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Chapitre VIII Code dynamique explicite
VIII - Code dynamique expliciteMalgr les rticences initiales de
certains universitaires, la mthode explicite d'intgra-
tion par rapport au temps associe une discrtisation spatiale par
lments finis a prisune importance croissante ces dernires annes.
Elle a la prfrence des concepteurs decodes de calculs industriels -
PAMSTAMP, OPTRIS, etc. - destins rsoudre desproblmes trs fortement
non linaires.
C'est videmment le cas de la simulation de l'emboutissage de
tles minces ointerviennent grands dplacements, grandes dformations,
contact avec frottement...
Cette mthode, moins "pure" que la mthode implicite - en ce sens
qu'il n'y a pasd'itration de correction d'quilibre aprs chaque
incrment de chargement - permetjustement de passer les caps
difficiles d'un calcul incrmental ; difficults qui ne sontparfois
que trs localises mais qui se traduisent par une impossibilit de
convergence etdonc par une absence de solution dans le cas d'un
calcul implicite.
A-.Notions lmentairesAfin de bien prciser certaines notions de
base et de mettre en vidence une restriction
majeure, des cas simples sont prsents dans cette partie.
I - Exemple unidimensionnelDans ce qui suit, on suppose que
l'quation "rsoudre" est :t + T = 0 o t = (r-vm-i)
dtII s'agit, connaissant T = T0 l'instant t = 0, de calculer
l'volution de T l'instant t + At.
a- Mthode implicitei(Tt+At -Tt) = -Tt+At => Tt+At = ^ .Tt;
d'o TtmAt = (^ Mt (r-vm-2)il n'y a donc aucune oscillation ni
instabilit.
b - Mthode expliciteLa mthode porte le qualificatif "explicite"
car les valeurs au pas de temps t sont
utilises pour calculer les inconnues au pas de temps t +At.
i(Tt+At-Tt) = -T t=>T t+At=(i-At).T t; d'o TtmAt - d-At)n.Tt
{1} (r-vm-3)
Connaissant T l'instant t, il est donc possible de calculer T
l'instant t + At, maisavec la restriction At < 1 car, dans ce
cas simple, {1} :
fournit une solution borne si 1 - At < 1 => At < 2 ;-
n'engendre pas d'oscillations si 1 - At > 0 =$ At < 1.
c - Schma semi-implicitei(Tt+* - Tt) = -a.Tt+At - (1 -a).Tt
=> Tt+At = *$$.Tt (r-vm-3)oc = 1 simplicit, a = 0 ^ explicite, a
= schma de Cranck-Nicholson
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Chapitre VIII Code dynamique explicite
2 - Expression matricielle
On s'intresse, cette fois, la formulation : C.t + K.T = o les
matrices C et K sontdfinies positives, c'est dire que : Q = 'X.K.X
> o pour tout vecteur X non nul.
a - Schma impliciteC.[Tt+At - Tt 1 i + K'Tt+At = t+At !
(r-VIII-5)
Le systme rsoudre est: [C + At.K]. AT = R o R = At.(|)t+At -
At.K.Tt et AT = Tt+At - Tt.
b - Schma explicite
C.[Tt+At - Tt 1 + K.Tt = t ; (r-vra-6)
Le calcul effectuer est : AT = C~1.Rt o R t = At.(|> t -
At.K.Tt et AT = [Tt+At -Tt].
Cela suppose cependant, une valeur maximale de At car :
Tt+At = A.Tt + At.C~14> t o A = [l - At.C~1.KjTt+n At reste
born si A,max, la plus grande valeur propre de A, est < 1 ;
(r-vm-7)Si les valeurs propres de [C"1.KJsont notes Lj => Xj = 1
- At.Lj, les conditions deviennent:- stabilit : At < 7-2- ; -
non oscillation : 1 - At.Lmax > 0 =* At < -r-^-
Lmax L-max
Pour peu que C soit diagonale, l'algorithme de rsolution entre
t0 et tn est trs simple :DEBUTTt
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Chapitre VIII Code dynamique explicite
En remplaant dans l'quation choisie, on arrive une galit donnant
Ut+At :
[^ M+lit c}u'+* = Ft -[K-^M}Ut -{*?"- 2*s c]-u'-At (r-vm-10)Nota
: en dbut d'algorithme, il est ncessaire de connatre Uto_At, soit
en l'imposant,
soit en le calculant avec les deux relations {2} => Uto_At =
Uto - At.to + . At2.to;.
b - Valeur critique de AtLa mthode utilisant les diffrences
centres est conditionnellement stable, c'est dire
que doit tre assure la condition : At < Atcr = ^ Tn o Tn est
la plus petite priode propredu systme [1].
