Chap 6. 공개키 암호

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Chap 6. Chap 6. 공개키 암호공개키 암호

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목 차목 차1. 공개키 암호 시스템의 원리

2. RSA 알고리즘

3. 키 관리

4. Diffie-Hellman 키교환 알고리즘

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1. 1. 공개키 암호 시스템의 원리공개키 암호 시스템의 원리

관용 암호 방식의 문제점관용 암호 방식의 문제점 키 분배의 문제

디지털 서명이 불가능

기본연산 : 전치와 치환기법 이용

공개키 암호로 해결공개키 암호로 해결 기본연산 : 수학적 함수 이용

(1976 년 Diffe 와 Hellman 에 의해 제기 )

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1.1 1.1 공개키 암호 시스템공개키 암호 시스템

공개키 알고리즘공개키 알고리즘: 두 개의 다른 키 사용

공개키 : 모든 사람이 접근 가능한 키 ( 공개 )

개인키 : 각 사용자 자신만이 소유 ( 비밀 )

( 관용 암호에 사용되는 키는 비밀키라고 함 )

공개키 알고리즘의 특징공개키 알고리즘의 특징 암호 알고리즘과 암호키를 알아도 복호키 계산 불가능

두 개의 키 중 하나는 암호에 다른 하나는 복호에 사용

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관용 암호와 공개키 암호 비교관용 암호와 공개키 암호 비교

관용 암호 공개키 암호

암호 / 복호에 동일한 키와 암호 / 복호에 각각 서로 다른 키 와동일한 알고리즘 사용 동일한 알고리즘 사용

수신자와 송신자는 키를 수신자와 송신자는 연관된 키쌍 중교환해야 함 하나를 알아야 함

공유한 키 ( 비밀키 ) 는 비밀로 유지 키 쌍중 하나 ( 개인키 ) 를 비밀로 유지

키 분배의 어려움 공개키를 공개

디지털 서명 불가능 디지털 서명 가능

속도가 빠름 속도가 느림

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공개키 암호의 단순 모델공개키 암호의 단순 모델: A 가 B 에게 암호화 메시지를 보내는 경우

암호 알고리즘 복호 알고리즘

사용자 A 사용자 B

평문 암호문 평문

B 의 공개키 B 의 개인키

1. 공개키와 개인키 생성2. 공개키는 공개하고 개인키는 개인이 소유3. A 는 B 의 공개키로 메시지를 암호화4. B 는 자신의 개인키로 메시지 복호화 (B 의 개인키를 모르는 제 3 자는 메시지 복호 불가능 )

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공개키 암호 시스템 공개키 암호 시스템 : : 기밀성기밀성: 공개키로 암호화함으로써 메시지 기밀성 제공

암호화 복호화




암호 해독자

키 쌍 출처키 쌍 출처

암호문과 공개키로부터평문 획득 불가능

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공개키 암호 시스템 공개키 암호 시스템 : : 인증인증: 개인키로 서명함으로써 송신자 인증 제공

암호화 복호화


평문 서명문 평문

A 의 공개키 A 의 개인키

암호 해독자


개인키를 알 수 없음으로위조된 서명문 작성 불가능( 평문은 알 수 있음 )

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공개키 암호 시스템 공개키 암호 시스템 : : 기밀성과 인증기밀성과 인증: 개인키로 서명하고 공개키로 암호화하여 기밀성과 인증 제공

암호화 복호화





A 의 공개키 A 의 개인키


암호화 복호화서명문 서명문

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1.2 1.2 공개키 암호 시스템의 응용공개키 암호 시스템의 응용

공개키 암호 시스템의 사용공개키 암호 시스템의 사용 암호 / 복호 ( 수신자의 공개키로 메시지 암호 )

디지털 서명 ( 송신자의 개인키로 메시지 서명 )

키 교환 ( 세션키를 교환하기 위해 사용 )

공개키 암호 시스템의 응용공개키 암호 시스템의 응용

알고리즘 암호 / 복호화 디지털 서명 키 교환

RSA 가능 가능 가능

DSS 불가능 가능 불가능

Diffie-Hellman 불가능 불가능 가능

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1.3 1.3 공개키 암호를 위한 요구 사항공개키 암호를 위한 요구 사항

공개키 알고리즘의 조건 공개키 알고리즘의 조건 (Diffie(Diffie 와 와 Hellman)Hellman) 키 쌍 ( 공개키 KU, 개인키 KR) 의 생성이 쉽다 .

