Heat transfer 11 th week lecture Chapter 5: Principles of Convection ■ 열경계층 ∙ 유체역학적 경계층: 유체의 흐름에서 점성의 효과가 미치는 영향 ∙ 열경계층: 유체의 흐름에서 온도구배가 있는 영역 (온도구배는 유체와 벽사이의 열교환 과정 때문에 발생) 벽에서의 열전달은 전도에 의해서 발생(벽에서의 유체속도=0)하므로, 푸리에 법칙에 의해 다음과 같이 전도방정식을 쓸 수 있다 (단위 면적당 열전달량임을 유의) = " = − ] 대류에 의한 열은 뉴턴의 냉각법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. " = ℎ( − ∞ ) 두식을 연립하면, 대류열전달 계수 ℎ에 관한 식을 세울 수 있다. ℎ= − ] − ∞ 이 식을 바탕으로 ℎ를 구하기 위해서는 벽의 온도 구배가 필요하다. 즉, 온도분포를 알아야 한다.
16
Embed
Chapter 5: Principles of Convectioncontents.kocw.net/KOCW/document/2015/chungnam/leewanghee/... · 2016-09-09 · 편미분 방정식을 풀이(풀이과정이 정확한 해석적
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Heat transfer 11th week lecture
Chapter 5: Principles of Convection
■ 열경계층
∙ 유체역학적 경계층: 유체의 흐름에서 점성의 효과가 미치는 영향
∙ 열경계층: 유체의 흐름에서 온도구배가 있는 영역 (온도구배는 유체와 벽사이의 열교환 과정 때문에
발생)
벽에서의 열전달은 전도에 의해서 발생(벽에서의 유체속도=0)하므로, 푸리에 법칙에 의해 다음과 같이
전도방정식을 쓸 수 있다 (단위 면적당 열전달량임을 유의)
𝑞
𝐴= 𝑞" = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦]
𝑤𝑎𝑙𝑙
대류에 의한 열은 뉴턴의 냉각법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.
𝑞" = ℎ(𝑇𝑤 − 𝑇∞)
두식을 연립하면, 대류열전달 계수 ℎ에 관한 식을 세울 수 있다.
ℎ =
−𝑘𝜕𝑇𝜕𝑦
]𝑤𝑎𝑙𝑙
𝑇𝑤 − 𝑇∞
이 식을 바탕으로 ℎ를 구하기 위해서는 벽의 온도 구배가 필요하다. 즉, 온도분포를 알아야 한다.
Heat transfer 11th week lecture
(예제) 온도 40℃인 물이 표면의 온도가 115℃로 고정된 고체의 표면위를 흐르고 있다. 만약 주어진
𝑥에 대한 고체표면에서의 온도구배가 30℃/mm라면 국부열전달계수와 열전달은 얼마인가?
ℎ =
−𝑘𝜕𝑇𝜕𝑦
]𝑤𝑎𝑙𝑙
𝑇𝑤 − 𝑇∞
𝜕𝑇
𝜕𝑦]
𝑤𝑎𝑙𝑙
= −3 × 104℃/𝑚 = −3 × 104𝐾/𝑚
온도구배가 음수인 것은 뜨거운 표면이 차가운 유체에 노출되었기 때문이다. h 는 양수값을 가져야
하기 때문에 온도구배는 음이되어야 한다 (그래서 앞에 –k 가 있다).
막온도는
𝑇𝑓 =𝑇𝑤 + 𝑇∞
2=
115 + 40
2= 77.5℃
표 A.9 에서 이 온도에서의 물의 열전도계수는 𝑘𝑓 = 0.668𝑊/𝑚𝐾 – 표면과 유체의 온도차이가 매우
크기 때문에 막온도를 사용하여 물질의 성질을 정의한다.
ℎ =−0.668 × −3 × 104
115 − 40= 267W/𝑚2𝐾
그러므로 국부 열전달은
𝑞
𝐴= ℎ(𝑇𝑤 − 𝑇∞) = 267 × (115 − 40) = 2.03 × 104W/m2
온도분포를 구하기 위해서 경계층의 운동량 해석에서 사용한 것과 비슷한 방법을 이용한다. 온도분포가
만족해야 할 조건은 아래와 같다.
𝑦 = 0; 𝑇 = 𝑇𝑤
𝑦 = 𝛿𝑡; 𝜕𝑇
𝜕𝑦= 0
𝑦 = 𝛿𝑡; 𝑇 = 𝑇∞
𝑦 = 0; 𝜕2𝑇
𝜕𝑦2= 0
Heat transfer 11th week lecture
위를 조건을 만족시키는 온도분포는 층류경계층에서의 유체의 속도와 두께의 관계를 나타내는 식과 매우
유사한 다항식을 이용하여 표현할 수 있다
𝜃
𝜃∞
=𝑇 − 𝑇𝑤
𝑇∞ − 𝑇𝑤
=3
2
𝑦
𝛿𝑡
−1
2(
𝑦
𝛿𝑡
)3
위의 식에서 온도 분포를 알기 위해서는 열경계층의 두께를 알아야 한다. 경계층에서의 에너지 방정식을
적분을 하면, 다음과 같은 열경계층의 두께를 구할 수 있는 식을 얻을 수 있다.
