Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA Chapitre V Simulation de champs acoustiques : le logiciel Simul-PA I) Présentation générale de Simul-PA 1. Introduction Le logiciel Simul-PA a été développé au Laboratoire Ondes et Acoustique ; ce logiciel résulte d’une collaboration avec la société R.D.&Tech (Québec), spécialisée dans le Contrôle Non Destructif et utilisant, entre autres, les techniques ultrasonores. Ce logiciel été développé d’une part pour les applications du type C.N.D., d’autre part afin de simuler et ainsi mieux comprendre les expériences réalisées au laboratoire dans le domaine du retournement temporel des ondes acoustiques. La version 1.0 du logiciel existe maintenant depuis environ deux ans. La version 2.0 est désormais disponible au laboratoire ainsi qu’auprès de notre partenaire R.D.&Tech ; cette version a permis de faire considérablement évoluer le logiciel. Ce logiciel est en évolution permanente. On peut résumer de façon très synthétique les potentialités actuelles du logiciel : • simulation de champs acoustiques émis et reçus par des réseaux de transducteurs, • propagation des champs acoustiques à travers des interfaces séparant fluides et solides, • calcul de lois de focalisation, • déformation de transducteurs en surface de Fermat, • calcul de champs diffractés, • calcul d’images rétrodiffusées par des défauts présents dans les matériaux. Comme tout logiciel, Simul-PA utilise certaines approximations des phénomènes physiques complexes qui interviennent dans les mécanismes de rayonnement par les transducteurs ou de 147
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Chapitre V
Simulation de champs acoustiques : le logiciel Simul-PA
I) Présentation générale de Simul-PA
1. Introduction
Le logiciel Simul-PA a été développé au Laboratoire Ondes et Acoustique ; ce logiciel résulte
d’une collaboration avec la société R.D.&Tech (Québec), spécialisée dans le Contrôle Non
Destructif et utilisant, entre autres, les techniques ultrasonores. Ce logiciel été développé
d’une part pour les applications du type C.N.D., d’autre part afin de simuler et ainsi mieux
comprendre les expériences réalisées au laboratoire dans le domaine du retournement
temporel des ondes acoustiques.
La version 1.0 du logiciel existe maintenant depuis environ deux ans. La version 2.0 est
désormais disponible au laboratoire ainsi qu’auprès de notre partenaire R.D.&Tech ; cette
version a permis de faire considérablement évoluer le logiciel.
Ce logiciel est en évolution permanente.
On peut résumer de façon très synthétique les potentialités actuelles du logiciel :
• simulation de champs acoustiques émis et reçus par des réseaux de transducteurs,
• propagation des champs acoustiques à travers des interfaces séparant fluides et solides,
• calcul de lois de focalisation,
• déformation de transducteurs en surface de Fermat,
• calcul de champs diffractés,
• calcul d’images rétrodiffusées par des défauts présents dans les matériaux.
Comme tout logiciel, Simul-PA utilise certaines approximations des phénomènes physiques
complexes qui interviennent dans les mécanismes de rayonnement par les transducteurs ou de
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
réflexion/transmission à travers les interfaces de géométries diverses. Dans ce chapitre, nous
allons présenter les approximations faites ainsi que leurs domaines de validité.
2. Simul-PA dans un environnement réseau
Une innovation importante de la version actuelle de Simul-PA est sa capacité de travailler
dans un environnement réseau, et donc de partager les calculs longs entre plusieurs serveurs
répartis sur un réseau local. Cette fonctionnalité pourrait du reste être étendue entre des
ordinateurs totalement délocalisés par l’intermédiaire de l’Internet.
Le logiciel Simul-PA repose en fait sur une architecture de type client/serveur ; la
communication entre ordinateurs utilise la couche TCP/IP standard de l’Internet.
