Chapitre II Rappels sur les lois fondamentales de l’électricité 1 II.1 Introduction au Circuit électrique : Un circuit électrique est composé au minimum d’un générateur et d’un récepteur (résistance, bobine, condensateur, lampe, moteur…) et des fils de liaison. Le générateur est la source d’énergie et le récepteur convertit l’énergie électrique en exploitant les effets du courant électrique (effets calorifiques, lumineux, chimiques, etc. II.2. Régime continu On appelle régime continu un régime dans lequel les intensités des courants électriques à travers les différentes branches du circuit ont une valeur constante. Exemple: I= 8A II.3. Notion de dipôle Un dipôle est un composant électrique possédant deux pôles. Il est caractérisé par deux grandeurs électriques : U et I. Il y’a Différents types de dipôles : Dipôles actifs : c'est l'équivalent d'une source d'énergie (courant ou tension) GENERATEUR. Dipôles passifs : décrivent des phénomènes physiques( résistance, condensateur et bobine) II.4. Association des dipôles A. Association en Série : un couplage série est un couplage de deux (ou plus) composants parcourus par le même courant R2 E K A C B D R1 G E D Figure II.1. (a et b) Circuits électriques A A B B Z1 Z2 Z3 Zeq U1 U2 U3 I I UAB UAB Chapitre II Rappels sur les lois fondamentales de l’électricité
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Chapitre II Rappels sur les lois fondamentales de l’électricité
1
II.1 Introduction au Circuit électrique :
Un circuit électrique est composé au minimum d’un générateur et d’un récepteur (résistance,
bobine, condensateur, lampe, moteur…) et des fils de liaison. Le générateur est la source
d’énergie et le récepteur convertit l’énergie électrique en exploitant les effets du courant
électrique (effets calorifiques, lumineux, chimiques, etc.
II.2. Régime continu
On appelle régime continu un régime dans lequel les intensités des courants électriques à
travers les différentes branches du circuit ont une valeur constante.
Exemple: I= 8A
II.3. Notion de dipôle
Un dipôle est un composant électrique possédant deux pôles. Il est caractérisé par deux
grandeurs électriques : U et I. Il y’a Différents types de dipôles :
Dipôles actifs : c'est l'équivalent d'une source d'énergie (courant ou tension)
GENERATEUR.
Dipôles passifs : décrivent des phénomènes physiques( résistance, condensateur et
bobine)
II.4. Association des dipôles
A. Association en Série : un couplage série est un couplage de deux (ou plus) composants
parcourus par le même courant
R2
E
K A C
B D
R1 G
E
D Figure II.1. (a et b) Circuits électriques
A A B B
Z1 Z2 Z3 Zeq
U1 U2 U3
I I
UAB
UAB
Chapitre II Rappels sur les lois fondamentales de l’électricité
Chapitre II Rappels sur les lois fondamentales de l’électricité
2
Loi d’Ohm : 𝑈1 = 𝑍1. 𝐼, 𝑈2 = 𝑍2. 𝐼, 𝑈3 = 𝑍3. 𝐼
𝑈𝐴𝐵 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3
B. Association en Parallèle : Un couplage parallèle est un couplage de deux (ou plus)
composant reliés à chacune de leurs extrémités aux mêmes potentiels
En effet 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 =𝑈𝐴𝐵
𝑍1+
𝑈𝐴𝐵
𝑍2+
𝑈𝐴𝐵
𝑍3⟹ 𝑈𝐴𝐵 × (
1
𝑍1+
1
𝑍2+
1
𝑍3) = 𝐼 =
𝑈𝐴𝐵
𝑍𝑒𝑞
II.5.Régime harmonique (Sinusoïdale)
On appelle régime sinusoïdal (ou régime harmonique) l'état d'un système pour lequel la
variation dans le temps des grandeurs le caractérisant est sinusoïdale. Le circuit électrique,
dans ce cas, est alimenté par une tension alternative sinusoïdale V(t) et parcouru par un
courant alternatif sinusoïdal I(t).
Exemple :
Calculer la résistance équivalente de deux résistances R1= 20Ω et R2= 10Ω placées en
parallèles.
