Chapter 1

İLERİ CFD5.6 versiyonu için

Eğitim Kılavuzu

İleri CFD – Eğitim Kılavuzu

Inventory Number: 001311

Version: 1

ANSYS Release: 5.6

Published Date: November 30, 1999

Registered Trademarks:

ANSYS® is a registered trademark of SAS IP Inc. All other product names mentioned in this manual are

trademarks or registered trademarks of their respective manufacturers.

Disclaimer Notice:

This document has been reviewed and approved in accordance with the ANSYS, Inc. Documentation Review

and Approval Procedures.

“This ANSYS Inc. software product (the Program) and program documentation (Documentation) are

furnished by ANSYS, Inc. under an ANSYS Software License Agreement that contains provisions

concerning non-disclosure, copying, length and nature of use, warranties, disclaimers and remedies,

and other provisions. The Program and Documentation may be used or copied only in accordance

with the terms of that License Agreement.”

Copyright 1999 SAS IP, Inc. Proprietary Data.

Unauthorized use, distribution, or duplication is prohibited.

All Rights Reserved.

00131130 Nov 1999

1-3

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

Chapter 1 - CFD Denklemleri.……………………………………..1-4

Chapter 2 - Discretization Methodu……………………………...2-1

Chapter 3 – Newtoniyen Olmayan Akışkanlar........................ 3-1

Chapter 4 – Dağıtılmış Mukavemet ve Fan Modelleri.………..4-1

Chapter 5 – FLOTRAN da Türbülans Modellenmesi..………..5-1

Chapter 6 – Sıkıştırılabilen Akış......……………………………..6-1

Chapter 7 – Çok Yönlü Görünüm...……………………………...7-1

Chapter 8 - Multifizik……......……………………………………..8-1

Chapter 9 – Serbest Yüzey………………………………………..9-1

İçerik

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

Bölüm 1

CFD Denklemleri

00131130 Nov 1999

1-5

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

Navier-Stokes Denklemleri, Kütlenin Korunumu ve Enerji Denklemleri

• Denklemlerin Tanımı

• Süreklilik Denklemleri

• Mukavemet ve Gerilme İlişkileri

• Denklemlerin Biçimleri

• Önemli Özellikler

• Boyutsuz Paremetreler

• Boyutsuz Denklemler

• Enerji Denklemi

• Boyutsuz Enerji Denklemi

• Referansın Rotasyonel Kafesi

• Girdapsal Hareket

00131130 Nov 1999

1-6

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Navier-Stokes Denklemleri Momentumun Korunumunun Newtoniyen akışkana uygulanmasıyla elde edilmiştir.(Karakteristikler kısaca tanımlanacaktır.)

• Newton’un Hareket Kanunundaki Momentum Denklemi ile başlayalım.

• Üç ortagonal yön için üç tane denklem tanımlayalım.

I=1,2,3 (ör; x,y,z Kartezyen koordinatlarında)

• Ana kuvvetler ve yüzey kuvvetleri için ivme

• Vektör İfadesi

i

iji

j

iji

xB

x

uu

t

u

Momentumun Korunumu

00131130 Nov 1999

1-7

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Denklemleri tanımlamak için vektör ve tansör notasyonlarından faydalanılır. Bazen,tek bir denklemde farklı terimler için farklı notasyonlar kullanmak daha uygundur.

• Süreklilik Denklemini ifade etmenin bazı yolları (kütlenin korunumu):

• Skaler Denklem:

U,V,W ortagonal hızları x,y,z yönleri gösterir.

• Vektör şekli: V hız vektörünü gösterir.

0

z

W

y

V

x

U

t

0

Vt

Notasyon

00131130 Nov 1999

1-8

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• İndisli notasyon – tekrarlanan terimler toplanır:

• ui hızları, üçlü xi yönlerinde temsil edilir.

• Kısmi türev hareketi tanımlamada daha kullanışlıdır.

