การออกแบบตัวชดเชยด้วยวิธีการตอบสนองเชิงความถี 10-1 บทที่ 10 การออกแบบตัวชดเชยด้วยวิธีการตอบสนองเชิงความถี่ จากบทที่ 7 และ 8 เราเรียนรู้การใช้ระเบียบวิธี Root locus ในการออกแบบตัวชดเชย ในบทถัดมาเราได้ เรียนรู้ระเบียบวิธี frequency response ซึ่งเป็นอีกมุมมองหนึ่งในการออกแบบตัวชดเชย หากเปรียบเทียบกัน ระหว่างทั้งสองวิธี ระเบียบวิธี frequency response มีข้อดีในการปรับอัตราขยายเพื่อปรับผลตอบสนองชั่วขณะมี ข้อดีกว่าวิธี root locus ในแง่ที่ไม่ต้องใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ในการหาตําแหน่งโพลที่กําหนด เราสามารถสร้าง แผนภาพ Bode ได้โดยใช้หลักการวาดเส้นกํากับและสามารถวิเคราะห์ผลตอบสนองและเสถียรภาพได้โดยสะดวก แต่หากมีโปรแกรมช่วยเหลือเช่น MATLAB ก็สามารถใช้วิธี root locus ได้อย่างมีประสิทธิภาพเช่นกัน สําหรับการ ออกแบบตัวชดเชยเพื่อปรับผลตอบสนองชั่วครู่ เราสามารถบอกได้ว่าโพลที่ตําแหน่งใดจะให้ผลตอบสนองที่กําหนด ได้ แต่ในวิธี frequency response เราอาจต้องลองผิดลองถูกหลายครั้งจึงจะได้ตัวชดเชยที่ทําให้ได้ผลตอบสนองชั่ว ครู่ของระบบปิดเป็นตามที่กําหนดเนื่องจากเราใช้ frequency response ของระบบเปิดเป็นตัวอออกแบบ อย่างไรก็ ดีการใช้ตัวชดเชยแบบเฟสนําหน้าในวิธี frequency response มีข้อดีคือสามารถออกแบบตัวชดเชยเพื่อลดค่า ผิดพลาดในสภาวะอยู่ตัวและปรับปรุงผลตอบสนองในสภาวะชั่วครู่ได้พร้อมกัน นิสิตจึงต้องทําความเข้าใจและ เปรียบเทียบทั้งสองวิธีการและสามารถเลือกใช้ได้ในกรณีที่เหมาะสม ในบทนี้จะกล่าวถึงการออกแบบตัวชดเชยแบบเฟสนําหน้า เฟสล้าหลัง เช่นเดียวกับในบทที่ 8 โดยใช้ ระเบียบวิธี frequency response เพื่อลดค่าผิดพลาดในสภาวะอยู่ตัวและปรับปรุงผลตอบสนองชั่วขณะและทําให้ ระบบเสถียร ในการใช้วิธี frequency response เราจะใช้หลักการวิเคราะห์เสถียรภาพจากบทที่ 9 และเพิ่ม อัตราขยายเพื่อลดค่าผิดพลาด และสุดท้ายเพิ่มความกว้างแถบเพื่อปรับปรุงผลตอบสนองให้เร็วขึ้น วัตถุประสงค์ 1. ใช้ระเบียบวิธี Frequency response ในการปรับอัตราขยายระบบให้มีผลตอบสนองชั่วขณะที่กําหนด 2. ใช้ระเบียบวิธี Frequency response ในการออกแบบตัวชดเชยเพื่อลดค่าผิดพลาดในสภาวะอยู่ตัว 3. ใช้ระเบียบวิธี Frequency response ในการออกแบบตัวชดเชยเพื่อปรับปรุงผลตอบสนองในสภาวะ ชั่วขณะให้เป็นตามเกณฑ์ที่กําหนดได้ 4. ใช้ระเบียบวิธี Frequency response ในการออกแบบตัวชดเชยเพื่อลดค่าผิดพลาดในสภาวะอยู่ตัวและ ปรับปรุงผลตอบสนองในสภาวะชั่วขณะ ในการออกแบบตัวชดเชยด้วยวิธีผลตอบสนองเชิงความถี่ก็เช่นเดียวกับระเบียบวิธีเส้นทางเดินของรากดังกล่าวในบท ที่ 9 คือต้องคํานึงถึงคุณสมบัติสามประการคือ 1) เสถียรภาพของระบบซึ่งบอกโดยค่า gain margin และ phase margin ดังรูปที่ 10.1 การ 2) การตอบสนองในสภาวะชั่วครู่ที่บ่งบอกโดย phase margin ซึ่งมีผลต่ออัตราส่วนการ หน่วงของระบบรวมทั้งความกว้างแถบซึ่งแสดงถึงความเร็วในการตอบสนองได้แก่ค่าเวลาเข้าที่หรือเวลาค่ายอดเป็น ต้นดังแสดงในรูปที่ 10.2 และ 3) ค่าผิดพลาดในสภาวะอยู่ตัวซึ่งแสดงโดยจุดตัดแกนขนาดที่ความที่ต่ําสําหรับระบบ type 0 ดังรูปที่ 10.3 และจุดตัดแกนความถี่ดังรูปที่ 10.4 สําหรับระบบ type 1 ซึ่งเราจะกล่าวถึงวิธีการสามวิธี ด้วยกันคือการปรับเปลี่ยนอัตราขยาย ตัวชดเชยแบบเฟสล้าหลังและตัวชดเชยแบบเฟสนําหน้า