𝑍1 = 𝑅1 = 20Ω, 𝑍2 = 𝑅2 = 10Ω
𝒁𝑻 = 𝒁𝟏//𝒁𝟐 Alors 𝟏
𝒁𝑻=
𝟏
𝒁𝟏+
𝟏
𝒁𝟐=
𝒁𝟏+𝒁𝟐
𝒁𝟏×𝒁𝟐⟹ 𝒁𝑻 =
𝒁𝟏×𝒁𝟐
𝒁𝟏+𝒁𝟐=
𝟐𝟎×𝟏𝟎
𝟐𝟎+𝟏𝟎= 𝟔. 𝟔𝟔𝛀
I1 I2 I3 I
UAB Z1 Z2 Z3
A
B
UAB Zeq
A
B
I
Note : Un couplage série est un couplage de deux (ou plus) composants parcourus par le
même courant.
Note : Un couplage parallèle est un couplage de deux (ou plus) composant relié à chacune
de leur extrémités aux mêmes potentiels.
Exemple:
Calculer la résistance équivalente de deux résistances R1= 20Ω et R2= 10Ω placées en série.
𝑍1 = 𝑅1 = 20Ω, 𝑍2 = 𝑅2 = 10Ω
Zt= Z1+Z2= 20+10=30Ω
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II. 5.1. Courant alternatif
Un courant alternatif sinusoïdal est un courant bidirectionnel périodique. Il en est de même
pour une tension alternative sinusoïdale.
S'il s'agit d'une tension, elle a pour expression: 𝑈(𝑡) = 𝑈𝑀𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢)
S'il s'agit d'un courant, il a pour expression: 𝐼(𝑡) = 𝐼𝑀𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)
Avec:
u(t) : Valeur instantanée,
UM :Valeur maximale(V),
(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢) Phase instantanée (rd),
𝜑𝑢Déphasage par rapport à l’origine de phase,
)( Pulsation (rd/s).
On définit :
* La période T en seconde (s) avec : T= 2π/ω
* La fréquence f en Hz avec : f =1/T=ω/2π (la fréquence est le nombre de fois que le courant
se produit identiquement à lui-même dans une seconde,
∆𝜑 = 𝜑𝑖 − 𝜑𝑢 est le déphasage entre
le courant et la tension
.
II. 5.1.1.Valeurs moyennes et efficaces du courant sinusoïdal
Soit : 𝐼(𝑡) = 𝐼𝑀𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
A) Intensité moyenne :
0cost cos T
It cos
T
Idt t sinI
T
1dt)t(i
T
1I M
T
0
M
T
0
M
T
0
moy
RECEPTEUR
I(t)
V(t)
U(t)
I(t)i
𝜑𝑢
𝜑𝑖
∆𝜑
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= −𝐼𝑀
2𝜋[1 − 1] = 0
B) Intensité efficace :
C)
dt t sinIT
2dt)t(I
T
2dt )t(I
T
1I
2/T
0
22
M
2/T
0
2
T
0
22
eff
0
2
T 2sin
2
1
2
T
T
I
2
t 2sint
T2
I2dt
2
t 2cos1
T
I2 2
M
2/T
0
2
M
T
0
2
M
2
II
2
1I M
effM
De même pour la tension :2
V ,2
effMmoy
moy
VVV
II.6. Représentation de Fresnel :
Soit le signal:
)sin(2)sin()( tStStS effM
X
Y
M (t=0)
M1 (t=t1)
𝜑
𝜔𝑡1 + 𝜑
𝜔
Représentation de Fresnel
Exemple: Soit un courant alternatif I(t)= 20𝑠𝑖𝑛(314𝑡 +𝜋
6)
Donner la valeur maximale, la valeur efficace, la pulsation, la période, la fréquence et la valeur
moyenne.