다음 식과 같은 암호문의 생성이 쉽다 .

C = EKUb(M)

다음식과 같은 암호문의 복구화가 쉽다 .

M = DKRb(C) = DKRb[EKUb(M)]

공개키 KUb 로부터 개인키 KRb 를 결정하는 것은 어렵다 .

공개키 KUb 와 암호문 C 로부터 메시지 M 의 복구가 어렵다 .

암호와 복호 기능이 다음과 같이 적용 가능하다 . ( 추가 사항 )

M = EKUb[DKRb(M)]

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1.4 1.4 공개키 암호 분석공개키 암호 분석

공격 유형공격 유형 전사적 공격에 취약

키의 크기를 크게 함으로써 방지 ( 상대적으로 속도가 느려짐 )

공개키로부터 개인키를 계산하는 방법

수학적으로 계산이 불가능함을 증명하지 못함

가능한 메시지 공격 : 모든 가능한 메시지를 공개키로 암호화하여 암호문과 비교

메시지에 임의의 비트를 추가함으로써 방지

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2. RSA 2. RSA 알고리즘알고리즘2.1 2.1 알고리즘 설명알고리즘 설명 RSARSA 의 개발의 개발

: 1977 년에 개발되어 1978 년에 공포 (Rivest, Shamir, Adleman)

평문 블록은 키의 길이보다 작아야 함 비밀키 암호방식 (DES) 보다 계산이 늦음 소인수 분해의 어려움에 근거

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알고리즘알고리즘 평문은 블록으로 암호화 암호화

C = Me mod n

복호화M = Cd mod n = (Me)d mod n = Med mod n

공개키 : KU = {e, n}, 개인키 : KR = { d, n }

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MMeded = M mod n = M mod n 의 증명의 증명 오일러 정리

• p,q ( 솟수 ), n = qp, 정수 n, m (0mn), k ( 임의의 정수 ) 일 때• mk(n)+1 = mk(p-1)(q-1)+1 = m mod n

(n) : n 보다 적고 n 과 서로소인 양의 정수가 되는 함수 ( p,q 가 솟수일 경우 , (pq) = (p-1)(q-1) )

• ed = k(n) + 1ed = 1 mod (n)e = d-1 mod (n) e 와 d 는 mod (n) 에 곱셈 역원 (e 와 d 가 (n) 에 서로소인 경우에만 참 )

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RSA RSA 알고리즘 정리알고리즘 정리 키 생성

• p, q 선택 ( p, q 는 솟수 )• n = p q 계산• 정수 d 선택 ( gcd((n),d) =1, 1<d< (n) )• e 계산 ( e = d-1 mod (n) )• 공개키 ( KU = {e, n} )• 개인키 ( KR = {d, n} )

암호화• C = Me ( mod n )

복호화• M = Cd ( mod n )

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RSA RSA 알고리즘 사용 예알고리즘 사용 예 공개키와 개인키 생성

1. 두 솟수 p = 7, q = 17 을 선택

2. n = pq = 7 17 = 119 계산

3. (n) = (p-1)(q-1) = 96 계산

4. (n) = 96 과 서로소이고 (n) 보다 작은 e 선택 ( e = 5 )

5. de = 1 mod 96 이고 d < 96 인 d 를 결정 (d = 77)

공개키 KU = {5, 119}, 개인키 KR = {77, 119}

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RSA RSA 알고리즘 사용 예 알고리즘 사용 예 (( 계속계속 )) 암호화와 복호화

: 평문 메시지 M = 19 일 경우• 암호문 : 195 = 66 mod 119 66

• 복호문 : 6677 = 19 mod 119 19

평문19

2476099 20807195 = = 119 나머지 : 66

1.27…10140 1.06 …10138

6677 = = 119 나머지 : 19

평문19

암호문66

암호화 복호화

KU = 5, 119 KR = 77, 119

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예제예제 p=11, q=3p=11, q=3 M=5 M=5 일때 키를 생성하고 암호 복호화 과정을 일때 키를 생성하고 암호 복호화 과정을

제시하시오제시하시오 ..

