Chapter 4

1

1

บทที่ 4 โครงสราง (Structures)4.1 บทนํา4.2 Plane Trusses (โครงถักระนาบ)4.3 Method of Joint4.4 Method of Section4.5 Frames and Machines4.6 สรุป

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

2

• บทนี้กลาวถึง การสมดุลของระบบแรงที่กระทํากับแตละช้ินสวนของโครงสราง• โครงสราง ประกอบดวยช้ินสวนหลายๆชิ้นทีป่ระกอบกันขึ้น เพื่อใชในการรับแรง แบงออกไดเปน Trusses, Frames และ Machinesก. Trusses หรือโครงถัก

Truss จะมีช้ินสวนทุกๆช้ินเปน Two-Force member

ข. Frames หรือโครงกรอบ และ Machines หรอืเครื่องจักรกล Frame และ Machine จะมีช้ินสวนอยางนอย 1 ช้ิน ไมใช Two-Force member

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

4.1 บทนํา

2

3

• Plane Trusses คือ โครงถักท่ีมีช้ินสวนที่สามารถเขียนใหอยูในระนาบเดียวกันได ดังแสดงในรูป• ตัวอยางเชน โครงสรางสะพาน และหลังคา เปนตน• แตละช้ินสวนจะประกอบเขาดวยกันโดยใชการเชื่อม, หมุดย้ํา, สลัก, หรือน็อต

4.2 Plane Trusses หรือโครงถักระนาบ

4

• ลักษณะพื้นฐานของ Plane trusses คือการตอกันแบบ สามเหลี่ยม- ช้ินสวนจํานวน 3 ช้ิน ยึดเขาดวยกันที่จุดปลายโดยใชสลัก หมุดย้ํา หรือการเช่ือม

-โครงสามเหลี่ยม จะเปนโครงสรางที่เกร็ง(Rigid frame)

• โครงหลายเหลีย่ม (เกิน 3 เหลี่ยม) จะเปนโครงที่ไมเกร็ง (Non rigid frame)

- คําถาม ทําอยางไรใหโครงสรางนี้เปนโครงสรางที่เกร็ง?

• การใสช้ินสวนเกินกวาการตอกันแบบสามเหลี่ยม จะทําใหโจทยเปนโจทยแบบStatically indeterminate - บางครั้งการเพิ่มช้ินสวนจะกระทําเพื่อปองกัน

การยุบตัวของโครงสรางเทานั้น- โจทยประเภทนี้จะไมสามารถหาคําตอบโดยการสมดุลได

3

1. ช้ินสวนทุกชิ้น เปน Two-Force Member2. การตอกันของแตละช้ินสวนจะเปนแบบ สามเหลี่ยม

คํานิยาม

วัตถุที่อยูภายใตการสมดุลของแรงสองแรง แรงทั้งสองมีขนาดเทากัน อยูในแนวเดียวกัน และมีทิศตรงกัน

• Two-force member

• ช้ินสวนของโครงสรางอยางงาย • ปกติจะเปนช้ินสวนที่มีแนวตรง• แรงที่กระทําจะเปนแรงดึง (Tension) หรือ แรงกด (Compression)

• แรงที่กระทํากับช้ินสวนใดๆ จะมีคาสม่ําเสมอตลอดภาคตัดของชิ้นสวนนั้น

• ปกติจะไมคิดแรงจากน้ําหนักของโครงสราง

โครงถักอยางงาย (Simple Trusses)

6

• การตอกันของชิ้นสวนของโครงสราง อาจใช หมุดย้ํา, สลัก, หรือ การเชื่อม (เรยีกรวมๆ วา ขอตอ หรือ Joint) โดยแรงที่ กระทําจากแตละช้ินสวน (ในแนวแกน) จะผานจุดเดยีวกนั

• แรงจากภายนอก และแรงที่จุดรองรับทั้งหมด ก็จะถือวาผาน Joint เหมือนกนั

แรงภายนอก L กระทําผาน Joint B และแรงที่จุดรองรับ A และ D จะกระทําผาน Joint A และ D เชนกัน

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

4

7

• เปนวิธีการหาแรงภายในชิ้นสวนของโครงสราง Simple truss โดยใชเงื่อนไขการสมดุลท่ีแนวแรงวิ่งผาน Joint เดียวกนั (Concurrent force)

• เราจะพิจารณา FBD ของแตละ Joint ท่ีมีแรงที่ทราบคาอยางนอย 1 แรง และมีแรงที่ไมทราบคาไมเกิน 2 แรง สมการที่ใชในการวิเคราะหคือ