𝐼𝑀𝑎𝑥 = 20𝐴, 𝐼𝑒𝑓𝑓 =20
√2= 14.14𝐴, 𝜔 = 314 𝑟𝑎𝑑/𝑠, 𝑇 =
2𝜋
𝜔= 0.02 𝑠, 𝑓 =
1
𝑇= 50𝐻𝑧, 𝐼𝑀𝑜𝑦 = 0
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Ce signal peut être représenté par un vecteur OM de module Seff2 placé par rapport à OX origine
des phases, tel que )OMetOxentreangle
Le vecteur OM tourne avec une vitesse ω constante dans le sens trigonométrique, L'intérêt de la
représentation de Fresnel c'est de séparer la partie temporelle (ωt) de la partie de phase 𝜑
II.7.Application des nombres complexes à l’électrotechnique :
II.7.1.Représentation complexe des grandeurs électriques
a) Tensions sinusoïdales :
Une tension sinusoïdale est de la forme
𝑢(𝑡) = 𝑈√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢)
Qu’on peut l’écrire sous forme exponentielle
𝑈 = 𝑈𝑒𝑗𝜑𝑢
Avec U : valeur efficace,
𝜑𝑢: phase de la tension
𝜔 = 2𝜋𝑓 Pulsation f: fréquence
b) Courants sinusoïdaux:
Le courant, il est de la forme
𝐼(𝑡) = 𝐼√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)
On peut l’écrire sous forme exponentielle
𝐼 = 𝐼𝑒𝑗𝜑𝑖
II.7.2.Impédances et admittances complexes
Si on considère un dipôle.
Exemple : Faites la Représentation de Fresnel du courant alternatif i(t)= 20𝑠𝑖𝑛(314𝑡 +𝜋
6)
𝜋
6
14.14 𝐼
𝑍 𝐼
𝑈
U(t)
t 𝜑𝑢
I(t)
t 𝜑𝑖
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6
U(t)
I R
L’impédance complexe d’un dipôle en régime sinusoïdal est le rapport entre la tension
aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse:
𝑍 =𝑈
𝐼=
𝑈
𝐼𝑒(𝜑𝑢−𝜑𝑖) ce qui donne 𝑍 = 𝑍𝑒𝜑 avec 𝑍 =
𝑈
𝐼 et 𝜑 = 𝜑𝑢 − 𝜑𝑖
L'impédance Z est exprimée en ohms (Ω),
φ : est le déphasage entre la tension aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse (en rad).
Sous forme cartésien on peut écrire 𝑍 = 𝑍𝑒𝜑 = 𝑅 + 𝑗𝑋 = |𝑍|[𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜑]
R : Résistance 𝑅 = |𝑍|𝑐𝑜𝑠𝜑 , |𝑍| = √𝑅2 + 𝑋2
X : Réactance X = |𝑍|𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝐴𝑟𝑔(𝑍) = arctan (𝑋
𝑅)
L’admittance complexe d’un dipôle en régime sinusoïdal est le rapport entre le
courant et la tension:
𝑌 =1
𝑍=
1
𝑍𝑒−𝜑 ce qui donne 𝑌 = 𝑌𝑒−𝜑 avec 𝑌 =
1
𝑍
L'admittance 𝑌est exprimée en siemens (S)
Sous forme cartésien on peut écrire 𝑌 = 𝑌𝑒−𝜑 = 𝐺 + 𝑗𝐵
G : Conductance 𝐺 = 𝑌𝑐𝑜𝑠𝜑 |𝑌| = √𝐺2 + 𝐵2
B : Susceptance B = −𝑌𝑠𝑖𝑛𝜑 = arctan (−𝐵
𝐺)
Loi d’Ohm en régime sinusoïdal
𝑈 = 𝑍 × 𝐼 𝐼 = 𝑌 × 𝑈
1I.7.3.Dipôles élémentaires (RLC)
Pour la suite on pose: 𝑢(𝑡) = 𝑈√2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢)
En coordonnées polaires 𝑈 = 𝑈√2𝑒𝑗𝜑𝑢
I1.7.3.1 Cas d’une résistance ohmique
D’après la loi d’ohm :
𝑈(𝑡) = 𝑅. 𝐼(𝑡)
Alors : I(𝑡) =𝑈√2 sin(𝜔𝑡+𝜑𝑢)
𝑅=
𝑈
