145 CHƢƠNG 7 PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ 7.1 Hàm truyền đạt 7.1.1 Định nghĩa hàm truyền Hàm truyền đạt là tỉ số giữa tín hiệu đầu ra và tín hiệu đầu vào. Giả thiết rằng, tại t = 0 mạch được tác động bởi nguồn áp hay nguồn dòng (ký hiệu là hàm x(t), và đại lượng cần xét là dòng hoặc áp ở đầu ra ký hiệu là y(t)). Với x(t) và y(t) xuất hiện trên các cực của mạch. Hình 7.1 Tín hiệu vào và tín hiệu ra của mạch điện Toán tử hóa sơ đồ mạch điện: Hình 7.2 Toán tử hóa tín hiệu vào và tín hiệu ra của mạch điện Khi điều kiện đầu bằng 0, hàm truyền đạt được định nghĩa như sau: Y(p) G(p) X(p) Trong đó: Y(p) = L[y(t)] X(p) = L[x(t)] 7.1.2 Ý nghĩa của hàm truyền Hàm truyền đạt là một hàm đặc trưng cho các tính chất của mạch, một khi đã biết G(p) ta có thể tìm được đáp ứng của mạch đối với một tác động bất kỳ theo biểu thức sau: Y(p) = G(p).X(p) y(t) = L -1 [Y(p)] Để quan hệ giữa x(t) và y(t) là đơn trị, thì điều kiện quan trọng là điều kiện đầu phải bằng 0. 7.1.3 Trình tự các bƣớc xây dựng hàm truyền Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ toán tử Laplace Bước 2: Xác định hàm truyền là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và
27
Embed
CHƯƠNG II: PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ · Với x(t) và y(t) xuất hiện trên các cực của mạch. Hình 7.1 Tín hiệu vào và tín hiệu ra của mạch
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
145
CHƢƠNG 7
PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ
7.1 Hàm truyền đạt
7.1.1 Định nghĩa hàm truyền
Hàm truyền đạt là tỉ số giữa tín hiệu đầu ra và tín hiệu đầu vào.
Giả thiết rằng, tại t = 0 mạch được tác động bởi nguồn áp hay nguồn dòng
(ký hiệu là hàm x(t), và đại lượng cần xét là dòng hoặc áp ở đầu ra ký hiệu là y(t)).
Với x(t) và y(t) xuất hiện trên các cực của mạch.
Hình 7.1 Tín hiệu vào và tín hiệu ra của mạch điện
Toán tử hóa sơ đồ mạch điện:
Hình 7.2 Toán tử hóa tín hiệu vào và tín hiệu ra của mạch điện
Khi điều kiện đầu bằng 0, hàm truyền đạt được định nghĩa như sau:
Y(p)G(p)
X(p)
Trong đó: Y(p) = L[y(t)]
X(p) = L[x(t)]
7.1.2 Ý nghĩa của hàm truyền
Hàm truyền đạt là một hàm đặc trưng cho các tính chất của mạch, một khi
đã biết G(p) ta có thể tìm được đáp ứng của mạch đối với một tác động bất kỳ theo
biểu thức sau:
Y(p) = G(p).X(p)
y(t) = L-1[Y(p)]
Để quan hệ giữa x(t) và y(t) là đơn trị, thì điều kiện quan trọng là điều kiện
đầu phải bằng 0.
7.1.3 Trình tự các bƣớc xây dựng hàm truyền
Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ toán tử Laplace
Bước 2: Xác định hàm truyền là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và
146
biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0.
7.1.4 Các ví dụ xác định hàm truyền
Ví dụ 7.1 Cho mạch điện như hình 7.3:
u1(t): tín hiệu vào của mạch (x(t))
u2(t): tín hiệu ra của mạch (y(t))
Tính hàm truyền Y(p)
G(p)X(p)
Hình 7.3 Sử dụng cho ví dụ 7.1
Giải
Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ toán tử Laplace
Ta có: X(p) = U1(p)
Y(p) = U2(p)
Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp:
CP
1R
CP
1
).p(U)p(U 12
2
1
1
U (P) 1CPG(p)1U (P) 1 RCP
RCP
Ví dụ 7.2 Cho mạch điện như hình 7.4:
147
Hình 7.4 Sử dụng cho ví dụ 7.2
Tính hàm truyền đạt áp G(p).