• Operatör :

• Ve böylelikle sürekliliğin dördüncü ifadesi elde edilir:

0

i

i

x

u

t

VtDt

D

0VρDt

ρD

Notasyon (devamı)

00131130 Nov 1999

1-9

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Sabit yoğunluk için:

• Hızın diverjansı sabit özellikli akış hallerinde sıfırdır. Özellikle akışın doğruluğunun kontrol edilmesi için kullanılır.

• Hesaplanan algoritma basıncı belirlemede süreklilik denklemleri önemli rol oynar. Genellikle, Navier-Stokes denkleminin basınç alanındaki hızı sağladığını varsayabiliriz.

0

i

i

x

uV

Süreklilikde Önemli Notlar

00131130 Nov 1999

1-10

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Hız ya da onun gradienti bazı yerlerde basınç gradienti olarak kullanılır. Böyle durumlarda, basınç için yoğunluk değişimleride göz önünde bulundurulmalıdır.

• Bulk modülün sunumu:

Böylece

• Bu terim ses hızının yayılmasının oranını tayin eder.K değerinin artması, dalganın yayılmasının hızını arttırır.

pt

p

t

ρρ

T

PK

Kt

p

t

Önemli Notlar (devamı)

00131130 Nov 1999

1-11

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

S

sound

PV

Önemli Notlar (devamı)

• Ses hızının tanımı Bulk modülüne çok benzer bir şekilde aşağıda gösterilmiştir .

00131130 Nov 1999

1-12

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

Navier-Stokes DenklemlerindekiTerimlerin Tipleri

• İvmelenme Terimleri:

– Lineer olmayan

– Süreklilik Denklemi

• Cisme Etkiyen Kuvvet Terimleri:

– Yer Çekimi

– Dönen Koordinat Sistemi

– Manyetik Alanın Etkileri

00131130 Nov 1999

1-13

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualTerimlerin Tipleri(devamı)

• Yüzey Kuvvet Terimleri:

– Normal Basınç (Mekanik, Termodinamik)

– Makaslama Gerilmeleri

• (AYIRT EDİCİ KAREKTERİSTİKLER)

– Difüzyon Terimleri

Sırada, Newtonian Akışkanın tanımı nedir?

00131130 Nov 1999

1-14

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Stokes (1845) Newtoniyen Akışkanın tanımını yaparken 3 tane kabul yapmıştır:

– 1. Akışkan sürekli ve isotropiktir.

– 2. Mukavemet tensörü gerilme oranının lineer bir fonksiyonudur.

– 3. Sıfır gerilme anında , deformasyon yasaları hidrostatik basınç durumunu redüklemek zorundadır.

• Sonucunda:

Dinamik viskozite(mutlak)

Viskozitenin ikinci katsayısı

• Bu ilişki tüm gazlar ve ortak çoğu gazlar için geçerlidir.

k

kij

i

j

j

iijij x

u

x

u

x

up

Newtoniyen Akışkan içinMukavemet ve Gerilme İlişkileri

00131130 Nov 1999

1-15

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

Viskozitenin ikinci Katsayısına Davranış

• Hedefimiz: Bu terimden kurtulmak . . .

1. Sıkıştırılamaz akışkanı dikkate alalım. Süreklilik hızın diverjansını azaltır ve böylelikle taşıyan terim yok olur.

2. Terimin küçük olduğunu varsayarak ihmal edebiliriz.(şok dalgalarının yanında doğru olmayabilir).

3. Stokes Hipotezi. Termodinamik ve mekanik basıncın aynı olduğunu içerir..

00131130 Nov 1999

1-16

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Mekanik Basınç akışkan elemanında meydana gelen ortalama sıkıştırma mukavemetidir. Bu basınç sabit tensör olduğundan gerilmenin yönler yardımıylada gösterimi olabilir.

• Gerilmenin ifadesi ile:

• Yerine yerleştirince:

• Böylelikle Stokes Hipotezi varsayımlarla sorundan kurtulur. .

