Chapter 11 AC Circuit Power Analysis

UES-FIA-EIE-AEL115 Ciclo I-2007

Chapter 11 AC Circuit Power Analysis

Engineering Circuit Analysis Sixth Edition

W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin

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Fig. 11.1 (and 11.2) Instantaneous power example.

Fig. 11.3 The average value P of a periodic function p(t) is …

Fig. 11.5 Curves of v(t), i(t), and p(t) are plotted as functions of …

Fig. 11.8 A simple loop circuit used to illustrate …

Fig. 11.14 A circuit in which we seek the average power delivered...

Fig. 11.16 The power triangle representation of complex power.


3.7 Potencia en Corriente Alterna:


3.7 a) Potencia instantánea: p(t):Según la convención de signos (unidad I), la potencia instantánea (varía en cada instante de tiempo) absorbida por un elemento de circuito, se define por:

[W] )( )()( titvtpabs


3.7 b) Potencia media, activa o real: PAplicando definición de valor medio a la potencia instantánea, se obtiene la potencia media:

T

abs

T

absmed

dttitvT

dttpT

0

0

[W] )()(1

P

PP)(1

P


Potencia instantánea en un inductor:

[W] )2(21

)(

)2/()(

)()()(

)2/()(

)()( :sea

wtsenIVtp

wtsenIwtsenV

titvtp

wtsenIti

wtsenVtv

mmabs

mm

SSabs

mS

mS

L

L


Señales de voltaje, corriente y potencia en un inductor:


Conclusiones: (L)

1- La frecuencia angular de la potencia instantánea es el doble que la correspondiente a la señal de voltaje o corriente.

2- Cuando v e i tienen signos iguales, la potencia instantánea es (+), por lo que el inductor absorbe potencia de la red.

3- Cuando v e i tienen signos diferentes, la potencia instantánea es (-), por lo que el inductor suministra potencia a la red.


Calculando el valor medio de la potencia instantánea, obtenemos la potencia media:

0

0

1P ( )

1 1P [ (2 )]

2

P 0 [W]

L

L

T

abs

abs m m

abs

p t dtT

V I sen d


Conclusiones: (L)

4- El inductor no disipa potencia media, solo almacena potencia en un semi-periodo y la entrega a la red en otro semi-periodo.


Aplicando el criterio de Dualidad al circuito inductivo puro, obtenemos rapidamente las respectivas conclusiones del circuito capacitivo puro.

Potencia instantánea en un capacitor:


Señales de voltaje, corriente y potencia en un capacitor:


Potencia instantánea en un resistor:

[W] } )2cos(-1 {21

)(

)(

)()()(

)()(

)()( :sea

2

wtIVtp

wtsenIV

titvtp

wtsenIti

wtsenVtv

mmabs

mm

SSabs

mS

mS

R

R


Señales de voltaje, corriente y potencia en un resistor:


Conclusiones: (R)

1- La frecuencia angular de la potencia instantánea en el resistor es el doble que la correspondiente a la señal de voltaje o corriente.

2- la potencia instantánea es siempre (+), por lo que el resistor absorbe potencia de la red y la disipa en forma de calor, en cada semi-ciclo de señal.


Calculando el valor medio de la potencia instantánea:

0

0

1P ( )

1 1P [ { 1-cos(2 ) }]

2

1P [W]

2

R

R

T

abs

abs m m

abs m m

p t dtT

V I d

V I


[W] R

V RI P

[W] IV 21

P

2rms2

rms

rmsrms

R

R

abs

mmabs IV

Conclusiones: (R)

4- La potencia media en un resistor, en función del valor pico (máximo) ó valor rms para señales senoidales, viene dado por:


Figure 7.1, 7.2

Circuit for illustration of AC power

Current and voltage waveforms for illustration of AC power


Figure 7.3

Instantaneous and average power dissipation corresponding to thesignals plotted in Figure (back)


3.7 c) Potencia aparente: |S|Consideremos un circuito general excitado en corriente alterna, con su respectivo voltaje y corriente senoidal:

)()(

)()( :sea

wtsenIti

wtsenVtv

m

m


aplicando identidades trigonométricas, se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1( ) cos( - )