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2.2 2.2 계산적인 측면계산적인 측면

암호화와 복호화암호화와 복호화 Me, Cd : 지수승계산 => 중간과정 이후의 큰 숫자 계산량 증대 중간 결과를 mod n 으로 계산하여 숫자 크기 축소 계산량을 줄이는 방법

• 모듈러 연산의 특징 이용[(a mod n) (b mod n)] mod n = (a b) mod n

중간 결과를 축소

• 효율적인 지수 승– 직접적인 방법 (x16 일 경우 )

: x16 = xxxxxxxxxxxxxxxx 15 번의 곱셈

– 효율적인 방법: x2, x4, x8, x16 4 번의 곱셈

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키 생성키 생성 랜덤한 큰 솟수를 찾는 방법 ( 확률적 검사법 )

1. 랜덤하게 홀수 n 을 선택2. 랜덤하게 a<n 인 정수 a 를 선택3. 확률적 솟수 판정법 수행 ( 만약 n 이 검사에서 실패하면 1 단계로 )4. n 이 충분한 횟수로 통과하면 n 을 수용 , 그렇지 않으면 2 단계로

솟수 생성을 위한 검사 횟수• N 에 가까운 솟수는 (ln N) 에 대하여 평균 1 회 생성• ex) 2200 범위의 솟수 ln(2200)/2 = 70 회 정도 시행

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암호 해독의 고찰암호 해독의 고찰 암호 해독의 접근 방법

• 전사적 공격 큰 키를 사용하여 방지

• 인수 n 를 두 소인수로 인수 분해 큰 값에 대한 두 솟수의 곱을 인수 분해하는 적당한 알고리즘이 없음

• p 와 q 을 결정하지 않고 직접 (n) 을 결정 인수 분해만큼 어려움

(n) 을 결정하지 않고 직접 d 를 결정 인수 분해만큼 어려움

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인수분해 시간인수분해 시간 자릿수 인수분해시간 100 2 주일 150 1 년 (1000 만 달러 소요 )

200 1500 년 (10 억달러 , 초당 1012 처리 )

제안사항제안사항 (( 인수 분해를 어렵게인수 분해를 어렵게 )) n= 10150~10200

p, q= 1075~10100

(p-1),(q-1) 은 큰 솟수 gcd(p-1, q-1) 은 작아야 e<n 이고 d<n1/4 일때 d 는 쉽게 결정 by WIEN90

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3. 3. 키 관리키 관리3.1 3.1 공개키의 분배공개키의 분배

공개키의 공개 발표공개키의 공개 발표 자신의 공개키를 다른 사용자에게 전송 등의 방법으로 공개 문제점

• 어떤 사용자가 다른 사용자 A 로 위장하여 공개키 공개 (A 에 전송되는 암호화 메시지를 읽을 수 있게 됨 )


KUa

KUa

KUa

KUa

.

.

.

KUb

KUb

KUb

KUb

.

.

.

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공개적으로 사용 가능한 디렉토리공개적으로 사용 가능한 디렉토리 필요한 사항

• 기관은 각 가입자에 대한 { 이름 , 공개키 } 의 디렉토리 유지

• 각 가입자는 디렉토리 기관에 공개키 등록• 가입자는 필요시 새로운 것으로 교체 가능• 기관은 디렉토리를 공포• 가입자는 전자적으로 디렉토리 접근 가능

문제점• 디렉토리 정보를 수정• 위조의 공개키로 임의의 가입자로 위장하여 도청

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공개적으로 사용 가능한 디렉토리 공개적으로 사용 가능한 디렉토리 (( 계속계속 ))


공개키디렉토리

KUa KUb

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공개키 기관공개키 기관: 공개키 기관에서 공개키 분배 제어

