Chapitre L’optimisation à l’aide de la programmation ... · 3. Deux droites parallèles ont la même pente. Exemple : 4. Les droites 1, 2 et 5 sont parallèles. Les droites 3
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Entrée en matièreEn contexte
Manuel • p. 4
1. a) 10x + 15y = 300
b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : (15, 10), (18, 8) et (21, 6)
c)
d) 10x + 15y = 450. (Voir la droite associée à cette équation dans le graphique en c.)
e) Les deux droites sont parallèles, car elles ont la
même pente (–23 ).
f) Cette situation peut être associée à la région du plan cartésien qui se situe sous la droite modélisant l’équation 10x + 15y = 450.
Manuel • p. 5
2. a) x + y2
= 3 750
y = 2x
420 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
12
8
4
16
20
24
28
32
36
40
Heu
res
trav
aillé
es à
la f
irm
e de
son
dage
Heures travaillées au service à la clientèle
Le nombre d’heures travaillées en une semainepour des rémunérations de 300 $ et de 450 $
Rémunération de 300 $Rémunération de 450 $
b) En utilisant la méthode de substitution, on trouve que le revenu de Jenny a été de 2 500 $ pour le mois de juillet et de 5 000 $ pour le mois d’août.
3. On définit les variables, puis on représente la situation par un système d’équations :
x : la valeur des ventes sans l’intermédiaire d’un autre agent ($)
y : la valeur des ventes avec l’intermédiaire d’un autre agent ($)
0,05x + 0,025y = 72 000 x + y = 1 800 000
En utilisant la méthode de substitution, on trouve que la valeur des ventes que Caroline a réalisées sans l’intermédiaire d’un autre agent est de 1 080 000 $.
En brefManuel • p. 6
1. a) Pente Ordonnée à l’origine
Abscisse à l’origine
1) 4 –8 2
2) –2 10 5
3) 1 –2 2
4) –25 4 10
5) 2,5 0 0
6) 23
–23 1
7) 0 5 Aucune
8) N’existe pas Aucune 8
1Intersection CST Guide A Corrigé du manuel
L’optimisation à l’aide de la programmation linéaire
13. a) Samuel a utilisé la méthode de substitution pour résoudre le système d’équations. Il n’a fait aucune erreur dans sa démarche de résolution.
b) Il n’existe aucune solution à ce système d’équations.
c) Il s’agit de droites parallèles distinctes.
14. a) (1,6, 4,8)
b) (6,5, 3,5)
Section 1 Le polygone de contraintes
Prendre de l’assuranceManuel • p. 9
On représente la situation par trois inéquations dans lesquelles x représente le nombre de conseillers et y, le nombre d’agents de bureau.1 x ≥ 20 2 y ≥ 8 3 x + y ≤ 60
On sait qu’il y a toujours eu au moins 20 conseillers (x = 20) travaillant pour cette compagnie. On remplace la variable x par 20 dans la 3e inéquation et on détermine la valeur maximale que peut prendre la variable y pour respecter cette contrainte :
20 + y ≤ 60 y ≤ 40
Donc, au cours d’une même période, le nombre maximal d’agents de bureau est de 40 lorsque 20 conseillers travaillent pour la compagnie.
On sait qu’il y a toujours eu au moins 8 agents de bureau (y = 8) travaillant pour cette compagnie. On remplace la variable y par 8 dans la 3e inéquation et on détermine la valeur maximale que peut prendre la variable x pour respecter cette contrainte :
x + 8 ≤ 60 x ≤ 52
Donc, au cours d’une même période, le nombre maximal de conseillers est de 52 lorsque 8 agents de bureau travaillent pour la compagnie.
1ACTIvITéd’exploration Fera-t-il plus chaud demain ?
Manuel • p. 10
A La concentration moyenne de CO2 pourrait être, par exemple, de 700 ppm, de 650 ppm ou de 675 ppm.
B y ≥ x + 150 y ≤ 2x
C
D 1) Le couple vérifie uniquement la 1re inéquation.
2) Le couple vérifie uniquement la 2e inéquation.
3) Le couple vérifie les deux inéquations.
4) Le couple vérifie uniquement la 2e inéquation.
Manuel • p. 11
E L’ensemble-solution de ce système est la région hachurée où se supperposent les deux demi-plans.
F Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Les points (200, 375), (240, 425) et (300, 500) font partie de la région-solution.
G x : la température moyenne planétaire aujourd’hui (°C) y : la température moyenne planétaire dans 25 ans (°C)
y ≥ x + 0,5
y ≤ x + 2
Conc
entr
atio
n m
oyen
ne d
e CO
2 da
ns 2
5 an
s (p
pm)
Concentration moyenne de CO2 actuelle (ppm)
Les effets du réchauffement de la planète
100 200 300 400 500 600 700
100
200
300
400
500
600
700
0
H
I Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Le couple (17, 18) fait partie de la région-solution. Cela signifie que si la température moyenne de la Terre aujourd’hui est de 17 °C, elle pourra être de 18 °C dans 25 ans.
Ai-je bien compris ?
1. a) 1) x < y
2) x + y ≥ 25
3) y – x < 5
4) y – 10 ≥ 2(x – 10)
b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Julie peut avoir 13 ans et Francis 16 ans ou Julie peut avoir 12 ans et Francis 15 ans.
2ACTIvITéd’exploration La création sous contraintes
Manuel • p. 12
A x : la longueur de la toile à l’intérieur du cadre (m) y : la largeur de la toile à l’intérieur du cadre (m)
B
C La région-solution forme un polygone ouvert. Cet ensemble de points n’est pas borné puisqu’il se poursuit à l’infini vers le haut et vers la droite du plan cartésien.
Manuel • p. 13
D x ≤ 3,5 2x + 2y ≤ 12
E
F Cette région-solution est bornée par les points dont les coordonnées sont (1,5, 1,5), (3, 1,5), (3, 3), (3,5, 2,5) et (3,5 1,75).
b) 1 Valeur minimale de x : 2 Valeur maximale de x : aucune
2 Valeur minimale de x : 0
Valeur maximale de x : 327
3 Valeur minimale de x : 6 Valeur maximale de x : 15
3ACTIvITéd’exploration Une description précise
Manuel • p. 14
A (voir au bas de la page)
B Pour déterminer les coordonnées du sommet A, on résout le système d'équations associé aux droites qui se croisent à ce sommet (x = y – 6 et 3x + y = 36) par la méthode de substitution.
Les coordonnées du sommet A sont (7,5, 13,5).
C Les coordonnées des sommets B et C peuvent être lues directement sur le graphique.
Pour déterminer les coordonnées du sommet D, on résout le système d’équations associé aux droites qui se croisent à ce sommet (y = 2x – 11 et 3x + y = 36) par la méthode de substitution.
Les coordonnées des sommets sont B(2, 8), C(7, 3) et D(9,4, 7,8).
Ai-je bien compris ?
A(3, 2) B(15, 50) C(36, 64) D(60, 40)
Mise en pratiqueManuel • p. 17
1. Niveau de difficulté : faible
a) x > 100
b) y ≤ 120 et y ≥ 0
c) x ≥ y et y ≥ 0
d) 20x + 25y ≥ 3 000
e) 25y ≥ 1 500
f) 20x ≥ 25y + 300 et y ≥ 0
2. Niveau de difficulté : faible
a) x ≥ 40
b) y < 75 (ou y ≤ 74) et y ≥ 0
c) x + y < 120, x ≥ 0 et y ≥ 0
d) y ≥ x + 20 et x ≥ 0
e) y > 1,5x et x ≥ 0
f) xx + y
≤ 0,4, x ≥ 0 et y ≥ 0
1050 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 x
15
10
5
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75y
A
B
C
D
Réponse à la question A , page 14
Sommet A Sommet B Sommet C Sommet D
Les droites qui se croisent à ce sommet AB et AD AB et BC BC et CD AD et CD
Le système d’équations associé x = y – 6 3x + y = 36
On détermine d’abord l’équation de chacune des droites limitant les demi-plans.
La droite 1 passe par les points de coordonnées (0, 2) et (–2, 0).
a = 0 – 2–2 – 0
a = 1 b = 2 y = x + 2
La droite 2 passe par les points de coordonnées (0, –3) et (3, 0).
a = 0 – –33 – 0
a = 1 b = –3 y = x – 3
On choisit ensuite un couple qui fait partie des régions correspondant aux demi-plans et on remplace ses coordonnées dans les équations afin de déterminer le symbole d’inéquation approprié.
1 y ≥ x + 2 2 y ≤ x + 2 3 y ≥ x + 2 y ≤ x – 3 y ≤ x – 3 y ≥ x – 3
7. Niveau de difficulté : moyen
a)
Les coordonnées du sommet A peuvent être lues directement sur le graphique.
Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équation y = 2x et 2x + y = 30.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(12, 24) et B(7,5, 15).
2
2
x
y
A
B
b)
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 0 et 3x + 2y = 42. Le sommet B est pour sa part le point de rencontre des droites d’équation y = 2x – 7 et 3x + 2y = 42. Enfin, le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 0 et y = 2x – 7.
Les coordonnées du sommet D peuvent être lues directement sur le graphique.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 21), B(8, 9), C(3,5, 0) et D(0, 0).
c)
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x – y + 5 = 0 et 3x + y – 30 = 0. Le sommet B est pour sa part le point de rencontre des droites d’équation y = x et 3x + y – 30 = 0.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(6,25, 11,25) et B(7,5, 7,5).
a) Le système d’inéquations associé à la région orange est :
y ≤ 5x + 2
y ≤ –3x + 9
2x – y ≤ 5
b) Le système d’inéquations associé à la région verte est :
y ≤ 5x + 2
y ≥ –3x + 9
2x – y ≥ 5
c) Le système d’inéquations associé à la région jaune est :
y ≤ 5x + 2
y ≥ –3x + 9
2x – y ≤ 5
9. Niveau de difficulté : faible
Le point de coordonnées (8, 2) fait partie de l’ensemble-solution des systèmes d’inéquations 2 et 3 .
10. Niveau de difficulté : moyen
On représente chaque inéquation de chaque système sous la même forme :
1 y ≤ 12
x + 3
y ≥ –3x + 5
y ≥ 12
x – 2
3 y ≥ x2 – 2
y ≥ –3x + 5
y ≤ x2
+ 3
2 y ≤ 12
x + 3
y < 0,5x – 2
y ≥ x2 – 2
4 y ≥ 12
x – 2
y ≤ 12
x + 3
y ≥ –3x + 5
Les systèmes d’inéquations 1 , 3 et 4 ont le même ensemble-solution.
Manuel • p. 20
11. Niveau de difficulté : moyen
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :
Les droites d’équation 2x + y2 = –1 et y = –4x + 8
sont des droites parallèles étant donné qu’elles ont la même pente.
a) On prend les deux droites parallèles et on choisit pour chacune de ces droites la région-solution opposée.
y ≥ –4x + 8
2x + y2 ≤ –1
b) On prend les deux droites parallèles et on choisit soit la région au-dessus soit la région au-dessous des deux droites.
2x + y2 ≥ –1 2x +
y2 ≤ –1
y ≥ –4x + 8 ou
y ≤ –4x + 8
c) On prend les deux droites parallèles et on choisit la région-solution qui est commune aux deux.
y ≤ –4x + 8
2x + y2 ≥ –1
12. Niveau de difficulté : moyen
a) La contrainte x ≥ 0 n’est pas nécessaire puisqu’il est déjà précisé que x > 8.
b) Le demi-plan qui est représenté par l’inéquation 2x + y ≥ 7 est déjà inclus dans le demi-plan représenté par l’inéquation y > –2x + 4 étant donné que leurs droites frontières respectives sont parallèles. La contrainte 2x + y ≥ 7 n’est donc pas nécessaire pour trouver l’ensemble-solution.
c) Le demi-plan qui est représenté par l’inéquation y ≥ 4x + 6 est déjà inclus dans le demi-plan repré-senté par l’inéquation 4x – y < 6 étant donné que leurs droites frontières respectives sont parallèles. La contrainte y ≥ 4x + 6 n’est donc pas nécessaire pour trouver l’ensemble-solution.
