Chapter 13 DP GP NPL

-

Nonlinier ModelDynamic, Goal, and Nonlinear Programming

Wahyu Ediningtias15022012

13.1 Introduction to Nonlinear ProgrammingKebanyakan situasi kehidupan nyata lebih tepat digambarkan oleh model nonlinier daripada model linier. Nonlinear model dirumuskan dalam bab ini ke dalam tiga kategori besar: Dynamic programming models (DP). Goal programming models (GP). General nonlinear programming models (NLP).

Problem Dynamic programming problems dianggap sebagai masalah multistage, di mana keputusan dibuat "secara berurutan." Ini dikenal sebagai aplikasi pemrograman dinamis dalam bisnis Resource allocation, Equipment replacement,

Production and inventory control, Reliability.

Pada tahap n, sistem ditemukan tidak dalam keadaan(stage) tertentu. Sebuah keputusan yang dibuat pada tahap(stage) n, menggunakan sistem untuk tahap(stage) n +1, dan meninggalkannya dalam state yang baru dengan cost/profit yang terkait dengan stage- state lain. Tantangan bagi pengambil keputusan adalah untuk menemukan suatu keputusan optimal untuk seluruh proses.

Components of Dynamic Programming (untuk perhitungan lihat di slide)

Dynamic Recursive Relationship Bellman’s principle of optimality.

Dari state yang diberikan pada stage tertentu, solusi optimal untuk sisa dari proses ini independen dengan keputusan sebelumnya yang dibuat saat itu.

Dynamic programming is a recursive process.Bentuk hubungan rekursi berbeda dari setiap masalah, tetapi secara umum sama: Lakukan yang terbaik untuk stage yang tersisa dengan sumber daya yang tersedia.Dalam buku Lawrence, hubungan rekursif berikut ini menjelaskan proses untuk US Department masalah Tenaga Kerja

- Fj(Xj) jumlah maksimum pekerjaan baru diciptakan oleh departemen (stages) j,

- j+1,…, 4, diberikan ketika $Xj dalam pendanaan tersedia untuk departemen j (state) sampai state 4.Fj(Xj) = Max {(Rj(Xj) + Fj+1(Xj - Dj)} (all feasible Xj )

Page 2 of 9

13.3 Computational Properties of Dynamic Programming Dynamic programming versus total enumeration

Pendekatan Dynamic programming merupakan eliminasi dari kombinasi perhitungan yang tidak memiliki kesempatan agar menjadi optimal.

Trik untuk mengurangi perhitungan lebih lanjut. Kita bisa mengurangi upaya komputasi oleh: “smart” definition of state variable(s); yakni dengan memperhatikan feasible range dari state variables.

Dynamic programs as networks Networks dapat digunakan untuk masalah model keputusan multistage yang

diselesaikan dengan pendekatan pemrograman dinamis. Setiap node menunjukkan nilai state variable value pada setiap stage. Tiap arc menunjukkan keputusan yg memungkinkan pd setiap particular state. The stage return is the value assigned to each arc.

Nilai/pendapatan di setiap stage adalah nilai untuk setiap arc Tujuannya adalah untuk menemukan longest (shortest) path.

Computers and dynamic programming Dynamic programming problems biasanya diselesaikan dengan menggunakan

program komputer. Karena masalah dinamis berbeda satu sama lain, tidak ada kode universal

untuk menyelesaikannya. Beberapa masalah diselesaikan dengan jenis tertentu, dan disajikan dalam

bagian berikutnya.

13.4 Dynamic Programming – Examples In our examples we focus on identifying the following elements:

The stage variable. The state variable. The decision variable. The stage return or cost

function(s).

The optimal value function. The boundary conditions. The optimal solution value

(stopping rule). The recurrence relation.

Page 3 of 9

RELIABILITY PROBLEMS Reliablitas&keamanan produk scra signifikan ditujukan u/konsumen& manufaktur Produk harus didesain dg probabilitas operating satisfactorily yang dapat diterima. Dynamic programming dapat digunakan untuk menentukan desain biaya

minimum dari suatu produk untuk memastikan : minimum required level of reliability, or highest possible degree of reliability.

PRODUCTION AND INVENTORY PROBLEMS During the course of a certain production run certain parameters may vary (prices

of raw material, storage space available, etc.) A dynamic programming modeling approach can be found very useful in these

situations.