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-1
บทท 10
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ
จากบทท 7 และ 8 เราเรยนรการใชระเบยบวธ Root locus ในการออกแบบตวชดเชย ในบทถดมาเราไดเรยนรระเบยบวธ frequency response ซงเปนอกมมมองหนงในการออกแบบตวชดเชย หากเปรยบเทยบกนระหวางทงสองวธ ระเบยบวธ frequency response มขอดในการปรบอตราขยายเพอปรบผลตอบสนองชวขณะมขอดกวาวธ root locus ในแงทไมตองใชโปรแกรมคอมพวเตอรในการหาตาแหนงโพลทกาหนด เราสามารถสรางแผนภาพ Bode ไดโดยใชหลกการวาดเสนกากบและสามารถวเคราะหผลตอบสนองและเสถยรภาพไดโดยสะดวก แตหากมโปรแกรมชวยเหลอเชน MATLAB กสามารถใชวธ root locus ไดอยางมประสทธภาพเชนกน สาหรบการออกแบบตวชดเชยเพอปรบผลตอบสนองชวคร เราสามารถบอกไดวาโพลทตาแหนงใดจะใหผลตอบสนองทกาหนดได แตในวธ frequency response เราอาจตองลองผดลองถกหลายครงจงจะไดตวชดเชยททาใหไดผลตอบสนองชวครของระบบปดเปนตามทกาหนดเนองจากเราใช frequency response ของระบบเปดเปนตวอออกแบบ อยางไรกดการใชตวชดเชยแบบเฟสนาหนาในวธ frequency response มขอดคอสามารถออกแบบตวชดเชยเพอลดคาผดพลาดในสภาวะอยตวและปรบปรงผลตอบสนองในสภาวะชวครไดพรอมกน นสตจงตองทาความเขาใจและเปรยบเทยบทงสองวธการและสามารถเลอกใชไดในกรณทเหมาะสม ในบทนจะกลาวถงการออกแบบตวชดเชยแบบเฟสนาหนา เฟสลาหลง เชนเดยวกบในบทท 8 โดยใชระเบยบวธ frequency response เพอลดคาผดพลาดในสภาวะอยตวและปรบปรงผลตอบสนองชวขณะและทาใหระบบเสถยร ในการใชวธ frequency response เราจะใชหลกการวเคราะหเสถยรภาพจากบทท 9 และเพมอตราขยายเพอลดคาผดพลาด และสดทายเพมความกวางแถบเพอปรบปรงผลตอบสนองใหเรวขน วตถประสงค
1. ใชระเบยบวธ Frequency response ในการปรบอตราขยายระบบใหมผลตอบสนองชวขณะทกาหนด 2. ใชระเบยบวธ Frequency response ในการออกแบบตวชดเชยเพอลดคาผดพลาดในสภาวะอยตว
3. ใชระเบยบวธ Frequency response ในการออกแบบตวชดเชยเพอปรบปรงผลตอบสนองในสภาวะชวขณะใหเปนตามเกณฑทกาหนดได
4. ใชระเบยบวธ Frequency response ในการออกแบบตวชดเชยเพอลดคาผดพลาดในสภาวะอยตวและปรบปรงผลตอบสนองในสภาวะชวขณะ
ในการออกแบบตวชดเชยดวยวธผลตอบสนองเชงความถกเชนเดยวกบระเบยบวธเสนทางเดนของรากดงกลาวในบทท 9 คอตองคานงถงคณสมบตสามประการคอ 1) เสถยรภาพของระบบซงบอกโดยคา gain margin และ phase margin ดงรปท 10.1 การ 2) การตอบสนองในสภาวะชวครทบงบอกโดย phase margin ซงมผลตออตราสวนการหนวงของระบบรวมทงความกวางแถบซงแสดงถงความเรวในการตอบสนองไดแกคาเวลาเขาทหรอเวลาคายอดเปนตนดงแสดงในรปท 10.2 และ 3) คาผดพลาดในสภาวะอยตวซงแสดงโดยจดตดแกนขนาดทความทตาสาหรบระบบ type 0 ดงรปท 10.3 และจดตดแกนความถดงรปท 10.4 สาหรบระบบ type 1 ซงเราจะกลาวถงวธการสามวธดวยกนคอการปรบเปลยนอตราขยาย ตวชดเชยแบบเฟสลาหลงและตวชดเชยแบบเฟสนาหนา
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-2
10.1 การออกแบบผลตอบสนองโดยการปรบอตราขยาย
การชดเชยโดยปรบเปลยนอตราขยายคอการปรบเพมหรอลดอตราขยาย ซงกคอการใชตวควบคมแบบสดสวนนนเอง การเพมหรอลดนทาใหเสนกราฟขนาดของผลตอบสนองเชงความถเลอนขนหรอลงไดดงแสดงในรปท 10.1
เพ�มK
ลดK
รปท 10.1 แผนภาพโบดเมอมการการปรบเปลยนอตราขยาย