On représente les trois droites et les points A(0, 1) et B(6, 5) dans un plan cartésien :
À partir du graphique, on choisit les symboles d’inégalités qui déterminent chacun des systèmes d’inéquations.
a) x – 2y + 4 ≤ 0
y ≤ –3x – 4
2x – y ≥ 7
b) x – 2y + 4 ≥ 0
y ≥ –3x – 4
2x – y ≤ 7
c) x – 2y + 4 > 0
y ≥ –3x – 4
2x – y < 7
14. Niveau de difficulté : moyen
Remarque : Dans le manuel, à la question 14 de la page 20, on devrait lire « Détermine quatre couples » au lieu de « Détermine 12 couples ».
Pour déterminer les couples qui font partie de l’ensemble-solution, on trace le polygone de contraintes et on cible les couples faisant partie de la région-solution qui ont des coordonnées entières.
x
y
y = −3x − 4
x − 2y + 4 = 0
2x − y = 7
B(6, 5)
A(0, 1)
En observant le polygone de contraintes ABC, on obtient les quatre couples suivants : (2, 1), (3, 1), (1, 0), (2, 0).
a) On détermine d’abord les équations de chacune des droites qui délimitent le polygone de contraintes.
Droite 1 : y = 4
Droite 2 : x = –2
Droite 3 : y = –x
Droite 4 : La droite passe par les points de coordonées (2, –1) et (3, 1).
y = a x + b
a = y2 – y1x2 – x1
a = 2 b = –5
y = 2x – 5
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = –2 et y = 4. Le sommet B est pour sa part le point de rencontre des droites d’équation y = 4 et y = 2x – 5. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 2x – 5 et y = –x. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation y = –x et x = –2.
Les coordonnées des sommets du polygone
de contraintes sont A(–2, 4), B(4,5, 4), C(53,
53) et
D(–2, 2).
Les sommets C et D font partie de l’ensemble-solution étant donné qu’ils constituent le point de rencontre de deux droites qui ne sont pas en tirets.
b) On détermine d’abord les équations de chacune des droites qui délimitent le polygone de contraintes.
Droite 1 : y = –8
Droite 2 : x = 3
Droite 3 : La droite passe par les points de coordonées (6, –6) et (8, –7).
a = –0,5 b = –3
y = –0,5x – 3
Droite 4 : La droite passe par les points de coordonées (4, 5) et (8, 6).
a = 0,25
b = 4
y = 0,25x + 4
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation y = 0,25x + 4 et x = 3. Le sommet B est pour sa part le point de rencontre des droites d’équation x = 3 et y = –0,5x – 3. Enfin, le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = –8 et y = –0,5x – 3.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(3, 4,75), B(3, –4,5) et C(10, –8).
Aucun des sommets de ce polygone de contraintes ne fait partie de l’ensemble-solution.
20. Niveau de difficulté : moyen
On trace les polygones de contraintes associés à chacun des systèmes d’inéquations.
Les coordonnées de chacun des sommets peuvent être lues sur le graphique. Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont : A(0, 45), B(27,18), C(18,0) et D(0, 0).
Mesure d’un côté isométrique (cm)
Mes
ure
de la
bas
e (c
m)
Les dimensions d’un triangle isocèle
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
0
CD
A
B
20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
x
y
c) Le couple (25, 20) est une solution de ce système d’inéquations. On peut vérifier graphiquement que ce couple fait partie du polygone de contraintes. On peut également le vérifier algébriquement :
x ≥ 0 25 ≥ 0
Vrai
y ≥ 0 20 ≥ 0
Vrai
y ≤ –x + 45 20 ≤ –25 + 45 Vrai 20 ≤ 20
y ≥ 2x – 36 20 ≥ 2(25) – 36 Vrai 20 ≥ 14
Manuel • p. 24
23. Niveau de difficulté : faible
Le sommet E est le seul qui fait partie de la région-solution, car il est le seul qui appartient à deux droites qui sont formées d’un trait plein et non de tirets.
24. Niveau de difficulté : faible
a) Elles indiquent le demi-plan qui respecte l’inéquation.
b)
c) Il a colorié chaque demi-plan qui ne respectait pas les inéquations afin de déterminer la région-solution, qui est la région qui demeure en blanc dans sa représentation.
d) Plusieurs réponses sont possibles. Voici l’exemple de la méthode de Gloria.
e) L’avantage principal de la méthode de Gloria est qu’on choisit chaque fois le bon demi-plan. Par contre, en utilisant seulement les flèches, la région-solution n’apparaît pas de façon évidente. L’avantage principal de la méthode d’Eugen est qu’on voit très bien la région-solution. Par contre, advenant une erreur en cours de route, il faut effacer ce qu’on a colorié, ce qui rend la tâche beaucoup plus ardue.
Manuel • p. 25
25. Niveau de difficulté : moyen
a) x : le temps attendu par Christina (min) y : le temps attendu par William (min)
x ≥ 0
y ≥ 0
x ≥ 10
y ≥ x + 5
x ≤ 20
y ≤ 20
b)
3
3
x
y
Temps attendu par Christina (min)
Tem
ps a
tten
du p
ar W
illia
m (
min
)
La file d’attente au cinéma
A(10, 15)
B(10, 20) C(15, 20)
c) Plusieurs réponses sont possibles. Il suffit de choisir un couple qui fait partie du polygone de contraintes. Par exemple, Christina peut avoir attendu 12 minutes et William, 18 minutes.
26. Niveau de difficulté : moyen
a) 1%•1000$ = 10 $
b) x ≥ 0
y ≥ 0
x ≥ 30
x ≤ 40
y ≥ 50
12x + 10y ≤ 900
c)
d) En observant le polygone de contraintes, il est possible de déterminer que Patricia a pu vendre pour un maximum de 54 000 $.
27. Niveau de difficulté : moyen
a) x : le temps qu’il a fallu pour parcourir 20 km à vélo (min)
y : le temps qu’il a fallu pour parcourir 5 km à la course (min)
Le point de coordonnées (36, 19) fait partie du polygone de contraintes. Ce point signifie que Nicolas peut avoir consacré 36 min à la course à pied et 19 min au vélo.
16,5 + 36 + 19 = 71,5 min ou 1 h 11 min 30 s
Nicolas peut avoir réalisé le triathlon en 1 h 11 min 30 s.
Manuel • p. 26
28. Niveau de difficulté : élevé
a) x : le nombre de femmes diplômées y : le nombre d’hommes diplômés
x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 0,2y
x < 5
x + y > 20
b)
Temps pour parcourir 20 km à vélo (min)
Tem
ps p
our
parc
ouri
r 5
km à
la c
ours
e (m
in)
Le triathlon de Nicolas
B(40, 20)A(36,5, 20)
C(33, 16,5)
Nombre de femmes
Nom
bre
d’ho
mm
es
L’école de la Faune
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
13
0
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
En traçant le polygone de contraintes, on remarque qu’il y a seulement quatre solutions possibles : (4, 17), (4, 18), (4, 19) et (4, 20).
c) Étant donné qu’il y a seulement quatre possibilités,
la probabilité qu’elle ait raison est de 14.
29. Niveau de difficulté : élevé
a) x : le nombre de femmes dans l’ascenseur y : le nombre d’hommes dans l’ascenseur
x ≥ 0
y ≥ 0
x + y ≤ 16
50x + 90y ≤ 1 150
b) Il est impossible de transporter toutes ces personnes en utilisant seulement trois fois l’ascenseur. En divisant le nombre d’hommes par 3, on obtient environ 11 hommes par fois. Il est alors impossible de transporter en plus les femmes, qui sont au nombre de 15. Il aurait fallu qu’il y ait seulement 30 hommes et 15 femmes (10 hommes et 5 femmes chaque fois) pour que ce soit possible.
Pour que le profit soit maximal, il faut déterminer le nombre de nichoirs et de mangeoires que l’atelier peut produire cette semaine en respectant les différentes contraintes.
On détermine la quantité maximale de plastique disponi-ble cette semaine :
Aaffiche = 0,6 • 1,2
Aaffiche = 0,72 m2
Il y a 15 affiches.
15 • 0,72 = 10,8
Il y a 10,8 m2 de plastique disponible cette semaine.
On représente la situation par un système d’inéquations :
x : le nombre de nichoirs produits y : le nombre de mangeoires produites
x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 6 y ≥ 18
x + 23
y ≤ 32
0,4x + 0,2y ≤ 10,8
On trace le polygone de contraintes représentant cette situation afin de déterminer toutes les solutions possibles :
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
4
0
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
Nombre de nichoirs produits
Nom
bre
de m
ange
oire
s pr
odui
tes
La production de nichoirs et de mangeoires de cette semaine
A
B
D C
CD 1
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 6 et x + 2
3 y = 32. Le sommet B est,
pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 0,4x + 0,2y = 10,8 et x + 2
3 y = 32. Le sommet C est le
point de rencontre des droites d’équation 0,4x + 0,2y = 10,8
et y = 18. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation x = 6 et y = 18.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(6, 39), B(12, 30), C(18, 18) et D(6, 18).
Le sommet A contient le nombre maximal d’objets qui peuvent être produits (45, soit 6 nichoirs et 39 mangeoires). Par contre, comme les nichoirs permettent de réaliser un profit plus grand, le sommet A ne constitue pas nécessai-rement la solution optimale.
On calcule le profit réalisé pour quelques points qui se trouvent à l’intérieur du polygone de contraintes :
Point de coordonnées (8, 32) 8 • 10 + 32 • 6 = 272
Point de coordonnées (12, 28) 12 • 10 + 28 • 6 = 288
Point de coordonnées (16, 20) 16 • 10 + 20 • 6 = 280
Le profit réalisé varie de 272 $ à 288 $ à l’intérieur du polygone de contraintes.
On calcule le profit réalisé pour les quatre sommets du polygone de contraintes :
A(6, 39) 6 • 10 + 39 • 6 = 294
B(12, 30) 12 • 10 + 30 • 6 = 300
C(18, 18) 18 • 10 + 18 • 6 = 288
D(6, 18) 6 • 10 + 18 • 6 = 168
L’atelier doit produire 12 nichoirs et 30 mangeoires tout en respectant les contraintes afin de réaliser un profit maximal de 300 $.
1ACTIvITéd’exploration Les mélanges de fruits séchés
Manuel • p. 28
Remarque : Dans l’Activité d'exploration 1 des pages 28 et 29 du manuel, on devrait lire « mélange ordinaire » au lieu de « mélange régulier ».
A
B En observant le polygone de contraintes, on remarque que les couples (10, 50), (22, 40), (30, 24) et (40, 40) appartiennent à l’ensemble-solution puisqu’ils sont situés à l’intérieur du polygone de contraintes. Le couple (52, 18), situé à l’extérieur du polygone de contraintes, ne fait pas partie de l’ensemble-solution.
C 1,30 • 20 + 1,90 • 30 = 83 Le profit réalisé est de 83 $.
Manuel • p. 29
D P = 1,30x + 1,90y
E P = 1,30(10) + 1,90(50) = 108
P = 1,30(22) + 1,90(40) = 104,60
P = 1,30(30) + 1,90(24) = 84,60
P = 1,30(40) + 1,90(40) = 128
Le couple (40, 40) permet de réaliser le plus grand profit, soit 128 $.
F Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :
Le couple (30, 48) permet de réaliser un profit de 130,20 $.
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
6
0
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
Nombre de sachets de mélangeordinaire confectionnés
Nom
bre
de s
ache
ts d
e m
élan
geex
otiq
ue c
onfe
ctio
nnés
A
B
D
C
Les mélanges de fruits séchés
Ai-je bien compris ?
1. a) Elle cherche à minimiser le coût de ses achats.
b) C = 3x + 2,50y
c)
d) Les couples font tous partie de l’ensemble-solution.