La version serveur de Simul-PA tourne sur des ordinateurs de type PC ou compatibles sous
Windows 95 ou Windows NT. Cette version serveur est également disponible pour différents
types de stations de travail fonctionnant sous Unix (actuellement, seules les versions HP/Risc
et HP/Cisc sont disponibles).
La version client de Simul-PA tourne sur des ordinateurs de type PC ou compatibles sous
Windows 95 ou Windows NT.
L’architecture générale fonctionne suivant les principes suivants :
• chaque version client du logiciel dispose de son propre noyau de calculs ; elle est donc
capable de tourner de façon parfaitement autonome, ce qui est indispensable pour des
ordinateurs non connectés à un réseau,
• chaque version client du logiciel peut contacter simultanément plusieurs serveurs afin de
répartir les tâches de calcul ; le gain en temps de calcul global peut être particulièrement
appréciable sous certaines conditions :
1. les temps de calcul sont importants par rapport aux temps de transfert des
informations à travers le réseau (ce transfert est source de perte de temps),
2. les serveurs sont de puissants ordinateurs assez disponibles,
3. le réseau local ne véhicule pas un trafic trop important.
Il est bien sûr difficile de contrôler ces différentes conditions ; de façon générale, un calcul
rapide devra être traité localement, et un calcul long pourra être partagé sur le réseau. Le
gain global en temps de calcul dépend du nombre de serveurs, de la puissance de chaque
ordinateur, de sa disponibilité, du trafic sur le réseau, ... En général, le gain en temps de
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
calcul augmente avec le nombre de serveurs, mais des phénomènes de saturation peuvent
apparaître lorsque le nombre de serveurs augmente.
• chaque version serveur du logiciel peut gérer plusieurs clients simultanément ; en
l’absence de connexion active, le serveur se contente d’être à l’écoute de toute requête
provenant du réseau ; dès qu’un client est connecté, les calculs sont traités parallèlement à
l’écoute d’autres requêtes possibles provenant du réseau.
Cette architecture client/serveur est illustrée par la figure 1.
Réseau Local TCP/IP
Station de travail Unix
Simul-PA/Serveur
PC/Windows
Simul-PA/Serveur
PC/Windows
Simul-PA/Client
PC/Windows
Simul-PA/Client
Figure 1 : Simul-PA dans un environnement réseau
II) Le réseau de transducteurs Simul-PA est un logiciel initialement développé pour simuler les réseaux de transducteurs
ultrasonores avec les caractéristiques suivantes :
• les éléments du réseau sont généralement de petite taille,
• le réseau utilise des signaux temporels brefs à large bande passante.
L’utilisation de signaux temporels brefs nous impose de travailler dans le domaine temporel.
On peut alors utiliser le formalisme de la diffraction impulsionnelle, mais cette méthode est
peu adaptée au cas d’éléments de petite taille pour lesquels on cherche à calculer le champ
lointain.
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
C’est dans ce contexte que nous avons développé un certain nombre d’approximations dans le
calcul du champ rayonné par un élément du réseau.
1. Le rayonnement par un élément du réseau
a - Principes généraux
Dans un premier temps, nous allons considérer le cas particulier d’un élément disque plan de
rayon a centré à l’origine de notre système de coordonnées spatiales. Cet élément est supposé
fonctionner en mode piston ; dans l’hypothèse d’un baffle infiniment rigide, le formalisme de
la diffraction impulsionnelle nous permet d’introduire la quantité pour un point
d’observation définie par
(h trr, ))(rr x y z, ,
( )51. ( )h tR
tRc
dx dye
ee e
rr, ,= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∫∫
12
1π
δdisque
où c représente la vitesse des ondes acoustiques du fluide dans lequel est plongé l’élément
diffractant et est défini par Re ( ) ( )R x x y y ze e e2 2 2 2= − + − + . Cette quantité représente
le potentiel de vitesse diffracté dans le milieu pour une impulsion de vitesse normale
infiniment brève et d’amplitude unité.
