Chap 9a Aplikasi Distribusi Fermi Dirac (part-1)
Chap 9aAplikasi Distribusi
Fermi Dirac
(part-1)
Teori Bintang Katai Putih
β’ Apakah bintang Katai Putih
β Bintang yg warnanya pudar/pucat krn hanya memancarkansedikit cahaya krn supply hidrogennya sudah tinggal sedikitberubah menjadi helium.
β’ Tipikal data bintang katai putih
β Isi : sebagian besar helium
β Kerapatan massa 107 gr/cm3 (107 0)
β Massa : 1033 gr ( 1 MO)
β Suhu pusat : 107 K (=T0 )
Teori Bintang Katai Putih
β’ Jadi bintang katai putih : suhu tinggi dengan tekanan tinggi. Sehingga atom-atom sudah terionisasi. Sehingga bintang bisadianggap terdiri dari inti helium dan elektron.
β’ Jadi dianggap sebagai gas elektron yg bersifat seperti gas Fermi ideal dengan kerapatan sekitar 1030 elektron/cm3 yang setara dengan energi Fermi :
β’ ππΉ =β2
2π
1
π£23
= 20 πππ π»π’πππ β 0.4 πππ (πππ!)
β’ Dengan temperature Fermi setara TF = 1011K. (cek 4 x109K)
β’ Karena ternyata TF >>> T bintang, maka praktis bintang kataiputih bisa dianggap sebagai gas Fermion degenerate dekatground state.
Model
β’ Model Bintang Katai Putih:
β Sistem N gas elektron dalam kondisi ground state dengankerapatan bahwa elektron diperlakukan secara relativistik.
β Gas Elektron bergerak dengan latar belakang inti helium sejumlah N/2 yg diam yg memberikan daya tarik gravitasi.
β Ada tiga efek : prinsip Pauli, dinamika relativistik, hukumgravitasi.
Energi Elektron
β’ Elektron dengan spin = Β½ dengan momentum p. Elektronmemiliki energi :
ππ,π = ππ 2 + πππ2 2
Dengan me : massa elektron.
β’ Energi ground state dari gas Fermi:
πΈ0 = 2
π <ππΉ
ππ 2 + πππ2 2
=2π
β3ΰΆ±
0
ππΉ
ππ 4ππ2 ππ 2 + πππ2 2
Energi Elektron
Dengan momentum Fermi pF didefinisikan sbg (untuk elektron ):
2 βπ
β34
3πππΉ
3 = π β ππΉ = β3π2
π£
1/3
Dengan substitusi π₯ =π
πππ, maka integral dalam E0 dapat
dituliskan sbg:πΈ0π=ππ4π5
π2β2π£π π₯πΉ
Dengan
π π₯πΉ = ΰΆ±
0
π₯πΉ
ππ₯ π₯2 1 + π₯2
Energi Elektron
Untuk x<<1 maka : π₯2 1 + π₯2 = π₯2 ࡬
ΰ΅°
1 +1
2π₯2 +
1
2
1
2β1
2π₯4 +
β― . = π₯2 +1
2π₯4 +β― .
Untuk x>>1 maka :
π₯2 1 + π₯2 = π₯4 1 +1
π₯2
1/2
= π₯4 1 +1
2
1
π₯2+
12
12β 1
2
1
π₯4+β― . =
= π₯4 +1
2π₯2 +β― . .
Zero Point Pressure
Dengan aproksimasi tsb maka:
π π₯πΉ =
1
3π₯πΉ3(1 +
3
10π₯πΉ2 +β― . ) π₯πΉ βͺ 1
1
4π₯πΉ4(1 +
1
π₯πΉ2 +β― . ) π₯πΉ β« 1
Dengan π₯πΉ =ππΉ
πππ=
β
πππ
3π2
π£
1/3
Tekanan zero point yang ditimbukan gas Fermi diberikan oleh:
π0 = βππΈ0
ππ=
ππ4π5
π2β3βπ π₯πΉ β π
ππ π₯πΉ
πxπΉ
ππ₯πΉ
ππ
π0 =ππ4π5
π2β31
3π₯πΉ3 1 + π₯πΉ
2 β π π₯πΉ
Zero Point Pressure
Untuk kasus non relativistik (xF<<1)
π0 βππ4π5
π2β31
3π₯πΉ3 1 + π₯πΉ
2 β1
3π₯πΉ3(1 +
3
10π₯πΉ2
π0 βππ4π5
π2β31
3π₯πΉ3(1 +
1
2π₯πΉ2) β
1
3π₯πΉ3(1 +
3
10π₯πΉ2
π0 βππ4π5
15π2β3π₯πΉ5
Untuk kasus relativistik ekstreem (xF>>1):
π0 βππ4π5
π2β31
3π₯πΉ3 1 + π₯πΉ
2 β1
4π₯πΉ4(1 +
1
π₯πΉ2)
Zero Point Pressure
π0 βππ4π5
π2β31
3π₯πΉ4 +
1
6π₯πΉ2 β
1
4π₯πΉ4 β
1
4π₯πΉ2 =
ππ4π5
12π2β3π₯πΉ4 β π₯πΉ
2
β’ Jika massa total bintang M dan jari-jarinya R, maka:
β’ π = ππ + 2ππ π β 2πππ
β’ π =3π
4π
1/3
β’ Dengan mp:massa proton. Memakai besaran ini maka :
π£ =π
π=
4
3ππ 3
π=
8ππππ 3
3π
Zero Point Pressure
Dan :
π₯πΉ =β
πππ
1
π
9π
8
π
ππ
1/3
β‘π1/3
π
Dengan definisi
π =9π
8
π
ππdan π =
ππππ
β=
π β
πππ
Zero Point Pressure
β’ Memakai definisi π dan π tsb, dan
β’ πΎ =πππ
2
12π2πππ
β
3, maka:
π0 β4
5πΎ
π5/3
π 5 (kasus non relativistik)
π0 β πΎ(π4/3
π 4 β
π2/3
π 2 ) (kasus extrem
relativistik)
Kesetimbangan Bintang Katai Putih
β’ Kesetimbangan bisa dihitung sbb:
β Andai tak ada gravitasi, maka perlu tekanan dari luar untukmelawan tekanan gas fermi. Besar usaha untukmemampatkan gas tsb dari R= hingga jari-jari tertentu R:
π = β ΰΆ±
β
π
π04ππ2ππ
β Jika sekarang gravitasi ada, maka akan ada gaya tarik antarmassa di dalam bintang tsb, kita hitung usaha untukmembentuk bintang tsb oleh gaya gravitasi (gravitational self-energy ), berdasarkan analisa dimensionalitasbentuknya :
Kesetimbangan Bintang Katai Putih
ππ = βπΌπΎπ2
π Dengan konstanta pembanding (sekitar 1) dan tetapangravitasi umum. Perlu info ttg distribusi massa bintang untukmenghitung .
β’ Pada jari-jari kesetimbangan mestilah usaha oleh gaya luar tsb= - usaha oleh gaya gravitasi
ΰΆ±β
π
π04ππ2ππ = β
πΌπΎπ2
π
Syarat Kesetimbangan
Ambil turunan thd R pers. Di atas, maka syarat kesetimbangan:
P0 =πΌπΎπ2
4ππ 4=
πΌπΎ
4π
8ππ
9π
2 πππ
β
4 π2
π 4 (*)
Sebenarnya persamaan ini mendefinisikan konstanta !
