CHAPITRE 2 Élasticité Équations d’équilibre Équations de compatibilité géométrique Champs de contrainte et Fonctions d’Airy Applications Équations d’équilibre DCL Équations d’Équilibre Fx=0 Fy=0 0 dxdy F dx dy y dx dy y dy dx 0 dxdy F dx dy y dy dx x dx dy y xy xy y y xy y x xy xy x x xy x F x F y
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CHAPITRE 2 Élasticité - cours.etsmtl.ca · CHAPITRE 2 Élasticité Équations d’équilibre Équations de compatibilité géométrique Champs de contrainte et Fonctions d’Airy
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Transcript
CHAPITRE 2
Élasticité
Équations d’équilibre
Équations de compatibilité géométrique
Champs de contrainte et Fonctions d’Airy
Applications
Équations d’équilibre
DCL
Équations d’Équilibre
Fx=0
Fy=0
0dxdyFdxdyy
dxdyy
dydx
0dxdyFdxdyy
dydxx
dxdy
yxy
xyy
yxyy
xxy
xyx
xxyx
Fx
Fy
Équations d’équilibre 2D et 3D
0
0
yxyy
xxyx
Fxy
Fyx
x
xyx
xy
yx
yx
y
y
0
0
0
zyzxzz
yyzxyy
xxzxyx
Fzxz
Fzxy
Fzyx
Conditions aux rives
Forces de surface en 2D
A/R
A/R
A/R
zz
yy
xx
A/R
A/R
yy
xx
m
m
yyxy
xyxx
Forces de surface en 3D
x
y
x x xy xz
y xy y yz
z xz yz z
m n
m n
m n
Équation de compatibilité
z
w= z
z
u
x
w= xz
z
v
y
w= yz
x
u= x
y
v= y
x
v
y
u= xy
yxxy xyyx
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
yx
u
x
u
yyx
2
3
2
2
2
2
xy
v
y
v
xxy
yx
v
yx
u
x
v
y
u
yx=
yxxy
2
3
2
322
État plan de déformation
yxxy xyyx
2
2
2
2
2
)(E zyxx 1
)(E zxyy 1
01
)(E yxzz
Gxy
xy
yxx E 1
1 2
xyy E 1
1 2
xyxy
xy E
)(
G
12
yx
)(x
)(y
xyxyyx
2
2
2
2
2
211
y
F
x
F
yxyx
yxyxxy
2
2
2
22
2
0
0
yxyy
xxyx
Fxy
Fyx
22xy xyx x x
x 2
2 2y xy y xy y
y 2
F F 0
x x y x x y x
F F 0
y y x y y x y
Compatibilité
Équilibre
d’où
État plan de déformation (suite)
y
F
x
F
yxyx yxyxxy
2
2
2
22
2
y
F
x
F
yx
yxyx 1
12
2
2
2
yx
)(x
)(y
xyxyyx
2
2
2
2
2
211
Équation de Compatibilité Géométrique
Équilibre
Compatibilité
02
2
2
2
yxyxEn l’absence des forces
volumiques
État plan de contrainte
yxxy xyyx
2
2
2
2
2
)(E zyxx 1
)(E zxyy 1
)(E yxzz 1
Gxy
xy
0
0
yxyy
xxyx
Fxy
Fyx
Compatibilité
Équilibre
yxx E
1
xyy E
1
yxyxz E
1
xyxy
xy E
)(
G
12
y
F
x
F
yxyx
yx 12
2
2
2
Équation de Compatibilité Géométrique
02
2
2
2
yxyx
En l’absence des
forces volumiques
Champs de contrainte (fonctions d’Airy)
Équation de Compatibilité Géométrique
champ de contrainte, (x,y) tel que les conditions aux rives sont satisfaites
Et en fonction de (x,y)
2
2
y x
2
2
x y
yx xy
2
024
4
22
4
4
4
yyxx
02
2
2
2
yxyx
04
Équation biharmonique
Champs de contrainte (suite)
222
222 22
yc
xybxa
222
2
cy
x
222
2
ax
y
22
2
byx
xy
C’est une plaque soumise à
1- Contrainte normale cte suivant x
2- Contrainte normale cte suivant y
3- Contrainte de cisaillement cte suivant xy
Champs de contrainte (suite)
C’est le cas d’une poutre en flexion pure
contrainte normale suivant x
varie linéairement avec y
332323333 y
6
dxy
2
cyx
2
bx
6
a
ydxcy
x 3323
2
ybxax
y 3323
2
333
2
cxbyx
xy
0333 cba
siyd x 3
0 y
0 xy
Champs de contrainte (suite)
Aucun intérêt pratique
443422434444 1262612
ye
xyd
yxc
yxb
xa
2444
242
42
2 y)ac(xydxcy
x
244
242
42
ycxybxax
y
244
2442
22
2y
dxycx
b
yx xy
Champs de contrainte (suite)
C’est un cas hypothétique
2444
242
42
2 y)ac(xydxcy
x
244
242
42
ycxybxax
y
244
2442
22
2y
dxycx
b
yx xy
xyd x 4
0 y
24
2y
d xy
0
0
44
44
ec
ba
443422434444 1262612
ye
xyd
yxc
yxb
xa
22
4cd xy 22
4cd xy Lcd x 4
L
c
c
22
4cd xy
22
4cd xy
O x
y
Champs de contrainte (suite)
xyd x 4
0 y
)yc(d
xy224
2
344 6
xyd
xycd 24
2 2
xycd
xyd 2434
24 26
xydy
x 42
4
2
02
4
2
x
y
24244
2
22c
dy
d
yx xy
22
4cd xy 22
4cd xy Lcd x 4
L
c
c
O x
y
Champs de contrainte (suite)
C’est le cas d’une poutre encastrée avec charge concentrée a son extrémité
xyd x 4
0 y
)yc(d
xy224
2
I
Pxy
I
My x
Théorie de la flexion des poutres
Théorie de l’élasticité P
y
x
343
2cddyP
c
cxy
33
3
2
12
21c
cI
22
2
1
21 yc
ycycQ
1
I
PQ
It
VQ xy
2243
224
3
232
32yc
d
c
yc½dc xy
xyd
c
xydc x 43
43
32
32
Coordonnées polaires
sinry
cosrx
x
ytan
yxr
1
222
r
sin
r
y
x
cosr
x
x
r
2
r
cos
r
x
y
sinr
y
y
r
2
y
y
x
x
r
r
cos
rsin
yry
r
y
r
sin
rcos
xrx
r
x
Coordonnées polaires (suite)
Équations d’équilibre
0 = F + r
r
+ r
0 = F + r
r +
r
rr
rrrr
21
1
2
2
2
11
rrr
r
2
2
r
rrrrr r
111 2
2
champ de contrainte, (r,) tel que les conditions aux rives sont satisfaites