(h trr, )
18-20
Le mécanisme de rayonnement acoustique par un élément du réseau peut être schématisé par
une succession de «boîtes noires», systèmes linéaires invariants par translation dans le
temps35 :
Transduction Diffraction
Signal de sortieSignal d’entrée( )e t ( )h trr,
Dans ce diagramme, on a les différentes composantes suivantes :
• le signal d’entrée ( )ϕ t est le signal temporel électronique transmis à l’émetteur ; il peut
s’agir d’une impulsion très brève, ou encore d’un signal temporel long tel que dans les
expériences de retournement temporel,
150
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• le premier filtre décrit le phénomène de transduction, c’est-à-dire l’ensemble des
phénomènes physiques qui transforment le signal électrique d’entrée en une vibration
mécanique de la face avant de l’émetteur (piézo-électricité, ...) ; ce filtre est caractérisé
(entre autres) par la fréquence centrale et la bande passante b de l’émetteur, il est
décrit par sa réponse impulsionnelle
fc w
( )e t autrement appelée réponse impulsionnelle en
émission du capteur (un filtre similaire intervient dans le mécanisme de réception),
• le second filtre décrit la diffraction ou propagation du champ entre l’émetteur et le point
d’observation ; sa réponse impulsionnelle est la fonction ( )h trr, précédemment introduite,
• le signal temporel de sortie correspond au champ diffracté par l’émetteur au point
d’observation rr ; la fonction décrivant un potentiel de vitesse, le signal temporel de
sortie correspond au potentiel de vitesse associé à l’onde acoustique générée par
l’émetteur.
(h trr, )
On a alors les relations suivantes :
( )5 2. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
φ ϕ
ρ∂ϕ∂
r r
r r
r r
r r
,* *
,
,* *
,
t tt
e tt
h t
p tt
t te t
th t
=
= −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
, potentiel de vitesse,
, pression acoustique.
Dans tous les cas, la fonction ( )h trr, obtenue par le formalisme de la diffraction
impulsionnelle est convoluée par la réponse ( )e t caractéristique du mécanisme de
transduction, donc présentant un spectre limité en fréquences. C’est une propriété que nous
pouvons exploiter pour simplifier le calcul.
La difficulté majeure consiste à calculer précisément la fonction ( )h trr, . Dans le cas du disque
ou du rectangle, on peut obtenir une expression analytique ; en revanche les réseaux de
transducteurs utilisent souvent d’autres géométries d’éléments pour lesquelles une telle
expression analytique n’est pas possible. D’autre part, cette formulation n’est pas adaptée au
calcul de la transmission à travers une interface qui sera traitée par l’approximation
géométrique des rayons présentée dans le chapitre précédent.
Une autre difficulté majeure provient des conditions d’utilisation des réseaux de transducteurs
pour les applications de Contrôle Non Destructif : les réseaux sont souvent composés d’un
grand nombre de petits éléments et immergés face aux échantillons à inspecter, à des
distances grandes devant les longueurs d’ondes utilisées. Du point de vue d’un élément du
151
Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
réseau, on est donc souvent dans une situation d’élément de petite taille et de calcul de champ
lointain. Dans ces conditions, la fonction ( )h trr, est très brève, ce qui pose des difficultés au
niveau de l’échantillonnage des signaux temporels. En fait, le formalisme impulsionnel n’est
pas très adaptée à notre contexte.
Le principe de base de notre approximation consiste donc à considérer que la fonction ( )h trr,
est tellement brève qu’elle se comporte comme une impulsion ( )δ t , du point de vue de la
réponse à spectre limité en fréquences. Cette approximation revient à considérer
l’élément ponctuel.