∑ = 0Fx

∑ = 0Fy

• พิจารณาโครงสรางดังรูป เราจะเริ่มจากการหาแรงที่จุดรองรับกอน

4.3 วิธีวิเคราะหขอตอ - Method of Joint

8

• จากนั้น เลือกพิจารณาที่ Joint ใดกอนก็ได โดย Joint นั้นจะตองมีแรงที่ทราบคาอยางนอย 1 แรง และมีแรงที่ไมทราบคาไมเกิน 2 แรง

• เชน ถาเลือก Joint A เราทราบคา R1 และไมทราบ AB และ AF

รูปแสดงแรงกริยา และแรงปฏิกริยาที่ Joint A และแรงภายในชิ้นสวนที่ตอกับ Joint A

รูปแสดง FBD ของ Joint A ซึ่งจะหา AB และ AF โดยใช

∑∑

=

=

0

0

y

x

F

F

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

5

9

1. ที่ Joint A จะหา AB และ AF ได 2. ที่ Joint F จะหา BF และ EF ได

3. ที่ Joint B จะหา BE และ BC ได

4. ที่ Joint C จะหา CE และ CD ได

5. ที่ Joint D จะหา DE ได

10

• ในการกําหนดทิศทางของแรงที่กระทํากับ Joint ถาเปนแรงกดเราจะใหมีทิศทางเขาสู Joint และถาเปนแรงดึงเราจะใหมีทิศทางออกจาก Joint• ถาไมทราบทิศทางใหสมมุติไปกอน ถาผลลัพธไดคาเปนลบแสดงวาทิศทางที่สมมุตินั้นจะกลับดานกับที่สมมุติ

• โครงสรางแบบ Simple Truss ท่ีมีตัวแปรที่จุดรองรับภายนอกเกินเงื่อนไขของการสมดุล จะเปนแบบ Statically indeterminate เราเรยีกจุดรองรับที่เกินวา External redundancy

• โครงสรางแบบ Simple Truss ท่ีมีช้ินสวนพื้นฐานเกินกวาการตอกันแบบสามเหลี่ยมจะทําใหโจทยเปนโจทยแบบ Statically indeterminate เราเรยีกชิ้นสวนที่เกินวาInternal redundancy

6

11

การตรวจสอบโครงสรางที่เปนแบบ Statically Determinateพิจารณารูปโครงสราง Simple trusses ทั้งสาม

รูป A รูป B รูป C

10

7

5

รูป C

2j=m+3

m

j

ทั่วไป

86Number of independent equation (E)

53Number of member (m)

43Number of joint (j)

รูป Bรูป Aรายการ

สรุป ความเปนสัมพันธของ Simple trusses ที่เปนแบบ Statically determinate: E = 2j = m + 3ดังนั้นถา 2 j = m + 3 โครงสรางนั้นมคีวามแข็งแรง และสามารถหาคําตอบโดยการสมดุลได

2 j > m + 3 โครงสรางนั้นไมแขง็แรง และอาจยุบตัวภายใตการกระทําของแรงได2 j < m + 3 โครงสรางนั้นมีชิ้นสวนมากเกินความจําเปน ไมสามารถหาคําตอบโดย

การสมดุลได

แตละ Joint จะมีสมการสมดุล 2 สมการ ดังนั้น E=2j

12

เงื่อนไขพิเศษของ Simple Trussesก. เงื่อนไขที่ 1: Two collinear member จากรูปจะเห็นวาที่ Joint มีแรงภายในกระทําทั้งหมดสาม

แรง และไมมีแรงจากภายนอกมากระทํา โดยมีแรงสองแรงอยูในแนวเดียวกัน แตมีทิศทางตรงกันขาม คือ ,สวน ไมไดอยูในแนวเดียวกัน เราสามารถพิสูจนไดวา

1F

3F0F3 =

การสมดุลในแนวแกน y จะได[ ]∑ = 0Fy

0F0θcosF

3

3

==

2F

จากรูปจะเห็นวา และ ไมอยูในแนวเดียวกนั และไมมีแรงจากภายนอกมากระทําที่ Joint เราสามารถพิสูจนไดวา

และ เทากับ 0

ข. เงื่อนไขที่ 2: Two noncollinear member

1F 2F

1F 2F

[ ]∑ = 0Fx 0F1 =

[ ]∑ = 0F 'x0F2 =

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

7

13

กรณีที่ 3: Two pairs of collinear members จากรูปจะเห็นไดวามีแรง 4 แรงมากระทํากับ Joint โดยมี 2 คูที่อยูในแนวเดียวกันแตมีทิศทางตรงกันขาม เราสามารถพิสูจนไดวา แรงที่อยูตรงกันขามจะมีขนาดเทากัน