(6, 11) : C = 45,50 $
(7, 10) : C = 46 $
(8, 7) : C = 41,50 $
e) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Le couple (5, 10) respecte les contraintes que Françoise s’est imposées.
2. a) (16, 15) : Z = 18
(12, 14) : Z = 18,8
(10, 10) : Z = 15
b)
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :
Le couple (20, 18) correspond à une solution plus avantageuse que les solutions correspondant aux couples énumérés en a.
B Étant donné que les coordonnées d’un sommet se révèlent plus avantageuses quant à la fonction à optimiser, on peut évaluer cette fonction avec chacun des sommets des polygones de contraintes.
1 La solution optimale, soit 660 $, correspond au sommet de coordonnées (90, 20).
2 La solution optimale, soit 120 $, correspond au sommet de coordonnées (10, 0).
3 La solution optimale, soit 9,5 L, correspond aux sommets de coordonnées (6, 7) et (9, 1).
C La solution optimale se trouve toujours à un sommet. Lorsqu’il y a deux sommets qui correspondent à une solution optimale, la fonction à optimiser aura la même valeur pour les coordonnées de tous les points qui se situent entre ces deux sommets.
D 1) Faux, cela dépend de la fonction à optimiser. Par exemple, dans le deuxième exemple de modélisation, la solution optimale se trouve à un des points les plus bas.
2) Faux, cela dépend de la fonction à optimiser. Par exemple, dans le troisième exemple de modélisation, la solution optimale correspond à un sommet situé loin de l’origine alors que d’autres sommets se situent plus près de l’origine.
3) Vrai. Le troisième exemple de modélisation en est un bon exemple, puisque les coordonnées de deux de ses sommets maximisent la fonction.
Ai-je bien compris ?
a) A(5, 19) B(5, 7) C(9, 3) D(18, 6)
b) A(5, 19) : C = 18,20 $
B(5, 7) : C = 8,60 $
C(9, 3) : C = 7,80 $
D(18, 6) : C = 15,60 $
c) Carlos doit acheter neuf breloques et trois bibelots afin de minimiser le coût total de ses achats.
3ACTIvITéd’exploration Une balade en voiture
Manuel • p. 32
A Remarque : À la question A de la page 32 du manuel, les coordonnées du troisième point donné devraient
être (114, 11
2).
B (34, 2 1
2) : D = 100(0,75) + 50(2,5) D = 200 km
(1, 2) : D = 100(1) + 50(2) D = 200 km
(114, 11
2) : D = 100(1,25) + 50(1,5) D = 200 km
1 2 30
1
2
3
Temps passé sur les autoroutes (h)
Le temps passé à rouler sur les autoroutes et les routes
E Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : On peut utiliser le point de coordonnées (0, 3) et le point de coordonnées (0,75, 1,5) pour tracer la droite 100x + 50y = 150 :
D = 100(0) + 50(3) = 150
D = 100(0,75) + 50(1,5) = 150
On peut utiliser le point de coordonnées (1, 3) et le point de coordonnées (2,5, 0) pour tracer la droite 100x + 50y = 250 :
D = 100(1) + 50(3) = 250
D = 100(2,5) + 50(0) = 250
F Ce sont des droites parallèles.
1 2 30
1
2
3
Temps passé sur les autoroutes (h)
Le temps passé à rouler sur les autoroutes et les routes
Tem
ps p
assé
sur
le
s ro
utes
sec
onda
ires
(h)
1 2 30
1
2
3
Temps passé sur les autoroutes (h)
Le temps passé à rouler sur les autoroutes et les routes
Tem
ps p
assé
sur
le
s ro
utes
sec
onda
ires
(h)
Manuel • p. 33
G Les points limites sont les sommets de coordonnées (0,5, 2) et (2,25, 1,5).
1 2 30
1
2
3
Temps passé sur les autoroutes (h)
Tem
ps p
assé
sur
le
s ro
utes
sec
onda
ires
(h)
Le temps passé à rouler sur les autoroutes et les routes
On substitue les coordonnées de ces sommets dans l'équation D = 100x + 50y :100(0,5) + 50(2) = 150100(2,25) + 50(1,5) = 300
L'équation de la droite passant par le sommet de coordonnées (0,5, 2) est 100x + 50y = 150 et celle de la droite passant par le sommet de coordonnées (2,25, 1,5) est 100x + 50y = 300.
H La distance minimale que Cynthia a pu parcourir est de 150 km et la distance maximale, de 300 km.
I On trace les droites associées à la distance parcourue dans le même plan cartésien que le polygone de contraintes représentant la situation :
1 2 30
1
2
3
Temps passé sur les autoroutes (h)
Tem
ps p
assé
sur
le
s ro
utes
sec
onda
ires
(h)
Z = 350
Z = 125
Le temps passé à rouler sur les autoroutes et les routes
On remarque que les deux droites ne touchent pas le polygone de contraintes. Il est donc impossible que la distance parcourue par Cynthia soit de 350 km ou de 125 km.
Au minimum, Cynthia a passé 2,5 heures à rouler sur des autoroutes et sur des routes secondaires.
Au maximum, Cynthia a passé 3,75 heures à rouler sur des autoroutes et sur des routes secondaires.
Ai-je bien compris ?
a)
b)
c) Les chandails et les pantalons de Gabrielle peuvent occuper un volume minimal de 7,8 L et un volume maximale de 12,6 L.
Nombre de chandails
Les pantalons et les chandails de Gabrielle
Nom
bre
de p
anta
lons
A(4, 4)
E(4, 6)D(6, 6)
C(10, 2)B(6, 2)
Les pantalons et les chandails de Gabrielle
A(4, 4)
E(4, 6)D(6, 6)
C(10, 2)B(6, 2)
Nombre de chandails
Nom
bre
de p
anta
lons
4ACTIvITéd’exploration Rénover au moindre coût
Manuel • p. 34
A
La règle de la fonction à optimiser est C = 4x + 6y.
La solution optimale correspond au sommet de coordonnées (60, 50).
À ce sommet, C = 4(60) + 6(50) = 540.
Le coût minimal du recouvrement du plancher est de 540 $.
B Non, puisqu’en retirant la contrainte traduite par l’inéquation x ≥ 30, le sommet qui correspond à la solution optimale demeure le même.
C Si on retire la contrainte traduite par l’inéquation, 2x + y ≥ 170, le sommet de coordonnées (30, 50) permet maintenant de minimiser les coûts. À ce sommet, C = 4(30) + 6(50) = 420.
Le coût minimal du recouvrement du plancher sera alors de 420 $.
Si on retire la contrainte traduite par l’inéquation x ≤ 2y, le coût minimal demeure le même.
Si on retire la contrainte traduite par l’inéquation, y ≥ 50, le sommet qui permet maintenant de minimiser les coûts est le point de rencontre des droites d’équation 2x + y = 170 et x = 2y. Les coordonnées de ce nouveau sommet sont (68, 34). À ce sommet, C = 4(68) + 6(34) = 476.
Le coût minimal du recouvrement du plancher sera de 476 $.
D Il devrait retirer la contrainte traduite par l’inéquation 2x + y ≥ 170 pour que le coût minimal du recouvre-ment du plancher soit de 420 $.
E La nouvelle règle de la fonction à optimiser est C = 6,5x + 3,5y. On estime la valeur de la nouvelle fonction à optimiser pour chacun des sommets du polygone de contraintes :
Sommet de coordonnées (30, 110) : C = 6,5(30) + 3,5(110) = 580
Sommet de coordonnées (30, 50) : C = 6,5(30) + 3,5(50) = 370
Sommet de coordonnées (100, 50) : C = 6,5(100) + 3,5(50) = 825
Sommet de coordonnées (30, 50) : C = 6,5(30) + 3,5(50) = 370
Avec les nouveaux prix, le coût minimal du recouvre-ment du plancher sera de 370 $.
Ai-je bien compris ?
a) L’entreprise peut réaliser un profit maximal de 535 $.
b) L’entreprise devrait retirer la contrainte traduite par l’inéquation 4x + 3y ≤ 360 pour que son profit maximal soit plus grand. Le profit maximal serait ainsi de 580 $.
Mise en pratiqueManuel • p. 40
1. Niveau de difficulté : faible
a) Le point C(8, 3)
b) Le point B(0, 10)
c) Le point C(7, 8)
d) Le point C(6, 8)
2. Niveau de difficulté : faible
a) Sommet A : Z1 = 793
Sommet B : Z1 = 31,5
Sommet C : Z1 = 29,25
Sommet D : Z1 = 8
Sommet E : Z1 = 3
Sommet F : Z1 = 15
b) Sommet A : Z2 = –716
Sommet B : Z2 = -9,25
Sommet C : Z2 = -6,625
Sommet D : Z2 = 4
Sommet E : Z2 = 1,5
Sommet F : Z2 = -7,5
c) Sommet A : Z3 = 313
Sommet B : Z3 = -15,5
Sommet C : Z3 = -25,25
Sommet D : Z3 = -38
Sommet E : Z3 = -13
Sommet F : Z3 = 11
d) Sommet A : Z4 = 916
Sommet B : Z4 = 25316
Sommet C : Z4 = 13,75
Sommet D : Z4 = 1
Sommet E : Z4 = 0,375
Sommet F : Z4 = 9
Manuel • p. 41
3. Niveau de difficulté : faible
Remarque : À la question 3b de la page 41 du manuel, il ne devrait pas y avoir de sommet F.
a) Les coordonnées de tous les points situés sur le côté BC maximisent la fonction et les coordonnées du sommet D minimisent la fonction.
b) Les coordonnées de tous les points situés sur le côté IJ maximisent la fonction et les coordonnées du sommet K minimisent la fonction.
c) Il est impossible de déterminer les coordonnées du ou des points qui maximisent cette fonction. Les coordonnées du sommet G minimisent la fonction.
d) Il est impossible de déterminer les coordonnées du ou des points qui maximisent cette fonction. Les coordonnées des sommets M et N minimisent cette fonction.
On évalue la fonction à optimiser pour chacun des sommets :
A(100, 400) : Z = 3(100) + 4(400) = 1 900
B(700, 100) : Z = 3(700) + 4(100) = 2 500
C(300, 0) : Z = 3(300) + 4(0) = 900
D(0, 0) : Z = 3(0) + 4(0) = 0
E(0, 200) : Z = 3(0) + 4(200) = 800
Les valeurs minimale et maximale sont 0 et 2 500.
Manuel • p. 43
7. Niveau de difficulté : faible
a) La règle des fonctions T et R
b) La règle de la fonction S
c) La règle des fonctions P et T
d) La règle de la fonction R
8. Niveau de difficulté : faible
a) Le sommet E correspond à la solution optimale, car un déplacement vers la droite de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à optimiser.
b) Le sommet D correspond à la solution optimale, car un déplacement vers le bas de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à optimiser.
c) Le sommet A correspond à la solution optimale, car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet de diminuer la valeur de la fonction à optimiser.
Manuel • p. 44
9. Niveau de difficulté : faible
a) Il n’existe aucun point dont les coordonnées maximisent la fonction à optimiser P.
b) Il n’existe aucun point dont les coordonnées maximisent la fonction à optimiser R.
c) Il y a une infinité de points dont les coordonnées minimisent la fonction Z. Il s’agit des coordonnées de tous les points situés sur le côté CD du polygone de contraintes.
Il faut d’abord déterminer les coordonnées des diffé-rents sommets en résolvant les systèmes d’équations des droites se croisant à ces sommets.
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation y = 8 et y = 1,5x + 3. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équa-tion y = 8 et y = 0,8x. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 2 et y = 0,8x. Le sommet D est, quant à lui, le point de rencontre des droites d’équation y = 2 et x = 0. Enfin, le sommet E est le point de rencontre des droites d’équation y = 1,5x + 3 et x = 0.
