CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu): dt y t y ISE r 2 0 ) ( min min Integral of square error Giới hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)| <= M Giảm năng lượng tiêu hao 0 2 ) ( min dt t u Chỉ tiêu chất lượng toàn phương: dt t u t e J 0 2 2 ) ( ) ( min Ví dụ : Tìm K để cực tiểu ISE r e u K 1/s y
CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG. Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu):. Integral of square error. Giới hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)|
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG
Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu):
dtytyISE r
2
0
)(minmin
Integral of square error
Giới hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)| <= M
Giảm năng lượng tiêu hao
0
2 )(min dttu
Chỉ tiêu chất lượng toàn phương: dttuteJ
0
22 )()(min
Ví dụ : Tìm K để cực tiểu ISE
r
e uK 1/s y
TỐI ƯU THAM SỐ
Hàm truyền sai sốKss
sRsE
)()(
Với tín hiệu vào hàm nấc: e(t) = e - Kt
KdtteISE
21
min)(minmin2
0
Kết quả là K phải vô cùng
Dùng chỉ tiêu 22
1)()(min
0
22 KK
dttuteJ
J cực tiểu khi suy ra K = 1, J = 1 0)22
1( KKdK
d
01
32
2
KJ
K
ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI (LQR) LINEAR QUADRATIC REGULATOR
Khảo sát vấn đề duy trì trạng thái của hệ thống ở giá trị là 0, chống tác động nhiễu, đồng thời với cục tiểu tiêu hao năng lượng
,21
min
)0(,
0
0
dtRuuQxxJ
Cxy
xxBuAxx
TT
Q là ma trận đối xứng xđd hay bán xđd, thường là ma trận chéo
R là ma trận đối xứng xđd, thường là ma trận chéo
Chọn luật điều khiển hồi tiếp trạng thái u = - Kx, K là hằng số, thay vào biểu thức của J
0
)(21
xdtRKKQxJ TT
Tính K dùng phương trình Lyapunov, chọn hàm Lyapunov là J:
PxxxdtRKKQxtxV T
t
TT
21
)(21
))((
Đạo hàm theo thời gian
V(x(0)) = J = xT(0)Px(0)
0
)(2
1xdtRKKQxJ TT
ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI
)()(21
)()(21
|)(21
)(
txRKKQtxxRKKQx
xRKKQxxV
TTTT
tTT
Gỉa sử chọn K để hệ ổn định, x() 0
)()(21
)( txRKKQtxxV TT
Mặt khác
xBKAPPBKAxxPxPxxxV TTTT )()(21
21
)(
Suy ra xRKKQxxBKAPPBKAx TTTT )(21
)()(21
Ma trận P thỏa phương trình Lyapunov
)()()( RKKQBKAPPBKA TT
ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI
•Giải phương trình Lyapunov ta được các phần tử của ma trận P theo các phần tử của ma trận K chưa biết
•Sau đó ta tính J = V(x(0)) = là hàm theo các phần tử của ma trận K
)0()0(21
PxxT
•Để J cực tiểu ta giải phương trình hay0
ijkJ
•Suy ra ma trận K, luật điều khiển u = - Kx
•Xét ổn định của ma trận A-BK
•Nêú muốn điêù chỉnh ngõ ra y=cx ta chọn
Các bước giải bài toán tối ưu
0
ijkP
0
)(2
1xdtRKKQCCxJ TTT
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ RICCATI
Đặt R = T , là ma trận vuông không suy biến
Phương trình Lyapunov viết lại là:
0])([])([
0)()(111
QPBPBRPBKPBKPAPA
KKQBKAPPBKATTTTTTT
TTTTT
Lấy đạo hàm phương trình theo kij và dùng tính chất 0
ijkP
Ta suy ra 0)])(())([( 11 PBKPBKk
TTTTT
ij
Cực tiểu xảy ra khi số hạng trong ngoặc là 0
PBRPBK
PBKTTT
TT
111
1
)(
)(
Phương trình Lyapunov trở thành phương trình đại số Riccati
01 QPBPBRPAPA TT
VÍ DỤ1
kyu
dtuyJ
uyy
0
22 )(
Các thông số của bài toán: A = -1, B = 1, Q = 2, R = 2
Phương trình Riccati ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0
-P – P - 0.5 P2 + 2 = 0
Giải phương trình bậc hai theo P và chọn nghiệm dương
)12(2 P
Luật điều khiển tối ưu : )()12()()( 1 tytPyBRtu T
Phương trình hệ kín:
)(2)( tyty
VÍ DỤ2
xy
uxx
01
1
0
00
10
Tìm luật điều khiển u duy trì x1= r, x2 = 0
