Chap 4. The Propagation of Light Wavefront: 같은 위상(phase)을 가진 파의 면. [A surface over the optical disturbance with a constant phase]. Huygens's principle: 일차 wavefront에 있는 모든 점은 2 차 구형파의 작은 파도(wavelet) source로서 역할하며, 어떤 시간 후 그 일차 wavefront는 이러한 2 차 wavelet들의 envelop이 다. 또한 그 wavelet들은 각 점의 공간에서 일차 파와 같은 속도와 주파수로서 진행한다. [Every point on a primary wavefront serves as the source of spherical secondary wavelets, such that the primary wavefront at some later time is the envelope of these wavelets. Moreover, the wavelets advance with a speed and frequency equal to those of the primary wave at each point space] 4.1 빛의 반사와 굴절 용어의 정의 Plane of incidence: 입사광과 입사면에 수직인 선이 만드는 평면 [Plane due to the incident ray and the normal to the interface]. Coplanar vectors: 동일 평면상에 있는 벡터. Specular reflection(정반사): 고르고 편편한 표면의 반사[Reflection on a smooth surface]. Diffuse reflection(난반사): 거친 표면에서의 반사[Reflection on a rough surface]. Ray: 방사 에너지의 흐름 방향과 일치하는 공간으로 그려진 선. 반사(Reflection)와 굴절(Refraction) 입사평면: 경계면에 수직인 법선과 입사광이 이루는 면. 입사각 ( i ): 법선과 입사광 사이의 각. 반사각( r ): 법선과 반사광 사이의 각. 굴절각( t ): 법선과 굴절광 사이의 각. 반사법칙: i r (4.1) 굴절법칙(Snell's law): sin sin i i t t n n (4.2) sin sin i t ti t i n n n (4.3) 여기서 i n 와 t n 는 입사광과 굴절광이 지나가는 물질의 굴절률(refractive index)이다. 굴절률은 입사광의 파장에 따라 다르며 파장이 짧은 광의 굴절률은 긴 파장의 굴절률보다 크다. (예) 물방울 속에 입사한 백색광은 두 번 굴절하여 되돌아 공기 속으로 나온다. 이때 굴절률이 색 깔마다 다르기 때문에 무지개가 형성된다. 푸른색 광의 굴절률 > 붉은색 광의 굴절률, 즉 푸른색 파장 < 붉은색 파장
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Chap 4. The Propagation of Light
Wavefront: 같은 위상(phase)을 가진 파의 면.
[A surface over the optical disturbance with a constant phase].
Huygens's principle: 일차 wavefront에 있는 모든 점은 2 차 구형파의 작은 파도(wavelet)
source로서 역할하며, 어떤 시간 후 그 일차 wavefront는 이러한 2 차 wavelet들의 envelop이
다. 또한 그 wavelet들은 각 점의 공간에서 일차 파와 같은 속도와 주파수로서 진행한다.
[Every point on a primary wavefront serves as the source of spherical secondary wavelets,
such that the primary wavefront at some later time is the envelope of these wavelets.
Moreover, the wavelets advance with a speed and frequency equal to those of the primary
wave at each point space]
4.1 빛의 반사와 굴절
용어의 정의
Plane of incidence: 입사광과 입사면에 수직인 선이 만드는 평면 [Plane due to the incident ray
and the normal to the interface].
Coplanar vectors: 동일 평면상에 있는 벡터.
Specular reflection(정반사): 고르고 편편한 표면의 반사[Reflection on a smooth surface].
Diffuse reflection(난반사): 거친 표면에서의 반사[Reflection on a rough surface].
Ray: 방사 에너지의 흐름 방향과 일치하는 공간으로 그려진 선.
반사(Reflection)와 굴절(Refraction)
입사평면: 경계면에 수직인 법선과 입사광이 이루는 면.
입사각 ( i ): 법선과 입사광 사이의 각.
반사각( r ): 법선과 반사광 사이의 각.
굴절각( t ): 법선과 굴절광 사이의 각.
반사법칙: i r (4.1)
굴절법칙(Snell's law): sin sini i t tn n (4.2)
sin
sin
i tti
t i
nn
n
(4.3)
여기서 in 와 tn 는 입사광과 굴절광이 지나가는 물질의 굴절률(refractive index)이다. 굴절률은
입사광의 파장에 따라 다르며 파장이 짧은 광의 굴절률은 긴 파장의 굴절률보다 크다.
