Chapitre 4. Lois de Probabilité
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Chapitre 4. Lois de Probabilité
Introduction
• Il est toujours possible d’associer à une variable
aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de
probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente
indéfiniment, les fréquences observées pour le
phénomène étudié tendent vers les probabilités et les
distributions observées vers les distributions de
probabilité ou loi de probabilité.
Identifier la loi de probabilité suivie par une variable
aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le
choix des méthodes employées pour répondre à une
question biologique donnée (chapitre 5 et 6).
Lois discrètesLoi de Uniforme
.2
)1(
où d'
2
)1(
1...)1(
...321
2
1
...321
effetEn
1
1
+==
+=
++−+
++++=
++++=
∑
∑
=
=
n
n
i
E(X)
nn
nn
n
ni
n
i
n
i
( )
[ ]
++=⇔
++=⇔
−=+−⇔
−=
+−
+−=−=
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
6
1
23
26412
1)1(312
12
1
4
)1(
4
)1()()()(
2
1
2
2
1
2
22
1
2
22
1
2
2
1
2
22
nnni
nnni
nnnni
nn
n
i
n
n
iXEXEXV
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
quemontrer doncdoit On
a on ailleursPar
( ) ( ) ( )
résultat! le oùd'
si 1npour vraieest formule La
avoir doit on
que supposonsest Posons
1.npour vraieest
formule La
récurrencepar ionDémonstrat
06
1
2
1
3
11)1(
6
1
23
)1(6
1
23
6
1
23
6
1
23
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
=
+
++
++−++
++
+
++
++=
++=
=
=
++=
+
=
=
∑
∑
nnnn
nnn
nnn
nS
nnnS
i:S
nnni
n
n
n
in
n
i
Loi de Bernoulli
Loi binomiale
Espérance et variance pour la loi binomiale
Stabilité de la loi binomiale
Loi de Poisson
n.réalisatio demoyen nombre leest où
contrainte la sous , lorsque
,1
:suivante propriété la vérifiebinomiale loi la (fixé) 1entier chaquePour
λ
λnp
n
k!
eλp)(pCk)P(S
kλk
knkk
nn
=
+∞→
→−==
≥−
−
Remarque: Si on reprend l’exemple des rats, on pour n=100 rats on a p=1/4
et λ=25.
Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson
pour n=100, λλλλ=1, p=0.01
Donc en pratique lorsque l’on a un « grand nombre » d’évènements qui suivent une
loi binomiale et qu’on connaît la moyenne λλλλ, on peut utiliser une loi de Poisson.
Binomiale Poisson
( )
( )
( )
k
kn
n
k
kn
n
kn
n
n
k
kn
n
n
kn
nk
knkk
knk
knkk
n
ekn
n
ekn
n
kn
nn
nkn
n
ekn
n
kn
n
kn
n
e
nπnn!
nnkn
n
k
nnkn
n
k
nnknk
nppC
np
−
−
+∞→
−
−
+∞→
−
+∞→
−−
−
−
−
−
−−
=
−−
−=−
−
−−≈
−
≈
−
−=
−
−=
−
−=−
=
λ
λλ
λλ
λλ
λλ
λ
lim
lim1
)!(
!lim
)!(
!
2
1
)!(
!
!
11
)!(
!
!
1)!(!
!)1(
donc
a on ) (i.e. Striling de formule la aprésd' Mais
a oneffet En
Démonstration
résultat. le oùd'
quand
Donc
a oneffet En
quemontrer a reste il conclurePour
,
1111ln
lim
2
)(11ln)(
2
2
11ln)(ln)(
+∞→→=
−+−
+−+−
=
−
−−
+−−−
=
+−
−−
==
−−
=
−−
+−
−+−
−++−
+−−−
−
+−−−
−
−−
−−
−−
−
+∞→
neee
kn
kλO
kn
kλ
kn
λnO
kn
λn
kn
λn
eekn
n
eekn
n
kλkn
kλOknkλ
kn
nkn
kn
nkn
kn
nkn
kn
k
kn
n
λ
λλ
λ
λ
λ
Espérance et variance
Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson
pour n=500, p=1/365, λλλλ=500/365
Rappel: 1 litre=1000 cm3
Donc ici le nombre moyen de bactéries par boite est 5.
On suppose aussi que le nombre de colonie par boite
est le même que le nombre moyen de bactéries par boites
Stabilité de la loi de Poisson
Loi binomiale négative (des temps d’attente)
Sous les conditions de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes), on
désire connaître la probabilité (d’attendre) de faire X=k épreuves
indépendantes, pour avoir n succès.
Espérance et variance
Loi géométrique ou loi de Pascal
ou binomiale négative avec n=1
Lois continues
Loi Uniforme
Espérance et variance
Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
usuelles. méthodes des
par intégrale cettecalculer paspeut neon car 1)( que admettraOn -
=∫+∞
∞
dxxf
Espérance et variance
Stabilité de la loi normale
Loi normale centré et réduite
Relation avec la loi normale
Lois déduites de la loi normale
Loi du χχχχ2 de Pearson
Loi de Student
Loi de Fisher-Snedecor
Convergence en loi
Le théorème central limite
Related Documents