[ ]∑ = 0Fx 21 FF =

[ ]∑ = 0F 'x 43 FF =

กรณีที่ 4: Cross-braced truss panels • จากรูปถาชิ้นสวน AB และ DC สามารถรับแรงดึงหรือแรงกดไดจะทําใหโครงสรางเปนแบบ Statically indeterminate • แตถาชิ้นสวน AB และ DC เปนเชือกหรือเคเบิล ซึ่งมคีวามยืดหยุน จะทําใหเฉพาะชิ้นสวนที่รับแรงดึงเทานัน้ที่ถูกพิจารณา• ถาไมทราบวาชิ้นสวนไหนรับแรงดึงใหสมมุติกอน ถาผลการคํานวณเปน + แสดงวาการสมมุติถูกตอง ถาผลการคํานวณเปน – แสดงวาอีกชิ้นสวนหนึ่งจะรับแรงดึงแทน

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

AB และ DC เปนแบบ Cross-braced panels

14

ตัวอยาง 4.1

Compute the force in each member of the loaded cantilever truss by the method of joints.

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

8

15

• ในหัวขอกอนเปนการแรงที่กระทํากับชิ้นสวนของ Plane truss โดยวิธี Method of Joint ซึ่งจะใชสมการสมดุลของแรงเพียงสองสมการ

• การหาแรงที่กระทํากับชิ้นสวนของ Plane truss มีอีกวิธีหนึง่คือ Method of Sectionโดยจะทําแนวตัดระนาบของ Truss กอน แลวเขียน FBD และพิจารณาการสมดุลเพื่อหาแรงในแตละชิ้นสวนโดยตรง

• การเลือกแนวตัดจะตองผานชิ้นสวนที่ยังไมทราบคาแรงจํานวนไมเกิน 3 ช้ินสวนท้ังนี้เพราะจํานวนสมการสมดุลมี 3 สมการคือ

• พิจารณาการสมดุลของโครงสราง และมีแรงที่จุดรองรับ ดังรูป∑ ∑ ∑ === 0F 0,F 0,M yx

4.4 วิธีวิเคราะหภาคตัด - Method of Section

16

• สมมุติวาเราตองการหาแรงในชิ้นสวน BE

• เริ่มจากการทําแนวตัดตามเสนประท่ีผานชิ้นสวน BE

• จํานวนชิน้สวนที่แนวเสนประผานจะมีจํานวน 3 ช้ินสวน

• เขียน FBD ของสวนที่ถูกตัด• แรงในชิ้นสวนที่ถูกตัดจะอยูในแนวแกนของชิ้นสวนนั้น

• ถาไมทราบทิศทางในสมมุติกอน• แตละสวนที่ถูกตัดยังอยูในสภาวะสมดุล

9

17

• ถาพิจารณาการสมดุลของสวนทางซายมือ

• แรงที่ไมทราบคาจํานวน 3 แรงคือEF, BE และ BC

• แรงที่ทราบคาคือ R1 และ L• เรามีสมการสมดุล 3 สมการ• ทําอยางไรเพื่อหาแรงทั้งสาม ?

• ถาพิจารณาการสมดุลของสวนทางขวามือ• แรงที่ไมทราบคาจํานวน 3 แรงคือEF, BE และ BC

• แรงที่ทราบคาคือ R2• เรามีสมการสมดุล 3 สมการ• ทําอยางไรเพื่อหาแรงทั้งสาม ?

18

ขอสังเกตเกี่ยวกับ Method of Section• แนวตัดจะผานชิ้นสวนของโครงสราง จะไมผาน Joint• บางครั้งเราตองการหาแรงในชิ้นสวน ท่ีเมื่อทําภาคตัดแลว พบวาแนวตัดตดัผานช้ินสวนที่ไมทราบคาแรงจํานวน 4 ช้ินสวน ดังนั้นอาจจะตองทําการตัด 2 ครั้งโดยครั้งแรกใหตัดผานแนวขางเคียงท่ีผาน 3 ช้ินสวนกอน จากนั้นจึงทําการตัดแนวท่ีตองการอีกครั้งหนึ่ง (ดูตัวอยาง)

• การเขียน FBD ยังคงเปนสวนที่สําคัญที่สุด• การรูจักใชสมการโมเมนตโดยหาจุดหมุนที่เหมาะสม จะทําใหการแกปญหางายข้ึน

• ถาสมมุติทิศทางของแรงแลวไดคําตอบคาแรงเปนลบ แสดงวาทิศทางที่ถูกตองของแรงจะกลับดาน เชน สมมุติเปนแรงกดแตไดคําตอบคาแรงเปนลบ แรงที่กระทํากับชิ้นสวนนั้นจริงๆ จะเปนการดึง เปนตน

10

19

ตัวอยาง 4.2

Calculate the forces included in members KL, CL, and CB by the 200-kN load on the cantilever truss.