(예) 물방울 속에 입사한 백색광은 두 번 굴절하여 되돌아 공기 속으로 나온다. 이때 굴절률이 색
깔마다 다르기 때문에 무지개가 형성된다.
푸른색 광의 굴절률 > 붉은색 광의 굴절률, 즉 푸른색 파장 < 붉은색 파장
2
전반사(Total reflection)
빛은 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 진행할 때 어느 각 이상
이 되면 입사광은 두 물질의 경계면을 따라 나간다. 이 입사각을
임계각(critical angle)이라 하며 그 이상의 입사각에서는 빛이 밖
으로 나감이 없이 경계면에서 반사하고 이것을 전반사라 한다. 이
경우 Snell's law 를 적용하면
o 1sin sin90 sin t
i c t t c
i
nn n n
n (4.4)
전반사를 이용하는 대표적인 물질은 광섬유(optic fiber)이다.
반사에 의한 편광(polarization)
편광되지 않은 입사광이 어떤 일정한 각이 되면 입사면에
수직성분만 반사된다. 편광을 시작하는 이때의 각을
Brewster’s angle이라 하고, 입사각과 굴절각 사이에는
다음의 수식이 성립한다.
o90B t (4.5)
여기에 Snell's law 를 적용하면
osin sin sin(90 ) cosi B t t t B t Bn n n n
1sintan ( )
cos
t tBB
B i i
n n
n n
(4.6)
4.2 Fermat's Principle
빛은 두 점 사이의 거리를 지날 때 가장 짧은 시간이 걸리는 경로를 택한다.
[The actual path between two points taken by a beam of light via a reflecting surface is the
one that is traversed in the least time]
이 원리로부터 Snell’s law를 유도할 수 있다. 우측 그림에서 점
S 를 출발한 광이 점 O를 거쳐 점 P 에 도달하는 시간은 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2( ) [ ( ) ]
i t i t
SO OP h x b a xt
v v v v
(4.7)
( )t x 의 최소화 조건: 0dt
dx
2 2 1/ 2 2 2 1/ 2
( )0
( ) [ ( ) ]i t
dt x a x
dx v h x v b a x
(4.8)
o
2 2 1/ 2cos(90 ) sin
( )i i
x
h x
(4.9)
2 2 1/ 2
( )sin
[ ( )]t
a x
b a x
(4.10)
3
(4.9)와 (4.10)에 의해 (4.8)은
sin sini t
i tv v
(4.11)
물질 내에서 빛의 속도: c
vn
(4.12)
여기서 n은 물질의 굴절률이다. 따라서 (4.11)은 Snell's law(Law of refraction)의 또 다른 표현
이다. 즉 /iv c n , /t tv c n 를 대입하면 (4.2)의 Snell's law 가 얻어진다.
sin sinsin sin
/ /
i ti i t t
i t
n nc n c n
다양한 물질로 이루어진 물체에서의 Fermat's principle
각 물질에서 빛이 통과하는 거리를 1 2 3, , ,s s s 그리고 빛의 속도를 각각 1 2 3, , ,v v v 라 하면 빛
이 출발점으로부터 최종점에 도달하는 데 걸린 최소시간은
1 2
1 2
m
m
ss st
v v v (4.13)
1 1 1
1
/
m m mi i
i i
i i ii i
s st t n s
v c n c
(4.14)
광로(OPL: optical path length): 1
OPLm
i i
i
n s
(4.15)
굴절률 n이 위치(position)의 함수일 때 광로: OPL ( )P
Sn s ds (4.16)
4.3 Fresnel Equations
편광된 전자기파가 반사와 굴절할 때 굴절률에 따라 어떻게 편광이 변하는지 수식의 유도를 통해
알아본다. 입사 전기장 iE 에 대한 반사 rE 과 굴절 rE 의 비, 즉 /r iE E 과 /t iE E 를 구하는 것
이 최종 목표이다.
4.3.1 입사평면에 iE 는 수직, iB 는 평행
각 평면에 놓인 벡터들은 다음의 관계가 성립한다.
k E vB (4.17)
k 0E (4.18)
여기서 k 은 전자기파의 진행방향에 대한 unit vector.