Hubungan M dan R, akan diperoleh untuk 3 kasus :
a. Misal suhu elektron jauh lebih tinggi dari suhu Fermi, sehingga distribusi Fermi-Dirac β gas Boltzmann , sehingga:
π0 =ππ
π£=
3ππ
8πππ
π
π 3
Hubungan M-R
β’ Substitusi ke (*) diperoleh:
π =2
3πΌπ
πππΎ
ππJadi R sebanding dengan M. Hubungan ini tak pernah dijumpaiuntuk bintang katai putih.
b. Misal bintang katai putih memiliki kerapatan (1/v) yang rendahdan bersifat non relativistik (xF<<1), menggunakan P0 untukkasus ini diperoleh:
4
5πΎπ5/3
π 5 = πΎβ²
π2
π 4
Hubungan M-R
Dengan
πΎβ² =πΌπΎ
4π
8ππ
9π
2πππ
β
4
Sehingga diperoleh persamaan:
π5/3
π =4
5
πΎ
πΎβ²Artinya :
jika massa bintang besar maka jari-jarinya kecil. Cocok dengan aproksimasi yg adalah density rendah, ketika R besar dan M kecil.
Hubungan M-R
β’ C. Misal gas elektron memiliki kerapatan besar sehingga efekrelativistik penting (xF>>1), maka dengan P0 yg sesuaididapatkan:
β’ πΎπ43
π 4 β
π23
π 2 = πΎβ²
π2
π 4 atau π = π
2/31 β π/π0
2/3
β’ Dengan
β’ π0 =πΎ
πΎβ²
3/2=
27π
64πΌ
3/2 βπ
πΎππ2
3/2
πππππ π0 β
1033ππ =massa matahari
β’ Aproksimasi ini valid untuk kerapatan tinggi, atau Rβ0. Jadiketika massa mendekati massa matahari.
Limit Chandrasekhar
β’ Berarti : tidak ada bintang katai putihyg massanya lebih besar dari matahari(kalau tidak jari-jarinya akan imajiner)!. Secara fisis hal ini dijelaskan karenakalau massa terlalu besar makatekanan (tolak-menolak) karenaprinsip Pauli tidak akan cukupmelawan oleh keruntuhan bintangkarena gaya gravitasinya.
Note: Perhitungan yg lebih akurat memberikan estimate thd Mβ0 = 1,4 M0 ygdikenal dengan nama limit Chandrasekhar. Jadi tak akan ada bintang ygbisa jadi bintang katai putih kalau massanya lebih dari massaChandrasekhar.
Diamagnetism Landauβ’ Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan
magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehinggaterjadi tolak-menolak.
β’ Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism darikuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruhmedan magnet
β’ Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: π β‘ππ/ππ»
β’ Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan
medan magnet H: π β‘1
π< βππ»0/ππ» >
Diamagnetism Landauβ’ Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan
magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehinggaterjadi tolak-menolak.
β’ Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism darikuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruhmedan magnet
β’ Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: π β‘ππ/ππ»
β’ Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan
medan magnet H: π β‘1
π< βππ»0/ππ» >
Diamagnetism Landauβ’ Dengan H0: hamiltonian sistem dengan adanya medan magnet
luar H.
β’ Untuk Ensembel Kanonik: π = πππ ln ππ/π
ππ»dan
β’ Ensembel Grand Kanonik π = πππ
ππ»
ln π
π π,π,π§
β’ Jika π < 0 maka sistem bersifat diagmagnetik dan jika π > 0bersifat paramagnetik
Model Diamagnetism
β’ Sumber sifat magnetik bahan :
β’ (a) elektron (bebas/terikat) yg bergerak di orbit ygterkuantisasi di bawah medan magnet luar. Hal ini terkaitdengan diagmagnetism
β’ (b) spin elektron yg cenderung paralel dengan medan magnet luar. Hal ini terkait dengan paramagnetism.
β’ Model diagmagnetism :
gas elektron bebas (spinless) di bawah pengaruh medanmagnet luar. Elektron non relativistik.
Model Diamagnetism
Hamiltonian diberikan oleh:
β’ π»0 =1
2πππ +
π
ππ¨
π
β’ Dengan p momentum dan A: vektor potensial magnetik . Konstanta e: besar muatan elektron (+). Sedangkan π― = π» Γπ¨
β’ Pers. Schrodinger sistem ini : π»0π = πΈπ
β’ Asumsi : medan magnet luar : π― = ΰ·ππ», dengan H: konstan(uniform external field), dengan ini maka : π¨ = βπ»π¦ ΰ·π kitapilih Ay=Az=0.
Hamiltonian Sistem
β’ Substitusikan ke pers. Schrodinger akan menghasilkan:
1
2πβ2ππ₯
2 + β2ππ§2 + ππ¦
2 +ππ»
ππ¦
2
β2ππ»
πβππ₯π¦ π = πΈπ
β2
2πππ₯2 + ππ§
2 +1
2πππ¦2 +
1
2π
ππ»
ππ¦
2
β βππ₯ππ»
πππ¦ π
= πΈπ
Pers. Schrodinger System
Pakai definisi frekuensi cyclotron :π0 β‘ππ»
ππ, maka:
β2
2πππ₯2 + ππ§
2 +1
2πππ¦2 +
1
2ππ0
2π¦2 βπ0βππ₯π¦ π = πΈπ
Selanjutnya kuantitas dalam [..] dapat dituliskan sbg:
[..] =1
2mpy2 +
1
2ππ0
2 π¦ β π¦02 β
β2 ππ₯2
2πdengan π¦0 β‘
βπ
ππ»ππ₯
Sehingga persamaan Schrodinger menjadi:1
2πππ¦2 +
1
2ππ0
2 π¦ β π¦02 π π¦ = πΈβ²π(π¦)
Dengan Eβ² = E ββ2 ππ§
2
2π
Energi eigen sistem
Arti:1
2πππ¦2 +
1
2ππ0
2 π¦ β π¦02
Suku : Energi kinetik + potensial dari osilator harmonis dengan pusatosilasi di y0 dengan frekuensi Ο0. Oleh karena itu energi eigen sistemosilator ini adalah:
βπ0 π +1
2, π = 0,1,2,β¦
Dan energi eigen sistem keseluruhan adalah:
πΈβ² = πΈ ββ2ππ§
2
2π= βπ0 π +
1
2ππ‘ππ’ πΈ(ππ§, π) =
ππ§2
2π+ βπ0 π +
1
2
Eβ : kontribusi energi dari komponen gerak arah XY = βπ0(n+1/2 ).
Ingat π0 β‘ππ»
ππ
Energi kinetik darigerak sejajar medan
luar (z)
Energi krn gerak di bidang tegak lurus
medan luar (XY)
Analisa Energi & Level Landau
β’ Jika H=0, maka eigenstates hanyalah gerak di bidang XY saja, dengan spektrum energi diberikan oleh :
β’ πΈβ² =β2ππ₯
2
2π+
β2ππ¦2
2π
β’ Tapi sejalan dengan L (ukuran sistem) β, maka praktisspektrum energi ini kontinu.
β’ Jika H0, maka spektrum energi yg kontinu akan pecahmenjadi satu set tingkat energi diskrit yg degenerate yg
dilabeli bilangan kuantum n, dengan energi Eβ = βπ0 π +1
2
Analisa Energi & Level Landau
β’ Untuk tiap nilai n tertentu, ada banyak status degenerate ygdilabeli kx. Set yg dilabeli satu nilai n disebut level Landau.
β’ Jarak antara 2 Level Landau adalah βπ0 =πβ
πππ». Jelas
semakin besar medan luar, semakin besar juga jarak ini.
β’ Misal elektron ini berada dalam kotak LxLxL. Dengan syaratbatas periodik, maka nilai-nilai kx yg diijinkan adalah
β’ ππ₯ =2πππ₯
πΏ, dengan nx=0, 1, 2,β¦
Degenerasi Level Landau
β’ Tetapi ada batasan nx sebab y0
mestilah: 0y0 L, sehingga nx
mestilah positif.
β’ π¦0 =βπ
ππ»ππ₯ =
βπ
ππ»
ππ₯
πΏ
β’ Berarti nx max :
ππ₯,πππ₯ =ππ»
βππΏ2 β‘ π
g: degenerasi tiap level Landau!
n=0
Susceptibility Magnetik
β’ Fungsi partisi Grand Kanonik:
π =ΰ·
π
(1 + π§πβπ½ππ)
β’ Dengan m =(pz,n,) dengan =1,2,..,g.
ln π =
πΌ=1
π
π=0
β
ππ§
ln(1 + π§πβπ½πππ§,π,πΌ )
mengingat ππ§ = βππ§ =β
2π
2π
πΏππ§ =
β
πΏππ§, sehingga Ξ£ππ§ β
2πΏ
ββ« ππ: banyak momentum pz :ββ,β¦ ,β
Susceptibility Magnetik
Sehingga:
ln π β2ππΏ
β
π=0
ΰΆ±0
β
ππ ln(1 + π§πβπ½π π,π )
Jumlah rata-rata elektron:
N β2ππΏ
β
π=0
ΰΆ±0
β
ππ1
π§β1ππ½π + 1
Pada daerah klasik, yaitu T>>. Pada limit ini zβ 0 agar N tetapberhingga. Sehingga persamaan di ln di ekspansi dan diambilorder-1:
ln 1 + π§πβπ½π βπ§πβπ½π
Susceptibility Magnetik
Sehingga:
ln π β2ππΏπ§
β
π=0
ΰΆ±0
β
πππ§πβπ½π =2ππΏπ§
β
π=0
ΰΆ±0
β
πππ§πβπ½(
π2
2π+βπ0 π+12 )
ln π β2ππΏπ§
β
π=0
πβπ½βπ0 π+
12 ΰΆ±
0
β
πππ§πβπ½(π2
2π)
β2ππΏπ§
β
2πmkT
2
π=0
β
πβπ½βπ0 π+
12
ln π βππΏπ§
π
πβπ½βπ02
1 β πβπ½βπ0=ππΏπ§
π
πβπ₯
1 β πβ2π₯
Aproksimasi suhu Tinggi
Dengan π =β
2πmktπππ π₯ =
π½βπ0
2, aproksimasi untuk x kecil:
πβπ₯
1 β πβ2π₯=
1
ππ₯ β πβπ₯
β1
1 + π₯ +π₯2
2+π₯3
6+β―β (1 β π₯ +
π₯2
2βπ₯3
6+β―)
β1
2π₯ +13π₯3 +β― .
β1
2π₯1 +
1
6π₯2+. .
β1
β1
2π₯(1 β
1
6π₯2 +β―)
Sehingga
ln π βππΏπ§
π
1
2π₯1 β
1
6π₯2 =
ππΏπ§
π
ππ
βπ01 β
1
24
βπ0
ππ
2
Susceptibilitas Magnetik
Dengan mengingat definisi π =ππ»
βππΏ2 dan π0 =
ππ»
ππ, maka faktor
ππΏβ
ππ0= π dengan V=L3. Sehingga :
ln π βπ§π
π31 β
1
24
βπ0
ππ
2
Sekarang kita bisa menghitung susceptibilitas magnetik :
π =π
ππ»π ππππππ π = ππ
π
ππ»
ln π
π
Maka akan diperoleh :
π = βπ§
3πππ3eβ
2ππ
2
Susceptibilitas Magnetik
β’ Jelas π <0 faktor dalam (..) tak lain adalah Bohr Magneton. Variabel z dapat dieliminasi dengan bantuan N denganmempertahankan hingga order satu dalam z.
β’ Hasil akhirnya dapat diperoleh:
π = β1
3πππ£
πβ
2ππ
2
Hasil ini sesuai dengan hukum Curie yang terkenal bahwa π ~1
π