จากทกลาวไปแลวในบทท 9 เราสามารถปรบเปลยนผลตอบสนองในสภาวะชวขณะไดจากการปรบเปลยนคา phase margin ของผลตอบสนองเชงความถของระบบเปดได จากรปท 10.1 เสนเตมแสดงระบบกอนการปรบอตราขยายมคา phase margin เทากบ mΦ สวนเสนประ คอเสนทปรบเพม หรอลด เกน ดงแสดงในรป ซงจะเหนวาเราสามารถปรบเปลยนสวนเผอเฟส ไดจากการเลอนตาแหนงความถ ททาใหเกดสวนเผอเฟส หรอความถทขนาด 0 dB โดยกบเปลยนอตราขยายเพอเลอนเสนกราฟของขนาดขนหรอลงเพอใหไดความถ phase margin ทตองการดงตวอยางตอไปน //ปรบ รปภาพ 10.1 แสดงเฟสมารจน
ตวอยาง 10.1
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-3
จากระบบทกาหนดให ( )( )( )31
6
++=
sssG ตองการคา K ททาใหระบบปดม overshoot 10% สาหรบ
step input
สรางแผนภาพโบดจากฟงกชนถายโอนระบบเปดดงสมการ ดงแสดงในรปท 10.2 โดยจดใหอยในรปฟอรมมาตรฐาน ดงสมการท 10.1
( ) ( )
++=
++
=1
31
2
3
31
36
)(s
ss
s
sG (10.1)
สามารถแยกพลอตเสนกากบของแผนภาพโบดในแตละเสนไดดงน
1) คาคงท 2 มขนาด 02.6)2log(20 ==dBM และมมมเฟส 0=φ
2) ระบบอนดบหนง 1
1
+s ซงมคา 1=τ และมความถมม sradc /1
1==
τω สามารถ
พจารณาเพอวาดเสนกากบของแผนภาพโบดไดดงน
ขนาดของ 1
1
+s เมอ 1≤ω , 0=dBM
1≥ω , เสนตรงความชน -20 dB/decade
มมเฟสของ 1
1
+s เมอ 1.0≤ω , o0=φ
101.0 ≤≤ω , เสนตรงความชน –45o/decade
10≥ω , o90−=φ
3) ระบบอนดบหนง 1
3
1
+s
ซงมคา 3
1=τ และมความถมม sradc /3
1==
τω
สามารถพจารณาเพอวาดเสนกากบของแผนภาพโบดไดดงน
ขนาดของ 1
3
1
+s
เมอ 3≤ω , 0=dBM
3≥ω , เสนตรงความชน -20 dB/decade
มมเฟสของ 1
3
1
+s
เมอ 3.0≤ω , o0=φ
303.0 ≤≤ ω , เสนตรงความชน –45o/decade
30≥ω , o90−=φ
และเสนทงสาม สามารถรวมกน ไดตามแผนภาพโบดในรปท 10.7 เสนทบ สวนเสนประแสดงถงเสนทเกดขนจรงของการตอบสนองเชงความถ
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-4
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
(1)
(2)
(3)
(1)+(2)+(3)
-20 dB/dec
-40 dB/dec
-20 dB/dec
-20 dB/dec
(1)
(2)(3)
-45° dec
-45° /dec
-45° /dec
-90° /dec
-45° /dec(1)+(2)+(3)
ᶲm
รปท 10.2 แผนภาพโบดของ ( )( )( )31
6
++=
sssG
จากรปอานคาสวนเผอเฟสได 97.6o ทความถ 1.49 rad/s ซงจะเหนวามสวนเผอเฟสมาก ทความถคอนขางตา ซงทาใหการตอบสนองของระบบชา สามารถลดคานโดยการเพมคาเกนซงจะทาใหสวนเผอเฟสลดลง หมายถงระบบจะมโอเวอรชตเพมขน แตการตอบสนองจะเรวขนดวย คานวณคาอตราสวนการหนวงทตองการจากโจทยกาหนดใหมคาโอเวอรชต 10% เพอหาคาอตราสวนการหนวง
� = − �� 0.1√� + ��� 0.1 = 0.5912 (10.2)
จากนนคานวณหาคาเฟสมารจนทสอดคลองกบคาอตราสวนการหนวงไดคอ
�� = ����� 2�0.5912�
�−2�0.5912�� + �1 + 4�0.5912��= 58.58° (10.3)
ซงสมการท 10.4 ไดสวนเผอนเฟสทตองการคอ 58.58° หรอไดคามมเฟสทอานไดแผนภาพโบดคอ ooo 42.12158.58180 −=+−=φ
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-5
จากรปท 10.2 ทคา o42.121−=φ อานคาความถได 3.34 rad/s และคาอตราขยาย -8.3 dB ดงนนจงตองเพมอตราขยายอก 8.3 dB แสดงดงกราฟเสนบนของรปท 10.3 เพอใหเสนกราฟเลอนตวขนไปจนมขนาด 0 dB ทความถดงกลาวพอด
รปท 10.3 แผนภาพโบดของระบบในตวอยาง 10.1 ทชดเชยโดยการเพมอตราขยายเพอใหไดสวนเผอเฟสเปน 58.58o
อตราขยาย K ทตองเพมหาไดจาก 20 ��� = 8.3 dB
= 2.61 (10.4)
ดงนนจะไดอตราขยายทตองการคอ 2.61 และจะไดผลตอบสนองดงแสดงในรปท 10.4 ซงเหนวาระบบทเพมคาอตราขยาย K=2.61 เขาไป ทาใหระบบเกดการตอบสนองไดเรวขนและมคาผดพลาดในสภาวะอยตวลดลง แตในขณะเดยวกบคาโอเวอรชตของระบบจะเพมขนดวย ซงในตวอยางนจะเหนวามคาโอเวอรชท ประมาณ 10% ตามทโจทยกาหนด