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

20

ตัวอยาง 4.3

Calculate the forces included in member DJ of the Howe root truss illustrated. Neglect any horizontal components of force at the supports.

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

11

21

• Frames และ Machines คือโครงสรางที่มีช้ินสวนอยางนอย 1 ช้ิน เปนช้ินสวนที่รับแรงหลายแรง (Multi-force member)

• Multi-force member คือ ช้ินสวนที่รับแรง 3 แรงหรือมากกวา• Frames เปนโครงสรางที่ออกแบบใหรับแรงซึ่ง ปกติจะโครงสรางที่อยูนิ่ง• Machines เปนโครงสรางที่มีช้ินสวนบางอันเคลื่อนที่ได ดังนั้น Machines จึงมักจะเปนอุปกรณท่ีใชสําหรับถายแรงหรือคูควบ

• การวิเคราะห Frames และ Machines จะไมสามารถใชวิธเีดียวกับ Simple Truss ไดท้ังนี้เพราะชิน้สวนที่รับแรงมากกวา 3 แรงขึ้นไปจะไมใช Two-force member

• การวิเคราะห Frames และ Machines ก็เพื่อหาแรงภายในที่กระทํากับแตละช้ินสวนซึ่งจะหาไดจากการพิจารณา FBD และการสมดุลของชิ้นสวนนั้นๆ ดังนั้นการพิจารณาแรงกริยาและปฏิกิริยาที่ถูกตองจึงเปนสิ่งสําคัญมาก

• บทนี้เราจะพจิารณาเฉพาะโครงสราง Frames และ Machines ใน 2D และเปนโจทยปญหาแบบ Statically determinate เทานั้น

4.5 Frames and Machhines

22

ประเภทการพิจารณาแรงภายใน

ถาดึงจุดรองรับภายนอกออกไป ใหเหลือเฉพาะโครงสราง แลวเปนโครงสรางที่แข็งแรง

1. หาแรงภายนอกที่กระทําท่ีจุด Support กอน2. เขียน FBD ของแตละช้ินสวน แลวพิจารณาการสมดุลของแตละช้ินสวน

แตถาดึงจุดรองรับภายนอกออกไป ใหเหลือเฉพาะโครงสราง แลวพบวาเปนโครงสรางที่ไมแข็งแรง ใหพิจารณา FBD และการสมดุลของโครงสรางรวมและแตละช้ินสวน พรอมๆ กัน

12

23

1. การเขียนแรงที่จุดรองรับภายนอก และจุดตอภายในโครงสราง จะตองมีทิศทางสอดคลองกับแกนของพิกัดฉากที่ตั้งข้ึน

2. ปฏิบัติตามกฎพื้นฐานของแรงกริยาและแรงปฏิกริยาอยางเครงครัด (ดูรูป)

3. ถาไมทราบทิศทางใหทําการสมมุติกอน ถาคําตอบสุดทายเปนลบแสดงวาทิศทางจริงจะกลับดานกับที่สมมุติ

4. การที่ทราบวาชิน้สวนไหนเปน Two-force member จะชวยใหการแกโจทยปญหา Frames และ Machines ทําไดงายขึ้น

ขอควรระลึก

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

24

ตัวอยาง 4.5

The frame supports the 400-kg load in the manner shown. Neglect the weights of the members compared with the forces induced by the load and compute the horizontal and vertical components of all forces acting on each of the members.

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

13

25

ตัวอยาง 4.6

Neglect the weight of the frame and compute the forces acting on all of its members.

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม

26

ตัวอยาง 4.7

The machine shown is designed as an overload protection device which releases the load when it exceeds a predetermined value T. A soft metal shear pin S is inserted in a hole in the lower half and is acted on by the upper half. The two halves then rotate about A under the action of the tensions in BD and CD, as shown in the second sketch, and rollers E and F release the eye bolt. Determine the maximum allowable tension Tif the pin S will shear when the total force on it is 800 N. Also compute the corresponding force on the hinge pin A.

ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม