CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE PARTIE I. 40 MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE 1. Introduction Le chapitre II présente des modèles d’hystérésis existants mais limités. Ce chapitre est consacré à la formulation d'un modèle d’hystérésis original bien adapté aux boucles efforts- déflexion et qui se couple aux équations différentielles du mouvement de systèmes et de structure par le biais de l’effort de restitution. L'isolation vibratoire fait largement appel à la suspension passive composée d’amortisseurs qui peuvent avoir une conception complexe agençant parties élastomère, métalliques, voire fluides, etc. Leurs comportements dynamiques sont non linéaires, les non linéarités géométriques et matériels dépendent, naturellement, de la conception, mais également des paramètres, tels que température, amplitude de déflexion, charge initiale, et types d'excitation [15, 17, 58, 59, 109]. D’un point de vue général, un amortisseur fournit une force de restitution, qui ne peut pas être déterminée par la seule connaissance de la variable de déflexion. Ceci caractérise le phénomène d'hystérésis. Aux modèles précédemment étudiés on peut rajouter les travaux de Inaudi et Kelly [93] qui ont étudié l'amortissement d’hystérésis avec un modèle indépendant de fréquence. Baber et Noori [27] modélisent le comportement par hystérésis sous excitation aléatoire. Ko et al [102], Wong et autres [184], et Ni et autres [139] ont étudié numériquement et expérimentalement le comportement des isolants de fil-câble avec frottement sec, tandis que Mallik et autres [127] se concentraient sur modeler des isolants d'élastomère. Les travaux menés dans le laboratoire pour modéliser des amortisseurs ont concernés des modèles ‘raideur’ spécifiques au type d'excitation [58, 67, 78], voir également la synthèse sur la modélisation de l’amortissement par Lalanne [109]. Ces modèles sont limités car établis pour des applications spécifiques au type de comportements et au type d'excitations. Ainsi il est logique de vouloir formuler un modèle général original qui tient compte en particulier des linéarités et de la dissipation contre la phénomène de déflexion. Le modèle proposé est présenté en utilisant des fonctions régissant un opérateur d’entrée et de sortie, dépendante chacune de la force de restitution et de la déflexion. La formulation mathématique est démontrée en employant les conditions de Lipschitz. Par la suite le modèle est appliqué aux amortisseurs académiques et industriels de différents comportements. Enfin les réponses calculées et mesurées concernent une structure souple équipée de différents type de plot.
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CHAPITRE III – MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
PARTIE I. 40
MODELE D’HYSTERESIS PROPOSE
1. Introduction
Le chapitre II présente des modèles d’hystérésis existants mais limités. Ce chapitre est
consacré à la formulation d'un modèle d’hystérésis original bien adapté aux boucles efforts-
déflexion et qui se couple aux équations différentielles du mouvement de systèmes et de
structure par le biais de l’effort de restitution.
L'isolation vibratoire fait largement appel à la suspension passive composée
d’amortisseurs qui peuvent avoir une conception complexe agençant parties élastomère,
métalliques, voire fluides, etc. Leurs comportements dynamiques sont non linéaires, les non
linéarités géométriques et matériels dépendent, naturellement, de la conception, mais également
des paramètres, tels que température, amplitude de déflexion, charge initiale, et types
d'excitation [15, 17, 58, 59, 109].
D’un point de vue général, un amortisseur fournit une force de restitution, qui ne peut pas
être déterminée par la seule connaissance de la variable de déflexion. Ceci caractérise le
phénomène d'hystérésis. Aux modèles précédemment étudiés on peut rajouter les travaux de
Inaudi et Kelly [93] qui ont étudié l'amortissement d’hystérésis avec un modèle indépendant de
fréquence. Baber et Noori [27] modélisent le comportement par hystérésis sous excitation
aléatoire. Ko et al [102], Wong et autres [184], et Ni et autres [139] ont étudié numériquement
et expérimentalement le comportement des isolants de fil-câble avec frottement sec, tandis que
Mallik et autres [127] se concentraient sur modeler des isolants d'élastomère.
Les travaux menés dans le laboratoire pour modéliser des amortisseurs ont concernés des
modèles ‘raideur’ spécifiques au type d'excitation [58, 67, 78], voir également la synthèse sur la
modélisation de l’amortissement par Lalanne [109]. Ces modèles sont limités car établis pour
des applications spécifiques au type de comportements et au type d'excitations. Ainsi il est
logique de vouloir formuler un modèle général original qui tient compte en particulier des
linéarités et de la dissipation contre la phénomène de déflexion.
Le modèle proposé est présenté en utilisant des fonctions régissant un opérateur d’entrée
et de sortie, dépendante chacune de la force de restitution et de la déflexion. La formulation
mathématique est démontrée en employant les conditions de Lipschitz. Par la suite le modèle
est appliqué aux amortisseurs académiques et industriels de différents comportements. Enfin les
réponses calculées et mesurées concernent une structure souple équipée de différents type de
plot.