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/s) , Pm = 58.6 deg (at 3.34 rad/s)
Frequency (rad/s)
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-6
)
รปท 10.4 การตอบสนองของระบบในตวอยาง 10.1 สาหรบระบบกอนเพมตวชดเชย และเมอเพมตวชดเชยแลว
10.2 การออกแบบดวยตวชดเชยแบบเฟสนาหนา
การชดเชยแบบเฟสนาหนาเปนการชดเชยทมมมเฟสเปนบวกใหกบระบบ เพอเพมคาสวนเผอเฟสใหกบระบบใหมคาเพยงพอตามทตองการ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-7
0
5
10
15
20M
agn
itu
de
(dB
)
10-2
10-1
100
101
102
103
0
30
60
Ph
ase
(deg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)T
1Tα1
maxω
รปท 10.5 ผลตอบสนองเชงความถของตวชดเชยแบบเฟสนาหนา
รปแบบตวชดเชยแบบเฟสนาหนาแสดงดงสมการ
$%&'(�)� = 1*
�) + 1 +⁄ ��) + 1 *+⁄ � , 0 < * < 1
หรอ
101
1<<
++
= ααTs
TsGlead
(10.5)
การชดเชยดวยตวชดเชยแบบเฟสนาหนาทาใหผลตอบสนองเชงความถของระบบทชดเชยเปนดงรปท 10.6
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-8
Lead compensated
Uncompensated
Compensated
Compensated
Uncompensated
Lead compensated
รปท 10.6 การใชตวชดเชยแบบเฟสนาหนาในการเพม phase margin
ตวชดเชยแบบเฟสนาหนาทาหนาทชดเชยมม phase margin ของระบบใหมขนาดเพมขนตามทกาหนดเพอใหมผลตอบสนองในสภาวะชวครทตองการ มมเฟสของตวชดเชยแบบเฟสนาหนาคอผลตางของมมเฟสของซโรและโพลของตวชดเชยตวสมการ
�%&'( = ����� /+ − ����� /*+ (10.6)
เราสามารถหาความถทตวชดเชยมมมเฟสสงสดไดจาก 0�%&'(
0� = +1 + �/�'1 +�� − *+
1 + �/�'1*+�� = 0 (10.7)
จะไดความถทมมเฟสตวชดเชยสงสด /�'1 = 1
+√* (10.8)
เมอนาความถดงกลาวแทนลงใน (10.6) จะไดมมเฟสตวชดเชยสงสด
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-9
��'1 = )2��� 1 − *1 + * (10.9a)
หรอจะได * = 1 − )2� ��'1
1 + )2� ��'1 (10.9b)
และขนาดตวชดเชยทความถสงสด |$%&'(�4/�'1�| = 1
√* (10.10)
ขนตอนการออกแบบตวชดเชยแบบเฟสนาหนาสรปไดดงน 1. พลอตแผนภาพผลตอบสนองเชงความถของระบบโดยกาหนดอตราขยายเพอใหไดคาผดพลาดใน
สภาวะอยตวตามทกาหนด 2. คานวณสวนเผอเฟส ทจะไดผลตอบสนองในสภาวะชวครตามขอกาหนด 3. จากแผนภาพผลตอบสนองเชงความถหาสวนเผอเฟสของระบบเดม แลวคานวณหามมเฟสทตองการ
ชดเชย 4. คานวณคาα จากสมการท 10.9 5. หาขนาดตวชดเชยทตาแหนงมมเฟสสงสดจากสมการท 10.10 พรอมกบแปลงใหเปนหนวยเดซเบล 6. หาความถ phase margin ใหมจากตาแหนงบนแผนภาพผลตอบสนองเชงความถทมขนาดเปนคาลบ
ของขนาดตวชดเชยทตาแหนงมมเฟสสงสดทไดจากขอ 5 7. หาความถมม T1 ของตวชดเชยจะไดตวชดเชยแบบเฟสนาหนาตามสมการท 10.8 8. ตรวจสอบวาความกวางแถบของระบบทชดเชยแลวเปนไปตามขอกาหนดของการตอบสนองในสภาวะ
ชวคร 9. ทดสอบวาระบบตอบสนองตามขอกาหนดในการออกแบบจรงหรอทาซาจนกวาจะไดผลเปนทนาพอใจ
ตวอยางตอไปนแสดงการออกแบบตวชดเชยแบบเฟสนาหนา
ตวอยาง 10.2
จากระบบทกาหนดให ( )( )( )31
6
++=
sssG จงออกแบบตวชดเชยแบบเฟสนาหนาททาใหไดโอเวอรชต
10% และมคาความผดพลาดในสถานะอยตว 0.05 จากขอกาหนดดานโอเวอรชต สามารถคานวณหาสวนเผอเฟสทตองการ ไดตามสมการท 10.2-10.3 ได 58.58o และจากขอกาหนดคาผดพลาดในสภาวะอยตวซงระบบเปน type 0 ดงนนจดทดสอบกบอนพตทเปนฟงกชนขนหนงหนวย และสามารคานวณอตราขยายไดจาก
sss
Kse
sss
1.