13.5 Goal ProgrammingDalam situasi nyata,sesungguhnya semua masalah memiliki beberapa objectives. Ketika objective tersebut mengalami konflik,keputusan optimal tidak dengan mudah dapat dimengerti. Goal programming is an approach that seeks to simultaneously take into account

several objectives. Tujuan (goal) menjadi prioritas dalam beberapa kebijaksanaan,dimana harus

menyebutkan berbagai tingkat dari aspirasi. Optimal solution diperoleh ketika semua goals telah diraih sebisa mungkin dari

setiap tingkat aspirasi, sehingga dapat memuaskan sekumpulan kendala(constrain). Dua tipe goal programming models:

Nonpreemtive goal programming - no goal is pre-determined to dominate any other goal.

Preemtive goal programming - goals are assigned different priority levels. Level 1 goal dominates level 2 goal, and so on.

13.6 Nonlinear Programming

Nonlinear programming problem (NLP) adalah salah satu model yang memiliki objective function(F), dengan satu atau lebih constraint functions, Gi, memiliki nonlinear terms.

Tidak ada universal algorithm yang dapat menemukan optimal solution untuk setiap NLP.

Sejenis dari NLPs, “Convex Programming Problems” dapat diselesaikan dengan algorithms yang dapat digunakan untuk menemukan optimal solution.

Properties of Convex Programming Problems Tujuannya: maksimalkan concave function atau minimalkan convex function. Sekumpulan constraints terbentuk dari convex set.

A One Variable Concave (Convex) Function A smooth function (no sharp points, no discontinuities) One global maximum (minimum).

Page 4 of 9

Garis digambar di antara dua titik dalam kurva dari fungsi yang berbaring pada kurva atau berada dalam kurva (lie below (above) the curve or on the curve).

An illustration of a two variable convex function

Convex SetsIf a straight line that joins any two points in the set lies within the set, then the set is called a convex set.

NLP and Convex Sets In a NLP model all the constraints are of the “less than or equal to” form

Gi(X) < B. If all the functions Gi are convex, the set of constraints forms a convex set.

13.7. Unconstrained Nonlinear ProgrammingSalah satu variabel dalam Unconstrained problem ditunjukkan oleh contoh

soal Toshi Camera. Hubungan berbanding terbalik antara demand terendah untuk tiap item dengan harga nya dijelaskan dalam soal.

Toshi camera of Japan mengeluarkan produk baru, yaitu Zoomcam. Diyakini bahwa permintaan untuk produk awal akan linear dengan harga.

Toshi mengestimasi Unit Production Cost untuk memproduksi Zoomer : $50.

Kuantitas produksi yang bagaimanakah yang dapat memaksimalkan keuntungan total sejak produksi awal?

Toshi ingin mengetahui :- Menentukan kuantitas produksi sejak produksi

awal- Menentukan harga kamera- Memaksimalkan total profit dari produksi

awalJika : X = estimated demand

P = Harga (price) kameraToshi dapat berharap pendapatan(revenue) PX dari produksi X kamera adalah 50 XTotal Profit F(X) dari produksi X kamera diperoleh dari Total Revenue – Total Costs,

Demand (X) , dan harga (P), memiliki hubungan linier seperti pada fungsi berikut:P = 450 – 0.001 X

Substitusikan ini untuk P ke dalam fungsi objektif seperti :F(X) = PX – 50X = (450 – 0.001X) X – 50X = 400X – 0.001 X2

Page 5 of 9

Total Profit = Total Revenue – Production Cost

F(X) = PX – 50X

F(X) adalah fungsi non linear dengan satu variabel :Dari perhitungan kalkulus, nilai maksimum dari unconstrained function menunjukkan slope pada kurva = 0 (dapat ditemukan dengan menghitung turunannya)

Jika, X = 200,000 maka; P= 450 – 0.001X harga jual P= 450 – 0.001 (200.000) = $250Turunan sama dengan 0 (nol) hanya untuk necessary condition pada titik ini agar menjadi maksimum, untuk menjadi sufficient condition, turunan kedua juga harus negatif (mengindikasikan bahwa slope mengalami penurunan), pada titik ini.

A necessary condition A sufficient condition

Dalam hal ini, sufficient condition atau turunan kedua untuk seluruh titik dapat

ditunjukkan dengan :

Jadi solusi optimal untuk Toshi adalah dengan memproduksi 200,000 Zoomcams dan menjualnya pada harga P= $250. Profit optimal pada necessary conditions sbb:F (200,000) = 400,000 (200,000) – 0,001(200,000)2 = $ 40,000,000

OPTIMAL SOLUTIONS FOR CONCAVE/CONVEX FUNCTIONS WITH ONE VARIABLE Turunan kedua bersifat nonpositif pada seluruh titik dalam concave function (fungsi cekung). Sedangkan Convex function memiliki turunan kedua nonnegatif pada seluruh titik. Jadi, ketika memaksimalkan fungsi cekung, turunan pertama dari fungsi ini = 0 baik itu pada necessary condition maupun sufficient condition untuk mengoptimalkan :