Les coordonnées des sommets du polygone
de contraintes sont A(103
, 8), B(10, 8), C(2,5, 2), D(0, 2) et E(0, 3).
a) A(103
, 8) : P = 3(8) – 103
= 623
B(10, 8) : P = 3(8) – 10 = 14
C(2,5, 2) : P = 3(2) – 2,5 = 3,5
D(0, 2) : P = 3(2) – 0 = 6
E(0, 3) : P = 3(3) – 0 = 9
La valeur maximale de la fonction à optimiser P = 3y – x est 62
3.
b) A(103
, 8) : C = 3(103 ) + 5(8) = 50
B(10, 8) : C = 3(10) + 5(8) = 80
C(2,5, 2) : C = 3(2,5) + 5(2) = 17,5
D(0, 2) : C = 3(0) + 5(2) = 10
E(0, 3) : C = 3(0) + 5(3) = 15
La valeur minimale de la fonction à optimiser C = 3x + 5y est 10.
11. Niveau de difficulté : moyen
a) On trace d’abord le polygone de contraintes associé au système d’inéquations ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction à optimiser :
2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 110
2
4
6
8
10
12
1
3
5
7
9
11
x
y
A
B
D C
Les coordonnées des sommets A, C et D peuvent être lues directement sur le graphique. Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équation x − 3y = 3 et 2x + 3y =18.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 6), B(7, 34), C(3, 0) et D(0, 0).
Les coordonnées des sommets A et B, ainsi que celles de tous les points entre ces deux sommets, peuvent maximiser la fonction. Cependant, comme les valeurs des variables x et y doivent être entières, seul le sommet A(0, 6) ainsi que les points de coordonnées (3, 4) et (6, 2) maximisent la fonction.
b) On trace d’abord le polygone de contraintes associé au système d’inéquations ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction à optimiser :
2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 110
2
4
6
8
10
12
1
3
5
7
9
11
x
y
A B
CD
Les coordonnées des sommets A, B, C, et D peuvent être lues directement sur le graphique.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 3), B(4, 4), C(4, 0) et D(0, 0).
Les coordonnées du sommet B(4, 4) maximisent cette fonction.
Manuel • p. 45
12. Niveau de difficulté : faible
a) Polygone 2
b) Polygone 1
c) Polygone 1
d) Polygone 2
13. Niveau de difficulté : moyen
Remarque : L’équation de la question b2 devrait se lire y ≥ x – 3 et l’équation de la question b3 devrait se lire 2x + y ≥ 7.
Il faut d’abord déterminer les coordonnées des différents sommets en résolvant les systèmes d’équations des droites se croisant à ces sommets.
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation y = 5 et 2x + y = 7. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équa-tion y = 5 et y = x − 3. Enfin, le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation 2x + y = 7 et y = x − 3.
Les coordonnées des sommets du polygone
de contraintes sont A(1, 5), B(8, 5) et C(103
, 13).
a) La valeur maximale correspond au sommet B(8, 5).
Z = 2x + 3y
Z = 2(8) + 3(5) = 31
La valeur maximale de la fonction à optimiser est 31.
b) 1) La valeur maximale correspondrait au
sommet C(103
, 13).
Z = 2x – 3y
Z = 2(103 ) – 3(1
3) = 173
La valeur maximale de la fonction à optimiser serait 17
3.
2) En traçant la nouvelle droite d’équation y = x - 1, le sommet B disparaîtrait et les coordonnées du nouveau sommet D seraient (6, 5).
Z = 2x + 3yZ = 2(6) + 3(5)Z = 27
La nouvelle valeur maximale serait 27.
3) En traçant la nouvelle droite d’équation 2x + y = 2, on remarque que les coordonnées du sommet qui maximisent cette fonction demeureraient et que l’apparition des nouveaux sommets ne changerait pas la valeur maximale de la fonction.
b) 1 On trace la droite baladeuse afin de déterminer les coordonnées du sommet qui maximisent la fonction Z :
2
2
x
y
D
A
B
C
La solution optimale correspond au sommet B de coordonnées (8, 12). À ce sommet, Z = 12(8) + 6(12) = 168.
2 On trace la droite baladeuse afin de déterminer les coordonnées du sommet qui minimisent la fonction Z :
2
2
x
y
A
C
B
La solution optimale correspond au sommet A de coordonnées (6, 18). À ce sommet, Z = 9(6) + 8(18) = 198.
3 On trace la droite baladeuse afin de déterminer les coorodnnées du sommet qui minimisent la fonction Z :
2
2
x
y
A
B
D
C
La droite baladeuse est parallèle au côté DC du polygone, donc les sommets C et D ainsi que tous les points compris entre ces deux sommets correspondent à des solutions optimales.
Les coordonnées du sommet C peuvent être lues directement sur le graphique. Ces coordonnées sont (14, 3).
Aux sommets C et D, ainsi qu’aux points de la droite CD, Z = 3(14) + 6(3) = 60.
La règle de la fonction à optimiser est P = 76x + 57y.
On calcule le profit que réalisera l’entreprise si elle fabrique 14 causeuses et 40 chaises berçantes :
P = 3 344 $
On calcule le profit réalisé en évaluant la fonction pour chacun des sommets. On observe que le sommet B maximise également le profit.
B(23, 28) : P = 3 344 $
Donc, l’entreprise prend une bonne décision en fabriquant 14 causeuses et 40 chaises berçantes.
Manuel • p. 47
17. Niveau de difficulté : faible
Remarque : À la question 17 de la page 47 du manuel, on devrait lire « employé permanent » au lieu de « employé régulier ».
a) L’objectif est de minimiser le coût pour honorer la commande.
La règle de la fonction à optimiser est C = 45x + 25y.
b) On doit résoudre les systèmes d’équations des droites se croisant à ces sommets.
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 0 et x + y = 150. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x + y = 150 et y = 0. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 0 et 2x + 3y = 240. Le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation 2x + 3y = 240 et x + y = 100. Le sommet E est, quant à lui le point de rencontre des droites d’équation x + y = 100 et 2x + y = 120. Enfin, le sommet F est le point de rencontre des droites d’équation 2x + y = 120 et x = 0.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 150), B(150, 0), C(120, 0), D(60, 40), E(20, 80) et F(0, 120).
c) A(0, 150) : C = 3 750 $
B(150, 0) : C = 6 750 $
C(120, 0) : C = 5 400 $
D(60, 40) : C = 3 700 $
E(20, 80) : C = 2 900 $
F(0, 120) : C = 3 000 $
d) Comme madame Dufferin veut minimiser les coûts, elle devrait demander à ses employés permanents de travailler 20 heures supplémentaires et elle devrait faire travailler les employés surnuméraires pendant 80 heures.
18. Niveau de difficulté : moyen
a) x : le nombre de bénévoles affectés au service d’entretien ménager
y : le nombre de bénévoles affectés au service d’épicerie
b) N = x + y, où N représente le nombre total de bénévoles.
c) x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 5 x ≤ 10 y ≥ x y - x ≤ 15 8x + 2y ≤ 120
d)
e) On peut tracer la droite baladeuse afin de déterminer le sommet qui correspond à la solution optimale :
Le sommet A(9, 24) correspond à la solution optimale. L’association doit faire appel à 9 bénévoles affectés au service d’entretien ménager et 24 bénévoles affectés au service d’épicerie.
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des sommets A et C peuvent être lues directement sur le graphique. Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équation y = 5 et 2,5x + 3,5y = 42.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(7, 7), B(9,8, 5) et C(5, 5).
On évalue la fonction à optimiser pour chacun des sommets :
A(7, 7) : N = 2(7) + 4(7) = 42
B(9,8, 5) : N = 2(9,8) + 4(5) = 39,6
C(5, 5) : N = 2(5) + 4(5) = 30
La solution optimale se trouve au sommet A.
Fatima devra installer sept tables pour deux personnes et sept tables pour quatre personnes pour accueillir le plus grand nombre de clients possible.
Manuel • p. 49
22. Niveau de difficulté : moyen
L’objectif est de minimiser le coût.
x : le nombre d’heures travaillées par Gabrielley : le nombre d’heures travaillées par Fred
La règle de la fonction à minimiser est C = 10x +15y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0 y ≥ 0 8x + 10y ≥ 34 x ≤ 3 y ≤ 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13
Nombre de tablespour deux personnes
Nom
bre
de t
able
spo
ur q
uatr
e pe
rson
nes Le restaurant de Fatima
A
BC
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation ainsi que la droite baladeuse associée à cette fonction :
La solution optimale correspond au sommet C(3, 1) étant donné qu’un déplacement vers le haut de la droite baladeuse augmente la valeur de la fonction à optimiser.
Gabrielle devra donc travailler trois heures et Fred, une heure, afin que Michel paie le moins cher possible pour faire repeindre sa clôture.
23. Niveau de difficulté : moyen
a) L’objectif est de minimiser le nombre de points.
x : le nombre de paniers à deux pointsy : le nombre de paniers à trois points
La règle de la fonction à optimiser est P = 2x + 3y + 8.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
y ≥ 0 x ≥ 0 x + y ≥ 26 x + y ≤ 35 2x ≥ 3y y ≥ 5 x ≥ y + 6
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des sommets B, D et E peuvent être lues directement sur le graphique. Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = y + 6 et x + y = 35. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 5 et x + y = 26.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(20,5, 14,5), B(30, 5), C(21, 5), D(16, 10) et E(18, 12).
On évalue la fonction à optimiser pour chacun des sommets.
A(20,5, 14,5) : P = 2(20,5) + 3(14,5) + 8 = 92,5
B(30, 5) : P = 2(30) + 3(5) + 8 = 83
C(21, 5) : P = 2(21) + 3(5) + 8 = 65
D(16, 10) : P = 2(16) + 3(10) + 8 = 70
E(18, 12) : P = 2(18) + 3(12) + 8 = 80
La solution optimale correspond au sommet C.
Le nombre de points minimal obtenu par l’équipe est de 65.
b) Il est impossible que cette équipe ait été déclarée gagnante si l’équipe adverse a obtenu 90 points. En effet, bien que la valeur de la fonction à opti-miser au sommet A est supérieure à 90 (92,5), on ne peut considérer cette solution valable dans le contexte de la situation puisque l’équipe ne peut pas avoir obtenu une fraction d’un panier.
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
4
0
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
52
Nombre de paniersà deux points
Nom
bre
de p
anie
rsà
troi
s po
ints
La partie de basket-ball
AE
B
C
D
On doit déterminer le couple faisant partie du polygone de contraintes situé le plus près du sommet A qui possède des coordonnées entières. Il s’agit du point de coordonnées (20, 14). La valeur de la fonction à optimiser est de 90 pour ce point. L’équipe n’a donc pu obtenir qu’un maximum de 90 points.
24. Niveau de difficulté : élevé
L’objectif est de maximiser le périmètre du pictogramme.
x : la mesure d’un grand côté (soit la base du rectangle ou un des trois côtés du triangle équilatéral), en centimètres
y : la mesure d’un petit côté (soit la hauteur du rectangle), en centimètres
La règle de la fonction à optimiser est P = 3x + 2y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x > 0
y > 0
y ≤ 20
2x + 2y ≤ 80
3x ≤ 90
4x + 2y ≤ 135
On trace le polygone de contraintes associé à la situation :
Les sommets A, E et F ne correspondent pas des solutions possibles étant donné que les mesures des côtés doivent être plus grandes que 0.
Les coordonnées des sommets B peuvent être lues directement sur le graphique. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation 2x + 2y = 80 et 4x + 2y = 135. Le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation x = 30 et 4x + 2y = 135.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont B(20, 20), C(27,5, 12,5) et D(30, 7,5).
On évalue la fonction à optimiser pour chacun des sommets :
B(20, 20) : P = 3(20) + 2(20) = 100
C(27,5, 12,5) : P = 3(27,5) + 2(12,5) = 107,5
D(30, 7,5) : P = 3(30) + 2(7,5) = 105
La solution optimale correspond au sommet C.