Giải
Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ toán tử Laplace
Ta có: X(p) = U1(p)
Y(p) = U2(p)
Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp
2
2 2
1 1 21 2
1R
U (P) 1 R CPCPG(P)1U (P) 1 (R R )CP
R RCP
Vậy: 4
3
1 10 PG(P)
1 10 P
Ví dụ 7.3 Cho mạch điện như hình 7.5:
Hình 7.5 Sử dụng cho ví dụ 7.3
Tính hàm truyền G(p).
Giải
Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ toán tử Laplace
148
Ta có: X(p) = U1(p)
Y(p) = U2(p)
Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp
)P(U.
CP
1R
CP
1R
R
R)P(U 1
1
1
2
22
2 2 1
1 1 2 2 1
U (P) R (R CP 1)G(P)
U (P) R R CP R R
Ví dụ 7.4 Cho mạch điện như hình 7.6:
Hình 7.6 Sử dụng cho ví dụ 7.4
Tính hàm truyền G(p).
Giải Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ toán tử Laplace
149
Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp
2
2
22 2
212 1
21
2
1R
CPR1
RU (P) R CP 1CPG(P)
1 RU (P)R R
CP R CP 1R1
RCP
2
1 2 2 1
RG(P)
R R CP R R
7.2 Biểu diễn đồ thị của hàm truyền
7.2.1 Đặc tuyến logarit – tần số logarit
Trong thực tế người ta thường quan tâm đến đặc tuyến biên độ G(j); bởi vì
nó dễ đo lường và nó cho ta biết nhiều tính chất của mạch đối với tần số.
Khái niệm về Bel (B) và decibel (dB): là đơn vị để đo mức tăng hay giảm
công suất của tín hiệu.
Hình 7.11 Công suất vào và công suất ra của mạch điện
r
v
PB lg
P
2
rr
UP
R
2
vv
UP
R
2
r r
v v
P U
P U
r
v
UB 2lg
U
r
v
UdB 20lg
U
Thông thường đặc tuyến tần số được viết dưới dạng:
1
G(p)1 TP
hay 1
G(j )1 Tj
Trong đó: p = jω
Tj : số phức
Modun | G(jω)|
Argumen φ(ω)
7.2.2 Đặc tuyến biên độ - tần số logarit (Giản đồ Bode)
150
Ví dụ 7.5 Khảo sát sự biến thiên của hàm truyền:
1
G(j )1 Tj
1
20lg G(j ) 20lg 20lg1 20lg Tj 11 Tj
(dB)
Khi 11Tj1TT
1
Vậy 20lg|G(jω)| = 0 (dB)
Khi T1Tj1TT
1
Vậy 20lg|G(jω)| 20lgTω (20dB/dec)
Giải thích:
dec decade (10 lần tần số)
(20dB/dec) giảm 20dB khi tần số tăng 10 lần
Tại ω0
20lgTω = 20lgTω0 = xdb
Tại ω = 10ω0
20lgTω = 20lgT.10.ω0 = 20lgTω0 – 20lg10 = x 20dB
Đặc tuyến biên độ tần số logarit:
Ví dụ 7.6 Cho hàm truyền
KG(p)
1 TP
Với K, T: hằng số
jp . Hãy vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit
Giải
Ta có:
KG(j )
1 Tj
K20lg G(j ) 20lg 20lg K 20lg Tj 1
1 Tj
151
Khi .11Tj1TT
1
Vậy 20lg G(j ) 20lg K (dB)
Khi T1Tj1TT
1
Vậy 20lg G(j ) 20lg K 20lgT (20dB/dec)
Ví dụ 7.7 Cho mạch điện như hình 7.8:
Hình 7.8 Sử dụng cho ví dụ 7.7
Tính G(p). Vẽ đặc tuyến biên độ Tần số logarit (giản đồ Bode)
Giải
Bước 1: Đưa mạch về sơ đồ toán tử Laplace
Bước 2: Xác định hàm truyền đạt áp
2
3 7 4
1
1
U (P) 1 1 1CPG(P)1U (P) 1 RCP 1 10 .10 P 1 10 P
RCP
4
1G(j )
10 ( j ) 1
Với jp
152
Bước 3: Vẽ đặc tuyến biên độ Tần số logarit (giản đồ Bode)
420lg G(j ) 20lg 10 (j ) 1
Khi 11Tj1.T)10T(T
1 4
20lg G(j ) 0(dB)
Khi T1Tj1TT
1
20lg G(j ) 20lgT (dB)
(-20dB/dec)
Đặc tuyến biên độ tần số logarit:
Ví dụ 7.8 Cho hàm truyền:
G(p) = K(Tp+1)
Với K,T: hằng số; p = j
Vẽ đặc tuyến biên độ tần số logarit (giản đồ Bode).