𝜁 =𝛿𝑡
𝛿=
1
1.026Pr−1/3 [1 − (
𝑥0
𝑥)
3/4
]
1/3
평판 전체를 가열했을 경우는 위의 식에서 𝑥0 = 0이 되므로, 다음과 같은 식으로 간략화 된다.
𝜁 =𝛿𝑡
𝛿=
1
1.026Pr−1/3
Figure 1. Thermal boundary layer and its estimation
Heat transfer 11th week lecture
1) Prandtl number (프란틀수)
앞에서 언급했듯이, 프란틀수는 동점성도(운동량의 확산)에 대한 열확산의 비율이고, 다음과 같이 정의 된다
(동점성계수는 점성계수를 밀도로 나눈것으로 정의한다).
Pr =𝜈
𝛼=
𝜇/𝜌
𝑘/𝜌𝑐𝑝
=𝑐𝑝𝜇
𝑘
프란틀수는 유체역학적 경계층과 열경계층의 두께를 연관시킨 것이다. 동점성계수가 분자운동에 의해
유체내로 운동량이 확산되는 속도를 의미하고, 열확산이 유체내의 열의 확산을 의미하므로, 프란틀 수는
속도장과 온도장을 연결해주는 매개변수이다. 물리적 의미는, 층류경계층에서 운동량이 전달되는 비율에
대해 열에너지가 전달되는 비율로서, 유속과 열경계층이 성장하는 상대적인 비율을 나타낸다 (프란틀수는
무차원수이다).
1) Pr>1이면, 속도경계층이 더 빨리 성장
2) Pr<1이면, 열경계층이 더 빨리 성장
책에서 나오듯이 지금까지는 유체역학적 층류경계층의 두께가 열경계층보다 두껍다고 가정하였다. 이
가정은 프란틀 수가 약 0.7 보다 큰 유체에 대해서 만족한다 – 대부분의 기체와 액체는 이 범위에 속하지만,
액체금속은 Pr 이 약 0.01 정도로서 예외가 된다 (특히, 대부분의 기체는 Pr 이 0.65 에서 1 사이가 되므로,
전도에 비해 점성에 의한 일을 무시하는 경우가 종종 있다)
2) Nusselt number (누셀트수)
다시금, 대류계수를 구하는 문제로 돌아가서, 열전달계수는 다음과 같이 쓸 수 있고,
ℎ =
−𝑘𝜕𝑇𝜕𝑦
]𝑤𝑎𝑙𝑙
𝑇𝑤 − 𝑇∞
=3
2
𝑘
𝛿𝑡
=3
2
𝑘
𝜁𝛿
유체역학적 경계층의 두께와 열경계층의 두께를 대입하면, 다음과 같이 대류 열전달 계수를 표현할 수 있다.
ℎ𝑥 = 0.332𝑘 Pr1/3 (𝑢∞
𝜈𝑥)
1/2
[1 − (𝑥0
𝑥)
3/4
]
−1/3
위의 식은 양변에 𝑥/𝑘를 곱하면 무차원으로 되고, 이때의 좌변을 Nusselt number 라 부른다.
Nux =ℎ𝑥𝑥
𝑘
Heat transfer 11th week lecture
Nu𝑥 = 0.332 Pr1/3 𝑅𝑒𝑥1/2 [1 − (
𝑥0
𝑥)
3/4
]
−1/3
만약, 평판 전체를 가열 했을때(𝑥0 = 0)는 다음과 같이 간략화 된다.
Nu𝑥 = 0.332 Pr1/3 𝑅𝑒𝑥1/2
즉, Nusselt 수가 크다는 것은 상대적으로 대류가 활발하다는 뜻이 된다.
3) 평균열전달계수
평균열전달계수와 평균 누셑트 수를 고려하면, 둘은 평판의 길이에 대하여 적분함으로서 구할 수 있다
(평균의 의미를 생각해보자).
ℎ =∫ ℎ𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
∫ 𝑑𝑥𝐿
0
= 2ℎ𝑥=𝐿
가열이 𝑥 = 𝑥0에서 시작되는 평판인 경우 평균 열전달 계수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
ℎ𝑥0−𝐿
ℎ𝑥=𝐿
= 2𝐿1 − (𝑥0/𝐿)3/4
𝐿 − 𝑥0
이 경우 평판에 대한 총 열전달은 다음과 같다.
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ℎ𝑥0−𝐿(𝐿 − 𝑥0)(𝑇𝑤 − 𝑇∞)
여기서 가열되는 구획에서 평판의 온도는 Tw 로 일정하다. 평판의 전구간에서 가열되는 경우에는
𝑁𝑢 𝐿 =
ℎ𝐿
𝑘= 2𝑁𝑢𝑥=𝐿 = 0.664𝑅𝑒𝐿
1/2𝑃𝑟1/3
Re𝐿 =𝜌𝑢∞𝐿
𝜇
지금까지는 흐름전체를 통하여 유체의 성질이 균일하다고 가정하였다. 만약, 표면과 자유흐름 온도 사이의