Le périmètre maximal de ce pictogramme est de 107,5 cm.
Manuel • p. 50
25. Niveau de difficulté : moyen
a) L’objectif est de minimiser la hauteur de la tour.
x : le nombre de pièces de 0,25 $y : le nombre de pièces de 1 $
La règle de la fonction à optimiser est H = 1,6x + 2y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0
y ≥ 0
x + y ≥ 15
0,25x + y ≥ 9
4x + 7y ≥ 9
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation ainsi que la droite baladeuse associée à cette fonction :
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
2
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Nom
bre
de p
ièce
s de
1 $
La monnaie de Christophe
D
24 26 28 30 32
Nombre de pièces de 0,25 $
34 36
B
A
C
La solution optimale se trouve au sommet B(5, 10), car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à optimiser.
H = 1,6(5) + 2(10) = 28
La hauteur minimale de cette tour serait de 28 mm.
b) On pourrait retirer l’inéquation qui représente la droite qui passe par le sommet C, c’est-à-dire, 0,25x + y ≥ 9.
26. Niveau de difficulté : faible
a) On évalue la valeur de la fonction à optimiser pour chacun des sommets :
A(0, 0) : P = 0 $
B(30, 0) : P = 6 000 $
C(30, 15) : P = 9 750 $
D(20, 30) : P = 11 500 $
E(0, 40) : P = 10 000 $
Le profit maximal de cette entreprise est de 11 500 $.
b) 1) Le profit maximal de cette entreprise est de 14 000 $.
2) Le profit maximal de cette entreprise est de 10 800 $.
3) Le profit maximal de cette entreprise est de 11 250 $.
27. Niveau de difficulté : moyen
L’objectif est de maximiser le revenu de Gaby.
x : le nombre de bouquets à 15 $y : le nombre de bouquets à 45 $
La règle de la fonction à optimiser est R = 15x + 45y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction :
La solution optimale correspond au sommet B, car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à maximiser. Par contre, ce sommet ne comprend pas des coordonnées composées de nombres entiers. Dans ce cas, la solution du problème correspond au point de coordonnées entières de la région-solution qui est le plus près de la droite baladeuse, soit le point de coordonnées (8, 4).
Gaby doit préparer huit bouquets à 15 $ et quatre bouquets à 45 $ afin de maximiser son revenu.
Manuel • p. 51
28. Niveau de difficulté : moyen
a) L’objectif est de maximiser le chiffre d’affaires de Pablo.
x : le nombre de bacs cubiques vendus y : le nombre de bacs allongés vendus
La règle de la fonction à maximiser est R = 15x + 20y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0 y ≥ 0 2,5x + 3y ≤ 130 20x + 40y ≤ 1 600 x + y ≤ 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13 14 15 16
Nombre de bouquets à 15 $
14
Nom
bre
de b
ouqu
ets
à 45
$Les bouquets à préparer
AB
CD
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction :
La solution optimale correspond au sommet B, car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à maximiser. Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équations 20x + 40y = 1 600 et 2,5x + 3y = 130.
Les coordonnées du sommet B sont (10, 35). Pour maximiser le chiffre d’affaires de son entreprise,
Pablo doit vendre 10 bacs cubiques et 35 bacs allongés.
b) R = 15x + 20yR = 15(10) + 20(35)R = 850 $
P = 9x + 10yP = 9(10) + 10(35)P = 440 $
Le chiffre d’affaires maximal de l’entreprise est de 850 $ et le profit maximal est de 440 $.
Consolidation
Manuel • p. 52
1. Contraintes d’un problème
Niveau de difficulté : faible
a) x : le nombre de filles y : le nombre de garçons
x ≥ y
b) x : le temps pris par Florien pour faire la course de 100 m, en secondes.
y : le temps pris par Jerry pour faire la course de 100 m, en secondes.
Le couple (2,5, 4,9) fait partie de l’ensemble-solution de l’affichage 2 .
4. Système d’inéquations, polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes
Niveau de difficulté : moyen
a) On détermine l’équation de la droite qui supporte chaque côté du polygone de contraintes. On détermine ensuite le symbole d’inégalité qui respecte la région-solution.
Il s’agit d’une droite horizontale, donc le taux de variation est de 0.
y = 3
y ≥ 3
Le système d’inéquations associé à ce polygone de contraintes est le suivant :
y ≤ 2x – 5
y ≤ –x + 16 y ≥ x – 4 y ≥ 3
b) On détermine l’équation de la droite qui supporte chaque côté du polygone de contraintes. On détermine ensuite le symbole d’inégalité qui respecte la région-solution.
Équation de la droite qui supporte le côté AB :
a = 2 – 65 – 3
a = –2
y = –2x + b 6 = –2(3) + b b = 12
y = –2x + 12
y ≥ –2x + 12
Équation de la droite qui supporte le segment qui passe par le point A :
a = 3 – 60 – 3
a = 1
y = x + 3
y < x + 3
Équation de la droite qui supporte le segment qui passe par le point B :
a = 0 – 21 – 5
a = 0,5
y = 0,5x + b 0 = 0,5(1) + b b = –0,5
y = 0,5x – 0,5
y ≥ 0,5x – 0,5
Le système d’inéquations associé à ce polygone de contraintes est le suivant :
y ≥ –2x + 12 y < x + 3 y ≥ 0,5x – 0,5
5. Système d’inéquations, polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes
Niveau de difficulté : faible
a)
Le premier quadrant du plan cartésien est partagé en 11 régions.
b) Le système d’inéquations 2 n’a aucune solution.
Les coordonnées des sommets A, B et D du poly-gone de contraintes peuvent être lues directement sur le graphique.
Le sommet C est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation y = 1
2 x + 1
et y = –2x + 20.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(5, 6), B(7, 6), C(7,6, 4,8) et D(4, 3).
Système 3
Les coordonnées des sommets B et C du poly-gone de contraintes peuvent être lues directement sur le graphique.
Le sommet A est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation y = 3(x – 3) et y = –2x + 20.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(5,8, 8,4), B(7, 6) et C(10, 6).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13 x
y
A
D
B
C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13 x
y
A
B C
Manuel • p. 54
6. Contraintes d’un problème, représentation graphique d’une situation, système d’inéquations, coordonnées des sommets du polygone de contraintes
Niveau de difficulté : moyen
a) x : le nombre de panneaux de contreplaqué y : le nombre de sacs de sable
x ≥ 8
y ≥ 5 30x + 36y ≤ 1 320 50x + 20y ≤ 1 800
b)
c) Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 8 et 30x + 36y = 1 320. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 30x + 36y = 1 320 et 50x + 20y = 1 800. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation y = 5 et 50x + 20y = 1 800. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation x = 8 et y = 5.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(8, 30), B(32, 10), C(34, 5) et D(8, 5).
d) Il suffit de prendre des couples qui se trouvent dans le polygone de contraintes.
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :
Saïd peut charger 16 panneaux de contreplaqué et 12 sacs de sable dans son camion.
Saïd peut charger 12 panneaux de contreplaqué et 20 sacs de sable dans son camion.
Saïd peut charger 28 panneaux de contreplaqué et 8 sacs de sable dans son camion.
7. Fonction à optimiser, recherche de la solution optimale, méthode de la droite baladeuse
Niveau de difficulté : moyen
a) La pente de la droite baladeuse peut se calculer à partir de
–ab
.
–44
= –1
b) Le sommet D correspond à la solution optimale, car un déplacement vers le haut de la droite baladeuse a pour effet d’augmenter la valeur de la fonction à maximiser.
c) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Z = 5x + 4y – 100
La pente de la nouvelle droite baladeuse est –54
.
d) 1) La pente de la droite baladeuse ne doit pas être supérieure ou égale à la pente du segment DC et elle ne doit pas être inférieure ou égale à la pente du segment ED.
Pente du segment DC : a = 20 – 3530 – 20
a = –1,5
Pente du segment ED : a = 35 – 4520 – 0
a = –0,5
Pour que la solution optimale se trouve exclusivement au point D, la pente de la droite baladeuse doit être située dans l’intervalle ]–1,5, –0,5[.
2) La pente de la droite baladeuse ne doit pas être supérieure ou égale à la pente du segment DC et elle ne doit pas être inférieure ou égale à la pente du segment BC.
Pente du segment DC : a = 20 – 3530 – 20
a = –1,5
Pente du segment BC : a = 0 – 2035 – 30
a = –4
Pour que la solution optimale se trouve exclusivement au point C, la pente de la droite baladeuse doit être située dans l’intervalle ]–4, –1,5[.
8. Fonction à optimiser, comparaison de solutions, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : faible
a) Il n'y a pas de solution optimale, car la valeur de Z peut augmenter indéfiniment.
b) (1, 6) : Z = 2(1) + 6 = 8
(5, 2) : Z = 2(5) + 2 = 12
La solution optimale correspond au sommet de coordonnées (1, 6).
c) (1, 6) : Z = 2(1) – 6 = –4
(5, 2) : Z = 2(5) – 2 = 8
La solution optimale correspond au sommet de coordonnées (5, 2).
d) Il n'y a pas de solution optimale, car la valeur de Z peut diminuer indéfiniment.
Manuel • p. 55
9. Contraintes d’un problème, fonction à optimiser, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation
Niveau de difficulté : faible
a) 1) (4, 0) : Z = 30 + 0 – 4(4) = 14
(4, 8) : Z = 30 + 8 – 4(4) = 22
(8, 8) : Z = 30 + 8 – 4(8) = 6
La solution optimale correspond au sommet de coordonnées (8, 8). La valeur de Z qui correspond à cette solution est 6.
2) On trace le nouveau polygone de contraintes :
Les coordonnées des nouveaux sommets du polygone de contraintes sont (4, 0), (4, 6) et (6, 4).
On évalue la fonction à minimiser pour les coordonnées de chacun des sommets du polygone de contraintes :
(4, 6) : Z = 30 + 6 – 4(4) = 20
(4, 0) : Z = 30 + 0 – 4(4) = 14
(6, 4) : Z = 30 + 4 – 4(6) = 10
L’ajout de la contrainte traduite par l’inéquation x + y ≤ 10 modifie la solution optimale. La nouvelle solution optimale correspond au sommet de coordonnées (6, 4) et la valeur de Z qui correspond à cette solution est 10.
b) 1) (2, 9) : Z = 4(2) + 9 = 17
(4, 8) : Z = 4(4) + 8 = 24
(6, 2) : Z = 4(6) + 2 = 26
(6, 0) : Z = 4(6) + 0 = 24
(2, 0) : Z = 4(2) + 0 = 8
La solution optimale correspond au sommet de coordonnées (6, 2). La valeur de Z qui correspond à cette solution est 26.
2) On trace le nouveau polygone de contraintes :
Les coordonnées des nouveaux sommets du polygone de contraintes sont (2, 0), (2, 8), (5, 6), (6, 2) et (6, 0).
On évalue la fonction à maximiser pour les coordonnées de chacun des sommets :
(2, 8) : Z = 4(2) + 8 = 16
(5, 6) : Z = 4(5) + 6 = 26
(6, 2) : Z = 4(6) + 2 = 26
(6, 0) : Z = 4(6) + 0 = 24
(2, 0) : Z = 4(2) + 0 = 8
L’ajout de la contrainte x + y ≤ 10 change la solution optimale. La solution optimale correspond aux sommets de coordonnées (5, 6) et (6, 2), ainsi qu’à tous les points situés sur la droite passant par ces deux sommets.
x
y
10
123456789
10
2 3 4 5 6 7 8 9 10
10. Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes, fonction à optimiser, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation
Niveau de difficulté : faible
a) 1) x ≥ y
2) x + y ≤ 100
3) y ≥ 10
4) x ≤ 3y
b) On remplace x par 48 et y par 18 dans chacune des inéquations déterminées en a :
1) 48 ≥ 18
2) 48 + 18 ≤ 100
3) 18 ≥ 10
4) 48 ≤ 3(18)
Toutes les inéquations sont respectées, donc il est possible que l’urne contienne 48 billes blanches et 18 billes noires.
c)
Les coordonnées des quatre sommets du polygone de contraintes peuvent être lues directement sur le graphique.