)3)(1(
61
1lim05.0
0
+++
==→
(10.11)
จากสมการท 10.11 ได K=9.5 ดงนนจะไดฟงกชนถายโอนระบบเปดทมอตราขยายทตองการคอ
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-10
$�)� = �9.5��6��) + 1��) + 3� (10.12)
นาสมการท 10.20 มาสรางแผนภาพโบดไดดงแสดงในรปท 10.7 จากรปท 10.7 อานคาสวนเผอเฟสของระบบกอนการชดเชยได 30.4° แตจากเงอนไขการออกแบบเราตองการสวนเผอเฟส 58.58o ดงนนมมเฟสทตองชดเชยจะตองเพมขนบวกความเผอเนองจากเราไมทราบตาแหนงความถสวนเผอเฟสใหมทแนนอน เราจงเผอมมเฟสทตองการชดเชยเพมอกประมาณ 5o-10° จะไดมมเฟสทตอง
ชดเชยเทากบ o18.38104.3058.58 =+− ooo คานวณหาคา α จาก
รปท 10.7 ผลตอบสนองเชงความถของระบบในตวอยาง 10.2 กาหนดอตราขยาย K = 9.5
* = 1 − )2� 38.1861 + )2� 38.18° = 0.236 (10.13)
ขนาดของตวชดเชยทความถสงสดหาไดจาก
|$%&'(�4/�'1�| = 1√0.25 = 2.06
หรอไดขนาดเทากบ dB27.606.2log20 = (10.14a) (10.14b)
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/s) , Pm = 30.4 deg (at 7.22 rad/s)
Frequency (rad/s)
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-11
จากคาทไดคานวณไดในสมการท 10.14b ซงเปนขนาดของตวชดเชย ซงทจดนนเปนจดทเราจะทาใหเกดสวนเผอเฟสใหม ดงนนคาอตราขยายทอานไดในรปท 10.7 ตองเปน -6.27 dB ซงอานคาความถตรงจดนนได 10.5 rad/s คานวณความถมมของตวชดเชยจาก
1+ = /√* = 10.5√0.236 = 5.10 (10.15)
และ 6.21
236.0
10.51==
Tα (10.16)
จงไดตวชดเชยแบบเฟสนาหนาสาหรบตวอยาง 10.2 คอ
$%&'(�)� = 1*
�) + 1 +⁄ ��) + 1 *+⁄ � = 4.24 �) + 5.1�
�) + 21.6� (10.17a)
หรอหากคดรวมคาอตราขยาย K ทออกแบบตอนแรก จะได
6.21
1.528.40
6.21
1.5)24.4)(5.9(
)/1(
)/1(.)(
++
=++
=++
=s
s
s
s
Ts
TsKsG Lead αα
(10.17b)
แผนภาพผลตอบสนองเชงความถของตวชดเชยรวมทงระบบกอนและหลงการชดเชยแสดงดงรปท 10.8
รปท 10.8 ผลตอบสนองเชงความถของระบบในตวอยาง 10.2 ทชดเชยดวยตวชดเชยแบบเฟสนาหนา
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
45
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-12
รปท 10.9 การตอบสนองของระบบในตวอยาง 10.1 สาหรบระบบกอนเพมตวชดเชย และเมอเพมตวชดเชยแบบเฟสนาหนา
ตวอยาง 10.3
จากระบบทกาหนดให )54(
1)(
2 ++=
ssssG จงออกแบบตวชดเชยแบบเฟสนาหนาททาใหไดโอเวอรชต
20% และมคาความผดพลาดในสถานะอยตว 0.1 จากเงอนไขทโจทยตองการ คานวณคาอตราสวนการหนวงทตองการจากโจทยกาหนดใหมคาโอเวอรชต 20% เพอหาคาอตราสวนการหนวง
� = − �� 0.2√� + ��� 0.2 = 0.4559 (10.18)
จากนนคานวณหาคาเฟสมารจนทสอดคลองกบคาอตราสวนการหนวงไดคอ
�� = ����� 2�0.4559�
�−2�0.4559�� + �1 + 4�0.4559��= 48.15° (10.19)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-13
และจากขอกาหนดคาผดพลาดในสภาวะอยตวซงระบบเปน type 1 ดงนนจงทดสอบกบอนพตทเปนฟงกชนทางลาดหนงหนวย และสามารคานวณอตราขยายไดจาก
2
2
0
1.
)54(1
1lim1.0
ssss
Kse
sss
+++
==→
(10.20)
จากสมการท 10.11 ได K=50 ดงนนจะไดฟงกชนถายโอนระบบเปดทมอตราขยายทตองการคอ
)54(
50)(
2 ++=
ssssKG
(10.21)
สรางแผนภาพโบดจากฟงกชนถายโอนระบบเปดดงสมการ ดงแสดงในรปท 10.2 โดยจดใหอยในรปฟอรมมาตรฐาน ดงสมการท 10.1
++
=54
5.