각 부분에서의 E 와 B 의 관계
ii
i
EB
v , r
r
r
EB
v , t
t
t
EB
v (4.19)
입사평면과 반사평면의 굴절률은 i rn n , 그리고 /v c n 를 이용하면 (4.19)는
i ii
n EB
c , i rr r
r
n En EB
c c , t t
t
n EB
c (4.20)
4
물질 속에서 자기장은 /H B 이고, 경계(boundary)에서 이것의 접선성분은 연속이어야 한다.
cos cos cosi tri r t
i r t
B BB
(4.21)
강자성 물질(ferromagnetic material)이 아닌 경우 i r t , 그리고 반사에서 i r .
따라서 (4.21)은 다음과 같다.
cos cos cosi i r i t tB B B (4.22)
(4.20)의 관계식을 (4.22)에 대입하면
( )cos cosi i r i t t tn E E n E (4.23)
그림에서 E 는 평면에 수직성분만 있으므로 두 물질의 경계에서 전기장은 아래 수식이 성립하여
야 한다(전기장의 연속조건).
i r tE E E (4.24)
(4.24)의 tE 를 (4.23)에 대입하고 /r iE E 의 비를 구하면
( )cos ( )cosi i r i t i r tn E E n E E
( cos cos ) ( cos cos )i i t t i i i t t rn n E n n E
cos cos( )
cos cos
i i t tr
i i i t t
n nE
E n n
(4.25)
이번에는 (4.23)의 rE 에 (4.24)의 r t iE E E 를 대입하여 /t iE E 를 구하면
[ ( )]cos cosi i t i i t t tn E E E n E
(2 cos ) ( cos cos )i i i i i t t tn E n n E
2 cos
( )cos cos
t i i
i i i t t
E n
E n n
(4.26)
(4.25)와 (4.26)은 linear, isotropic, homogeneous media에 대한 두 개의 Fresnel 방정식이다.
여기서 는 E 가 입사평면(The plane of incidence)에 수직임을 나타내는 기호이다.
4.3.2 입사평면에 E 가 평행이며 B 가 수직
입사하는 물질의 경계에서 E 의 접선성분은 연속성을 가지
며 다음의 경계조건이 성립한다. i r 을 이용하면
cos cos cosi i r r t tE E E
( )cos cosi r i t tE E E (4.27)
두 물질의 경계에서 B 는 아래 수식이 성립한다.
i r t
i r t
B B B
(4.28)
강자성 물질(ferromagnetic material)이 아닌 경우 i r t . 그림에서 B 들은 평면에 수직인
성분, 즉 z 축 성분만 존재하므로 (4.28)은 다음 수식으로 간략하게 된다.
i r tB B B (4.29)
(4.20)의 관계식을 (4.29)에 대입하면
5
( )i i r t tn E E n E (4.30)
(4.27)을 tE 로 표현하여 이것을 (4.30)에 대입하고 /r iE E 을 구하면
cos( )( )
cos
it i r
t
E E E
cos( ) ( )( )
cos
ii i r t i r
t
n E E n E E
( cos cos ) ( cos cos )i t t i i i t t i rn n E n n E
cos cos( )
cos cos
t i i tr
i i t t i
n nE
E n n
(4.31)
다시 (4.27)을 rE 로 표현하여 (4.30)에 대입하고 /t iE E 를 구하면
cos( )cos
tr i t
i
E E E
cos[ ( ) ]
cos
ti i i t t t
i
n E E E n E
(2 cos ) ( cos cos )i i i i t t i tn E n n E
2 cos( )
cos cos
t i i
i i t t i
E n
E n n
(4.32)
sin( )i oiE E kr t , sin( )r orE E kr t , sin( )t otE E kr t 이므로 위에서 구한 4 개의
Fresnel 방정식을 요약하면 다음과 같다. 여기서
r : Amplitude reflection coefficient
t : Amplitude transmission coefficient
cos cos( )
cos cos
or i i t t
oi i i t t
E n nr
E n n
(4.33)
2 cos( )
cos cos
ot i i
oi i i t t
E nt
E n n
(4.34)
cos cos( )
cos cos
or t i i t
oi i t t i
E n nr
E n n
(4.35)
2 cos( )
cos cos
ot i i
oi i t t i
E nt
E n n
(4.36)
입사각 0i (수직입사)인 경우 cos cos 1i t 이므로 위의 4 개의 방정식은 다음과 같다.