u = - k1(x1-r) - k2x2
cực tiểu chỉ tiêu
0
221 ))(( dturxJ
Đặt biến mới 22
11
~
~
xx
rxx
2;00
02
RQ
Phương trình Riccati: ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0
VÍ DỤ2
00
00
00
0210
21
1
0
00
10
01
00
2212
1211
2212
1211
2212
1211
2212
1211
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
022
02
022
12
222
221211
212
pp
ppp
p
Cuối cùng :
21211 2)()(~2)(~)(~
222
222
xrxtxtxtxPBRu
P
T
VÍ DỤ 3Điều khiển tối ưu với tích phân
Trở lại ví dụ 1 ta muốn thêm vào khâu tích phân để tính chống nhiễu tốt hơn
kyu
dtuyJ
uyy
0
22 )(
Đặt biến mới z(t)
2,20
02
0
1,
01
01
)(
)()(
21
0
222
RQ
BA
zkyku
dtuzyJ
tytz
uyy
VÍ DỤ 3Điều khiển tối ưu với tích phân
Phương trình Riccati
00
00
20
0201
21
0
1
01
01
00
11
2212
1211
2212
1211
2212
1211
2212
1211
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
022
02
022
22
212
12112212
211
1211
p
pppp
ppp
Kết quả
t
T
dttytytztyu
PBRK
P
0
1
)()()()(
11
42
22
VÍ DỤ 4Tìm hệ số đệm sao cho cực tiểu
0
22 )( dteeJ
)2(1
ssr ye
Phương trình liên hệ y và r ryyy 2
Phương trình vi phân của e 02 eee
0)0(;1)0(; eeyre
Phương trình trạng thái của e
exexe
e
e
e
21 ;;
21
10
20
02;
21
)(0
22
0
21 QdtQxxdtxxJ T
VÍ DỤ 4Phương trình Riccati: ATP + PA + Q = 0
Giải pt
11
121
P
21
)0()0(21 PxxJ T
Đạo hàm theo suy ra trị tối ưu ứng với 2
1
VÍ DỤ 5
k1 100/s2
sk2
ry
ue
Tìm k1 và k2 cực tiểu dttuteJ
0
22 )(25.0)(
Phương trình trạng thái:
211
2211121~~~;~;~
0
1)0(~;
100
0~00
10~
kkkK
xKxkkxkuyxryx
xuxx
VÍ DỤ 5
5.0;00
02
RQ
GiảI phương trình Riccati
1.0;2
2.02
001.001.0
01.02.0
21
kk
K
P
MATLAB
Hàm [K, P, e] = lqr (A, B, Q, R) giải bài toán cực tiểu
dtRuuQxxJ TT
0
min
Phương trình Riccati ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0
u = -Kx
e là nghiệm riêng của ma trận A-BK
Ví dụ 4: Lấy lại ví dụ 2
>> A = [0 1; 0 0];
>> B = [0; 1];
>> C = [1 0];
>> Q = [2 0; 0 0];
>> R = [2];
>> [k ,p, e] = lqr (A, B, Q, R)
k =
1.0000 1.4142
p =
2.8284 2.0000
2.0000 2.8284
e =
-0.7071 + 0.7071i
-0.7071 - 0.7071i
MATLABĐiều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y 2
>> ptttk = ss (A - B*k, B*k(1,1), C, 0)
>> t = 0:0.1:10;
>> r = 2*ones (size(t));
>> [y, t, x] = lsim (ptttk, r, t, [5 0]);
>> plot (t, y)
>> hold on
>> u = -k*x' + k (1,1) *r;
>> plot(t,u)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y 0
>> ptttk = ss (A - B*k,[0; 0], C, 0)
>> [y, t, x] = lsim (ptttk, r, t, [5 0]);
>> plot (t, y)
>> hold on
>> u = -k*x‘;
>> plot (t,u)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU HỆ RỜI RẠC
)()(
)()()()(21
)()(
)0();()()1(
0
0
kKxku
kRukukQxkxJ
kCxky
xxkGukFxkx
k
TT
Phương trình Riccati rời rạc
PFGPGGRK
PFGPGGRPGFPFFQPTT
TTTT
1
1
)(
)(
Dùng Matlab
[K, P, e] = dlqr (F, G, Q, R)
VÍ DỤ 6
K ZOH 1/s
r=1(t) T=1s
Tìm K cực tiểu
0
22 )(75.0)(k
kukeJ
Pttt: y(k+1) = y(k) + u(k) ; u(k) = - K[y(k) - r]
5.1;2
)(75.0)(~
)()(~)(~)();()(~)1(~
0
22
RQ
kukxJ
rkykx
kxKkukukxkx
k
Giải pt Riccati rời rạc, suy ra
3/2
35.1
22
K
PP
PPP
VÍ DỤ 7• Điêù khiển đối tượng 1/(s+1) với tín hiệu đặt yr = hằng số, cực tiểu
)](~)(~[2
1 2
0
2 kukyJk
G(z)=0.632/(z-0.368)
y(k+1)=0.368y(k)+0.632u(k)
F=0.368, G=0.632, Q=1, R=1
Phương trình Riccati: P=Q+FTPF-FTPG (R+GTPG) -1 GTPF
=1+0.135P-0.054P2/(1+0.4P)
P=1.11
K= (R+GTPG) -1 GTPF=0.18
1/N=-C(F-GK-1) -1 G
N=1.18
VÍ DỤ 8
• Điêù khiển con lắc ngược, vơí pttt tuyến tính hóa
Tzzx
bA
9211.0
0
3947.0
0
,
0005809.0
1000
0004537.4
0010
Tính luật điều khiền trạng thái vớí khâu tích phân, cực tiểu