A(50, 50), B(75, 25), C(30, 10) et D(10, 10)
d) L’urne peut contenir au minimum 10 billes blanches.
e) L’urne peut contenir au maximum 50 billes noires.
g) On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(50, 50) : M = 1 + 0,16(50) + 0,15(50) = 16,5
B(75, 25) : M = 1 + 0,16(75) + 0,15(25) = 16,75
C(30, 10) : M = 1 + 0,16(30) + 0,15(10) = 7,3
D(10, 10) : M = 1 + 0,16(10) + 0,15(10) = 4,1
La masse maximale de l’urne est de 16,75 kg.
h) On modifie la règle de la fonction à maximiser : M = 1 + 0,15x + 0,16y
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(50, 50) : M = 1 + 0,15(50) + 0,16(50) = 16,5
B(75, 25) : M = 1 + 0,15(75) + 0,16(25) = 16,25
C(30, 10) : M = 1 + 0,15(30) + 0,16(10) = 7,1
D(10, 10) : M = 1 + 0,15(10) + 0,16(10) = 4,1
La masse maximale de l’urne serait alors de 16,5 kg.
Manuel • p. 56
11. Beaucoup de boulot au mois de mars…
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : moyen
L’objectif est de maximiser les profits P de l’entreprise Dufresne et fils.
x : le nombre de meubles d’ordinateur du modèle A y : le nombre de meubles d’ordinateur du modèle B
La règle de la fonction à maximiser est P = 60x + 80y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0
y ≥ 0
3x + 2y ≤ 420
x + y ≤ 160
2x + 4y ≤ 550
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des sommets C, D et E peuvent être lues directement sur le graphique.
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 0 et 2x + 4y = 550. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 2x + 4y = 550 et x + y = 160.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 137,5), B(45, 115), C(100, 60), D(140, 0) et E(0, 0).
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(0, 137,5) : P = 60(0) + 80(137,5) = 11 000
B(45, 115) : P = 60(45) + 80(115) = 11 900
C(100, 60) : P = 60(100) + 80(60) = 10 800
D(140, 0) : P = 60(140) + 80(0) = 8 400
E(0, 0) : P = 60(0) + 80(0) = 0
La solution optimale, soit 11 900 $, correspond au sommet B de coordonnées (45, 115).
L’entreprise Dufresne et fils doit produire 45 meubles du modèle A et 115 meubles du modèle B pour maximiser son profit.
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : On peut répartir les heures attribuées à la main-d’œuvre entre les trois tâches de façon différente. Cependant, il faut faire en sorte que ces nouvelles contraintes permettent de tracer un polygone de contraintes, c’est-à-dire qu’elles permettent d’obtenir une région-solution. Afin de déterminer une nouvelle répartition des heures qui permette de faire un profit encore plus grand que celui réalisé au mois de mars, on peut tracer la droite baladeuse associée à l'équation de la fonction à maximiser sur la représentation graphique du polygone de contraintes qui représente la production du mois de mars.
On peut, par exemple, attribuer 170 heures pour l’assemblage et 540 heures pour la finition et laisser le même nombre d’heures pour le découpage.
Nombre de meubles d’ordinateur du modèle A
Nom
bre
de m
eubl
es d
’ord
inat
eur
du m
odèl
e B
La production du mois de mars
A
B
C
D
20 40 60 80 100 1200
20
40
60
80
100
120
140 160
140
160
E
Le polygone de contraintes suivant représente la nouvelle situation.
On obtient les coordonnées des deux nouveaux sommets B(70, 100) et C(80, 90).
On évalue la fonction à maximiser pour ces nouveaux sommets.
B(70, 100) : P = 60(70) + 80(100) = 12 200
C(80, 90) : P = 60(80) + 80(90) = 12 000
La nouvelle solution optimale correspond au sommet B de coordonnées (70, 100). L’entreprise Dufresne et fils ferait un profit de 12 200 $ en produisant 70 meubles du modèle A et 100 meubles du modèle B.
13. Le coût du tennis
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : élevé
x : le nombre d’heures jouées en simple y : le nombre d’heures jouées en double
La règle de la fonction à optimiser est F = 30 + 13x + 6,5y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant :
x ≥ 0 y ≥ 0 x + y ≥ 10 x + y ≤ 14 y ≥ 4 x + 3y ≤ 24
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des quatre sommets peuvent être lues directement sur le graphique.
Les coordonnées du polygone de contraintes sont A(3, 7), B(9, 5), C(10, 4) et D(6, 4).
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(3, 7) : F = 30 + 13(3) + 6,5(7) = 114,50
B(9, 5) : F = 30 + 13(9) + 6,5(5) = 179,50
C(10, 4) : F = 30 + 13(10) + 6,5(4) = 186
D(6, 4) : F = 30 + 13(6) + 6,5(4) = 134
La pratique du tennis a coûté à Éric environ 186 $ au maximum et environ 114,50 $ au minimum pour le mois de septembre.
Manuel • p. 57
14. Le bon dosage
Polygone de contraintes, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation
Niveau de difficulté : moyen
a) x : la quantité de crème 15 % (mL) y : la quantité de lait 2 % (mL)
21 3 5 7 9 11 13 154 6 8 10 120
2
1
3
5
7
9
11
13
15
4
6
8
10
12
14 16
Nombre d’heures jouées en simple
14
16N
ombr
e d’
heur
es jo
uées
en
doub
leLe coût du tennis
A
D
B
C
Les deux premières inéquations sont les contraintes de positivité. La troisième représente la quantité maximale de crème 15 % dont Léonard dispose. La quatrième représente la quantité maximale de lait 2 % dont Léonard dispose. La cinquième indique que le mélange de Léonard doit contenir au moins 9 % de matières grasses. La sixième indique que le mélange doit contenir au plus 11 % de matières grasses.
b) Léonard cherche à maximiser la quantité de liquide obtenue.
La règle de la fonction à maximiser est Q = x + y.
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des trois sommets peuvent être lues directement sur le graphique.
Les coordonnées du polygone de contraintes sont A(140, 120), B(270, 120) et C(0, 0).
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(140, 120) : Q = 140 + 120 = 260
B(270, 120) : Q = 270 + 120 = 390
C(0, 0) : Q = 0 + 0 = 0
La solution optimale, soit 390 mL, correspond au sommet B de coordonnées (270, 120).
Pour que Léonard atteigne son objectif, il faut qu’il mélange 270 mL de crème 15 % et 120 mL de lait 2 %.
c) On modifie la troisième inéquation, ce qui modifie le polygone de contraintes.
Les coordonnées du nouveau sommet qui maximisent la quantité obtenue sont B(200, 120). Pour que Léonard atteigne son objectif, il faut qu’il mélange 200 mL de crème 15 % et 120 mL de lait 2 %.
15. Un échange à optimiser
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : élevé
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0 y ≥ 0 x ≥ 12 x ≤ 36 y ≥ 4 y ≤ 16 x ≤ 3y 2x ≥ 3y
On trace le polygone de contraintes associé à ce système d’inéquations et on trace la droite baladeuse associée à la fonction à optimiser :
40 80 120 160 200 2400
20
40
60
80
100
120
280 320
Quantité de crème 15 % (mL)
140
160
Qua
ntit
é de
lait
2 %
(m
L)Le potage aux poireaux
A B
D
C
Les sommets E et C correspondent aux solutions optimales.
C(36, 12) : Z = 36 – 36 + 12 = 12
E(12, 8) : Z = 36 – 12 + 8 = 32
Au maximum, après l’échange, Marie pourrait posséder 32 romans et disques compacts, et au minimum, elle pourrait en posséder 12.
Manuel • p. 58
16. Pas trop de contraintes, s’il vous plaît !
Contraintes d’un problème
Niveau de difficulté : faible
L’objectif est de maximiser le nombre de personnes N qui seront évacuées dans la prochaine heure.
x : le nombre d’hélicoptères y : le nombre d’embarcations
La règle de la fonction à maximiser est N = 16x + 8y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation.
Les coordonnées des sommets B, C et D peuvent être lues directement sur le graphique.
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x + y = 25 et 3x + 2y = 54. Le sommet E est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x = 0 et x + y = 25.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(4, 21), B(10, 12), C(10, 10), D(0, 0) et E(0, 25).
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(4, 21) : N = 16(4) + 8(21) = 232
B(10, 12) : N = 16(10) + 8(12) = 256
C(10, 10) : N = 16(10) + 8(10) = 240
D(0, 0) : N = 16(0) + 8(0) = 0
E(0, 25) : N = 16(0) + 8(25) = 200
La solution optimale correspond au sommet B.
En respectant toutes les contraintes du problème, on peut, au maximum, évacuer 256 personnes dans la prochaine heure.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
2
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
26 28 30 32
Nombre d’hélicoptères
28
30
32N
ombr
e d’
emba
rcat
ions
L’opération de sauvetage
A
B
C
D
E
Pour augmenter le nombre de personnes évacuées, il faudrait retirer la contrainte qui indique que chaque équipe de sauvetage doit inclure une personne compé-tente en soins d’urgence parmi les 25 qui sont sur place (x + y ≤ 25). En effet, en traçant la droite baladeuse dans le graphique, on constate qu’un déplacement de celle-ci vers le haut augmente la valeur de la fonction à maximiser. Si on retire la contrainte x + y ≤ 25, cela permet de déplacer plus haut la droite baladeuse.
Les coordonnées du nouveau sommet B seraient (10, 15).
N = 16(10) + 8(15) = 280
On pourrait alors évacuer 280 personnes dans la prochaine heure.
17. Un jardin circulaire
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : moyen
Remarque : À la question 17 de la page 58 du manuel, dans le carton à gauche de la figure, on devrait lire : « Nombre de plantes maximal : 800 ».
L’objectif est de minimiser le coût du projet d’aménagement du jardin public.
x : l’aire de la section A (m2) y : l’aire de la section B (m2)
La règle de la fonction à minimiser est C = 35x +20y.
On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets :
(2, 6) : C = 2(2) + 2,50(6) = 19
(5, 3) : C = 2(5) + 2,50(3) = 17,50
(12, 3) : C = 2(12) + 2,50(3) = 31,50
Le sommet de coordonnées (5, 3) correspond au coût minimal. Edward a acheté cinq chansons sur le premier site et trois chansons sur le deuxième site. Il a payé 17,50 $.
b) Le nombre de chansons achetées sur chaque site serait demeuré le même. C’est la règle de la fonction à minimiser qui change puisque le coût unitaire d’une chanson est modifié :
C = 1,4x + 1,75y
Edward aurait donc pu payer 12,25 $ au lieu de 17,50 $ pour le même nombre de chansons.
c) Il faut reprendre le polygone de contraintes, y représenter l’inéquation y ≥ x et déterminer les coordonnées des sommets du nouveau polygone de contraintes.
Les coordonnées des nouveaux sommets sont (4, 4) et (12, 12).
On évalue la fonction à minimiser pour chacun des nouveaux sommets :
(4, 4) : C = 2(4) + 2,50(4) = 18
(12, 12) : C = 2(12) + 2,50(12) = 54
Avec l’ajout de la nouvelle contrainte, Edward aurait acheté quatre chansons sur chacun des deux sites et aurait payé 18 $.
10
123456789
101112
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Nombre de chansons achetées à 2,00 $
Nom
bre
de c
hans
ons
ache
tées
à 2
,50 $
Le coût des chansons achetées dans Internet
21. La bonne décision
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : moyen
On cherche à déterminer le nombre d’actions que le courtier a achetées en tenant compte de toutes les contraintes, sachant qu’Omar voulait avoir le plus grand nombre d’actions possibles.
x : le nombre d’actions de la compagnie AZX y : le nombre d’actions de la compagnie BST
La règle de la fonction à maximiser est N = x + y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
Le sommet B de coordonnées (240, 200) correspond au plus grand nombre possible d’actions que le courtier en valeurs mobilières a pu acheter, soit 440 actions.