Giải
Ta có: 20lg G(j ) 20lg K(Tj 1) 20lg K 20lg (Tj 1)
Khi 11Tj1TT
1
20lg G(j ) 20lg K (dB)
Khi T1Tj1TT
1
)dB(Tlg20Klg20)j(Wlg20
(20dB/dec)
153
Ví dụ 7.9 Cho hàm truyền:
2
1
K(T P 1)G(p)
T P 1
Với K, T1, T2: hằng số ; T1> T2
2
1
K(T j 1)G( j )
T j 1
Vẽ đặc tuyến biên độ - tần số logarit (giản đồ Bode)
Giải
Ta có : 2 120lg G(j ) 20lg K 20lg (T j 1) 20lg T j 1
Khi 1jT;11jT1T;1TT
1
T
12121
21
20lg G(j ) 20lg K (dB)
Khi 11jT;T1jT1T;1TT
1
T
121121
21
120lg G(j ) 20lg K 20lgT (20dB/dec)
Khi 221121
21
T1jT;T1jT1T;1TT
1
T
1
1 220lg G(j ) 20lg K 20lgT 20lgT (0dB/dec)
154
7.2.3 Đặc tuyến pha – tần số logarit
Đặc tuyến pha – tần số logarit: φ(ω)= arg (G(jω)) = G(jω)
Ví dụ 7.10 Cho hàm truyền:
K
G(p)TP 1
với K, T: hằng số
K
G(j )Tj 1
Vẽ đặc tuyến pha – tần số logarit: φ(ω)
Giải
Khi 11Tj1TT
1
G(j ) K 0
Khi Tj1Tj1TT
1
K
G(j )Tj 2
Ví dụ 7.11 Cho hàm truyền:
G(p) = K(Tp + 1) Với K, T: hằng số
G(jω) = K(Tjω + 1). Vẽ đặc tuyến pha tần số logarit:φ(ω).
Giải
Khi 11Tj1TT
1
G(j ) K 0
Khi Tj1Tj1TT
1
G(j ) KTj2
155
Ví dụ 7.12 Cho hàm truyền:
2
1
K(T P 1)G(p)
T P 1
Với K, T1, T2: hằng số; T1>T2
2
1
K(T j 1)G( j )
T j 1
Vẽ đặc tuyến pha tần số logarit: )(
Giải
Khi 11jT;11jT1T;1TT
1
T
12121
2`1
20lg G(j ) 20lg K (dB)
G(j ) K 0
Khi 11jT;T1jT1T;1TT
1
T
121121
21
120lg G(j ) 20lg K 20lgT (20dB/dec)
1
KG(j )
T j 2
Khi 221121
21
T1jT;T1jT1T;1TT
1
T
1
1 220lg G(j ) 20lg K 20lgT 20lgT (0dB/dec)
2
1
KT jG(j ) 0
T j
156
7.3 Phƣơng pháp chuỗi Fourier
7.3.1 Biểu diễn các quá trình tuần hoàn
Một tín hiệu được gọi là tuần hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện:
f(t) = f(t + nT ) (7.1)
Trong đó: n là số nguyên.
