Chuyên đề: CHINH PHỤC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - v2016 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 1 Phần 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1). CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG * Phương pháp 1: c¾t b a;b (P) d a;d b a d (P) ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ P b a d * Phương pháp 2: d' (P) d//d' d (P) ⇒ ⊥ ⊥ d' P d * Phương pháp 3: (P) (Q) d (Q) d (P),d ⊥ =Δ ⊥ =Δ ⊥ =Δ ⊥ =Δ ⇒ ⊥ ⊂ ⊥Δ ⊂ ⊥Δ ⊂ ⊥Δ ⊂ ⊥Δ Δ d Q P * Phương pháp 4: (P) (Q) (P) (R) (R) (Q) (R) ∩ =Δ ∩ =Δ ∩ =Δ ∩ =Δ ⊥ ⇒ Δ⊥ Δ⊥ Δ⊥ Δ⊥ ⊥ R Q P Δ
17
Embed
Chinh phục hình học không gian thầy biển - ver 2016
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
* Phương pháp 3: Nếu ABC∆ là hình chiếu của SBC∆ , khi đó α là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC)
với mặt phẳng (ABC) được xác định bởi công thức ABC
SBC
Sc
Sos
∆
∆
α = (công thức hình chiếu diện tích)
αC
B
A
S
6). CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
a). Định nghĩa: Cho mặt phẳng (P) và điểm M (P)∉ . Khi đó ( )HM (P)
d M;(P) MHH (P)
⊥= ⇔
∈
(P)
H
M
b). Các phương pháp xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng * Phương pháp 1: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) ta làm như sau: - Tìm ra mặt phẳng (Q) chứa M và (Q) (P)⊥ = ∆ .
* Phương pháp 2: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) ta có thể tính thông
qua thể tích khối chóp M.ABC như sau: M.ABCM.ABC ABC
ABC
3.V1V .d(M;(ABC)).S d(M;(ABC))
3 S∆
∆
= ⇒ =
C
B
A
M
c). Một số lưu ý khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng * Lưu ý 1: Nếu MN / /(P) thì ( ) ( )d M;(P) d N;(P)=
NM
(P)
* Lưu ý 2: Nếu tia MN cắt (P) tại A thì ( )
( )
d M;(P) MA
d N;(P) NA=
(P)A
N
M
* Lưu ý 3: Ngoài 2 phương pháp tính khoảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) đã trình bày ở trên thì phương pháp phổ biến nhất để tính khoảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) ta thường thông qua khoảng cách từ chân đường vuông góc nào đó đến mặt phẳng cần tính theo mô hình mẫu sau đây:
- Xây dựng 1 mặt phẳng chứa M và vuông góc (P) bằng cách: từ M kẻ MH ⊥ ∆ tại H
( )SAM (P)⇒ ⊥ theo giao tuyến SM.
- Kẻ MK SM⊥ tại K ( ) ( )( )MK P d M; P MK⇒ ⊥ ⇒ =
7). PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a). Định nghĩa đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau.
MN được gọi là ĐOẠN vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau 1∆ và 2∆
1
2
1 2
MN
MN
M , N
⊥ ∆
⇔ ⊥ ∆ ∈ ∆ ∈ ∆
N
M
∆2
∆1
b). Định nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. - Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d và d’ chính là độ dài đoạn vuông góc chung. - Ký hiệu ( )1 2d ; MN∆ ∆ =
c). Phương pháp xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 1∆ và 2∆ , trước hết ta phải tìm ra mặt
phẳng (P) chứa 1 trong 2 đường thẳng, không mất tính tổng quát ta giả sử (P) chứa 2∆ . Khi đó, bài
toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 1∆ và 2∆ ta đưa về 1 trong 2 trường hợp sau đây:
* Trường hợp 1: 1 (P)∆ ⊥ tại M, khi đó ta dựng 2MN ⊥ ∆ tại N ⇒ MN là đoạn vuông góc
chung của 1∆ và 2∆ ( )1 2d ; MN⇒ ∆ ∆ = (Trường hợp này thường mặt phẳng (P) đã cho sẵn)
* Lưu ý: Các tính chất của hình chóp đều - Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, …) - Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. - Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. - Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau. - Tất cả các cạnh bên bằng nhau 9). PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP - LĂNG TRỤ a). Phương pháp chung: - Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy với mặt phẳng trung trực của cạnh bên. - Tâm đường mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm 2 đáy của lăng trụ đó.