시행자 A 대응자 B

공개키 기관(1) Request || Time1 (4) Request || Time2

(2) EKRau[KUb || Request || Time1]

(5) EKRau[KUa || Request || Time2]

(3) EKUb[IDA || N1]

(6) EKUa[N1 || N2]

(7) EKUb[N2]

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공개키 기관 공개키 기관 (( 계속계속 ))

(1) 단계• B 의 공개키에 대한 요구를 타임스템프와 함께 전송

(2) 단계• 공개키 기관은 B 의 공개키와 (1) 단계의 메시지를

자신의 개인키로 암호화하여 전송

(3) 단계• B 의 공개키를 저장하고 , A 의 식별자 (IDA) 와 임시비표

(N1) 을 B 의 공개키로 암호화하여 전송

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공개키 기관 공개키 기관 (( 계속계속 ))

(4), (5) 단계• B 는 (1), (2) 단계와 같은 방법으로 A 의 공개키 획득

(6) 단계• B 는 임시비표 N1, N2 를 A 의 공개키로 암호화하여 전송

(7) 단계• A 는 N2 를 B 의 공개키로 암호화하여 전송

문제점• 공개키 디렉토리 수정에 취약

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공개키 인증서공개키 인증서 공개키 기관의 도움없이 인증서를 이용하여 키 교환

인증서 방식을 위한 요구 사항• 임의의 가입자는 인증서의 내용 ( 이름 , 공개키 ) 확인

가능• 임의의 가입자는 인증서의 정당성 확인 가능• 인증 기관만이 인증서 생성과 갱신 가능• 임의의 가입자는 인증서의 현행성 확인 가능

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공개키 인증서 공개키 인증서 (( 계속계속 ))

시행자 A 대응자 B

공개키 기관 KUa

CA = EKRau[ Time1, IDA, Kua ]

(1) CA

(2) CB

KUb

CA = EKRau[ Time2, IDB, Kub ]

: 사용자는 공개키 인증서를 받은 후 인증서로 공개키 전송

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3.2 3.2 비밀키의 공개키 분배비밀키의 공개키 분배

공개키의 사용처공개키의 사용처: 공개키는 느리기 때문에 관용 암호의 비밀키 분배에 많이 사용

단순 비밀키 분배단순 비밀키 분배


(1) Kua || IDA

(2) EKUa[Ks]

(1) 단계• A 는 공개키 쌍 {KUa, KRa} 을 생성하고 , 식별자 IDA 와 함께

공개키 전송(2) 단계

• B 는 비밀키 Ks 를 생성하고 A 의 공개키로 암호화하여 전송

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단순 비밀키 분배 단순 비밀키 분배 (( 계속계속 )) 문제점

: 적극적인 공격에 약함(1) A 는 공개키 쌍 {KUa, KRa} 을 생성하고 , 공개키 전송

(2) E 는 메시지를 가로채고 , 자신의 공개키 (KUe) 를 전송

(3) B 는 비밀키 Ks 를 생성하고 E 의 공개키로 암호화하여 전송EKUe[Ks]

(4) E 는 메시지를 가로채어 Ks 를 획득(DKRe[EKUe[Ks]] = Ks

(5) E 는 A 에게 EKUa[Ks] 전송

E 는 A 와 B 가 모르게 비밀값 Ks 획득 ( 도청 공격 )

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기밀성과 인증을 가지는 비밀키 분배기밀성과 인증을 가지는 비밀키 분배: 적극적 , 소극적 공격에 대한 해결

사용자 A 사용자 B(4) EKUb [EKRa [Ks]]

(1) EKUb [N1 || IDA]

(2) EKUa [N1 || N2]

(3) EKUb [ N2]

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기밀성과 인증을 가지는 비밀키 분배 기밀성과 인증을 가지는 비밀키 분배 (( 계속계속 ))