Dans la partie suivante, il sera vu comment s'affranchir d'un
calcul de valeurs propresdans le cas d'un assemblage d'lments
finis.
c - RemarqueDans [1], [4] et [7], sont prsentes et compares
entre elles des mthodes autres que
les diffrences centres : Newmark, Wilson 6-method, Houbolt
method, Park, cc-method...On se limite ici aux diffrences centres,
mthode implmente dans le code explicite
ayant fourni les rsultats prsents ultrieurement dans ce
document.
B j^Caicul des structures1 - Formulation matricielle
a - Principe des travaux virtuels
- JJJ^.).dv + JJJ f--dv + JJ.Q.ds - JJJcj..dv = JJJpjQ..dv {3}
(r-vm-i i)
Pour un lment fini e : JJJtr(g.8).dv = JJJ* .(J.dv = f e .JJJ *
B.dv (r-vra-12)
CJt tant connu l'instant t, on retrouve dans la relation
prcdente les efforts"internes" cet instant ; efforts dont la
dfinition a t donne dans le chapitre VI.
b - Forme discrtiseLa forme discrtise de {3} devient: M.+C. +
F5nt =Fext o les efforts extrieurs
regroupent les efforts quivalents dus une pression et les
efforts localiss donns oudus au contact, comme expliqu en C.
Avec C = a.M(et non C = a.M + p.K) et Fext - Fjnt = R, on
obtient: IM.[ + a.] = R (r-vm-is)
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c - Diffrences centres(At)2.t=Ut+At-2BUt+Ut_At 2.Att=Ut+At-Ut_At
P = ^ + ^ q = ^ r r = p-q
= p. M.Ut+At = R + q.WLUt + r.M.Ut_At avec R = Fext - Fint o
Fext 4- t + At et Fjnt -> t
La matrice M tant prise diagonale, comme prcis dans les
paragraphes suivants,1 Rl'quation relative au degr de libert i
s'crit : u(t')At = ( + q.u[l} + r.u(t'lAt) {4} (r-vm-14)P MJJ
Nota - pour un nud libre dans la direction i, la relation {4}
sert calculer u^At;- pour un nud dplacement impos dans cette
direction, u^At est connu et {4}sert calculer le rsidu Rj qui, avec
la composante de l'effort interne, peut donnerla composante de
l'effort de liaison en fin de calcul.
d - Algorithme simplifiDEBUTLire p, a, At, tmax; { p, a peuvent
tre considrs comme des paramtres de rglage}Initialiser Ut,Ut_At ;
{ici, on suppose que les seuls dplacements imposs sont
nuls}Initialiser Fint et a zro; {s'il ne s'agit pas de la reprise
d'un calcul en cours}Calculer M; {voir paragraphes
suivants}Calculer p, q, r; (P^ + ^ At cl = ^ r = P~q}t
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Chapitre VIII Code dynamique explicite
2 - Matrice masse : MA la fois pour des raisons de simplicit de
calcul - voir relation {4} - et parce que la
valeur Atcr sera suprieure - voir paragraphe 3, ci-aprs -, la
matrice M est diagonale etnon pas cohrente (ou "consistante" qui
est traduction brute du terme anglais"consistent") - voir annexe n,
paragraphe B-2.
La mthode dcrite ci-dessous est propose par Hughes dans [7]
pages 445 et 566.
a^ansjationsPour les dplacements u, v, w d'un nud d'un
lment-coque comportant n nuds,
les termes diagonaux de la matrice M, pour cet lment,
s'obtiennent en plusieurs tapes:
Par exemple, en ce qui concerne le dplacement, u, d'un point
courant d'un triangle :u - = N?.U!.+N^.u2 +N.u3 = N>i =
Nu.Ue
. MK = JJJp.NH.Nfdv (sans sommation sur i) ;-mu = 5X;
n . . .