33

1 zzyyxxkkmechanicalP

Vx

upxx

2

VpPmechanical

3

2

03

2

ikinci Katsayısı (devamı)

00131130 Nov 1999

1-17

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• İvmelenme terimlerine bakarsak:

• Son iki terimde hız süreklilik denklemi ile çarpılarak onların kaybolmasını sağlar.Elde edilen ivmelenme teriminde daha kompakt bir denkleme sahip oluruz.

j

j

ii

j

ij

i

iii

j

jii

x

u

xx

u

xx

u

xx

pB

x

uu

t

u

j

ji

j

ij

i

j

jii

x

u

tu

x

uu

t

u

x

uu

t

u

j

j

ii

j

ij

i

iii

i

x

u

xx

u

xx

u

xx

pB

Dt

Du

Navier-Stokes Denklemleri

00131130 Nov 1999

1-18

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualDenklemlerin Boyutsuzlaştırılması

• Denklemleri karşılaştırmalı bir ortama koyalım. Böylelikle akışın şartlarına ve özelliklerine göre hangilerinin daha önemli olduğunu seçebiliriz.

– Akışın Özellikleri

– Referans Koşulları

– Kenar Koşulları

– Boyutsuz Paremetreler

00131130 Nov 1999

1-19

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualAkışkanın Temel Özellikleri

Yoğunluk

Mutlak viskozite

Viskozitenin ikinci Katsayısı

Termal Genleşme Katsayısı

S Yüzey Gerilimi

Referans niceliği:

Vo Referans Hızın Büyüklüğü

k Termal iletkenlik

CP Sabit Basınçta Özgül Isı

CV Sabit Hacimde Özgül Isı

l Mean free path

o, o, To Referans değerleri

00131130 Nov 1999

1-20

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• İvmelenme terimi ile viskoz terim arasında bağlantı kur.

• Şimdilik yer çekimi gibi ana kuvvetleri ihmal et. Örnek olarak bu yüksek hızdaki gazın akışı için uygundur.

• Reynold’s Sayısı:

• Dh iç tarafdaki akışlar için çap ifadesidir:

hVD

Re

meterWettedPeri

FlowAreaDh

*4

Temel Özellikler (devamı)

00131130 Nov 1999

1-21

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualTemel Özellikler (devamı)

• Dışarıda olan akış için karakteristik uzunluk

– Kanat kirişinin uzunluğu

– Çıkış ucuna olan uzaklık

• Reynolds sayısı hızdan dolayı meydana gelen taşınmanın difüzyon ile meydana gelen taşınmaya oranıdır.

• Yoğunluk ve viskozite birbirleriyle alakalı akış özellikleridir. Dh ve V problemin koşullarıdır.

00131130 Nov 1999

1-22

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Kinematik Viskozite Reynold’s sayısının Kinematik ifade şekliyle gösterilebildiği tek özelliğidir.

• Bazı Kinematic Viskoziteler (meter2/sec) - 20CGlycerin 5.0E-4 Kerosene 2.5E-6

SAE30 Oil 2.5E-4 Water 1.0E-6

SAE10 Oil 1.0E-4 Benzene 7.0E-7

Air 1.8E-5 Mercury 1.5E-7

Crude Oil 1.0E-5

v

VDhRe

v

Kinematik Viskozite

00131130 Nov 1999

1-23

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

L

tVt;L

ρ

ρρ;

μ

μμ

V

uu;

L

xx

o**

o

*

o

*

o

i*i

i*i

Boyutsuzlaştırma için Referans Koşulları

• Yoğunluk ve viskozite için sabit referans değerleri seç.

• Serbest akım hızı Vo ve uzunluk L seç.

• Referans değerlerine mesafe,hız,basınç ve diğer özellikleri bildir.

00131130 Nov 1999

1-24

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

*

o

**

o

o

*o

*i*

oi VV

LVV

V

Lt

VuρρVVρ

t

uρ

***

*

*2*

VVt

V

L

VVV

t

u ooi

i

oj

j

oio

i

j

j

i

xL

Vu

xL

Vu

Lx

u

x

u

i

j

j

i2oo

i

j

j

i

x

u

x

uμ

L

Vμ

x

u

x

uμ

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi

• Advection Terimleri:

• Ya da

• Mukavemet Terimleri:

• Ya da

00131130 Nov 1999

1-25

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Basınç gradient terimi:

• Bu terimlerin hepsini birleştirip sabitleri bir yerde toplarsak:

• Ya da

i

o2oo

2oo

i xL

pVρVρP

x

p

i

j

j

i

oo

o

x

u

x

u

LVP

Dt

VD ***

*

*

i

j

j

i

x

u

x

uP

Dt

VD ****

*

Re

1

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi(devamı)

00131130 Nov 1999

1-26

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Doğal konveksiyon problemlerinde, tanımlanabilir serbest akım hızı, Reynolds sayısına bağlı olarak:

• Viskozitenin ikinci katsayısı ana kuvvet doğrultusunda ihmal edilebilir.

• Bilinen makaslama gerilmesi uygun olarak gösterilirse:

• Böylelikle:

ho

oo Dρ

μV

i

j

j

iij x

u

x

u

ijPDt

VD Re

1**

*

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi(devamı)

00131130 Nov 1999

1-27

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Enerji Denklemlerine dönmeden önce, Navier-Stokes denklemlerini yerçekiminin önemli olduğudüşük hızdaki akış durumları için incelemek lazım. (ör: doğal konveksiyon).

• Ana kuvvet terimleri hariç yoğunluk değişimlerinin ihmal edilebileceği gözlenmiştir..

• Bu olay Boussinesq yaklaşımı olarak bilinir ve çoğunlukla yoğunluk değişimi için aşağıdaki form şeklindedir:

termal genleşme katsayısı

p

o

T

T

1

1

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi(devamı)

00131130 Nov 1999

1-28

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Navier-Stokes denklemi son haliyle:

• Bu noktada, basınç değişkendir. Sabit yoğunluk basınç teriminin içine eklenmiştir, Böylelikle terimler statik basınç cinsinden tanımlanmış referans olarakda atmosferik basınç ele alınmıştır.

ijoo gTpDt

VD

1

ioii

abs

iioatmabs

gx

p

x

p

xgppp

mod

mod

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi(devamı)

00131130 Nov 1999

1-29

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Şu andan itibaren, statik basınç terimi:

• Eğer yoğunluk yerine yerçekimi terimlerini referans olarak alsaydık değişim aşağıdaki gibi olurdu :

• Yerçekimsel ivmelenmenin ifadesi şeklinde de gösterilir.

ijoo gTpDt

VD

oggg

;1

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi(devamı)

00131130 Nov 1999

1-30

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Yerçekimi elemanlarının herbirini boyutsuzlaştırmak için, sağ tarafta bulunan terimlerin advection terimlerindeki sabitlerin tersiyle çarpılması gerekir . . .

• Sıcaklık . . .

gTV

Loo

oo

2

woowo TTTTTTTT

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi(devamı)

00131130 Nov 1999

1-31

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Sonunda , yerçekimi terimlerini boyutsuz terimlerin içine yerleştir:

• Tabiki, Grashoff sayısı sunularak:

• Navier-Stokes Denklemleri Boussenesq akışkanı için:

gT

GrggT

LT

LV

Lo

o

owooo

o

o

oo

22

3

3

2

2 Re

2

32

o

woooo TLgGr

ijgTGr

pDt

VD Re

1

Re2

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi(devamı)

00131130 Nov 1999

1-32

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

22o

2

o

Fr

TΔβ

V

gLTΔβ

Re

Gr

gL

VFr

Boyutsuzlaştırma İşleminin Terim-Terim Gösterimi(devamı)

• Denklemler doğal konveksiyon işlemini kolaylaştırır, çünkü Reynold’s Sayısı varsayımı yapılarak birlik sağlanır.

• Zorlanmış akış durumlarında, doğal olarak su üzerinde durma yani yüzme ile ilgili terimler önemlidir. Genellikle, Froude sayısına başvurulur :

00131130 Nov 1999

1-33

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Böylelikle . . .

– Cp özgül ısı

– Ve son terim ise viskoz dağılma fonksiyonu

• İlginçtir ki viskozitenin ikinci katsayısıviskoz dağılma teriminin pozitif olması için Stokes hipotezindeki değerden daha düşük olmamalıdır.

TkDt

Dp

Dt

DTcp

2

k

k

i

j

j

i

j

i

x

u

x

u

x

u

x

u

The Energy Equation

00131130 Nov 1999

1-34

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

Dt

DTc

L

TcV

VLt

D

TDTcc

Dt

DTc

pwopooo

o

woop po

Dt

Dp

L

V

VLt

D

DV

Dt

Dp

oo

o

oo

3

2

Enerji Denklemi (devamı)

• Terim-terim boyutsuzluk:

• Basınç terimi:

00131130 Nov 1999

1-35

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Difüzyon ya da taşıma terimleri:

• Dağılma terimleri:

• Sonra, referans terimleri topla ve doğru boyutsuz parameterleri bul . . .

TkL

Tk

TTL

kkL

Tk

oo

woo

2

i

j

j

i

j

ioo

i

oj

j

oi

j

oio

x

u

x

u

x

u

L

V

Lx

Vu

Lx

Vu

Lx

Vu

2

2

Enerji Denklemi (devamı)

00131130 Nov 1999

1-36

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Navier-Stokes Denklemlerindeki stratejileri takip ederek ,bütün denklemi soldaki tüm referans nicelikleri ile çarp. . .

• Böylelikle, daha fazla boyutsuz ilişkileri incelemeye geçebiliriz!

i

j

j

i

j

i

wopoo

oo

opoo

o

wopo

pp

x

u

x

u

x

u

TLcV

V

TkLVc

k

Dt

Dp

Tc

V

Dt

DTc

2

2

Enerji Denklemi (devamı)

00131130 Nov 1999

1-37

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Eckert Sayısı kinetik enerji ve enerji depolanmasının relatif güçlerine bakar.

• Peclet Sayısı

• Peclet Sayısı adveksiyon tarafından yapılan termal taşımanın difüzyon tarafından yapılan termal taşımaya oranıdır.

wopo

o

Tc

VEc

2

PrReo

poo

k

LCVPe

Enerji Denklemi (devamı)

00131130 Nov 1999

1-38

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Prandtl Sayısı:

• Bazı akışkanlar için Prandtl Numbers :

Mercury 0.024 Su 7.0

Helium 0.70 Benzene 7.4

Hava 0.72 Ethyl Alcohol 16

Sıvı Ammonia 2.0 SAE30 Oil 3500

Freon-12 3.7 Glycerin12,000

Methyl Alcohol 6.8

o

poo

k

CPr

Enerji Denklemi (devamı)

00131130 Nov 1999

1-39

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

i

j

j

i

j

ip x

u

x

u

x

uEcTk

PeDt

DpEc

Dt

DTc

Re

1

Boyutsuz Enerji Denklemi

• Boyutsuz denklemleri elde etmek için bunları sunalım:

• Yüksek hızdaki gaz akışları için tüm terimler çok önemlidir.

• Mach=0.3 altındaki akışlar için, Eckert sayısı basınç terimi ve viskoz dağılma terimlerini ihmal etmek için yeterince küçüktür.

00131130 Nov 1999

1-40

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

Pe

Br

Re

Ec

PrEcBr

Boyutsuz Enerji Denklemi(devamı)

• Taşıma ve dağılma terimlerinin relatif güçlerini karşılaştırmak için, Brinkman sayısı kullanılır. Eğer 1’den büyük ise, viskoz dağılma dikkate alınmalıdır:

00131130 Nov 1999

1-41

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualEksen Üzerinde Dönen Kordinatlar

• Hareketin denklemleri sabit açısal hızda dönerek hareket eden referans sisteme aittir.

• Dönerek çalışan makinaların analizinde çok kullanışlıdırlar.– Sabit açısal hız ile dönen koordinat çerçevesie bağlı olarak

akışkan çereçevesinde keyfi bir noktada bir v hızı seçelim.

– Noktanın yeri koordinat sistemine göre belirlenir ve bu koordinat sistemine r adı verilir.

• Dönen koordinatlar için hesaplanan çözümler hızların çözmünde kullanılır.

• Sayısal zorluklar çıkabilir çünkü Coriolis ve Santrifüj ivmeler büyük çıkabilir.

• Bu olay da basınç değişkenlerinde bunları kullanarak çeşitli modifikasyonlar yapılmasını gerektirir.

00131130 Nov 1999

1-42

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Momentum denklemin vektör formu sabit viskozite ve referans olarak dönen çerçevede:

• Genel denklem indis notasyonunda:

uPgrvDt

vD 22

i

j

j

i

jii

qprspqirsqpipqi

ii

x

u

x

u

xx

Pg

rux

u

t

u

2

Dönen Çerçevedeki Denklemler

00131130 Nov 1999

1-43

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

yzzxuvz

PgF

Dt

Dw

xyyzwuy

PgF

Dt

Dv

zxxyvwx

PgF

Dt

Du

zyyxzxyxzshearz

yxxzyzxzysheary

xzzyxyzyxshearx

2

2

2

Formülasyon

• Dönme ivmesi ek kaynak terimlerin formunu alır.

• Momentum denklemleri X,Y,Z

• İvmelenme terimlerine bakıldığında , XYZ yönleri için kesme gerilmesi :

00131130 Nov 1999

1-44

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Rotasyona göre olan kaynak terimlerinin büyüklüğü sayısal değişiklikler gösterebilir.

• Eklenen terimlerin santrifüj pozisyonları basıncın bir önceki tanımındaki yere konulabilir.

zzωzωyωωxωω

yyωyωzωωxωω

xxωxωzωωyωωρ5.xgρpp~

2y

2xzyzx

2z

2xyzyx

2z

2yzxyxoiio

Basınç için daha fazla modifikasyon

00131130 Nov 1999

1-45

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Elde edilen bu dönme işleminde, modife edilen basınç daha önce elde edilen ile aynıdır.

• Referans çerçeveye göre:

• Dönerek hareket eden referans çerçeveye göre:

iiostaticabs xgppp 0

rotateoiioabs Ppxgpp ~

Basınç için daha fazla modifikasyon(devamı)

00131130 Nov 1999

1-46

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

vu

zyxgw

pF

Dt

Dw

uw

yzxgy

pF

Dt

Dv

wv

xzygx

pF

Dt

Du

xy

yxzxzxozoshearz

zx

zxzyyxoyosheary

yz

zyzxyxoxoshearx

2

~2

~2

~

22

22

22

Basınç için daha fazla modifikasyon(devamı)

• Dönen koordinat sistemi ve modife edilmiş basınç için hıza baglı olan denklemler:

00131130 Nov 1999

1-47

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualDönme olayının testi

• İki silindir arasında halka şeklinde olan akış.

– İçteki silindir dönerken, dıştaki sabittir.

• Amaç: iç duvarlardaki statik basıncın hesaplanması.

• Sabit çerçeve sınır durumları

– Açısal hız 1 – saat yönünün tersi yönünde

– İçerideki hızın şiddetini 1 olarak ayarlayın.

– Dış duvar sabit; basıncı sıfır olarak uygulayın

00131130 Nov 1999

1-48

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualDönme olayının testi(devamı)

• Dönen kafesler:

– İç silindirdeki hız durgundur.

– Dış duvar saat yönünde 2 hızıyla döner.

– Modife edilmiş basınç dış duvarın sınırındadır.

00131130 Nov 1999

1-49

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Hareketin denklemi:

• Basitleştirmek mümkündür:

• Süreklilik denklemi:

v

rr

vv

r

pv

rvv r

rr 2222 2

22

2 21

r

vv

rv

p

rr

vvvv rr

zz vz

pvv 2

0;0;0

zvz

01

rrvrr

Dönen silindirler arasındaki akış için gerçek çözümler

00131130 Nov 1999

1-50

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• İç ve dış çaplardaki radyal hız sıfırdır.

