Chapter 3

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PowerPoint® Lectures forUniversity Physics, Twelfth Edition – Hugh D. Young and Roger A. Freedman

Lectures by James Pazun

Chapter 3

2 차원과 3 차원에서 운동


3 장의 목표

• 위치 벡터 , 속도 벡터 , 가속도 벡터의 학습

• 포물체 운동에 위치 , 속도 , 가속도의 적용

• 직선운동과 원운동의 차이점

• 상대속도 알아보기


서론

• 경주용 자동차가 곡선을 돌 때 가속 중인가 ? 만약에 그렇다면 방향은 ?

• 총알을 떨어뜨리면 옆 쪽으로 쏜 총알과 땅 바닥에 동시에 떨어질까 ?

• 곡선 운동도 같은 방법으로 이해할 수 있다

“Cornering”


3.1 위치와 속도벡터 - 위치• 원점에 대한 상대 위치를 x, y, z 방향의

성분으로 나타낼 수 있다 .

• 입자의 경로는 일반적으로 곡선주어진 시간에 입자의 위치 P 의 좌표는 x, y, z

P 점의 위치벡터 성분은 x, y, z

kzjyixr ˆˆˆ

위치벡터


평균속도

• 두 점 사이의 평균속도는 변위와 같은 방향

시간에 입자의 위치

시간에 입자의 위치

입자의 경로

1t

2t

t

r

tt

rrvav

12

12

평균속도 벡터


속도의 성분

• xy- 평면에서 속도는 x, y 성분으로 나눌 수 있다

• 삼각함수 사용하면 편리하게 나타낼 수 있다

dt

rd

t

rv

t

0

lim

순간속도 벡터

순간속도의 성분

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx 자동차의

경로

• 보기 3.1


속도의 성분 – 보기 3.1

33

22

)/025.0()/0.1(

)/25.0(0.2

tsmtsmy

tsmmx

자동차가 xy- 평면 위를 시간에 따라 아래의 좌표처럼 이동한다

(a) 시간 t = 2.0 s 에서 자동차의 좌표와 원점에서의 거리 ?(b) 시간 t = 0.0 s 에서 t = 2.0 s 사이에 차의 변위와 평균 속도 벡터 ?(c) 차의 순간 속도 벡터에 대한 일반식 , t = 2.0 s 일 때 순간 속도를 성분으로 표현 , 순간 속도를 크기와 방향으로 표현

확인 : 변위 , 평균 속도 , 순간 속도 벡터들의 정의를 활용정리 : 자동차의 경로를 그림으로 그리고 변수들을 정리해 나타냄 실행 : (a) t = 2.0 s 에서 좌표와 원점으로부터의 거리는 각각



실행 : (b) 위치벡터 로부터

t = 0.0 s, 2.0 s 에서 위치벡터는 각각

따라서 변위 벡터와 평균속도 벡터는 각각



실행 : (c) 순간 속도벡터는 도함수를 통해 일반식은

t = 2.0 s 에서 값은

크기와 방향은

점검 : 일반적으로 순간속도는 평균속도와 다르다


3.2 가속도 벡터

• 속도의 크기나 방향이 변하면 가속도 벡터가 바뀐다

• 아래 자동차 경주를 살펴보자

곡선을 돌 때 속력이 줄면서 가속됨 (순간속도는 크기 방향 모두 변화 )

사이의 평균가속도를 구하기 위해 에서 을 빼서 속도의 변화 를 구한다 ( 참고 )

평균가속도는 속도의 변화 와 같은 방향v

21, PP1v

2v

v

21 vvv


평균가속도와 순간가속도

• 평균가속도와 순간가속도의 정의

• 보기 3.2

자동차의 경로

시간에 대해 속도와 가속도

t

v

tt

vvaav

12

12

평균가속도 벡터

dt

vd

t

va

t

0

lim

순간가속도 벡터

순간가속도의 성분dt

dva

dt

dva

dt

dva z

zy

yx

x


곡선운동에서 가속도벡터

• 속도가 감소 , 일정 , 증가할 때 가속도벡터의 변화

곡선을 따라 일정한 속력으로 움직일 때

곡선을 따라 증가하는 속력으로 움직일 때

곡선을 따라 감소하는 속력으로 움직일 때

가속도는 경로에 수직

가속도는 수직선보다 앞쪽 방향

가속도는 수직선보다 뒤쪽 방향

P 에 수직 P 에 수직P 에 수직


가속도의 평행성분과 수직성분

• 보기 3.3

• 앞 보기 3.2 에서 t = 2.0 s 일 때 가속도의 성분

가속도의 평행성분

가속도의 수직성분에서 자동차의 위치

자동차의 경로


계곡에서 스키타기

• 보기 3.4

• 스키어는 곡면을 타고 내려오다 반대편 언덕에서 다시 뒤쪽으로 되 돌아간다

운동 방향

D 에 수직

E 에 수직 F 에

수직


3.3 포물체 운동

• 포물체 : 처음 속도가 주어지면 중력과 공기저항에 의해 운동 경로가 결정되는 물체

• 우선 공기저항은 무시한다 .