( )e t
b - L’approximation en fonction de la fréquence d’échantillonnage
Comme nous venons de le voir, un paramètre important de l’approximation est la durée τ de
la fonction . On introduit les notations suivantes : (h trr, )• R x y z= + +2 2 2 ,
• r x y R= + =2 2 sin .θ
D’après l’expression analytique de la fonction ( )h trr, , on obtient immédiatement les
expressions suivantes de la durée τ :
( )
( ) ( )τ =
+ + − ≤
+ + − + − >
⎧
⎨⎪
⎩⎪
1
1 1
2 2
2 2 2 2
cz a r
zc
r a
cz a r
cz a r r a
, ,
, .
si
si
A partir de cette formule, on peut aisément vérifier que
• ce sont les valeurs r a> qui rendent τ maximale,
• dans l’approximation R a>> , τ peut s’écrire sous la forme simplifiée suivante :
( )
τθ
≈
+≤
>
⎧
⎨⎪
⎩⎪
a rcz
r aac
r a
2
22
, ,
sin , .
si
si
Lors du calcul, tous les signaux sont échantillonnés temporellement avec une fréquence
fixée ; si la durée
fe
τ est inférieure au plus petit pas temporel 1 / , le processus numérique fe
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
peut considérer que la fonction se comporte effectivement comme une impulsion (h trr, ) ( )δ t .
On obtient ainsi la condition
( )5 3. a ( )2 8a ze e< min , ,λ λ
où λe est la longueur d’onde associée à la fréquence d’échantillonnage : fe λe ec f= / . La
condition (5.3a) permet d’assurer la validité de l’approximation pour tout angle de tir θ .
Cette condition est relativement contraignante, en particulier si l’on souhaite pouvoir choisir
une fréquence d’échantillonnage assez élevée. On peut toutefois utiliser une condition moins
contraignante si l’on connaît à l’avance l’angle de tir θmax :
( )53. b 2 8a zee<
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟min
sin, .
max
λθ
λ
Les conditions (5.3a) et (5.3b) permettent de limiter le diamètre du disque tout en satisfaisant
l’approximation d’élément ponctuel.
Pour d’autres géométries d’élément, ces conditions peuvent être conservées, à condition de
remplacer 2a par la plus grande dimension de l’élément.
c - Mise en œuvre de l’approximation
Si les conditions de validité de l’approximation indiquées précédemment sont satisfaites, on
peut considérer que la fonction se comporte comme une impulsion infiniment brève de
la forme
(h trr, )
( )5 4. a ( ) ( )h t C tRc
r rr r, ,≈ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟δ
où est une constante de normalisation définie par ( )C rr
( )54. b ( ) ( )C h t dtdx dy
Re e
e
r rr r= =−∞
+∞
∫ ∫∫, .1
2π disque
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
Les deux expressions (5.4a) et (5.4b) peuvent être ensuite généralisées au cas d’un élément de
géométrie autre que le disque.
La formule (5.2) donne alors la pression acoustique diffractée sous la forme
( )54. c ( ) ( )( )
p t C e tRc t
tt
r rr r,*
.≈ − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ρ
∂ϕ∂
On constate donc que, hormis la convolution avec la dérivée temporelle de la fonction
d’excitation ( )ϕ t , le champ de pression diffracté reproduit la réponse acousto-électrique en
émission, à un retard (propagation de la source vers l’observateur) et une correction
d’amplitude près.
Il reste maintenant à évaluer le terme correctif ( )C rr . La première méthode consiste à évaluer
directement l’expression donnée par l’équation (5.4b), numériquement ou analytiquement. La
seconde méthode consiste à utiliser le fait que l’élément diffractant est supposé petit devant la
distance R le séparant du point d’observation, de sorte que l’on peut faire le développement
limité suivant :
( )55. a {1 1
1 1 2 12
22
3R Ra x a y b x b y b x y
ee e e e e e≈ + + + + +
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
ordre 0 ordre 1 ordre 2
1 24 34 1 2444 3444,
où les différentes constantes sont données par les formules :
( )55. b a
xR
ay
R
bR
xR
bR
yR
bxy
R
1 2 2 2
1 2
2
2 2 2
2
2 3 41
23
11
23
13
= =
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
, ,
, , .
Ces expressions permettent ainsi d’obtenir un développement au deuxième ordre de la
constante de normalisation en fonction de la position de l’observateur et de la géométrie
de l’élément diffractant considéré.
( )C rr
2. Les différentes géométries d’éléments
Simul-PA supporte différentes géométries d’éléments ; à partir de ces géométries de base, on
verra comment on peut générer d’autres géométries plus complexes.
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L’ordre 0 de la constante de normalisation ( )C rr ne dépend pas de la forme de l’élément, mais
seulement de sa surface. En revanche, les termes d’ordre 1 et 2 diffèrent d’une géométrie à
l’autre.
a - Le disque
Dans le cas d’un disque de rayon a dont le centre est à l’origine des coordonnées spatiales, on
a les résultats suivants :
dxdy a
xdxdy ydxdy
x dxdy y dxdya
xydxdy
disque
disque disque
disque disque disque
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
=
= =
= =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
π
π
2
2 24
0
40
,
,
, .=
On en déduit immédiatement que le terme du premier ordre de la constante de normalisation
est nul et l’on a ( )C rr
( )5 6. a ( ) ( )C
aR
a x y zR
rr ≈ ++ −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
π 2 2 2 2 2
412
8.
b - L’ellipse
Par convention, nous définissons l’ellipse à partir du disque de rayon a dont l’axe suivant la
direction y est dilaté ou compressé d’un facteur K. L’élément elliptique a donc ses deux axes
suivant les directions x et y, ses deux rayons sont a et Ka, son centre est à l’origine des
coordonnées spatiales. On peut alors aisément vérifier les résultats suivants :
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
dxdy K a
xdxdy ydxdy
x dxdyK a
y dxdyK a
xydxdy
ellipse
ellipse ellipse
ellipse ellipse ellipse
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
=
= =
= =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
π
π π
2
24
23 4
0
4 40
,
,
, , = .
De même que pour le disque, le terme du premier ordre de la constante de normalisation ( )C rr
est nul et l’on a
( )56. b ( )CK a
RaR
xR
K aR
yR
rr ≈ + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
π 2 2
2
2
2
2 2
2
2
218
31
83
1 .
c - Le rectangle
L’élément rectangulaire a pour dimensions a et b suivant les directions x et y respectivement,
son centre coïncide avec l’origine des coordonnées spatiales. On obtient alors les formules
suivantes :
dxdy ab
xdxdy ydxdy
x dxdya b
y dxdyab
xydxdy
rectangle
rectangle rectangle
rectangle rectangle rectangle
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
=
= =
= =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
,
,
, ,
0
12 1202
32
3
= .
A nouveau, le terme du premier ordre de la constante de normalisation est nul et l’on a ( )C rr
( )56. c ( )CabR
aR
xR
bR
yR
rr ≈ + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
243
124
31
2
2
2
2
2
2
2
2 .
d - Le secteur
On définit l’élément sectoriel par la fonction d’ouverture suivante :
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Chapitre V - Simulation de champs acoustiques - le logiciel Simul-PA
( )s x yr r r
,, ,,
=≤ ≤ ≤ ≤⎧
⎨⎩
10
1 2 1 si et sinon,
α α α2
avec x r= cosα et y r= sinα . Le centre du secteur est donné par ses coordonnées
xr r
yr r
c c=+ +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ =
+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2cos , sin .
α α α α
On peut alors définir la fonction d’ouverture ( )s x y0 , du même élément sectoriel, mais centré
à l’origine des coordonnées spatiales :
( ) ( ) ( ) ( )s x y s x x y y s x y s x x y yc c c0 0, , , , ,= + + = − − c .
Les intégrales à calculer portent sur la fonction d’ouverture ( )s x y0 , . Pour simplifier, on
calcule les intégrales en utilisant la fonction d’ouverture ( )s x y, et on applique le théorème de