• Böylelikle gradyenininde hem orada ve heryerde 0 olduğu açıktır.

Böylece:

• Hız için çözüm:

r

v

dr

dvr

dr

dp

vrdr

dp

2

11

22

21

22

11

1r

r

rr

r

rr

rrv

Çözüm(devamı)

00131130 Nov 1999

1-51

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Basınç için bunu uygularsak çözümü elde ederiz.

• Basınç denklemi:

• integrasyon:

• Basınç sınır şartlarındaki C3 değerlendir.

1

;

1

,

21

22

2

21

22

22

121

rr

C

rr

rCrC

r

Cv

rC

r

CC

r

C

dr

dp 22

213

21 2

3

22

212

21

2ln2

2C

rCrCC

r

Cp

Çözüm(devamı)

00131130 Nov 1999

1-52

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

2

~

)1(2~

222 yxpp

vx

pF

Dt

Dushearx

Çözüm(devamı)

• Dönen koordinatların formülasyonları (Momentum Denklemleri iki boyutlu modife basınçtaki):

00131130 Nov 1999

1-53

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Modifiye basınçtaki sınır şartları:

• Statik basınç için tam sonuçlar

2~2

2110~

;1,2,1

22

p

p

r o

417203.p~2

211217023.p~

inner

inner

22

Test Problemi Sonuçları

00131130 Nov 1999

1-54

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualDönmek

• Asimetrik akışdaki bileşenlerin ,asimetrik düzleme normaline dönme hareketi denir.

VZ Normal to this plane

00131130 Nov 1999

1-55

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

00131130 Nov 1999

1-56

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

Dönmek

• Asimetrik akışdaki bileşenlerin ,asimetrik düzleme normaline dönme hareketi denir.

VZ Normal to this plane

00131130 Nov 1999

1-57

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualHareketin denklemleri

• Silndirik koordinatlar bağlılığı olmadan.

• Dönme akışı X-R çözümünü etkiler.

• Koordinate sistemi yönleri r,,z

00131130 Nov 1999

1-58

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualMomentum Denklemleri

2

22 1

z

vrv

rrrr

p

r

v

z

vv

r

vv

t

v rr

rz

rr

r

2

21

z

vrv

rrrr

vv

z

vv

r

vv

t

v rzr

2

21

z

vrv

rrrg

z

P

z

vv

r

vv

t

v zzz

zz

zr

z

00131130 Nov 1999

1-59

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training ManualSüreklilik Denklemleri

01

z

vrv

rrz

r

00131130 Nov 1999

1-60

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• 2 silindiri ele alalım: İçerideki dönsün

– z hızı ve yönsel bağlılık sıfıra eşitlensin

– Zamana bağlılık yok, yerçekimini ihmal et, sabit yoğunluk

• Süreklilik

• Bu denklemin integrasyonu:

• Duvarlardaki vr=0, ve r hiç bir zaman 0, sonra sabitlerde 0 olunca:

r

vrvrv

rr

rr

0

constant rvCrv rr lnln

0

r

vv r

r

Dönme Hareketine Örnek

00131130 Nov 1999

1-61

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Hareketin denklemi :

• Sınır şartları:

rvrrr

r

p

r

v

10

2

0:

:

2

11

vrrAt

rvrrAt

Dönme Hareketine Örnek(devamı)

00131130 Nov 1999

1-62

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Hız çözümü :

• birlikte:

rCr

Cv 2

1

11 21

22

2

21

22

22

1

rr

C

rr

rC

Dönme Hareketine Örnek(devamı)

00131130 Nov 1999

1-63

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Ad

van

ced

CFD

Training Manual

• Basınç çözümü:

• C3 herhangi bir p noktasındaki basınç sınır şartları değerlendirildiğinde.

3

222

212

21

2ln2

2C

rCrCC

r

Cp

2ln2

2

222

212

21

3p

pp

p

rCrCC

r

CpC

Dönme Hareketine Örnek(devamı)