i t
i t
n nr
n n
(4.37)
2 i
i t
nt
n n
(4.38)
t i
i t
n nr
n n
(4.39)
2 i
i t
nt
n n
(4.40)
6
4.4 Fresnel 방정식의 물리적 해석
4.4.1 수직 입사일 때 Amplitude Coefficients
Normal incidence ( 0i : 면에 수직입사)일 때 (4.37)은 부호가 반대인 (4.39)와 같고, (4.38)은
(4.40)과 같다.
0 0[ ] [ ] t i
t ii i
n nr r
n n
(4.41)
0 0
2[ ] [ ] i
t ii i
nt t
n n
(4.42)
(예) 공기( 1in )와 유리( 1.5tn )의 경계에 수직으로 들어온 빛의 반사계수 r 과 투과계수 t 는
0 0
1.5 1[ ] [ ] 0.2
1.5 1i ir r r
0 0
2(1)[ ] [ ] 0.8
1.5 1i it t
4.4.2 굴절률이 소거된 r 과 t 의 분석
Snell’s law 를 이용하여 굴절률들을 소거한 후, 파가 반사와 굴절할 때 위상변화를 조사한다.
Snell’s law: sin
sin sin ( )sin
t ii i t t
i t
nn n
n
cos cos cos ( / )cos
cos cos cos ( / )cos
i i t t i t i t
i i t t i t i t
n n n nr
n n n n
cos (sin / sin )cos
cos (sin / sin )cos
i i t t
i i t t
cos sin sin cos sin( )
cos sin sin cos sin( )
i t i t i t
i t i t i t
2 cos 2cos
cos cos cos ( / )cos
i i i
i i t t i t i t
nt
n n n n
2cos
cos (sin / sin )cos
i
i i t t
2cos sin 2cos sin
cos sin sin cos sin( )
i t i t
i t i t i t
cos cos ( / )cos cos
cos cos cos ( / )cos
t i i t t i i t
i t t i t t i i
n n n nr
n n n n
(sin / sin )cos cos
cos (sin / sin )cos
i t i t
t i t i
cos sin cos sin tan( )
cos sin cos sin tan( )
i i t t i t
i i t t i t
2 cos 2cos
cos cos cos ( / )cos
i i i
i t t i t t i i
nt
n n n n
2cos sin
sin( )cos( )
i t
i t i t
※ tan tan (sin / cos ) (sin / cos )
tan( )1 tan tan 1 (sin / cos )(sin / cos )
i t i i t t
i t
i t i i t t
sin cos sin cos
cos cos sin sin
i t t i
i t i t
위의 식들을 종합하면
7
sin( )
sin( )
i t
i t
r
(4.43)
2cos sin
sin( )
i t
i t
t
(4.44)
tan( )
tan( )
i t
i t
r
(4.45)
2cos sin
sin( )cos( )
i t
i t i t
t
(4.46)
(i) External case ( t in n 인 경우로 i t )
(a) sin( )
sin( )
i t
i t
r
0 for all ir
입사평면에 수직인 iE 는 반사할 때 위상변화(phase
shift) rad 가 발생하며 그 결과 0r 이다. 즉
iE 와 rE 의 위상차는 rad 로 out-of-phase이며,
서로 반평행(antiparallel)하다. 파장으로 말하면 입사파와
반사파의 파장 차는 반 파장이다.
(b) 2cos sin
sin( )
i t
i t
t
0 for all it
투과한 빛은 모든 각에 대하여 0t , 따라서 위상변화는 0 이다. 즉 iE 와 tE 는 in-
phase이며 둘은 평행(parallel)하다.
(c) tan( )
tan( )
i t
i t
r
0 or 0 or 0 depends on ir r r
(1) o90i t : 0r 로 반사파는 위상변화(phase shift)가 없다( 0 ).
(2) o90i t 이면 분모가 무한대가 되므로 반사는 없다. 이 조건의 입사각 i 를
polarization angle P 또는 Brewster’s angle B 라 한다.