110)(
2 ssssG (10.22)
สามารถแยกพลอตเสนกากบของแผนภาพโบดในแตละเสนไดดงน
1) คาคงท 10 มขนาด 10)10log(20 ==dBM และมมมเฟส o0=φ
2) ตวอนทกรล s
1 ซงมคา สามารถพจารณาเพอวาดเสนกากบของแผนภาพโบดไดดงน
ขนาดของ s
1 เสนตรงความชน -20 dB/decade ตดแกนอตราขยายท srad /1=ω
มมเฟสของ s
1 คงท o90=φ
3) ระบบอนดบสอง 54
52 ++ ss
ซงมคา 5=nω และมความถมม
sradnc /24.25 === ωω สามารถพจารณาเพอวาดเสนกากบของแผนภาพโบดไดดงน
ขนาดของ 54
52 ++ ss
เมอ
24.2≤ω , 0=dBM 24.2≥ω , เสนตรงความชน -40 dB/decade
มมเฟสของ 54
52 ++ ss
เมอ
224.0≤ω , o0=φ
4.22224.0 ≤≤ ω , เสนตรงความชน –90o/decade
4.22≥ω , o180−=φ
และเสนทงสาม สามารถรวมกน ไดตามแผนภาพโบดในรปท 10.7 เสนทบ สวนเสนประแสดงถงเสนทเกดขนจรงของการตอบสนองเชงความถ
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-14
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-60 dB/dec
รปท 10.10 ผลตอบสนองเชงความถของระบบในตวอยาง 10.3 กาหนดอตราขยาย K = 50
จากรปท 10.10 อานคาสวนเผอเฟสของระบบกอนการชดเชยได -25.1° ซงทาใหระบบไมเสถยร แตจากเงอนไขการออกแบบเราตองการสวนเผอเฟส 48.15o ดงนนมมเฟสทตองชดเชยจะตองเพมขนบวกความเผอเนองจากเราไมทราบตาแหนงความถสวนเผอเฟสใหมทแนนอน เราจงเผอมมเฟสทตองการชดเชยเพมอกประมาณ
5o-10° จะไดมมเฟสทตองชดเชยเทากบ o8075.6)1.25(15.48 =+−− ooo คานวณหาคา α จาก
* = 1 − )2� 806
1 + )2� 80° = 0.0077 (10.23)
ขนาดของตวชดเชยทความถสงสดหาไดจาก
|$%&'(�4/�'1�| = 1√0.0077 = 11.43
หรอไดขนาดเทากบ dB16.2143.11log20 = (10.24a) (10.24b)
จากคาทไดคานวณไดในสมการท 10.14b ซงเปนขนาดของตวชดเชย ซงทจดนนเปนจดทเราจะทาใหเกดสวนเผอเฟสใหม ดงนนคาอตราขยายทอานไดในรปท 10.7 ตองเปน -21.16 dB ซงอานคาความถตรงจดนนได 8 rad/s คานวณความถมมของตวชดเชยจาก
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-15
717.00077.08
1=== αω
T (10.16)
และ 16.930077.0
717.0111==⋅=
TT αα
(10.17)
จงไดตวชดเชยแบบเฟสนาหนาสาหรบตวอยาง 10.3 คอ
$%&'(�)� = 1*
�) + 1 +⁄ ��) + 1 *+⁄ � = 129.87 �) + 0.717�
�) + 93.16� (10.18a)
หรอหากคดรวมคาอตราขยาย K ทออกแบบตอนแรก จะได
16.93
717.05.6493
16.93
717.0)87.129)(50(
)/1(
)/1(.)(
++
=++
=++
=s
s
s
s
Ts
TsKsG Lead αα
(10.18b)
แผนภาพผลตอบสนองเชงความถของตวชดเชยรวมทงระบบกอนและหลงการชดเชยแสดงดงรปท 10.11
รปท 10.11 ผลตอบสนองเชงความถของระบบในตวอยาง 10.2 ทชดเชยดวยตวชดเชยแบบเฟสนาหนา
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-16
รปท 10.12 การตอบสนองของระบบในตวอยาง 10.3 สาหรบระบบกอนเพมตวชดเชย และเมอเพมตวชดเชยแบบเฟสนาหนา เมอใหอนพตเปนฟงกชนชนหนงหนวย
รปท 10.13 การตอบสนองของระบบในตวอยาง 10.3 สาหรบระบบกอนเพมตวชดเชย และเมอเพมตวชดเชยแบบเฟสนาหนา เมอใหอนพตเปนฟงกชนทางลาดหนงหนวย
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-17
10.3 การออกแบบดวยตวชดเชยแบบเฟสลาหลง
ในทานองเดยวกนกบการออกแบบตวชดเชยแบบเฟสลาหลงดวยวธเสนทางเดนของรากเราสามารถใชวธผลตอบสนองเชงความถไดเชนกน ตวชดเชยแบบเฟสลาหลงมรปแบบดงสมการ
$%'8�)� = �+) + 1�
�9+) + 1� (10.19a)
$%'8�)� = 1
9�) + 1 +⁄ �
�) + 1 9+⁄ � , 9 > 1 (10.19b)
ลกษณะผลตอบสนองเชงความถของตวชดเชยแบบเฟสลาหลงแสดงโดยแผนภาพดงรปท 10.9
รปท 10.14 ผลตอบสนองเชงความถของตวชดเชยแบบเฟสลาหลง
รปท 10.15 การใชตวชดเชยแบบเฟสลาหลงในการเพม phase margin
Tα1
T
1
0
0°
phas
em
agni
tude
( )α1log20
T
10>
0
180ΦmΦmC
a
20log >19?