0- M|j
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Chapitre VIII Code dynamique explicite
3 - Estimation du pas de temps
Dans le paragraphe A-3-b, une limite de At a t donne sous la
forme : Atcr = ~Tn.2En posant Tn = 2.7T.con =$ Atcr = o con est la
plus grande pulsation propre, (r-vm-20)
n
Afin d'viter un calcul de valeurs propres, une approche
diffrente est effectue. Elleconsiste en une analogie avec une
simple barre (en traction-compression).a - Barre
Se rfrer l'annexe H, partie E, pour les notions utilises
ci-aprs.K =
p4^ M = |^ ["li5 ^D = M-iBK = |rj^ : matrice dynamique.
La plus grande valeur propre de D est 2 = -^f- = co2 = co2 =
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Chapitre VIII Code dynamique explicite
G- Non-linarit due au contactOutre les deux types de non-linarit
voques dans les chapitres VI et vn, la non-
linarit due au contact est prsente avec la formulation dynamique
explicite. En effet,ce type de codes est largement utilis pour la
simulation de la mise en forme o lesdplacements sont imposs par des
surfaces rigides.
1 - Pnalisation
Dans les paragraphes suivants seul le contact avec Poutillage
est pris en compte. Pourles liaisons "classiques", c'est dire les
suppressions de certains degrs de libert pourassurer l'quilibre de
la structure ou imposer des symtries, une mthode habituelle
depnalisation est utilise.
En occultant ici la notion de repre local, cette pnalisation
consiste, pour imposer undplacement AU| (ligne i dans la
matrice-colonne des dplacements), multiplier le termediagonal KH
(ligne i et colonne i) de la matrice de raideur par un "grand"
coefficient (R).L'effort AFj - dans le second membre - est alors
considr connu et pris gal AUjxR.
a - Mthode incrmentaleDans la mthode dveloppe ici, la gomtrie de
la structure (tle) n'est pas contrainte
suivre exactement celle de l'outillage ; ce sont des efforts
judicieusement calculs quisont appliqus cette structure pour
l'empcher de pntrer dans l'outillage.
En fait, l'outil - indformable et dont la position dans l'espace
l'instant t est connue -correspondent des "ressorts" de grande
raideur agissant dans des directions privilgies ;les efforts en
question sont donc caractristiques d'une lgre pntration.
/n OU|j|On peut imaginer un de ces ressorts comme un lment de \
/ ^^^
longueur nulle connect un nud (k) de la structure d'une f^
-Jd^^part et l'outil d'autre part. Le support de l'effort exerc par
la / ^tle sur ce ressort passe par k et, en l'absence de
frottement, . / /Ana pour direction une normale n une facette de
l'outil. ^"^^J
^Xtle(f-VIII-2) ^X
Si, suivant cette normale et par rapport un repre global fixe,
le dplacement de l'outilest not Agn.n, le dplacement du nud k est
not Aun.n, la loi de comportement de cetlment particulier de
raideur Rn est : AFn = Rn.(Aun - Agn) avec AFn = AFn.n
(r-vm-24)
o : AFn est l'action du nud k sur cet lment.
Toujours en 2 dimensions mais avec du frottement, la loi de
comportement devient :AFn = Rn.(Aun-Agn) ^ Ak = Aun.n + Au,t:tleAFt
=Rt.(Au,.-Agt) AgH = Agn.h + Agt.t : outil
Si frottement "glissant" (Coulomb): Ft = ji. Fn| => Rt = ^
-2- o dt = Y|AjUt - A^ (r-vm-26)dtEn trois dimensions, un repre
local (x, y, n) est utilis tel que, par exemple, l'axe x
reste parallle au plan (X, Z) du repre global fixe.
vm-7 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits
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Chapitre VIII Code dynamique explicite
Si AFX, AFy, AFn sont les efforts exercs par rAFxl [Rt-A9X] [H |
| ] [Aux~le nud k sur l'lment "ressort", la formula- AFy + Rt.Agy =
Rt , Auytion matricielle de cet lment est: (r-vm-27) AP R An ~ ~ ~
~ ~ ~ F T AN
L nj L n wj L nj L n.