포물체는 처음 속도 벡터 을 포함하는 수직면에서 운동한다 .

0v

0v

궤적은 와 중력에 의한 ( 아래 방향 ) 가속도에만 의존한다 .

궤적


x, y 운동은 분리 가능

• 빨간색 공은 떨어뜨린 것이고 노란색 공은 수평방향으로 쏜 것이다

• 스트로브 이미지 사이 시간간격은 같다


등가속도 운동의 방정식

• 초기조건이 xo = 0, yo = 0 일 때 방정식들

궤적의 맨 위에서 포물체는 수직성분 속도가 영이지만 수직성분의 가속도는 -g

0yv

수평방향으로는 등속 운동한다 . 수평방향 가속도는 영이고 동일 시간 간격에 동일한 x- 거리를 운동한다

수직방향으로는 지구의 중력

때문에 등가속 운동한다 .

수직방향 속도는 일정하게 증가한다

gtvv

vv

gttvy

tvx

y

x

00

00

200

00

sin

cos2

1)sin(

)cos(

포물체 운동


바람에 의한 저항 효과

• 누적효과가 크다 .

• 최고 높이와 수평거리가 줄어든다 .

• 궤적이 포물선이 아니다 .

저항이 있을 때 저항이 없을 때

야구공의 초기속도


개념예제 3.5

썰매를 타고 눈 덮인 언덕을 지나고 있다 . 올라가는 동안에는 속력이 늦어지고 , 내려가는 동안에는 속력이 증가 한다 . G, H, I 에서 가속도는 ? ( 공기저항은 무시 )


투구 , 골프

• 투수의 투구 , 골프 , 박격포에 의한 포물선 운동

• 발사 각도가 중요

• 보기 3.9.

창문

바닥


원숭이를 향한 마취화살 – 보기 3.10

• 사육사는 어디를 겨누어야 하나 ?

중력이 있을 때

중력이 없을 때

화살의 궤적

화살의 궤적

화살의 낙하

원숭이의 낙하

원숭이가 동물원을 탈출 , 나무 위로에 도망갔다 . 사육사는 마취 화살을 원숭이에게 쏘았다 . 마취 화살의 발사와 동시에 원숭이가 뛰어내리면 화살의 속도에 상관없이 원숭이가 화살에 맞게 됨을 보여라 . ( 단 , 원숭이가 땅에 떨어지기 전에 화살에 맞는다고 가정 )


원숭이를 향한 마취화살

확인 : 두 물체 ( 마취 화살과 원숭이 ) 의 포물체 운동 어느 순간에 원숭이와 화살이 같은 x 좌표와 y 좌표

정리 : 상황을 그림으로 나타내고 변수들을 정리해 나타냄 어느 순간에 원숭이와 화살이 같은 x 좌표와 y 좌표

실행 : 원숭이의 수평위치 : 화살의 수평 위치 :

수평위치 일치 :

원숭이의 수직 위치 :

화살의 수직 위치 :

수평위치 일치 시간에 수직위치 일치

점검 : 화살의 처음 속도 뿐만 아니라 가속도 g 에도 무관

수평위치 일치 시간


3.4 원운동 ( 구심력 )

• 곡선 위에서 속력이 증가 , 감소 또는 일정한 경우

곡선을 따라 일정한 속력으로 움직일 때

곡선을 따라 증가하는 속력으로 움직일 때

곡선을 따라 감소하는 속력으로 움직일 때

속도와 평행인 가속도 성분이 자동차의 속력을 변화

속도와 평행인 가속도 성분이 자동차의 속력을 변화

속도와 수직인 가속도 성분이 자동차의 방향을 변화

속도와 수직인 가속도 성분이 자동차의 방향을 변화

원의 중심방향

가속도가 속도와 수직이어서 평행성분이 없다


운동 정보 알아내기

• 속도변화 , 평균가속도 , 순간가속도

한 점이 원을 따라 등속으로 거리 을 이동s

속도의 변화와 평균가속도

두 삼각형은 닮은꼴

순간가속도

등속원운동에서 순간가속도는 언제나 원의

중심방향

r

varad

2

등속 원운동의 순간가속도


구심가속도의 결정

• 등속원운동과 포물체 운동의 비교

• 등속원운동은 가속도가 구심

등속원운동

포물체운동

가속도의 크기는 일정하고 방향은

계속 변화

속도와 가속도는

언제나 수직

궤적의 최고점에서만 속도와 가속도가 수직

가속도의 크기와 방향이 일정

2

24

T

Rarad

T : 주기R : 반지름


구심가속도의 결정 - 보기 3.11

경주용 자동차가 옆 방향으로 0.87g 인 가속도를 보인다 . 이 가속도는 원주 상을 주행할 때 미끄러지지 않고 얻을 수 있는 최대 구심 가속도이다 . 만일 차가 일정한 속력 40 m/s (144 km/h) 로 주행한다면 차의 최소 회전 반지름은 얼마인가 ? ( 길은 경사져 있지 않다고 가정하라 )