(3) o90i t 이면 0r 로 반사파는 rad 의 위상변화가 발생한다.
(d) 2cos sin
sin( )cos( )
i t
i t i t
t
0 for all it
분모가 cos( ) 0i t 이고, 또한 o90i t p 라고 하더라도 sin( ) 0i t 이기 때문에
0t 이며 그 결과 위상변화는 0 이다. 따라서 iE 와 tE 는 in-phase 으로 둘은 평행하다.
8
다음 그림은 iE 가 입사면에 평행이고 o90i t ,
o90i t o90i t 일 때 입사광에
대한 반사광 및 굴절광의 위상변화를 보여준다. 특히 o90i t 일 때 반사는 없다. 이때의 입
사각 i 를 polarization angle 또는 Brewster’s angle 이라 한다.
(e) 특수한 경우로 o90i 이면
o0t .
1r r , 0t t
이 경우 입사하는 빛은 물질이 어떤 것이든 표면에서 거울처럼 모두 반사한다.
여름날 멀리 아스팔트 위를 바라보면 마치 물이 있는 것처럼 반짝반짝 빛나는 것을 볼 수 있다.
rayX 는 이와 같은 원리를 사용하여 반사시킨다.
(예제) 다음 그림은 external case로 공기( 1.0in )와 유리( 1.5tn )의 경계에서 입사각 i 에 따
른 ,r t의 amplitude coefficient와 반사광의 phase shift 를 보여준다. 그림들의 x 축은 입사
각 i 를 나타내며 좌측 그림의 y 축은 amplitude coefficient, 우측 그림의 y 축은 입사광에 대
한 반사광의 위상변화를 나타낸다.
9
(ii) Internal case ( t in n 인 경우로 i t )
(a) sin( )
sin( )
i t
i t
r
0 for all i cr
2cos sin
sin( )
i t
i t
t
0 for all i ct
o90t 가 되는 입사각 i c (critical angle)가 있다.
Snell’s law에 의해 c 는
o 1sin sin90 sin ( )ti c t c
i
nn n
n
i c 에서는 모든 빛이 표면에서 반사하므로 c 를 기준으로 r , t 는 다음과 같이 구분하여
생각할 수 있다.
(1) i c 일 때: i t 이므로 sin( ) 0i t , sin( ) 0i t . 따라서 모든 i c 에 대해
0r , 0t 이다. 따라서 반사하는 빛과 투과하는 빛의 위상변화는 없다. 즉 0 이다.
(2) 입사각이 i c 일 때: 전반사하므로 1r 이고 t 는 없다. 전반사한 빛은 입사각이
커질수록 phase shift 가 증가하여 o90i 일 때 rad 에 도달한다.
(b) tan( )
tan( )
i t
i t
r
0 or 0 depends on ir r
가장 해석이 복잡한 경우에 해당한다. 먼저 i t 이므로 분자 tan( ) 0i t 이다.
분모의 경우 o90i t 가 될 때의 입사각 i 가 polarization angle 'p 일 때와 전반사가 일어
나는 각 c 가 있다. 따라서 r 의 해석은 다음의 세 구간으로 나누어 생각하여야 한다.
(1) 'i p 일 때, 0r 으로 phase shift
(2) 'p i c 일 때, 0r 으로 phase shift 0
(3) i c 일 때, 전반사가 일어나고 0r 이며 phase shift 는 입사각에 의존하고 입사각이
커질수록 서서히 증가하여 o90i 될 때 rad 에 도달한다.
(c) 2cos sin
sin( )cos( )
i t
i t i t
t
0 for all i ct
(1) 'i p (o
' 90p t )에서 위의 삼각함수는 모두 양수이므로 0t . 0
(2) i c 에서도 위의 삼각함수는 모두 양수이므로 0t . 0
(3) i c 에서는 파가 전반사 되므로 투과하는 빛은 없다.
10
(예제) 다음 그림은 Internal case로 유리( 1.5tn )와 공기( 1.0in )의 경계에서 입사각 i 에 따
른 ,r t의 amplitude coefficient와 반사광의 phase shift 를 보여준다. 그림들의 x 축은 입사
각 i , 좌측 그림의 y 축은 amplitude coefficient, 우측 그림의 y 축은 반사광의 위상변화이다.