: 공개키를 교환했다고 가정

(1) 단계• A 의 식별자와 임시비표 (N1) 를 B 의 공개키로 암호화하여 전송

(2) 단계• B 는 새로운 임시비표 (N2) 와 N1 을 A 의 공개키로 암호화하여 전송

(3) 단계• A 는 보증을 위해 B 의 공개키로 암호화한 N2 을 반환

(4) 단계• A 는 비밀키 Ks 를 선택하여 M=EKUb[EKRa[Ks]] 를 B 에게 전송

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혼합 방식혼합 방식

키 분배 센터 (KDC) 의 사용을 유지: 각 사용자에게 마스터키를 나누어주고 , 마스터키로

암호화 된 비밀 세션키를 분배

공개키 방식은 마스터키를 분배하기 위해 사용

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4. Diffie-Hellman 4. Diffie-Hellman 키교환 키교환 알고리즘알고리즘 19761976 년 년 DiffieDiffie 와 와 HellmanHellman 에 의해 개발에 의해 개발 사용자들간에 효율적으로 키 교환 가능사용자들간에 효율적으로 키 교환 가능

인증 메시지에 비밀 세션키를 포함한 전달이 불필요

세션키를 암호화해서 전달할 필요 없음 ( 로컬 계산 )

One-time random secret value 를 사용 ( 키 노출시 one traffic 만 손상 )

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알고리즘의 원리알고리즘의 원리 임의의 소수 P 에 대해서 근의 멱승이 1 부터 p-1 까지의 모든

정수를 생성하는 원시근을 α 라고 함 α 의 멱승에 대한 mod p 의 계산 결과 (α mod p, α2 mod p,… , αp

-1 mod p) 가 { 1, 2, 3, …, p-1} 까지의 각각 다른 정수를 생성 소수 p=7, 원시근 α =3 일때 b= αi mod p 에서

• 31 mod 7 = 3, 32 mod 7 = 2, 33 mod 7 = 6

34 mod 7 = 4, 35 mod 7 = 5, 36 mod 7 = 1

=> 계산 결과 b 는 1 부터 6 까지의 각각 다른 정수를 구성

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Diffie-Hellman Key Exchange AlgorithmDiffie-Hellman Key Exchange Algorithm

AA

랜덤한 랜덤한 a a 선택선택XXAA==ααaa mod p mod p 계산계산

KKABAB=X=XBBaa mod p mod p 계산계산

BB

랜덤한 랜덤한 b b 선택선택XXBB==ααbb mod p mod p 계산계산

KKABAB=X=XAAbb mod p mod p 계산계산

AA 와 와 BB 는 소수 는 소수 pp 와 원시근 와 원시근 αα 공유공유

XXAA

XXBB

KKABAB=X=XBBaa mod p mod p=X=XAA

bb mod p= mod p= ααabab mod p mod p

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Diffie-Hellman Diffie-Hellman 의 안전성의 안전성공격자는 공개된 값 p, α, XA, XB 를 갖고 공격키를 결정하기 위해서는 이산대수를 계산

• a= indα p (XA)• a 를 찾는것이 불가능하면 안전• 임의의 정수 XA 와 소수 p 의 원시근 α 에 대해서

다음과 같은 유일한 지수 a 가 존재– XA=αa mod p : 0<=a<=(p-1)– 지수 a 를 밑수 α 와 mod p 에 대한 a 의

이산대수 또는 인덱스라 하며 , indα p (XA) 로 표현

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Diffie-Hellman Diffie-Hellman 키교환의 예제키교환의 예제 α =3, p=7

α =3, p=19

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과제물과제물 RSA RSA 알고리즘의 암호화알고리즘의 암호화 // 복호화 과정을 프로그래밍 복호화 과정을 프로그래밍

하시오하시오 .. 다음 다음 RSA RSA 알고리즘을 이용해서알고리즘을 이용해서

두 솟수 p=7, q=17 일때 임의의 공개키 비밀키 쌍을 생성한 다음 본인의 학번을

암호화 하고 복호화 하시오 .

손으로 그 과정 제출 Diffie-Hellman Diffie-Hellman 키교환 알고리즘을 이용해서키교환 알고리즘을 이용해서

P=17 일때 손으로 키교환하는 과정을 제출

Chap 6. 공개키 암호

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