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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs
Sciences Physiques - ATS
I Énoncé et exemple
On admettra le résultat suivant relatif à une distribution de
charges.
Théorème de Gauss :
D
SG
Qint
le flux à travers une surface fermée orientée vers l’ex-térieur
SG dite "surface de Gauss" du champ électro-statique d’une
distribution de charges D est égal auquotient de la charge de D
située à l’intérieur de SGpar ε0 :
Φ =
∫∫SG
~E.d~s =Qint
ε0
avec Qint =∫∫
SGdq et d~s = ds.~n où ~n est unitaire et normal à SG en tout
point.
application : Dans quelle situation le flux de ~E est-il le plus
élevé ?
PSfrag replacements
d~S d~S
d~S
d~S
~E~E
~E
~Eθ
θ
Φ > 0 Φ > 0 (maximal) Φ < 0 Φ = 0
Exemple : vérification dans le cas d’une charge.
�q
~e r
�M~E(M
)d~s
• En tout point M de l’espace, ~E(M) = q4πε0r2
~er.
• Prenons SG la sphère de rayon r centrée en O (elle passepar
M).
• d~s centrée en M est orientée vers l’extérieur : d~s =
ds.~er.
• Par définition, le flux élementaire dΦ = ~E.d~s =
qds4πε0r2
.
• On en déduit
Φ =
∫∫SG
dΦ =
∫∫SG
qds
4πε0r2=
q
4πε0r2
∫∫SG
ds =q
4πε0r24πr2 =
q
ε0
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
II Utilisation pour le calcul de ~E
1. Méthode
On appliquera le théorème de Gauss plutôt que la méthode
intégrale si la distribution D présente undegré de symétrie
élevé.
Étapes à suivre :
À Étude des symétries et invariances pour déterminer le système
de coordonnées, la direction etde quelles variables dépend ~E.
Á Choix de la surface de Gauss : surface fermée qui passe par le
point M où on calcule ~E et telleque le calcul du flux de ~E soit
simple (par exemple nul, ou E constant sur toute la surface).
Remarque : souvent, SG est une équipotentielle.
 Application du théorème de Gauss : calcul de Φ et Qint,
plusieurs cas peuvent se présenter.
2. Exemple du cylindre infini
2.a. cas du cylindre uniformément chargé en volume (ρ >
0)
cf. cours manuscrit pour le calcul
2.b. cas du cylindre uniformément chargé en surface (σ >
0)
cf. cours manuscrit pour le calcul
2.c. cas du fil uniformément chargé (λ > 0)
cf. cours manuscrit pour le calcul
3. Exemple du plan infini
Détermination de ~E :
¬ Étude des symétries et invariances PSfrag replacements
M
x
y
z
~E(z)~E(−z) = − ~E(z)
~n
~n
~nσ
S
S1S2 Slat
SG
O
• Invariances : par translation selon Ox et Oy :E(x,y,z) =
E(z)
• Symétries : tout plan contenant Oz est plan desymétrie donc ~E
= E.~ez.
• Conclusion :
~E(x,y,z) = E(z).~ez
Choix de la surface de Gauss : cylindre de base Set de longueur
2z passant par M .
® Application du théorème de Gauss :
• Calcul de Φ = Φ1 + Φlat + Φ2
? sur Slat, ~E.d~s = 0 d’oùΦlat = 0
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
? sur S1, ~E.d~s = E(z).ds avec z = Cte d’où E(z) = Cte et
Φ1 =
∫∫S1
E(z).ds = E(z)
∫∫S1
ds = E(z).S
? sur S2, ~E.d~s = −E(−z).ds or le plan chargé est plan de
symétrie donc ~E(−z) = − ~E(z)et E(−z) = −E(z) = Cte d’où
Φ2 =
∫∫S2
E(z).ds = E(z).S
On en déduitΦ = 2E(z).S
• Calcul de Qint : Qint = σS.
• Reste à appliquer le théorème de Gauss :
Φ =Qint
ε0⇐⇒ 2E(z).S =
σS
ε0⇐⇒ E(z) =
σ
2ε0
On en déduit :~E = ±
σ
2ε0~ez
selon ~ez si z > 0 et selon −~ez si z < 0.
Relations de continuité (ou de passage) : On montre que :• Dans
le cas d’une distribution volumique de charges, le champ
électrostatique~E et le potentiel électrostatique V sont continus
en tout point.
• Dans le cas d’une distribution surfacique : on a discontinuité
de ~E à la tra-versée de la surface chargée, ce résultat est
général :
PSfrag replacements
1
2~E1
~E2~n1→2
~E2 − ~E1 =σ
ε0~n1→2
où ~n1→2 est le vecteur normal à la surfaceorientée de 1 vers 2
: la composante tangen-tielle de ~E est conservée. Elle est
continue à la traversée de la surface chargéealors que la
composante normale de ~E est discontinue à la traversée de
lasurface chargée.
• le potentiel électrostatique V est toujourscontinu.
Remarque : le potentiel électrostatique s’il est défini est
toujours continu (le potentiel n’étant parexemple pas défini sur
une charge ponctuelle).
Potentiel : on en déduit le potentiel V (z) par application de
la relation ~E = −−−→gradV
Ici, V ne dépend que de z, soit
Ez = E = −dV
dz= ±
σ
2ε0⇐⇒ V = ∓
σ
2ε0z
selon le signe de z et en prenant la constante d’intégration
nulle par convention (choix de Jauge).
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
Tracés de E(z) et V (z) :
O
E(z)
z
σ2ε0
− σ2ε0
OV (z)
z
pente + σ2ε0
pente − σ2ε0
III Formulation locale du théorème de Gauss
Soit une surface fermée quelconque S délimitant un volume τ .
Soit P un point à l’intérieur de S.2 cas sont possibles :– ρ(P ) =
0 car il n’y pas de charge en P (vide)– ρ(P ) 6= 0 car il y a des
charges en P (densité volumique de charge non nulle).
Charge totale contenue dans le volume τ : Q =∫∫∫
τρ(P )dτ
Si on applique le théorème de Gauss :∫∫
S~E.d~S = Q
ε0=
∫∫∫τ
ρ(P )ε0
dτ
Théorème de Green-Ostrogradski : L’opérateur divergence, défini
de façon intrin-sèque, transforme donc un champ vectoriel en un
champ scalaire. La significationphysique de l’opérateur divergence
est intimement liée à la notion de flux : unchamp de vecteurs
"diverge" en un point, si son flux à travers un volume élémen-taire
associé à ce point est est non nul.
PSfrag replacementsM
M
div ~E 6= 0 div ~E = 0
∫∫S
~E.d~S =
∫∫∫τ
div ~E.dτ
avec : div ~E divergence de ~E = Ex. ~ex + Ey.~ey + Ez.~ez :
div ~E =∂Ex
∂x+
∂Ey
∂y+
∂Ez
∂z
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
D’où d’après le théorème de Green-Ostrogradski :∫∫∫
τdiv ~E.dτ =
∫∫∫τ
ρ(P )ε0
dτ
⇔ div ~E =ρ
ε0
Formulation locale du théorème de Gauss :
Valable en un point M quelconque de l’espace : div ~E =ρ(M)
ε0
IV Bilan : Comment déterminer un champ électrostatique ~E ?
Méthode : Pour déterminer le champ électrostatique ~E(M) créé
par une distributionde charge D :1reétape : Étude des invariances
de la distribution de charges D.
2eétape : Étude des symétries et des antisymétries de la
distribution de charges D
3eétape : Choix parmi 4 méthodes possibles :
Méthode 1 : Calcul direct par intégration.
~E(M) =
∫∫∫D
d ~EP (M) =
∫∫∫D
dq
4πε0·
1
r2PM· ~uPM avec dq = ρ(P ).dτ
Méthode 2 : Calcul direct à l’aide du Théorème de Gauss.– Choix
de la surface fermée de Gauss S– Calcul du flux de ~E(M) à travers
la surface fermée de Gauss D– Détermination de la charge contenue
dans le volume (τ) contenue dans
la surface fermée de Gauss S.∫∫S
~E(M).d~SM =Qint
ε0avec Qint =
∫∫∫τ
dq =
∫∫∫τ
ρ(P ).dτ
Méthode 3 : Calcul indirect à l’aide du potentiel
électrique.