21

- cos(2 ) [W]2

Z

Z

abs

m m

abs m m

m m

p t v t i t

V sen wt I sen wt

p t V I

V I wt

La potencia instantánea absorbida por Z es:


La potencia instantánea absorbida por Z consta de dos términos:

Un termino que no depende del tiempo:

Otro termino que depende del doble de la frecuencia de la señal de voltaje:

)-cos(21

mmIV

)2cos(21

- wtIV mm


Calculando el valor medio de la potencia instantánea:

0

0

1 1P [ cos( - )]

2

1 1 [- cos(2 )]

2

1P cos( - ) [W]

2

Z

Z

T

abs m m

T

m m

abs m m

V I dwtT

V I wt dwtT

V I


Similar a las excitaciones de DC, la potencia media puede determinarse en función de los valores máximos y rms asociados a señales senoidales y de R, o sea:

[W] )-cos( P

[W] )-cos(21

P

2

IV

2

IV

R

VIV

RIIV

R

R

rms

rmsrms

rmsmm


Al producto de la magnitud del fasor voltajepor la magnitud del fasor corriente, se denomina potencia aparente:

[VA] ||

[VA] 21

||

2

2

Z

VZIS

IVIVS

Z

Z

rms

rms

rmsrmsmm


3.7 d) Potencia reactiva: QEs el producto de la magnitud del voltaje por la magnitud de corriente por el seno de la diferencia de ángulos del fasor voltaje y el fasor corriente:

[VAR] )-sen(Q

[VAR] )-sen(21

Q

2

IV

2

IV

X

VIV

IXIV

X

X

rms

rmsrms

rmsmm


3.7 e) Factor de Potencia: fp:

Por definición a la relación entre la potencia media y la potencia aparente, se le denomina factor de potencia:

||PS

fp


fpfdIV )-cos(

Si la carga es lineal y las señales de voltaje y corriente son senos puras (sin distorsión armónica o THD), entonces el factor de potencia coincide al factor de desplazamiento (fd) o coseno del ángulo entre el fasor de tensión y el fasor de corriente, o sea:

Notar que el coseno puede ser (+), (-), cero o unitario, dependerá entonces de la naturaleza de la carga: RL, RC, reactiva pura o resistiva pura !


ZR

fp

Para cargas lineales y señales de voltaje y corriente senoidales puras (sin distorsión armónica), el factor de potencia también puede establecerse como la relación entre la resistencia y la magnitud de la impedancia, o sea:


3.7 f) Potencia Compleja o Fasor de Potencia:

Es la suma fasorial de la potencia media y la potencia reactiva o igual al producto del fasortensión por el conjugado del fasor corriente, también la potencia aparente se calcula como la magnitud de la potencia compleja, o sea:

*

S [VA]

S [VA]rms rms rms rms

P jQ P jQ

V I

S

S V I


3.7 g) Triángulos de Potencia:Cargas en atraso (redes RL)


3.7 g) Triángulos de Potencia:Cargas en adelanto (redes RC)


Curves of v(t), i(t), and p(t) are plotted as functions of time for a simple circuit in which the phasorvoltage V = 4∟0o V is applied to the impedance Z = 2 ∟ 60o W and w = π/ 6 rad/s.


A simple loop circuit used to illustrate the derivation of the maximum power transfer theorem as it applies to circuits operating in the sinusoidal steady state.


A circuit in which we seek the average power delivered to each element, the apparent power supplied by the source, and the power factor of the combined load.


The instantaneous power that is delivered to R is pR(t) = i2(t)R

pR(t) = (V02/R)(1 – e-Rt/L)2 u(t).

Sketch of p(t), pR(t), and pL(t). As the transient dies out, the circuit returns to steady-state operation. Since the only source remaining in the circuit is dc, the inductor eventually acts as a short circuit absorbing zero power.

Transitorio de potencia:


Example: Electric power transmission: (a) direct power transmission; (b) power transmission with transformers

UES-FIA-EIE-AEL115 Ciclo I-2007Figure 7.37c, d

Example: Electric power transmission: (c) equivalent circuit seen by generator; (d) equivalent circuit seen by load

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