupayaan bagi dielektrik dengan menggunakan teorem

kecapahan,

vi) menerbitkan persamaan tenaga elektrostatik dengan menggunakan teorem

kecapahan.

1.4 Skop Kajian

Laporan kajian ini adalah terbatas kepada medan elektrostatik sahaja. Masalah-

masalah elektrostatik tidak termasuk dalam kajian ini.

1.5 Rangka Penulisan

Dalam bab 2, konsep-konsep asas kalkulus vektor akan dibincangkan.

Antaranya termasuk aljabar vektor, sistem koordinat ortogonal dan kalkulus vektor.

Bab 3 bermula dengan aksiom-aksiom asas medan elektrostatik. Bab ini lebih tertumpu

kepada medan elektrik dalam ruang bebas. Hukum Coulomb dan Hukum Gauss adalah

dua hukum menjadi asas kepada penerbitan teori-teori medan elektrik ruang bebas.

Pada akhir bab adalah perbincangan persamaan beza keupayaan.

Bab 4 membincangkan medan elektrostatik pada sempadan konduktor dan

sempadan dielektrik apabila jasad diletakkan ke dalam medan elektrik. Syarat-syarat

sempadan antara dua perantaraan dibincangkan pada akhir bab. Bab 5 membincangkan

4

penggunaan syarat sempadan dalam kapasitor dan tenaga elektrostatik. Daya

elektrostatik dibincangkan pada akhir bab.

Laporan ini diakhiri dengan bab 6, kesimpulan dan cadangan. Cadangan diberi

agar pelajar yang berminat boleh meneruskan kajian ini.