~E(M) = −−−−→grad V(M)
Méthode 4 : Calcul à l’aide des équations locales de
l’électrostatique.
div ~E(M) =ρ
ε0
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
V Électrostatique et gravitation : analogies et différences
On a déjà noté une forte analogie entre la force de Coulomb et
la loi d’attraction universelle, on peutdonc transposer la quasi
totalité des résultats précédents pour au cas de la gravitation
:
Électrostatique GravitationSources de champ Charges fixes
MassesLoi de Force
~FP→M =1
4πε0
qP qM
r2~uP→M
~FP→M = −GmPmM
r2~uP→M
Champ produit par Pen M ~E(M) =
~FP→M
qM~G(M) =
~FP→M
mM
Circulation conserva-tive car la force dé-rive d’une énergie
po-tentielle
∮~E.d~r = 0
∮~G(M).d~r = 0
Potentiel (à uneconstante près) V =
q
4πε0rV = −G
m
r
Théorème de Gauss ∫∫SG
~E.d~s =Qint
ε0
∫∫SG
~G.d~s = −4πGMint
Résultats pour une particule et généralisables à une
distribution.
Remarque : il subsiste toutefois des différences notables :
• la force de gravitation est toujours attractive.
• il n’y a pas de concept équivalent aux conducteurs et
isolants.
• les ordres de grandeur des forces sont très différents : Félec
' 1039Fgravit si masses et chargesunités.
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
VI Les condensateurs
1. Conducteur en équilibre électrostatique
Un conducteur est, par définition un corps à l’intérieur duquel
des charges (ou porteurs decharges) dites libres sont susceptibles
de se déplacer sous l’action d’une force aussi petite soit-elle.Ces
charges libres se déplacent sous l’action :– soit d’un champ
électrique– soit d’un champ magnétique– soit d’un gradient de
température
Exemples de conducteurs Porteurs de charges libresmétaux
électrons
électrolytes (solutions ioniques) ions (cations et anions)
1.a. Champ et potentiel dans un conducteur
Soit un conducteur à température uniforme (−−−→grad T = ~0).
• Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsqu’il ne se
produit aucun mouvement ordonnéde porteurs de charges(Ce qui
n’exclut pas les mouvements microscopiques désordonnés
correspondant à l’agitation molé-culaire.)
• Si il n’y pas de déplacement de porteurs de charges =⇒ la
force électrostatique est nulle :~Fe = q ~E = ~0Donc le champ
électrostatique est nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
électro-statique.
Or dV = − ~E.d~r = 0 et donc le volume d’un conducteur à
l’équilibre est un volume équipotentiel~E = −
−−−→grad V = ~0 =⇒ V (M ∈ conducteur ) = Cst
1.b. Charge d’un conducteur
PSfrag replacements
Conducteur
SG
Si l’on applique le théorème de Gauss, en choisissant une
surface de Gauss SGintérieure au conducteur. On a donc :
∫∫S
~E.d~S =Qint
ε0= 0
Comme Eint = 0 on en déduit que Qint = 0. Il en résulte que,
pour un conduc-teur chargé en équilibre, la densité de charges est
nécessairement nulle .Equation locale du théorème de Gauss :∀M ∈
Conducteur on a div ~E =
ρ
ε0= 0 =⇒ ρ(M) = 0
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
1.c. Théorème de Coulomb : champ au voisinage de la surface d’un
conducteurPSfrag replacements
Conducteur en équilibre
SG
~n
σdS
Eint = 0
~E
ρint = 0
• Un conducteur peut porter une charge totale Qtot non nulle, si
ila été électrisé. La charge volumique étant nulle, cette charge
étantrépartie à la surface du conducteur : densité surfacique de
charges σ.• Le volume du conducteur est un volume équipotentiel V =
Cst ,sa surface est donc aussi équipotentielle . Le champ
électrostatiqueextérieur au voisinage du conducteur est donc
orthogonal à cettesurface.
Théorème de Coulomb : ~E(P ) =σ
ε0~n
CONCLUSION - Propriétés d’un conducteur en équilibre
électrostatique :
• A l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique :–
Le champ électrostatique est nul : ~E = ~0– Il n’y aucune charge
électrique : ρ = 0– Le conducteur est un volume équipotentiel : V =
cst
• A la surface :– il peut y avoir des charges électriques
(répartition surfacique) : σ 6= 0
– le champ électrostatique au voisinage de la surface est : ~E
=σ
ε0~n Théorème de Coulomb
2. Le condensateur
2.a. Influence électrostatique
La répartition des charges surfaciques d’un conducteur à
l’équilibre dépend du champ qui règne dansla région où il se
trouve. On dit que le conducteur est influencé par le champ. La
répartition descharges surfaciques d’un conducteur dépend donc des
autres corps chargés qui sont dans son voisinageet de leur position
relative.
L’équilibre qui s’établit traduit un phénomène d’influence .
Comme pour un conducteur seul à l’équi-libre, le champ et la
densité volumique de charge à l’intérieur de chaque conducteur sont
nulles alorsQ =Cte et le potentiel est modifié
Déterminer les conditions d’équilibre d’un conducteur revient à
chercher le potentiel etla charge de chaque conducteur.
La charge et le potentiel de chaque conducteur peuvent en outre
obéir à deux contraintes :
����������������������������������������������
PSfrag replacements
V varie
Q est constant
0V
(a) Si un conducteur i est électriquement isolé (c’est-à-dire
sansaucun contact avec les autres conducteurs), sa charge
totalegarde sa valeur initiale Qi , l’influence se traduit par une
modi-fication de son potentiel Vi.
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
����������������������������������������������
PSfrag replacements
V est constant(générateur)
Q varie
0V
(b) Si un conducteur j est relié à une source de potentiel
constant(ou à la masse), son potentiel Vj reste constant (ou nul) ;
l’in-fluence se traduit par une variation de Qj qui résulte d’un
échangede charges entre le conducteur et la source (ou la
masse).
2.b. Influence totale ou partielle
• Deux conducteurs A et B sont en in-fluence partielle quand
toutes les lignes dechamp issues de A n’aboutissent pas surB et
vice-versa.
• Deux conducteurs A et B sont en in-fluence totale quand toutes
les lignes dechamp issues de A aboutissent sur B etvice-versa.
Cette dernière condition est enpratique satisfaite quand B entoure
A.
2.c. Capacité d’un condensateur
Definitions : Condensateur et capacité
PSfrag replacements
U
V2
V1 > V2
+Q
−Q
On appelle condensateur , un ensemble de deux conducteurs
(appelés arma-tures) en équilibre électrostatique et en influence
totale.Le rapport entre la charge électrique Q emmagasinée et la
différence de potentielU = V1 − V2 =
∫ 12dV entre les armatures est appelé capacité du
condensateur
C. Unité : Farrad : F
Q = Q1 = C.U = C.(V1 − V2)
• L’espace entre les armatures est soit le vide de permittivité
ε0, soit un diélectrique de per-mittivité ε = εr · ε0.
• C > 0 toujours. C ne dépend que des caractéristiques
géométriques du condensateur et descaractéristiques du diélectrique
séparant les deux armatures.
• La capacité d’un condensateur suffit pour caractériser le
comportement de ce condensateur auniveau électrique.
• Plus la différence de potentielle U est élevée, plus la charge
électrique stockée est importante .
• A tension fixée, un condensateur de grande capacité permettra
de stocker plus de chargesélectriques qu’un condensateur de
capacité moindre.
• Un condensateur permet donc de stocker de l’énergie (reservoir
de charges électriques) sousforme d’énergie électrostatique .
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
Détermination de la capacité d’un condensateur :1. On détermine
l’expression du champ ~E = f(Q1) entre les armatures en
utilisant
en général le théorème de Gauss.
2. On détermine V1 − V2 = f(Q1) en utilisant : ~E = −−−−→grad
V
3. On détermine le rapport C =Q1
V1 − V2en fonction des paramètres géométriques
du système.
Exemple : Le condensateur plan
On considère un condensateur plan constitué de deux surfaces
conductrices (S) planes et parallèlesdont les dimensions sont
grandes par rapport à la distance e qui les sépare.
PSfrag replacements
U = V1 − V2 (V1 > V2)
P1 (V1) P2 (V2)
S
e
~exM x
+Q -Q
~E(M)
On considère donc que les deux surfaces conductrices (S) sont
deux plans infinis parallèles portantles charges opposées : +Q =
σ.S et −Q = −σ.SLe champ créé par un plan infini uniformément
chargé en surface (σ) est : ~E = σ
2ε0~n
Pour un point M quelconque placé entre les armatures du
condensateur, on obtient d’après le théo-rème de superposition
:
~E(M) = ~E1 + ~E2 =σ
2ε0~ex +
−σ
2ε0(−~ex)
⇔ ~E(M) =σ
ε0~ex
Conclusion : Le champ ~E est uniforme entre les armatures d’un
condensateur,• de module σ
ε0= Q
S.ε0
• de direction et de sens : la normale aux plans dirigée dans le
sens des poten-tiels décroissants
Remarque : Si M est à l’extérieur du condensateur alors,
~Eext(M) = ~E1,ext + ~E2,ext =σ
2ε0~ex −
σ
2ε0~ex = ~0
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
Détermination de la capacité d’un condensateur plan : On calcule
la circulation du champélectrostatique ~E entre les deux armatures
P1 et P2 :
C12 = V1 − V2 = U =
∫ e0
~E.d~r =
∫ e0
σ
ε0.dx.~ex.~ex
U =σ
ε0.[x]e0 =
σe
ε0=
Qe
Sε0
Ainsi on peut exprimer la capacité du condensateur : C =Q
U=
ε0S
e
Remarque : On peut augmenter la capacité d’un condensateur en
remplaçant le vide entre les deuxarmatures par un diélectrique de
permittivité relative εr > 1. Dans ce cas la capacité du
condensateurs’exprime :
C =εS
e=
ε0εrS
e
Exemple : Pour du mica (εr = 7), C ′ = 7C, la capacité est plus
élevée si on place du mica entre les
deux armatures d’un condensateur.