I
C'
B'
A'
C
B
A
O2
O1
b). Các trường hợp thường gặp
* Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới 1 góc vuông.
- Nếu hình chóp S.ABCD có � � � 0SAC SDC SBC 90= = = thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
* Trường hợp 2: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau. - Nếu hình chóp S.ABC có SA SB SC= = thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:
∆
C
BA
S
d
H
I
O
* Trường hợp 3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. - Nếu hình chóp S.ABC có SA (ABC)⊥ thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:
C
∆
B
A
Sd
H
I
O
* Trường hợp 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
- Nếu hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC)⊥ thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB a= , BC a 2= , a 2
AD2
= , hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc
tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 045 , M là trung điểm SC. Tính thể tích của khối chóp M.BCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và BD theo a. Phân tích và hướng dẫn
a 2
450
a 2
2
a
a
C
DK
M
HI
B
A
S
* Ý 1: tính thể tích của khối chóp M.BCD
Để tính được thể tích của khối chóp, điểm quan trọng là phải xác định được đường cao
+ Gọi H là trung điểm AC ⇒ MH là đường trung bình của SAC∆
( )MH / /SA MH ABCD⇒ ⇒ ⊥ ⇒ MH là đường cao của khối chóp M.BCD
* Ý 2: tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và BD
+ Ta thấy ngay mặt phẳng (SAC) chứa SC và vuông góc với BD (do BD AC,BD SA⊥ ⊥ ), vì vậy để tính khoảng cách từ SC đến BD ta nhớ lại mô hình quen thuộc sau
D
B
I
K
(SAC)
C
S
+ Như vậy ta kẻ IK SC⊥ tại K IK⇒ là đoạn vuông góc chung của SC và BD ⇒ IK là khoảng cách cần tìm
+ Ta có
2aIK IC IK a3IKC SAC IKSA SC a 2a 3
∆ ∆ ⇒ = ⇔ = ⇔ =δδδδ
* Nhận xét : ý 2 của câu 7 này có thể làm bằng phương pháp cài tọa độ với việc chọn gốc tọa độ O
tại A, B , D Oy,S OzOx∈ ∈ ∈ , từ đó ta dễ dàng tìm được ( )A 0;0;0 , ( )B a;0;0 , ( )C a;a 2;0 ,
a 2D 0; ;0
2
, ( )S 0;0;a .
P
CS
DB
Gọi (P) là mặt phẳng chứa SC và (P) song song với BD ⇒ (P) qua S và có vec tơ pháp tuyến là 2 2
⇒ (P) có phương trình 2x 2y 3 2z 3 2a 0+ + − = ( ) ( )a
d BD,SC d B,(P)3
⇒ = = (các bạn tự tính
toán để kiểm tra lại đáp số nhé)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA a 3= . Gọi M, N là các trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp ABCNM và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Phân tích và hướng dẫn
S
HN
K
MA
FI
B
C
* Ý 1: tính thể tích khối chóp ABCNM Để tính được thể tích khối chóp ABCNM ta cần xác định đường cao, thật vậy:
+ Gọi I là trung điểm BC, ta có BC AI
BC (SAI);BC (SBC) (SBC) (SAI)BC SA
⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ⇒ ⊥
⊥ theo giao
tuyến SI. + Do đó, trong mặt phẳng (SAI), kẻ AH SI⊥ tại H AH (SBC)⇒ ⊥ , vậy AH là đường cao của khối
chóp ABCNM ABCNM BCNM
1V AH.S
3⇒ =
+ Ta có ( )
2 22 2 2 2
1 1 1 1 1 5 3AH a
AH AI 3a 5a 3 a 31
AS= + = + = ⇒ =
+ Gọi 2
BCNM
a a 15a .