MORE COMPLEX NONLINEAR OBJECTIVE FUNCTIONSMengetahui bahwa fungsi objektif bersifat concave (atau convex untuk minimization) tidak berarti bahwa solusi optimal telah ditemukan. Karena masih terdapat fungsi objektif dari nonlinear yang lebih kompleks, misalnya:F(X) = - 2X6 – 4X4 – 4X2+ 2248 X adalah fungsi concave, untuk menemukan

nilai X, akan memberikan nilai optimal

Page 6 of 9

F(X)

0 100,000 200,000 300,000 400,000 X

F(X) = 40 x – 0.001 X2

Optimal Solution for Concave/Convex FunctionsTitik X* memberikan nilai maksimum untuk concave function (atau nilai minimum untuk

convex function), F(X), Jika X* :

Untuk fungsi seperti ini selanjutnya akan dibahas lebih dalam pada appendix 13.1

EXTENSIONS TO PROBLEMS WITH MORE THAN ONE VARIABLEUntuk variabel yang lebih dari satu,dijelaskan menggunakan matriks, hal ini dibahas lebih dalam pada appendix 13.2. Berikut ini sekilas tentang PROBLEMS WITH MORE THAN ONE VARIABLE:

13.8. Constrained NonLinear Programming ProblemsOne variable Constrained Nonlinear Programming Problems

Feasible region untuk satu variabel adalah segment on a straight line (X > a or X < b). misal : X> 5 atau X < 10

Jika objective function bersifat nonlinear, maka optimal solution tidak harus berada pada titik ekstrim.

Contoh : Toshi Camera (revisited)Vice president dari Toshi Camera memiliki 3 alternatif ide untuk membatasi tingkat produksi untuk Zoomcam cameras:

Linda Hayashi ingin memproduksi pada level : 150,000 < X < 300,000 Jill Hall ingin memproduksi pada level : 50,000 < X < 175,000 Kery Reed ingin memproduksi pada level : 250,000 < X < 350,000

Toshi Camera ingin mengetahui tingkat produksi mana yang optimal pada kasus ini.

SOLUSILinda :Maximize F(X) = 400X - .001X2X >150,000X <300,000

Jill :Maximize F(X) = 400X - .001X2X >50,000X < 175,000

Page 7 of 9

Optimal Solution for Concave/Convex Functionsn with Three VariablesTitik (X1* , X2*, X3*) memberikan nilai maksimum untuk concave function (atau nilai

minimum untuk convex function), F(X1, X2, X3) jika pada titik tersebut :

Kerry :Maximize F(X) = 400X - .001X2X > 250,000X < 350,000

Observasi tersebut menggambarkan :1. Titik optimal bias (kasus Linda) terjadi atau tidak terjadi (Kasus Jill dan

Kerry) ketika turunan dari fungsi objektif adalah 02. Pada titik optimal,mungkin terdapat slack pada satu atau lebih constrain3. Ketika ada slack pada constraint, mengubah right hand side nya agaknya tidak

akan mempengaruhi solusi optimal4. Ketika solusi optimal terjadi pada titik batas (boundary point), nilai fungsi

objektif dapat diperbaiki dengan mengurangi right hand side ketika solusi optimal terjadi pada batas constrain “>” dan meningkatkan right hand side pada batas constrain “<”

Untuk constrain “<”, perbaikan instan(instantaneous improvement) pada nilai dalam fungsi objektif ketika solusi optimal terjadi pada boundary point adalah nilai dari turunan dF/dX yang dievaluasi pada titik tersebut, untuk constrain “>”, bersifat negative untuk nilai ini.

Hasil ini dirangkum pada table 13.21, yang menggunakan notasi berikut :S1 = Surplus pada constrain pertama (“>”)S2 = Slack pada constrain kedua (“<”)Y1= Perbaikan instan(instantaneous improvement) dalam nilai dari fungsi objektif jika

RHS pada constrain pertama (“>”) menurunY2= Perbaikan instan(instantaneous improvement) dalam nilai dari fungsi objektif jika

RHS pada constrain kedua (“<”) meningkat

Table 13.21 Optimal Result for Toshi Camera for Each Vice PresidentVice President

X* dF/dX= 0? >constrains < constrains

Linda 200,000 Yes S1 > 0, Y1 = 0 S2 > 0, Y2 = 0Jill 175,000 No S1 > 0, Y1 = 0 S2 = 0, Y2 > 0

4000

KerryX* = 250,000

40004000 150

Jill

50 175

X* = 175,000

0dX

dF0

dX

dF

0dX

dF

LindaF(X) = 400X - .001X2X* = 200,000

Kerry 250,000 No S1 = 0, Y1 > 0 S2 > 0, Y2 = 0