En vendant les actions des deux compagnies trois mois plus tard, Omar réalise un profit de 4,25 $ par action vendue.
La règle de la fonction à maximiser est P = 4,25x + 4,25y.
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(144, 280) : P = 1 802 $
B(240, 200) : P = 1 870 $
C(144, 120) : P = 1 122 $
Omar a bien fait de dire à son courtier d’acheter le plus grand nombre d’actions possibles. Il n’aurait pas pu faire un profit plus grand.
Manuel • p. 61
22. Un beau magot
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, coordonnées d’un polygone de contraintes
Niveau de difficulté : élevé
Il faut déterminer le nombre de billets de 10 $, 20 $ et 100 $. On cherche à minimiser le montant d’argent.
x : le nombre de billets de 10 $ y : le nombre de billets de 20 $
30 – x – y : le nombre de billets de 100 $
La règle de la fonction à minimiser est M = 10x + 20y + 100(30 – x – y).
On détermine les inéquations traduisant les contraintes de la situation :
y ≥ x + 30 – x – y2y ≥ 30 y ≥ 15
y ≥ x + 10
y ≤ 30 – x – y + 202y ≤ –x + 50
y ≤ –x2
+ 25
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0
y ≥ 0 y ≥ 15
y ≥ x + 10
y ≤ –x2
+ 25
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des sommets A, B et D peuvent être lues directement sur le graphique.
Le sommet C est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation y = 15 et y = x + 10.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 25), B(10, 20), C(5, 15) et D(0, 15).
On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets :
A(0, 25) : M = 10(0) + 20(25) + 100(5) = 1 000
B(10, 20) : M = 10(10) + 20(20) + 100(0) = 500
C(5, 15) : M = 10(5) + 20(15) + 100(10) = 1 350
D(0, 15) : M = 10(0) + 20(15) + 100(15) = 1 800
Au minimum, il y a 500 $ dans cette liasse de billets.
23. Boisson aux fruits
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation
Niveau de difficulté : moyen
a) L’objectif est de minimiser la quantité de sucre dans la boisson aux fruits.
x : la quantité de jus de fruits (L) y : la quantité de boisson gazeuse (L)
La règle de la fonction à minimiser est Q = 90x + 120y.
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation 60x + 10y
x + y = 34 et x + y = 150. Le
sommet B est, pour sa part, le point de rencontre
des droites d’équation 60x + 10yx + y
= 34 et x + y = 200.
Le sommet C est le point de rencontre des droites
d’équation 60x + 10yx + y
= 38 et x + y = 200. Enfin,
le sommet D est le point de rencontre des droites
d’équation 60x + 10yx + y
= 38 et x + y = 150.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(72, 78), B(96, 104), C(112, 88) et D(84, 66).
On évalue la fonction à optimiser pour chacun des sommets :
A(72, 78) : C = 0,25100
(72 + 78) + 0,40100
(78) = 0,687
B(96, 104) : C = 0,25100
(96 + 104) + 0,40100
(104) = 0,916
C(112, 88) : C = 0,25100
(112 + 88) + 0,40100
(88) = 0,852
D(84, 66) : C = 0,25100
(84 + 66) + 0,40100
(66) = 0,639
L’eau utilisée lorsque Sabrina prend un bain coûte au maximum environ 0,92 $ et au minimum environ 0,64 $.
Lorsque Sabrina prend une douche, on considère que x + y = 50. Donc, les coordonnées des nouveaux sommets à utiliser pour calculer combien il en coûte lorsqu’elle prend une douche au lieu d’un bain sont les points de rencontre des droites d’équation
x + y = 50, 60x + 10yx + y
= 34 et 60x + 10yx + y
= 38.
Les coordonnées des nouveaux sommets sont (24, 26) et (28, 22).
On évalue la fonction à optimiser pour ces sommets :
(24, 26) : C = 0,25100
(24 + 26) + 0,40100
(26) = 0,229
(28, 22) : C = 0,25100
(28 + 22) + 0,40100
(22) = 0,213
L’eau utilisée lorsque Sabrina prend une douche rapide coûte au maximum environ 0,23 $ et au minimum environ 0,21 $.
Économie :
Coût maximal : 0,92 – 0,23 = 0,69
Coût minimal : 0,64 – 0,21 = 0,43
L’économie totale réalisée lorsque Sabrina prend une douche rapide au lieu d’un bain se situe entre 0,43 $ et 0,69 $.
Manuel • p. 62
25. Nouveau départ
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation
Niveau de difficulté : moyen
a) L’objectif est de minimiser le montant déboursé par Nicolas.
x : le nombre de verres sur pied y : le nombre de verres ballons
La règle de la fonction à minimiser est M = 1,50x + 0,75y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0
y ≥ 0
y ≥ 4 x ≥ 4
x ≥ 16
y ≤ x + 2
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des sommets A et B peuvent être lues directement sur le graphique.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(16, 18) et B(16, 4).
On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets :
A(16, 18) : M = 1,50(16) + 0,75(18) = 37,50
B(16, 4) : M = 1,5(16) + 0,75(4) = 27
La solution optimale correspond au sommet B de coordonnées (16, 4). Nicolas devrait débourser au minimum 27 $ pour répondre à ses besoins.
b) La nouvelle fonction à minimiser est M = 1,50x + 0,50y.
On évalue la fonction à minimiser pour le sommet :
B(16, 4) : M = 26 $
Nicolas n’a toujours pas suffisamment d’argent.
c) On retire l’inéquation x ≥ 16 du système d’iné-quations et on ajoute la nouvelle contrainte 1,50x + 0,50y ≤ 14.
On trace le polygone de contraintes qui représente la nouvelle situation :
Le plus grand nombre de verres possible corres-pond au point ayant des coordonnées entières situé le plus près du sommet A, c’est-à-dire (6, 8), ou au point de coordonnées (7, 7).
Nicolas peut donc acheter six verres sur pied et huit verres ballons ou sept verres sur pied et sept verres ballons avec ses 14 $ tout en respec-tant les autres contraintes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13 14 15 16
Nombre de verres sur pied
14
15
16
17
Nom
bre
de v
erre
s ba
llons
Les achats de Nicolas
A
BC
D
26. Le fromage de chez nous
Polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : faible
a) La fonction à minimiser est C = 8x + 12y.
On trace d’abord le polygone de contraintes associé au système d’inéquations ainsi que la droite baladeuse associée à la fonction à minimiser :
Les coordonnées des six sommets du polygone de contraintes peuvent être lues directement sur le graphique.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(30, 40), B(40, 40), C(50, 30), D(50, 20), E(40, 20) et F(30, 30).
Le sommet E correspond à la solution optimale.
Pour minimiser les coûts, il faut produire 40 kg de cheddar et 20 kg de brie.
On reprend le même polygone de contraintes qu’en a et on trace la droite baladeuse associée à la nouvelle fonction à maximiser :
Le sommet C correspond à la solution optimale.
Pour maximiser les revenus, il faut produire 50 kg de cheddar et 30 kg de brie.
c) La fonction à maximiser est P = 16x + 14y.
On reprend le même polygone de contraintes qu’en a et on trace la droite baladeuse associée à la nouvelle fonction à maximiser :
Quantité de cheddar (kg)
Qua
ntit
é de
bri
e (k
g)
La production de fromage
105 15 25 35 45 55 65 7520 30 40 50 600
10
5
15
25
35
45
55
65
75
20
30
40
50
60
70 80
70
80
A B
C
D
F
E
Quantité de cheddar (kg)
Qua
ntit
é de
bri
e (k
g)
La production de fromage
105 15 25 35 45 55 65 7520 30 40 50 600
10
5
15
25
35
45
55
65
75
20
30
40
50
60
70 80
70
80
A B
C
DE
F
Le sommet C correspond à la solution optimale.
Pour maximiser les profits, il faut produire 50 kg de cheddar et 30 kg de brie.
Manuel • p. 63
27. Sur les ailes d’Air Fleurdelisé (1)
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : faible
a) R = 75x + 15y
b) On trace le polygone de contraintes qui repré-sente la situation :
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x + y = 720 et x = 240. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 100x + 20y = 36 000 et x + y = 720. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation 100x + 20y = 36 000 et y = x + 120. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation x = 240 et y = x + 120.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(240, 480), B(270, 450), C(280, 400) et D(240, 360).
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(240, 480) : R = 75(240) + 15(480) = 25 200
B(270, 450) : R = 75(270) + 15(450) = 27 000
C(280, 400) : R = 75(280) + 15(400) = 27 000
D(240, 360) : R = 75(240) + 15(360) = 23 400
La solution optimale, soit 27 000 $, correspond aux sommets B et C ainsi qu'à tous les points situés sur la droite BC.
Ainsi, le prix en classe économique pourrait varier de 270 $ à 280 $ et celui en classe affaires devrait alors prendre la bonne valeur parmi celles comprises entre 400 $ et 450 $.
c) Le revenu maximal serait de 27 000 $.
28. Sur les ailes d’Air Fleurdelisé (2)
Modification des conditions d’une situation
Niveau de difficulté : faible
a) On reprend les sommets trouvés à la question 27. La règle de la nouvelle fonction à maximiser est R = 80x + 10y.
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(240, 480) : R = 24 000 $
B(270, 450) : R = 26 100 $
C(280, 400) : R = 26 400 $
D(240, 360) : R = 22 800 $
L’hypothèse de Gabrielle a un effet sur les prix optimaux et le revenu généré par le vol. Le prix d’un siège en classe économique devrait être de 280 $ et celui d’un siège en classe affaires devrait être de 400 $. Le revenu maximal serait alors de 26 400 $.
b) On ajoute la nouvelle contrainte y > = 425 dans le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des nouveaux sommets sont A(240, 480), B(270, 450), C(275, 425) et D(240, 425).
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(240, 480) : R = 80(240) + 10(480) = 24 000
B(270, 450) : R = 80(270) + 10(450) = 26 100
C(275, 425) : R = 80(275) + 10(425) = 26 250
D(240, 425) : R = 80(240) + 10(425) = 23 450
La solution optimale correspond au sommet C et à un revenu de 26 250 $. L’ajout de la contrainte du directeur diminue de 150 $ les revenus maximaux.
b) On ajoute la nouvelle contrainte y > = 425 dans le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des nouveaux sommets sont A(240, 480), B(270, 450), C(275, 425) et D(240, 425).
On évalue la fonction à maximiser pour chacun des sommets :
A(240, 480) : R = 80(240) + 10(480) = 24 000
B(270, 450) : R = 80(270) + 10(450) = 26 100
C(275, 425) : R = 80(275) + 10(425) = 26 250
D(240, 425) : R = 80(240) + 10(425) = 23 450
La solution optimale correspond au sommet C et à un revenu de 26 250 $. L’ajout de la contrainte du directeur diminue de 150 $ les revenus maximaux.
Manuel • p. 64
29. Consommation d’essence
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation
Niveau de difficulté : moyen
a) L’objectif est de minimiser la consommation hebdomadaire d’essence de la voiture de Sandra.
x : le nombre de kilomètres parcourus en ville y : le nombre de kilomètres parcourus sur
l’autoroute
La règle de la fonction à minimiser est
C = 7,5100
x + 6100
y.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0
y ≥ 0
x + y ≥ 300
x + y ≤ 500
x ≤ 3y
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Les coordonnées des sommets A et D peuvent être lues directement sur le graphique.
Le sommet B est le point de rencontre des droites d’équation x + y = 500 et x = 3y. Le sommet C est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x + y = 300 et x = 3y.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 500), B(375, 125), C(225, 75) et D(0, 300).