On a donc affaire un "lment fini" dont, aprs changement de base,
les coefficientsde la matrice carre sont assembls avec ceux de la
matrice globale de rigidit de la tletandis que les composantes
d'efforts Rt.Agx, Rt.Agy et Rn.Agn, aprs changement debase, sont
ajoutes au second membre de l'quation K.AU = AF.
b - Conditions de contactLes expressions prcdentes restent
vraies en l'absence de contact si Rn = Rt = 0.Avec An.n, la
distance entre k et H en dbut d'incrment (voir f-viiM2), AgH,
l'incrment
de dplacement impos pour l'outil et Aks le dplacement du nud k
calcul (connu enfin d'incrment), un critre gomtrigue de contact
est: - An + Aun - Agn > 0. (r-vm-28)
Une condition mcanique de rupture de contact est : Fn < 0 o
Fn .= AjFn (r-vm-29)
2 - Projection dynamiquea - Remarque pralabley///S//,
Agi Au1w
d1Ti '//////s Au2
Ag2 \d2"L y////// ~T*u3 r=Agi"AuiJLJL ///////t __ d2 = Ag2-Au2 +
d1
Ag3 d3 = Ag3 - Au3 + d2
41 v//////f H(Ag|-Aui)En notant di, la "pntration" d'un nud dans
l'outil aprs le pas i : di = ](Agi- Aui);
iCette "pntration" peut donc tre directement utilise pour
calculer l'effort de contact,
soit l'effort appliquer au nud pour le "ramener" sur la surface
de l'outil au pas (s+1).
b -ConsquenceLa mthode de pnalisation incrmentale s'applique
dans le cas d'un code implicite
o, schmatiquement, est rsolu chaque pas, le systme : K,AU =
AF.
Dans un code explicite doit tre rsolue l'quation matricielle :
M. + C. = Fext -Flrrt.L'ide principale consiste donc appliquer au
nud (de masse m) un effort de contact
de la forme Fc = m.y o l'acclration y est calcule en fonction de
la pntration d pourque, dans un intervalle de temps At, le nud se
dplace de cette distance d suivant lanormale sortante l'outil
considr.
vm-8 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits
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Chapitre VIII Code dynamique explicite
Dans le cas o l'on considre un mouvement uniformment acclr de
vitesse initialev0:^d = ^ .Y-At2 + v0.At ; ce qui donne y et donc
l'effort Fcen l'absence d'amortissement.
c - Mthode initialeEn un nud de masse m et suivant la normale la
surface en contact, on note :ut le dplacement l'instant t ;d* le
dplacement imposer pour ramener ce nud sur la surface t +At ;F-,
effort interne ;Fc effort de contact calculer ; (cet effort est not
Fn dans le paragraphe 1-b).En l'absence d'amortissement, l'quation
matricielle M.+ C. + Fjnt = Fext donne :^(u;+At-2.ut+ut.At) = Fc-Fl
o u;+^=ut.+ d*^Fc=F l+-^-(d*-ut+ut.At)
d - Mthode modifieDans la mthode prcdente la valeur de l'effort
Fc tend, au cours du temps, vers celle
de FJ . La valeur de d*, trs petite, n'est donc pas aisment
exploitable numriquement nipour le test gomtrique de contact ni
pour la gestion de l'ventuel dplacement de lasurface rigide.
Une autre mthode consiste prendre pour effort de contact : Fc*
=-^y(d*-ut +ut_At);y(d*-ut + ut_At) tend alors vers Fj et la valeur
moyenne de pntration d* constate
numriquement reste de l'ordre de 10~3 mm.
e Remarques
- En posant : FC* = m.y* =>Y* =0 .
f - Frottement
Pour tout nud en contact avec un outil, l'effort normal de
contact Fn = Fc*.n est calculcomme prcis dans le paragraphe C-1-b.
A l'instant t, la vitesse du nud par rapport l'outil est dcompose
en vitesses normale et tangentielle : V/outj, = Vn.n + Vt.
Si |vt|| > e => Ft. = -y.Fn.jpjr o Ft est l'effort
tangentiel recherch.
vin - 9 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits
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Chapitre VIII Code dynamique explicite
D Bibliographie dujshapitre VIII[1] BATHE, K.J., Finite lment
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simulation of 3-Dsheet mtal forming, 1991, Zurich.
VIII-10 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits
rservs.
Page de titreTable des matiresI - IntroductionII - Structures de
poutresIII - Elasticit plane et axisymtrieIV - Flexion des plaquesV
- Coques facettisesVI - Non-linarit gomtriqueVII-Non-linarit
matrielleVIII - Code dynamique expliciteA - Notions lmentairesB -
Calcul des structuresC - Non-linarit due au contactD -
Bibliographie
Annexes