T là chu kì lặp lại của tín hiệu, tần số tương ứng với chu kì T được gọi là
tần số cơ bản của tín hiệu, nó được xác định theo biểu thức sau:
T
20
(rad/s) (7.2)
Một tín hiệu tuần hoàn với chu kì T, thỏa mãn điều kiện Dirichlet sẽ được
biểu diễn bằng chuỗi Fourier lượng giác.
7.3.2 Chuỗi Fourier lƣợng giác
Chuỗi Fourier lượng giác biểu diễn tín hiệu tuần hoàn f(t) có dạng như
sau:
f(t) =
1n
0n0n0 tnsinbtncosaa (7.3)
Chuỗi (7.3) bao gồm một số hạng không phụ thuộc vào thời gian và tổng
vô hạn các hàm điều hòa có tần số bằng n lần tần số cơ bản. Các hệ số a0, an, bn
được gọi là các hệ số khai triển Fourier và được xác định theo các công thức sau:
Tt
t0
0
0
dt)t(fT
1a (7.4)
tdtncos)t(fT
2a
Tt
t0n
0
0
(7.5)
tdtnsin)t(fT
2b
Tt
t0n
0
0
(7.6)
Trong đó: n = 1, 2, 3…
Thành phần a0 không phụ thuộc vào thời gian, biểu thị giá trị trung bình
của hàm f(t) trong một chu kỳ, nó còn được gọi là thành phần 1 chiều của tín
157
hiệu. Các hệ số an, bn là biên độ của các thành phần cosin và sin tương ứng với
các tần số nω0.
Hay ta có thể viết:
...t3sinbt2sinbtsinb
...t3cosat2cosatcosaa)t(f
030201
0302010
Trong đó:
0a : thành phần 1 chiều.
tsinb 01 : sóng cơ bản.
t2sinb 02 : sóng hài bậc 2.
t3sinb 03 : sóng hài bậc 3.
Sóng hài bậc 1 (sóng cơ bản): sóng sin tần số .
Sóng hài bậc 3: sóng sin tần số 3 .
Nhận xét: Một dạng sóng tuần hoàn bất kỳ có thể được phân tích thành
tổng những dạng sóng hình sin có tần số khác nhau.
Trong các ứng dụng thực tế, ta chỉ sử dụng một hàm sin hoặc cosin để
biến đổi tổng sau:
)tnsin(Ctnsinbtncosa n0n0n0n (7.7)
)tncos(C n0n (7.8)
Sóng cơ bản
Sóng hài bậc 3
Sóng tổng không sin
Hình 7.9 Sóng tổng không sin dạng 1
158
Sóng cơ bản
Sóng hài bậc 3
Sóng tổng không sin
Hình 7.10 Sóng tổng không sin dạng 2
Trong đó:
n
nn
n
nn
2
n
2
nn
a
barctg
b
aarctg
baC
(7.9)
Như vậy, ta có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dưới dạng tiện lợi cho việc
phân tích mạch:
)tncos(CC)t(f1n
n0n0
(7.10)
Hay
)tnsin(CC)t(f1n
n0n0
(7.11)
Trong đó: C0 = a0
Tổng quát hơn ta có thể viết:
)t(fC)t(f1n
n0
(7.12)
Biểu thức (7.12) cho thấy việc biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi
Fourier, là phân tích tín hiệu tuần hoàn thành tổng của thành phần một chiều C0
và vô hạn các thành phần điều hòa (còn gọi là các thành phần hài) có dạng:
)tncos(C)t(f n0nn (7.13)
Hay
)tnsin(C)t(f n0nn (7.14)
Các thành phần hài, là các dao động điều hòa có biên độ Cn, tần số n0 và
góc pha đầu n hay n . Khi n = 1 ta có:
159
)tcos(C)t(f 1011 (7.15)
Hay
)tsin(C)t(f 1011 (7.16)
f1(t) được gọi là thành phần cơ bản, nó có tần số bằng tần số của tín hiệu
tuần hoàn được xác định theo (7.2).
Ví dụ 7.13 Phân tích dạng sóng hình 7.11 thành chuỗi Fourier có biên độ