확인 : 차가 곡선으로 주행하는 것을 등속 원운동으로 생각

정리 : 원의 반지름을 구심가속도와 속력으로 표현

실행 : 식 으로부터

점검 : 이므로 속력이 조금만 줄어도 반지름을 많이 줄일 수 있다

r

varad

2

2vr


차가 커브 길을 갈 때 감속은 필수

mgFFr

mvmaF

정항력정마

구구

2

( 원 운동하기 위해 필수 )

(= 타이어와 도로사이의 정지마찰 계수 )정

마구

마구

FF

FF

①②

( 안전한 주행 )

( 탈선 )

)(2

이라가정함마 R

mvF


등속이 아닌 원운동

• 물체의 속력이 변하면 ?

• 지름가속도와 접선가속도는 증가 감소를 반복한다

최저 속력 : 최저 지름가속도 , 접선가속도는 영

최고 속력 : 최고 지름가속도 , 접선가속도는 영

속력 증가 : 접선가속도는 속도 와 같은 방향

속력 감소 : 접선가속도는 속도 와 반대 방향v

v


구심력이 있어야

원운동 가능

장력 : 끈 ( 깡통돌리기 )마찰력 : 커브길 위의 자동차중력 : 달 ( 태양 주위 )전자기력 : 전자 ( 핵 주위 )


경륜장 - 벨로드럼

마찰 + 경사로 구심력증가 속도증가


3.5 상대속도 (**)

• 전투기 공중곡예에서 관중들이 볼 때에는 시속 수백 마일로 움직이지만

전투기들 서로에 대해서는 거의 움직이지 않는다

• 밖에서 볼 때 열차 내 차장과 승객은 고속으로 달리지만

차장은 차표를 확인하기 위해 승객의 좌석 사이를 천천히 이동한다

( 차장 )

( 열차 )

( 자전거에 서 있는 사람 )

자전거에 서 있는 사람의 기준계

열차의 기준계

자전거에 서 있는 사람에 대한 열차의 속도

두 기준계에서 차장의 위치

xABxBPxAP vvv ///

직선상에서 상대속도


직선 도로에서 상대속도 - 보기 3.13(**)

• 서로 가까워 지고 있는 트럭과 자동차

트럭

지구

당신

승용차가 직선도로에서 북쪽으로 일정한 속력 88 km/h 로 달린다 . 반대편 차선으로 일정한 속력 104 km/h 로 트럭이 접근한다 . (a)승용차에 대한 트럭의 속도는 ? (b)트럭에 대한 승용차의 속도는 ? (c)두 차가 교차된 이후의 상대 속도는 어떻게 변하는가 ?


직선 도로에서 상대속도 - 보기 3.13(**)

확인 : 일차원 상대 속도

정리 : 상황을 그림으로 나타내고 변수들을 정리해 나타냄

실행 : (a) 상대속도 관계식으로부터

승용차에 대한 트럭의 상대속도 : 남쪽으로 192 km/h(b)

트럭에 대한 승용차의 상대속도 : 북쪽으로 192 km/h(c) 두 차가 교차된 이후에도 상대 속도는 변하지 않음 두 차의 상대 위치는 관계 없음

점검 : (b) 에서 를 이용해 직접 구해 동일한 결과인지 확인


측면 바람과 비행기의 운항 (**)

• 바람 때문에 원래 항로로 가면 목적지에 도착 못함

• 바람에 대한 상대속도를 고려해서 방향을 바꾸어야 목적지에 도착할 수 있음

• 보기 3.14, 3.15.

북

동 동

북각도로


편서풍이 강한 겨울철에는

인천→ LA (5968 마일 ) 구간이 10:40 걸리는데 비해 LA→ 인천 (5968 마일 ) 은 13:20 걸림 .

인천→삿포로 구간이 2:40 소요되는데 비해 삿포로→인천 구간은 3:15 소요되어 35 분 차이가 남 .

서울유럽 쪽으로 갈 때는 맞바람을 헤치고 운항하기 때문에 오래 걸리고유럽서울로 올 때에는 뒷 바람 때문에 그만큼 빨라진다 .

비행시간과 제트기류 ( 상대속도 )

겨울편서풍

jetplaneground vvv

Chapter 3

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