𝑅√2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢)
Donc 𝑍 =𝑈
𝐼=
𝑈√2𝑒𝑗𝜑𝑢
𝑈
𝑅√2𝑒𝑗𝜑𝑢
= 𝑅𝑒𝑗0 donc :
L'expression instantanée du courant I est :
𝐼(𝑡) =𝑈
𝑅√2 sin ωt = Ieff√2 sinωt (La tension est à l’origine des phases𝜑𝑢 = 0)
𝒁𝑹 = 𝑹 𝒆𝒕 𝐚𝐫𝐠(𝒁𝑹) = 𝟎
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L’impédance résistive est purement réelle et la tension et le courant sont en phase
l’admittance est 𝑌 =1
𝑍=
1
𝑅
II.7.3.2 Cas d’un condensateur
D’après la loi d’ohm 𝑢(𝑡) =1
𝑐∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖(𝑡) = 𝑐𝑑
𝑑𝑡(𝑈√2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢))
Alors 𝑖(𝑡) = 𝐶𝜔𝑈√2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢) = 𝑐𝜔𝑈√2 sin (𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 +𝜋
2)
Donc 𝑍 =𝑈
𝐼=
𝑈√2𝑒𝑗𝜑𝑢
𝐶𝜔𝑈√2𝑒𝑗𝜑𝑢+
𝜋2
=1
𝐶𝜔𝑒−𝑗
𝜋
2
L’impédance capacitive est imaginaire pure de réactance capacitive𝑋𝐶 =−1
𝐶𝜔
Le courant est en quadrature avance par rapport à la tension de 2
donc 𝑈 = −𝑗
1
𝐶𝜔𝐼
L'expression instantanée du courant I est :
𝐼(𝑡) = 𝑐𝜔𝑈√2 sin (𝜔𝑡 +𝜋
2) = Ieff√2 sin (𝜔𝑡 +
𝜋
2) (La tension est à l’origine des
phases𝜑𝑢 = 0)
II.7.3.3 Cas d’une Bobine
D’après la loi d’ohm : 𝑢(𝑡) = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑈 𝐼
𝒛𝑪 = −𝒋𝟏
𝑪𝝎 𝒆𝒕 𝐚𝐫𝐠(𝒁) = −
𝝅
𝟐
U(t)
I(t)
U(t)
I C
U(t)
I L
I(t)
t
U(t)
𝑈
𝐼
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𝑖(𝑡) = 𝐼√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)
𝑢(𝑡) = 𝐿𝑑
𝑑𝑡(𝐼√2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)
𝑢(𝑡) = 𝐿𝐼√2𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) = 𝐿𝜔𝐼√2𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 +𝜋
2)
Donc Z =U
I=
LωI√2ej(φi+
π
2)
I√2ejφi= Lωej
π
2
L’impédance inductive est purement inductive de réactance inductive XL=L𝜔 en Ω
𝐴𝑟𝑔 (𝐼) = 𝐴𝑟𝑔 (𝑢) − 𝐴𝑟𝑔( 𝑍) = 0 −𝜋
2= −
𝜋
2
Le courant est en quadrature arrière par rapport à la tension de 2
donc 𝑈 = 𝑗𝐿𝜔. 𝐼
L'expression instantanée du courant I est :
𝐼(𝑡) = 𝐼𝑒𝑓𝑓√2𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −𝜋
2) (La tension est à l’origine des phases𝜑𝑢 = 0)
Remarque :
𝑍 = 𝑍𝑒𝜑 = 𝑅 + 𝑗𝑋
Si X =0 L’impédance est résistive et 𝜑 = 0
Si R =0 et X>0 L’impédance est inductive et 𝜑 =𝜋
2
Si R =0 X <0 L’impédance est capacitive 𝜑 = −𝜋
2
𝑈
𝐼
𝒁𝑳 = 𝒋𝑳𝝎 𝒆𝒕 𝐚𝐫𝐠(𝒁) =𝝅
𝟐
I(t)
t
U(t)
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Résistance Inductance Capacité
Impédance (Ω)
Déphasage (rad) 𝝋𝑹 = 𝟎 𝝋𝑳 = +𝝅
𝟐 𝝋𝑪 = −
𝝅
𝟐
Impédance complexe (Ω) réel pur
imaginaire pur
imaginaire pur
Admittance complexe
(Siemens - S) réel pur
imaginaire pur
imaginaire pur
II.8. Circuit série RL
Dans un circuit série, c’est le courant qui est commun.