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-18
หลกการออกแบบมดงน
1. กาหนดอตราขยาย K เพอใหไดสมประสทธคาผดพลาดในสภาวะอยตวทตองการพลอตแผนภาพ Bode 2. หาความถ phase margin ทตองการจากอตราสวนการหนวงทกาหนดโดยบวกเพมมมเฟสอกประมาณ 5-
10 องศาเนองจากตวชดเชยอาจมผลตอมมเฟสทาใหการชดเชยมมเฟสผดพลาดจากคาทตองการ
3. คานวณคา β1 ของตวชดเชยจาก 20101 a−=β เมอ a คอขนาดของผลตอบสนองเชงความถทตองการปรบลดลงเพอใหได phase margin ทความถทเลอกไวจากขอ 2 ดงแสดงในรปท 10.15
4. เลอกความถมม T1 ใหนอยกวาความถจากขอสองประมาณ 10 เทาเพอลดผลกระทบจากตวชดเชยทมผลตอมมเฟสทความถทเลอกจากขอ 2
การออกแบบตวชดเชยแบบเฟสลาหลงแสดงดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 10.4
จากระบบทกาหนดให ( )( )( )31
6
++=
sssG จงออกแบบตวชดเชยแบบเฟสนาหนาททาใหไดโอเวอรชต
10% และมคาความผดพลาดในสถานะอยตว 0.05 จากขอกาหนดดานโอเวอรชต สามารถคานวณหาสวนเผอเฟสทตองการ ไดตามสมการท 10.2-10.3 ได 58.58o และจากขอกาหนดคาผดพลาดในสภาวะอยตว และสามารคานวณอตราขยายไดตามสมการท 10.11 ซงได K=9.5 ดงนนจะไดฟงกชนถายโอนระบบเปดทมอตราขยายทตองการคอ
( )( )( )31
6)5.9(
++=
sssKG (10.20)
สรางแผนภาพโบดจากฟงกชนถายโอนระบบเปดตามสมการท 10.20 ดงแสดงในรปท 10.16
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-19
รปท 10.16 ผลตอบสนองเชงความถของระบบในตวอยาง 10.4 กาหนดอตราขยาย K = 9.5
คานวณหาสวนเผอเฟสตามคาโอเวอรชตทโจทยกาหนดตามสมการท 10.1-10.2 ได o58.58=mφ
ดงนนคาสวนเผอเฟสใหมทตองการออกแบบบวกกบสวนเผอประมาณ 5-10o ได
58.661058.58 =+= oo
mcφ (10.21a) หรอมมเฟสเทากบ
o32.11158.68180 −=+−= oφ (10.21b) อานจากแผนภาพโบดตามรปท 10.16 ได srad /65.2=ω และอตราขยายมคา 14 dB ซงทตาแหนงน เปนตาแหนงทเราตองการใหเกดสวนเผอเฟส ดงนนอตราขยายรวมของระบบและตวชดเชยตอง
เทากบศนย จงไดอตราขยายของตวชดเชยเทากบ -14 dB แลวคานวณหาคา β1 ตามสมการ
β1
log2014 =− (10.22a)
หรอ
( ) 1995.010
120
14
==−
β
(10.22b)
เลอกความถมม T1 ใหนอยกวาความถทตองการเกดสวนเผอเฟสใหม ประมาณ 10 เทา ดงนนได
27.01=
T (10.23a)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
System: sysFrequency (rad/s): 2.65Phase (deg): -111
Pha
se (
deg)
-60
-40
-20
0
20
40
System: sysFrequency (rad/s): 2.65Magnitude (dB): 14
Mag
nitu
de (
dB)
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-20
และ
054.0)27.0)(1995.0(1
==Tβ
(10.23b)
ไดตวชดเชยแบบเฟสลาหลงสาหรบตวอยาง 10.4 คอ
( )054.0
27.01995.0
++
=s
ssGlag
(10.24a)
หรอหากคดรวมคาอตราขยาย K ทออกแบบตอนแรก จะได
054.0
27.09.1
054.0
27.0)1995.0)(5.9(
)/1(
)/1(.)(
++
=++
=++
=s
s
s
s
Ts
TsKsGLag ββ
(10.24b)
รปท 10.17 ผลตอบสนองเชงความถจากตวอยาง 10.4 ทชดเชยดวยตวชดเชยแบบเฟสลาหลง
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (
dB)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-21
รปท 10.18 การตอบสนองของระบบในตวอยาง 10.4 สาหรบระบบกอนเพมตวชดเชย และเมอเพมตวชดเชยแบบเฟสลาหลง เมอใหอนพตเปนฟงกชนชนหนงหนวย
ตวอยาง 10.5
จากระบบทกาหนดให )54(
1)(
2 ++=
ssssG จงออกแบบตวชดเชยแบบเฟสลาหลงททาใหไดโอเวอรชต