100 200 300 400 500 6000
100
200
300
400
500
600
Nombre de kilomètresparcourus en ville
Nom
bre
de k
ilom
ètre
spa
rcou
rus
sur
l’aut
orou
te
La voiture de Sandra
A
B
C
D
On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets :
A(0, 500) : C = 7,5100
(0) + 6100
(500) = 30
B(375, 125) : C = 7,5100
(375) + 6100
(125)
= 35,625
C(225, 75) : C = 7,5100
(225) + 6100
(75) = 21,375
D(0, 300) : C = 7,5100
(0) + 6100
(300) = 18
La solution optimale correspond au sommet D. Au minimum, la voiture de Sandra consomme 18 L d’essence par semaine.
b) Cette consommation correspond à 0 km en ville et à 300 km sur l’autoroute.
c) La nouvelle règle de la fonction à minimiser est
C = 8,5100
x + 7100
y.
On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets :
A(0, 500) : C = 8,5100
(0) + 7100
(500) = 35
B(375, 125) : C = 8,5100
(375) + 7100
(125) = 40,625
C(225, 75) : C = 8,5100
(225) + 7100
(75) = 24,375
D(0, 300) : C = 8,5100
(0) + 7100
(300) = 21
La réponse en a est modifiée. Au minimum, la voiture de Sandra consomme 21 L au lieu de 18 L. La réponse en b reste la même.
30. Bon voyage !
Recherche de la solution optimale, modification des conditions d’une situation
Niveau de difficulté : faible
a) L’objectif est de minimiser le coût du voyage.
La règle de la fonction à minimiser est C = 40x + 60y.
On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets :
A(12, 12) : C = 40(12) + 60(12) = 1 200
B(15, 6) : C = 40(15) + 60(6) = 960
C(24, 6) : C = 40(24) + 60(6) = 1 320
La solution optimale correspond au sommet B. Lucie parcourra 1 500 km en six jours pour un coût de 960 $.
b) Les réponses ne seraient pas différentes, car on retirerait le sommet C et on ajouterait les coor-données des deux nouveaux sommets, soit D(20, 6) et E(20, 20). Ce serait toujours le sommet B qui correspondrait à la solution optimale.
c) En ajoutant la nouvelle contrainte, le sommet B ne ferait plus partie du nouveau polygone de contrain-tes. Il y aurait un nouveau sommet F(13, 10) qui est le point de rencontre des droites d’équation y = 10 et y = –2x + 36.
On évalue la fonction à minimiser pour le nouveau sommet :
F(13, 10) : C = 40(13) + 60(10) = 1 120
Elle parcourrait 1 300 km en 10 jours et le voyage lui coûterait 1 120 $.
Manuel • p. 65
31. Inégalités du triangle
Contraintes d'un problème, polygone de contraintes, coordonnées des sommets du polygone de contraintes
Niveau de difficulté : élevé
Dans cette situation, la mesure des trois côtés du terrain triangulaire est inconnue. Par contre, il y a une relation entre la mesure des deux côtés : un côté mesure le double de l’autre. On représente un des côtés ayant cette relation par x et l’autre, par 2x. On représente le troisième côté par y. Les variables de la situation sont donc les suivantes.
x : la mesure d’un côté du terrain (m) y : la mesure du troisième côté du terrain (m)
On représente la situation par le système d’inéquations suivant, sachant que la situation met en relation la mesure de chacun des côtés d’un terrain triangulaire, le périmètre du terrain et la propriété voulant que la somme des mesures de n’importe quelle paire de côtés de tout triangle est toujours plus grande que la mesure du troisième côté.
x > 0
y > 0
80 ≤ 3x + y ≤ 100
x + 2x > y ou 3x > y
x + y > 2x ou y > x
2x + y > x ou y > –x
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
105 15 25 35 45 5520 30 40 50 600
10
5
15
25
35
45
55
20
30
40
50
60
Mesure d’un côté du terrain (m)
Mes
ure
du t
rois
ièm
e cô
té d
u te
rrai
n (m
) Un terrain triangulaire
D
A
B
C
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation 3x = y et 3x + y = 80. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x = y et 3x + y = 80. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation x = y et 3x + y = 100. Enfin, le sommet D est le point de ren-contre des droites d’équation 3x = y et 3x + y = 100.
Les coordonnées des sommets du polygone
de contraintes sont A(403
, 40), B(20, 20), C(25, 25)
et D(503
, 40). Dans la détermination des mesures de côtés, on doit
tenir compte du fait qu’aucun sommet du polygone de contraintes ne fait partie de la région-solution. Le troisième côté, représenté par la variable y, peut prendre toutes les valeurs, en mètres, qui se situent dans l’intervalle ]20, 50[. Sachant cela, on peut associer ces valeurs aux bonnes mesures pour les deux autres côtés du terrain triangulaire pour que les contraintes soient respectées.
32. Des réparations urgentes
Contraintes d'un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale, modification des conditions d'une situation
Niveau de difficulté : moyen
Pour être en mesure de vérifier l’affirmation de Bernard, on doit d’abord définir les variables de la situation, puis la traduire à l’aide d’un système d’inéquations du premier degré à deux variables en tenant compte des contraintes de temps et de budget.
x : le nombre de réparations effectuées par Laflèche Électrique inc.
y : le nombre de réparations effectuées par Électricité 100 watts inc.
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
Le sommet A est le point de rencontre des droites d’équation x = 30 et 150x + 250y = 15 000. Le sommet B est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x = 30 et y = 0. Le sommet C est le point de rencontre des droites d’équation x = 60 et y = 0. Enfin, le sommet D est le point de rencontre des droites d’équation 150x + 250y = 15 000 et x = 60.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(30, 42), B(30, 0), C(60, 0) et D(60, 24).
On calcule, pour chaque sommet, le nombre total de réparations et le budget correspondant.
Sommet A Nombre de réparations effectuées : 30 + 42 = 72 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 42 = 15 000
Sommet B Nombre de réparations effectuées : 30 + 0 = 30 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 0 = 4 500
Sommet C Nombre de réparations effectuées : 60 + 0 = 60 Budget correspondant : 150 • 60 + 250 • 0 = 9 000
Sommet D Nombre de réparations effectuées : 60 + 24 = 84 Budget correspondant : 150 • 60 + 250 • 24 = 15 000
Nombre de réparations effectuées par Laflèche Électrique inc.
65
707580
85
Des réparations urgentes
Nom
bre
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inc.
A
B C
D
Selon les contraintes actuelles de la situation, il n’est effectivement pas possible d’atteindre l’objectif de 90 réparations à faire en quatre jours sans dépenser plus de 15 000 $. En fait, il n’est possible de faire que 84 réparations au maximum, c’est-à-dire 60 réparations effectuées par Laflèche Électrique inc. et 24 réparations effectuées par Électricité 100 watts inc.
On doit donc modifier les contraintes de temps ou de budget pour atteindre l’objectif, qui est d’effectuer 90 réparations. On commence par modifier la contrainte de temps en ajoutant une journée de plus à l’échéancier des travaux, qui seraient terminés en cinq jours plutôt qu’en quatre. On traduit la situation avec la nouvelle contrainte de temps par un système d’inéquations et on trace le polygone de contraintes qui représente la situation modifiée.
x : le nombre de réparations effectuées par Laflèche Électrique inc.
y : le nombre de réparations effectuées par Électricité 100 watts inc.
x ≥ 0
y ≥ 0
30 ≤ x ≤ 75
y ≤ 100
150x + 250y ≤ 15 000
Les coordonnées des sommets E et F sont les mêmes que celles des sommets A et B du polygone de contraintes de la situation initiale, soit E(30, 42) et F(30, 0).
Le sommet G est le point de rencontre des droites d’équation x = 75 et y = 0. Le sommet H est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation 150x + 250y = 15 000 et x = 75.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont E(30, 42), F(30, 0), G(75, 0) et H(75, 15).
On calcule, pour chaque sommet, le nombre total de réparations et le budget correspondant :
Sommet E Nombre de réparations effectuées : 30 + 42 = 72 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 42 = 15 000
Sommet F Nombre de réparations effectuées : 30 + 0 = 30 Budget correspondant : 150 • 30 + 250 • 0 = 4 500
Sommet G Nombre de réparations effectuées : 75 + 0 = 75 Budget correspondant : 150 • 75 + 250 • 0 = 11 250
Sommet H Nombre de réparations effectuées : 75 + 15 = 90 Budget correspondant : 150 • 75 + 250 • 15 = 15 000
En modifiant la contrainte de temps, soit en passant de quatre à cinq jours pour effectuer les travaux, l’objectif de 90 réparations est atteint. Laflèche Électrique inc. effectuera 75 réparations et Électricité 100 watts inc. effectuera 15 réparations, pour un total de 90 réparations. Le tout coûtera 15 000 $, ce qui correspond au budget alloué.
On peut également modifier la contrainte de budget en augmentant le budget total alloué aux réparations pour que les 90 réparations soient faites en quatre jours, tout en conservant ce budget à son minimum. On traduit la situation modifiée à l’aide d’un système d’inéquations du premier degré en tenant compte de cette nouvelle contrainte et on trace le polygone de contraintes qui représente la situation modifiée :
x : le nombre de réparations effectuées par Laflèche Électrique inc.
y : le nombre de réparations effectuées par Électricité 100 watts inc.
x ≥ 0
y ≥ 0
30 ≤ x ≤ 60
y ≤ 80
x + y ≥ 90
Le sommet I est le point de rencontre des droites d’équation y = 80 et x = 30. Le sommet J est, pour sa part, le point de rencontre des droites d’équation x + y = 90 et x = 30. Le sommet K est le point de rencontre des droites d’équation x = 60 et x + y = 90. Enfin, le sommet L est le point de rencontre des droites d’équation x = 60 et y = 80.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont I(30, 80), J(30, 60), K(60, 30) et L(60, 80).
L’objectif est de minimiser la valeur du budget selon le nombre de réparations à effectuer par chaque compagnie. La fonction à minimiser est B = 150x + 250y.
On calcule, pour chaque sommet, le nombre total de réparations et le budget correspondant :
Contraintes d’un problème, polygone de contraintes, recherche de la solution optimale
Niveau de difficulté : moyen
L’objectif est de minimiser le coût total associé au transport des vélos.
x : le nombre de vélos qui partent de l’usine A vers Montréal
y : le nombre de vélos qui partent de l’usine B vers Montréal
350 – x : le nombre de vélos qui partent de l’usine A vers Québec
250 – y : le nombre de vélos qui partent de l’usine B vers Québec
La règle de la fonction à minimiser est C = 7x + 8y + 4(350 – x) + 6(250 – y) ou C = 3x + 2y + 2 900.
Le système d’inéquations traduisant les contraintes de la situation est le suivant.
x ≥ 0
y ≥ 0
x + y ≥ 200
(350 – x) + (250 – y) ≥ 200
On trace le polygone de contraintes qui représente la situation :
100 200 300 400 500 6000
100
200
300
400
500
600
Nombre de vélos qui partent de l’usine Avers Montréal
Nom
bre
de v
élos
qui
par
tent
de
l’usi
ne B
vers
Mon
tréa
l La production de vélos
A
BC
D
Les coordonnées des sommets A, B, C et D peuvent être lues directement sur le graphique.
Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont A(0, 400), B(400, 0), C(200, 0) et D(0, 200).
On évalue la fonction à minimiser pour chacun des sommets :
A(0, 400) : C = 3(0) + 2(400) + 2 900 = 3 700
B(400, 0) : C = 3(400) + 2(0) + 2 900 = 4 100
C(200, 0) : C = 3(200) + 2(0) + 2 900 = 3 500
D(0, 200) : C = 3(0) + 2(200) + 2 900 = 3 300
La solution optimale, soit 3 300 $, correspond au sommet de coordonnées D(0, 200).
Caroline devrait envoyer 200 vélos de l’usine B vers l’entrepôt de Montréal, aucun vélo de l’usine A vers Montréal, 350 vélos de l’usine A vers Québec et 50 vélos de l’usine B vers Québec pour minimiser les coûts reliés au transport.