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2. Modèle d'hystérésis proposé
En génie mécanique nombre de composants ont un comportement d’hystérésis décrit par
une boucle de force-déflexion avec diverses formes : assouplissement (softening), raidissement
(hardening) ou une combinaison de tous les deux. Aussi un modèle d'hystérésis général doit
pouvoir respecter ces types de comportement et des fondements mathématiques.
L'idée du modèle proposé vient du modèle de Dahl, présenté au chapitre précédent, et où
les courbes enveloppe (ou frontière) sont réduites à des droites horizontales et indépendantes du
temps et de la vitesse ; la déflexion et la force de restitution y sont les fonctions d'entrée et de
sortie. Seule la forme assouplissement peut être retranscrite. Ces caractéristiques limitent le
modèle de Dalh.
Aussi le modèle proposé est bordé par deux courbes enveloppes qui peuvent dépendre du
temps et de la vitesse. En outre, afin de coller aux formes de comportement, un opérateur
d'hystérésis est établi comme suit :
Soient les fonctions scalaires p et q, combinaisons linéaires de la force de restitution R et
de la déflexion u de l’amortisseur [14, 15] :
( )kuRR
p )1(1
0
λλ −+−= , (1)
( )kuRR
q λλ −−= )1(1
0
, (2)
où R0 est une force de référence, k > 0 a la dimension d'une raideur, et λ est défini dans
l'intervalle (0, 1). Les fonctions d’entrée et de sortie sont respectivement p et q. La construction
de l'opérateur nécessite les suppositions suivantes:
1- La quantité dp
dq est indépendante de l’origine de p (l'espace étant isotrope).
2- La quantité dp
dq toujours positive quand 0
dt
dp > implique 0dt
dq ≥ . Par conséquent un
effet de rigidité est recherché plutôt qu'un effet de viscosité.
3- q est assujetti à rester dans les courbes enveloppes définies par :
( ) )p(sgn)p(sgn,ph =γ , (3)
où la courbe enveloppe h est positive et dt
d=• . Ainsi le modèle a l'expression suivante :
( )µα )(- psgnqhdt
dp
dt
dq= , (4)
avec :
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PARTIE I. 42
1. α , constante d'énergie de dissipation,
2. k, constante de grandeur,
3. µ , constante du comportement de la boucle,
4. λ , constante définissant le comportement général. 0=λ fournit au modèle un
comportement raidissement pur tandis que 1=λ un assouplissement.
L'originalité du modèle proposé réside dans l'utilisation de courbes enveloppes
dépendantes du temps et de la vitesse, les constantes, α , µ et k ayant un rôle bien défini.
3. Validation mathématique du modèle
Il s’agit de démontrer que le modèle proposé satisfait le théorème d'hystérésis de
Pokrovskii, [104, 152] (l’opérateur d’hystérésis est dérivable et borné) et de prouver l’existence
et l’unicité de la solution quand l’opérateur d’hystérésis est couplé aux équations du
mouvement d’une structure.
3.1 Dérivabilité et bornes de l’opérateur d’hystérésis
Le théorème d'hystérésis de Pokrovskii est limité au comportement stationnaire
d'hystérésis il est tout d’abord proposé de l’appliquer à des courbes enveloppes qui ne
dépendent que de la fonction d’entrée p et du signe de sa vitesse, puis de le généraliser aux
comportements qui dépendent légèrement de tp, .
3.1.1 Les courbes enveloppes dépendent de p et du signe de sa vitesse
Dans le plan (p, q), il est supposé que +− γγ , sont les courbes enveloppes supérieure et
inférieure de la boucle (voir la Figure II.4), et +− φφ , soit les courbes gauches et droites de la
boucle d'hystérésis. Les courbes doivent satisfaire la condition de Lipshitz (fonctions dérivables
et bornées). L'équation définie par Pokrovskii peut être exprimée comme :
( )( )psgn,q,pgdt
dp
dt
dq= , (5)
qui, comparée à l'équation (4), amène :
( )( ) ( )µ)p(qsgnhpsgn,q,pg -.= . (6)
Un opérateur général doit avoir des courbes enveloppes +− γγ , qui dépendent de p. Ainsi:
h−=−γ , et h+=+γ , (7)
où
hpsgn )( =γ et ( )( )psgnphh ,= , (8)
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ainsi, selon (6):
( )µαφ )(),( psgnqhqp −= , (9)
d’où
( )µαφ q)1,p(h)q,p( −+=+ , (10)
et
( )µαφ q)1,p(h)q,p( +−=− . (11)
Afin de vérifier que +φ , par exemple, vérifie la première condition de Lipschitz, voir