(BC NM).IK 3a 152 4K SI MN S
2 2 16
+
+ = ∩ ⇒ = = =
3
ABCNM
3aV
16⇒ =
* Ý 2: tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, M là trung điểm AA’, góc tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC) bằng 060 . Tính theo a thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ AB đến MC’. Phân tích và hướng dẫn
K
600
a
M
A'
B'
C'
D
H
C
a
Ea
B
AI
* Ý 1: tính thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Trước hết ta cần lập luận để xác định được góc tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC)
+ Gọi I AC MC'= ∩ , do IA MA 1
AM / /CC'IC CC' 2
⇒ = = ⇒ A là trung điểm của IC.
+ IBC∆ có A là trung điểm của IC và 1
BA .IC2
= IBC⇒ ∆ vuông tại B BC BI⇒ ⊥ , mà
BI C 'C BI (C 'CB) BI C 'B⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ góc tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC) là góc tạo bởi 2
đường thẳng C’B và CB � 0C 'BC 60⇒ = . + Ta có thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là ABCV C'C.S
∆=
+ Xét C'BC∆ có 0 C'Ctan 60 C 'C a 3
BC= ⇒ = , ABC∆ đều cạnh a
2
ABC
a 3S
4∆⇒ =
3
ABC
3aV C'C.S
4∆⇒ = = (đvtt)
* Ý 2: tính khoảng cách từ AB đến MC’ + Để tính khoảng cách từ AB đến MC’ ta sẽ xây dựng mặt phẳng chứa AB và song song với MC’ bằng cách : gọi D là trung điểm của C’C AM / /C 'D,AM C'D AMC'D⇒ = ⇒ là hình bình hành
MC'/ /AD MC'/ /(ABD) d(AB, MC') d(MC', (ABD))⇒ ⇒ ⇒ = + Ta có d(MC', (ABD)) d(C ', (ABD))= + Nhận thấy nếu gọi E là trung điểm AB thì AB (DCE)⇒ ⊥ (do AB CE,AB DC⊥ ⊥ )
(ABD) (DCE)⇒ ⊥ theo giao tuyến ED ⇒ kẻ C'K ED⊥ tại K C'K (ABD) C 'H d(C ', (ABD))⇒ ⊥ ⇒ = + Mặt khác do D là trung điểm CC’ nên d(C, (ABD)) d(C ', (ABD))⇒ =
Chú ý: Ý 2 của câu 7 có thể làm bằng phương pháp cài tọa độ với việc chọn B làm gốc tọa độ,
I Ox,C Oy, B' Oz∈ ∈ ∈ , khi đó ta dễ dạng có được ( )B 0;0;0 , ( )I a 3;0;0 , ( )C 0;a;0 , a 3 a
A ; ;02 2
,
( )C' 0;a;a 3 , a 3 a a 3
M ; ;2 2 2
, a 0>
+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và song song với MC’, khi đó (P) qua ( )B 0;0;0 và có vec tơ pháp
tuyến là 2 2 2a 3 3a a 3
n C 'M;BA ; ;4 4 2
= = −
� ������ ����
( ) ( ) ( )2 2 2a 3 3a a 3
(P) : x 0 y 0 z 0 0 x 3y 2z 04 4 2
⇒ − − − + − = ⇔ − + =
P
BA
MC'
( ) ( )
( )2
2 2
0 3a 2a 3 3d MC', AB d C', (P) a
81 3 2
− +⇒ = = =
+ − +
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAD) là tam giác vuông cân tại S, hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AD sao cho HA 3.HD= . Gọi M là trung điểm của AB, biết SA 2 3a= và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 030 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).
* Ý 2: tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). Vẫn theo mạch suy luận quen thuộc đó là tính khoảng cách từ 1 M điểm đến 1 mặt phẳng (SBC) ta đưa về khoảng cách từ chân đường vuông góc H đến mặt phẳng (SBC).