2.d. Énergie d’un condensateur
L’énergie d’un condensateur est l’énergie qu’il est capable de
fournir au milieu extérieur lorsqu’on ledécharge.On peut par
exemple décharger un condensateur en reliant ses armatures.
Énergie d’un condensateur : L’énergie stockée dans un
condensateur est :
E =1
2QU =
1
2CU
2 =1
2
Q2
C
avec U = V1 − V2 en Volt ; C en Farrad ; Q en Coulomb
2.e. Énergie électrostatique volumique
Énergie électrostatique volumique : Densité volumique d’énergie
électrostatiqueen un point M de l’espace où règne un champ
électrostatique ~E(M) :
ue =dEe
dτ=
ε0 ~E2
2unité : J.m−3
E =
∫∫∫dEe =
∫∫∫ue.dτ =
∫∫∫ε0 ~E
2
2dτ unité : J
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
Exemple : Retrouver l’expression de la capacité d’un
condensateur plan à l’aide de l’énergie élec-trostatique.
E =
∫∫∫ε0 ~E
2
2dτ =
1
2CU 2
⇔ C =
∫∫∫ε0 ~E
2
U2dτ =
∫∫∫ε0
d2dτ =
ε0.S.d
d2=
ε0.S
d
car pour un condensateur plan : E = Ud⇔ U = E.d
2.f. Groupements de condensateurs
PSfrag replacements
QUQ1 Q2C1 C2 C
• Condensateurs en parallèle :D’après la loi des noeuds : i =
i1+ i2 or on sait que i =
dQ
dtdonc
on peut écrire :
dQ
dt=
dQ1
dt+
dQ2
dt⇔ Q = Q1 +Q2
Or on sait que pour des dipôles en parallèles : U = U1 = U2, et
pour un condensateur Q = C.Udonc :
U.C = U1C1 + U2C2 ⇔ C = C1 + C2
PSfrag replacements
QQ
Q
−Q
UC1
C2C
U1
U2
• Condensateurs en série :D’après la loi d’additivité des
tensions : U = U1 + U2 or on saitque pour un condensateur U = Q
Cdonc on peut écrire :
Q
C=
Q1
C1+
Q2
C2
De plus on sait que pour des dipôles en série : i = i1 = i2, et
i =dQ
dtdonc Q = Q1 = Q2 ainsi :
Q
C=
Q1
C1+
Q2
C2⇔
1
C=
1
C1+
1
C2
12
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Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS
Table des matières
I Énoncé et exemple
II Utilisation pour le calcul de ~E1. Méthode2. Exemple du
cylindre infini
2.a. cas du cylindre uniformément chargé en volume (ρ >
0)2.b. cas du cylindre uniformément chargé en surface (σ >
0)2.c. cas du fil uniformément chargé (λ > 0)
3. Exemple du plan infini
IIIFormulation locale du théorème de Gauss
IV Bilan : Comment déterminer un champ électrostatique ~E ?
V Électrostatique et gravitation : analogies et différences
VI Les condensateurs1. Conducteur en équilibre
électrostatique
1.a. Champ et potentiel dans un conducteur1.b. Charge d’un
conducteur1.c. Théorème de Coulomb : champ au voisinage de la
surface d’un conducteur
2. Le condensateur2.a. Influence électrostatique2.b. Influence
totale ou partielle2.c. Capacité d’un condensateur2.d. Énergie d’un
condensateur2.e. Énergie électrostatique volumique2.f. Groupements
de condensateurs
Lycée F.Arago - Reims