Année 2021-2022 François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]Séquence 6 : Proportionnalité Objectifs : Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de proportionnalité, pourcentages. Durée : 3 semaines (10 séances) Compétences visées : Maths : ■ Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs à partir du sens de la situation. ■ Résoudre un problème de proportionnalité impliquant des grandeurs. ■ Reproduire une figure en respectant une échelle donnée. ■ Agrandissement et réduction de figures. ■ Résoudre des problèmes relevant des structures additives et multiplicatives en mobilisant une ou plusieurs étapes de raisonnement. ■ Collecter les informations utiles à la résolution d'un problème à partir de supports variés, les exploiter et les organiser en produisant des tableaux à double entrée, des diagrammes circulaires, semi-circulaires, en bâtons ou des graphiques. ■ Remobiliser les procédures déjà étudiées pour résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et les enrichir par l'utilisation du coefficient de proportionnalité. ■ Appliquer un pourcentage. ■ Exprimer un coefficient de proportionnalité sous la forme d’une fraction. Algorithmique, Informatique et Calculatrice : ■ Construire un tableau de proportionnalité à l’aide de la calculatrice. Compétences nécessaires : Fin de CM2 : Dans chacun des trois domaines « nombres et calculs », « grandeurs et mesures » et « espace et géométrie » des problèmes relevant de la proportionnalité sont proposés à l’élève. Il mobilise pour les traiter des formes de raisonnement spécifiques et des procédures adaptées : les propriétés de linéarité (additive et multiplicative), le passage à l’unité, le coefficient de proportionnalité. Faire marquer le devoir maison n°11 dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Lundi 6 Décembre 2021. Objectif : Réinvestir les compétences de cycle 3 sur la proportionnalité. Séance 1 Travail Maison Exos 1 à 10 page 88 du manuel
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Objectifs : Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la
proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de
proportionnalité, pourcentages.
Durée : 3 semaines (10 séances)
Compétences visées : Maths :
■ Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs à partir du sens de la situation. ■ Résoudre un problème de proportionnalité impliquant des grandeurs. ■ Reproduire une figure en respectant une échelle donnée. ■ Agrandissement et réduction de figures. ■ Résoudre des problèmes relevant des structures additives et multiplicatives en mobilisant une ou plusieurs étapes de raisonnement. ■ Collecter les informations utiles à la résolution d'un problème à partir de supports variés, les exploiter et les organiser en produisant des tableaux à double entrée, des diagrammes circulaires, semi-circulaires, en bâtons ou des graphiques. ■ Remobiliser les procédures déjà étudiées pour résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et les enrichir par l'utilisation du coefficient de proportionnalité. ■ Appliquer un pourcentage. ■ Exprimer un coefficient de proportionnalité sous la forme d’une fraction.
Algorithmique, Informatique et Calculatrice : ■ Construire un tableau de proportionnalité à l’aide de la calculatrice.
Compétences nécessaires : Fin de CM2 :
Dans chacun des trois domaines « nombres et calculs », « grandeurs et mesures » et « espace et géométrie » des problèmes relevant de la proportionnalité sont proposés à l’élève.
Il mobilise pour les traiter des formes de raisonnement spécifiques et des procédures adaptées : les propriétés de linéarité (additive et multiplicative), le passage à l’unité, le coefficient de proportionnalité.
Faire marquer le devoir maison n°11 dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Lundi 6 Décembre 2021. Objectif : Réinvestir les compétences de cycle 3 sur la proportionnalité.
Activité 1.: Réflexion Reconnaître une situation de proportionnalité
Expliquer pourquoi il s’agit d’une situation de proportionnalité : …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… Proportionnalité et conversions de durées (bis repetita placent)
0,5h =.………h= …….……min 0,25 h = =.………h= …….……min 0,75h=.………h= ….……min Exercice 1 : Convertir en minute puis en heure/minute : 4,2h ? Et 0,8h ? Et 342 min? Utilisons un tableau de proportionnalité :
Durée en Heure
1
Durée en minute
60
Donc : 4,2h = ………………….. min = ……… h ………….. min 0,8h = …………………. min 342 min = ………………….. h = ……… h ………….. min
Exercice 2 : Convertir 3h12min53 s en heure.( C’est à dire en nombre d’heure décimal)
֍ MÉTHODES pour compléter un tableau est un tableau de proportionnalité
Méthode 1 : on utilise le coefficient de proportionnalité
3 11
4,5 12
Méthode 2 : on additionne ou soustrait les colonnes entre elles
19 3 22 25
4,5 33
Méthode 3 : on multiplie (ou divise) une colonne par un nombre (Non nul)
3 21
4,5
Méthode 4 : on utilise le retour à l’unité
6 7 1
30 35
Exemples de coefficients de proportionnalité qui sont des fractions :
֍ MÉTHODE pour vérifier qu’un tableau est un tableau de proportionnalité :
On calcule tous les quotients 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 1𝑒𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 2𝑒𝑚𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒
¤ Si tous les quotients sont égaux, alors on a un tableau de proportionnalité. ¤ Si les quotients ne sont pas tous égaux, alors ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
֍ MÉTHODE pour calculer un tableau de proportionnalité : Pour calculer « t % d’une quantité », on multiplie cette quantité par ……………..….
Règle : Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle à 100. On dit aussi : ……………………………………………………………………………………………………………….