20% และมคาความผดพลาดในสถานะอยตว 0.1 จากขอกาหนดดานโอเวอรชต สามารถคานวณหาสวนเผอเฟสทตองการ ไดตามสมการท 10.18-10.19 ได 48.15o และจากขอกาหนดคาผดพลาดในสภาวะอยตว และสามารคานวณอตราขยายไดตามสมการท 10.20 ได K=50 ดงนนจะไดฟงกชนถายโอนระบบเปดทมอตราขยายทตองการคอ
)54(
50)(
2 ++=
ssssKG (10.25)
สรางแผนภาพโบดจากฟงกชนถายโอนระบบเปดตามสมการท 10.25 ดงแสดงในรปท 10.19
0 2 4 6 8 10 12 140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-22
รปท 10.19 ผลตอบสนองเชงความถของระบบในตวอยาง 10.4 กาหนดอตราขยาย K = 50
คานวณหาสวนเผอเฟสตามคาโอเวอรชตทโจทยกาหนดตามสมการท 10.1-10.2 ได o15.48=mφ
ดงนนคาสวนเผอเฟสใหมทตองการออกแบบบวกกบสวนเผอประมาณ 5-10o ได
15.581015.48 =+= oo
mcφ (10.21a) หรอมมเฟสเทากบ
o85.12115.58180 −=+−= oφ (10.21b) อานจากแผนภาพโบดตามรปท 10.16 ได srad /71.0=ω และอตราขยายมคา 22.4 dB ซงทตาแหนงน เปนตาแหนงทเราตองการใหเกดสวนเผอเฟส ดงนนอตราขยายรวมของระบบและตวชดเชยตอง
เทากบศนย จงไดอตราขยายของตวชดเชยเทากบ -22.4 dB แลวคานวณหาคา β1 ตามสมการ
β1
log204.22 =− (10.22a)
หรอ
( ) 076.010
120
4.22
==−
β
(10.22b)
เลอกความถมม T1 ใหนอยกวาความถทตองการเกดสวนเผอเฟสใหม ประมาณ 10 เทา ดงนนได
07.01=
T (10.23a)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
-100
-50
0
50
100
System: sysFrequency (rad/s): 0.712Magnitude (dB): 22.4
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
System: sysFrequency (rad/s): 0.71Phase (deg): -122
Pha
se (
deg)
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-23
และ
0053.0)07.0)(076.0(1
==Tβ
(10.23b)
ไดตวชดเชยแบบเฟสลาหลงสาหรบตวอยาง 10.5 คอ
( )0053.0
07.0076.0
++
=s
ssGLag
(10.24a)
หรอหากคดรวมคาอตราขยาย K ทออกแบบตอนแรก จะได
053.0
07.08.3
0053.0
07.0)076.0)(50(
)/1(
)/1(.)(
++
=++
=++
=s
s
s
s
Ts
TsKsGLag ββ
(10.24b)
รปท 10.17 ผลตอบสนองเชงความถจากตวอยาง 10.4 ทชดเชยดวยตวชดเชยแบบเฟสลาหลง
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (
dB)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-24
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
การออกแบบตวชดเชยดวยวธการตอบสนองเชงความถ�
10-25
10.5 สรป
ในบทนครอบคลมการออกแบบระบบควบคมดวยวธผลตอบสนองเชงความถ เราไดทราบวธการปรบอตราขยายและการใชตวชดเชยแบบเฟสลาหลง เฟสนาหนา และแบบเฟสนาหนาลาหลง ลกษณะผลตอบสนองทางเวลาขนกบ phase margin ความถท phase margin และความกวางแถบ การออกแบบโดยปรบอตราขยายทาใหได phase margin ตามขอกาหนดโดยหาความถทได phase margin ทตองการและปรบอตราขยายใหไดขนาดผลตอบสนองเชงความถเปนศนยเดซเบล ตวชดเชยแบบเฟสลาหลงทาหนาทเปนตวกรองความถตา อตราขยายทความถตาสามารถทาใหเพมขนไดเพอปรบปรงผลตอบสนองในสภาวะอยตวใหดขนและอตราขยายทความถสงถกลดลงใหระบบมเสถยรภาพ การออกแบบตวชดเชยแบบเฟสลาหลงประกอบดวยปรบอตราขยายใหไดคาผดพลาดในสภาวะอยตวทกาหนดและลดอตราขยายทความถสงลงเพอใหไดระบบเสถยรและม phase margin ทตองการ ตวชดเชยแบบเฟสนาหนาทาหนาทเปนตวกรองความถสงโดยเพมอตราขยายทความถสงโดยไมเปลยนแปลงอตราขยายทความถตา ดงนนเราจงสามารถอออกแบบเพอผลตอบสนองในสภาวะชวครกอนแลวจงเพมตวชดเชยแบบเฟสนาหนาสาหรบเพมมมเฟสทความถสงได ตวชดเชยแบบเฟสนาหนาลาหลงรวมขอดของตวชดเชยทงสองแบบ เรมตนดวยการออกแบบตวชดเชยแบบเฟสลาหลงตาขอกาหนดคาผดพลาดในสภาวะอยตว จากนนออกแบบตวชดเชยแบบเฟสนาหนาเพอทาใหผลตอบสนองเรวขน
Related Documents