Exemple : 9 élèves d’une classe de 28 sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
Activité : Course de Lutins Préambule à l’activité : Lorsqu’un être humain court sur une longue distance la distance parcourue est-elle proportionnelle au temps de parcours ? Justifiez votre réponse. …….………………………………………………………………..…………………………... …….……………………………………………………………………………………………. Que peut-on dire de sa vitesse ? ………………………………………………………….. Activité : voici deux programmes de course d’un lutin. Lequel des deux programmes représente une situation de proportionnalité ?
Partie pratique : Implémenter deux lutins : « Prop » pour la situation de proportionnalité et « Pasprop » pour la seconde, testez-les, (les assembler de sorte à faire courir les deux lutins simultanément), un avec le mode proportionnel et l’autre avec le mode aléatoire.
Appeler le professeur lorsque votre programme fonctionne.
Pour aller plus loin : Quel est le lutin qui gagne toujours ? …………………………………………… Que se passe t’il lorsqu’on met « ajouter 1 à x » au lieu de « ajouter 2 à x » dans le programme B ? …………………..………………………… …….……………………………………… Pourquoi ? …………………..………………………… …….……………………………………… …………………..………………………… …….………………………………………………………………..…………………………... …….…………………………………………………………………………………………….
Complétez les phrases. A. Reconnaitre un tableau de proportionnalité
Définition : Un tableau est dit de proportionnalité, lorsque l’on obtient chaque nombre d’une ligne en ………….. le nombre correspondant de l’autre ligne par un ……………… nombre, Définition : Le nombre qui permet de passer d’une ligne à l’autre d’un tableau de ………………………… en multipliant est appelé coefficient de proportionnalité. Règle : Pour reconnaitre un tableau de proportionnalité, on peut effectuer chacun des ………. d’un nombre de la seconde ligne du tableau par le nombre correspondant de la première ligne. Si tous ces quotients sont …………………………… , le tableau est un tableau de proportionnalité ; sinon, il ne l’est pas. Illustration (cas échéant): Lorsqu’un tuyau fuit, la quantité d’eau, en litres, qui s’écoule est proportionnelle à la durée, en heures, de la fuite. Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité de la première ligne vers la seconde est …….. Cela
signifie qu’en une heure, il s’écoule 𝟏,𝟑 litres.𝟏,𝟑 =13
10=
26
20=
39
30=
52
40
Illustration (cas contraire): La taille d’une personne n’est pas une proportionnelle à son âge. Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.
Agée (en années) 5 10
Taille (en cm) 100 130
En effet, le coefficient multiplicateur qui permet de passer de la première ligne à la
deuxième ligne est égal à …… .. dans la première colonne et …… .. dans le deuxième.
B. Compléter un tableau de proportionnalité
Propriété (cas général) : On peut compléter un tableau de proportionnalité dès que l’on connait …………………. nombres qui se correspondent. Propriété (cas particulier) : Dans un tableau de proportionnalité, si l’on connait trois valeurs sur quatre, alors on peut calculer la quatrième valeur. Cette valeur est appelée la quatrième ……………………………... Règle de trois (pas Troie) :
Illustrons la résolution du problème suivant de 4 manières différentes : La quantité d’eau, en litres, que l’on utilise pour arroser une pelouse est proportionnelle à l’aire, en m², de cette pelouse. Nous pouvons déterminer le nombre
𝒂 manquant.
Définition : Ce nombre 𝒂 est appelé la quatrième proportionnelle.
Illustration (Passage à l’unité = règle de trois):
Pour arroser 3m², 12𝐿 sont nécessaires, donc pour arroser 1m², on a besoin de
trois fois moins d’eau, soit 4𝐿 (en effet12
3= 4 ). Pour arroser 5 m², on a besoin de
5 fois plus d’eau , soit 20 𝐿 (en effet, 5 × 4 = 20). Donc 𝒂 = 𝟐𝟎 .
On peut résumer ces calculs ainsi : 𝒂 =𝟏𝟐
𝟑× 𝟓 =
𝟏𝟐×𝟓
𝟑=
𝟔𝟎
𝟑= 𝟐𝟎.
Illustration (Coefficient de Proportionnalité): La méthode consiste à multiplier la colonne de droite par le coefficient de proportionnalité.
Illustration (Multiplication de quantités):
La méthode consiste à multiplier une quantité pour obtenir la quantité souhaitée dans la colonne de droite.
Illustration (Combinaisons de quantités): Dans l’éventualité que j’obtienne la
quantité cherchée en soustrayant ou en additionnant deux autres colonnes du
1. Définition : Il y a proportionnalité entre deux grandeurs lorsque ......................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... → Ainsi, pour savoir s’il y a proportionnalité dans un tableau, on ...................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... Exemple d’application – Dire s’il y a proportionnalité dans le tableau. Justifier :
.......................................................................................................................................... 3. Compléter un tableau de proportionnalité : Pour compléter un tableau de proportionnalité on procède en deux étapes :
Etape n°1 – ................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... Etape n°2 – On complète le tableau de la manière suivante : → Pour compléter une case en bas, on multiplie celle du haut par le coefficient ; → Pour compléter une case en haut, on divise celle du bas par le coefficient.
Exemple d’application – Compléter le tableau de proportionnalité suivant :
1. Exemple introducteur : 12 kg de kiwis coûtent 21,60 €. a. Quel est le prix de 24 kg de kiwis ? ...................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. b. Quel est le prix de 6 kg de kiwis ? ....................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. c. Quel est le prix de 9 kg de kiwis ? ........................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2. En général : La règle de trois consiste à .................................................................. .................................................................................................................................................. Exemple d’application – Un volume de 13 L d’essence coûte 18,20 €. Quel est le prix de 3 litres d’essence ? ............................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................