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1
CHAPITRE 4 : EQUILIBRE LIMITE ET OUVRAGES DE SOUTENEMENT
A POUSSEES ET BUTEES
4.1 Gnralits 4.2 Equilibre limite de RANKINE 4.3 Calcul des
forces de pousses et de bute par la mthode de
RANKINE 4.4 Calcul des forces de pousses et de butes par la
mthode de
COULOMB Mthode graphique de CULMANN (mthode de COULOMB)
4.5 Calcul des forces de pousses et de butes par la mthode de
BOUSSINESQ
4.6 Comparaison entre les diffrentes mthodes
B OUVRAGES DE SOUTENEMENT
4.7 Diffrents types douvrages de soutnement 4.8 Dimensionnement
des murs poids 4.9 Dimensionnement des murs cantilever 4.10 Rideaux
de palplanches 4.11 Excavations blindes
-
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A POUSSEES ET BUTEES
4.1 Gnralits
4.1.1. Dfinition
On considre un ouvrage de soutnement, par exemple un mur en bton
retenant un massif de sol (fig. 4.1.) et lon examine les types de
sollicitations qui sexercent sur ce mur.
Fig. 4.1 : Sollicitations exerces sur un mur de soutnement
En dehors des forces de pesanteur, reprsentes par le poids W du
mur, sexercent sur toutes les faces du mur, en contact avec le sol,
trois (3) forces dont la connaissance est du ressort de la mcanique
des sols.
i) Sur la face amont du mur, gnralement verticale, le sol retenu
exerce des efforts ayant tendance soit renverser le mur, soit le
dplacer horizontalement la rsultante gnrale de ses efforts est une
force dont la composante principale est horizontale. On lappelle
force de pousse (ou encore pousse) et on la note Fa lindice
prcisant quil sagit dune force active ;
ii) Sur la face aval du mur, dont la partie enterre est souvent
faible, le sol exerce : des efforts qui ont tendance retenir. Leur
rsultante gnrale est une force dont la composante principale est
horizontale et oppose la composante horizontale de
T
N
W
Fp
Fa
-
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Fa . On appelle cette rsultant force de bute (ou encore bute) et
on la note par Fp , lindice p prcisant quil sagit dune force
passive ;
iii) Sur la base du mur, le sol de fondation exerce des efforts
dont la rsultante gnrale est une force incline par rapport la
verticale. Sa composante verticale, note N , est appele force
portante, tandis que la composante horizontale, note T est appele
force de rsistance au glissement, car elle soppose au glissement du
mur sur la base sous laction de la force de pousse.
Lobjet de ce chapitre est de dterminer les forces de pousse et
de bute en fonction de la gomtrie du mur et du massif de sol
retenu, des caractristiques mcaniques du sol et du frottement entre
le sol et le mur.
4.1.2. Relations fondamentales entre pressions latrales et
dplacements
Des expriences simples, sur modles rduits, montrent que les
valeurs des forces latrales prcdemment introduites (forces de
pousse et de bute) dpendent essentiellement des dplacements
horizontaux de soutnement.
On suppose par exemple que lon encastre lgrement la surface
horizontale dun massif de sable un cran vertical parfaitement lisse
et que lon remblaie progressivement derrire lcran, en appliquant ce
dernier des efforts de rsultante gnrale F tels quil ny ait aucun
dplacement de lcran (fig. 4.2.a). Ce dernier tant parfaitement
lisse, la force F est horizontale (pas de frottement entre lcran et
le massif)
Aprs remblaiement horizontal, la valeur de la force F est F0. Si
lon effectue une translation horizontale de lcran vers lintrieur du
remblai, la force F croit en fonction du dplacement, , jusqu un
maximum Fp qui correspond la mobilisation totale de la bute (fig.
4.2. b). La valeur Fp est de 3 4 fois la valeur totale de la force
initiale F0.
Inversement, si lon effectue une translation horizontale de
lcran vers lextrieur du remblai, la force F diminue jusqu une
valeur minimale Fa qui correspond ltat de pousse. La valeur de Fa
de lordre de la moiti de celle de F0.
Si on compare les dplacements, on constate quil faut un
dplacement p beaucoup plus important pour atteindre ltat complet de
bute que pour atteindre celui de pousse a. Les dplacements typiques
ncessaires pour atteindre ltat de pousse sont indiqus au tableau 1
pour plusieurs types de sols.
-
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Fig. 4.2 : Relation force dplacement pour un cran rigide en
translation
Tableau 1 : Dplacements typiques
Types de sol
Translation
Sable : dense
lche
0.001H 0.002 2 H
0.002 H 0.004 H
Argile : raide
Molle
0.01 H 0.02 H
0.02 H 0.05 H
Remarque : H reprsente la hauteur du mur
4.1.3. Terres au repos Coefficient de pression latrale
On se place dans un cas gostatique, c'est--dire celui dun massif
de sol semi-infini, homogne et isotrope, surface horizontale.
Les quations de lquilibre montrent que la contrainte totale v
sexerant sur un plan horizontal, la profondeur z est verticale et a
pour valeur (fig. 4.3) :
Fp
Fa
p a
F
0
0
H
Bute
Pousse
a) Ecran rigide en translation b) Relation force -
dplacement
-
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v = z
O : est le poids volumique du sol, v est une contrainte
principale.
Fig. 4.3 : Coefficient K0 de pression latrale des terres au
repos
Par contre, le calcul de la contrainte totale horizontale h
sexerant au mme point sur le plan vertical ncessiterait la
connaissance de la loi de comportement du sol. Aussi la dtermine
t-on exprimentalement en remarquant que dans un sol en place, sous
un chargement uniforme, il ny a pas de dplacement horizontal h = 0,
on utilise gnralement un appareil triaxial. Les rsultats de ces
essais donnent le rapport h/v, appel coefficient de pression
latrale au repos et not K0 :
K0 = h / v Remarques :
- Le coefficient K0 est gnralement infrieur 1 - Il ne sapplique
quaux contraintes effectives. Donc dans un sol en place, satur,
K0
devient :
K0 = h / v
O : h = u + h et v = u + v h = contrainte effective
horizontale,
v = contrainte effective verticale, u = la pression
interstitielle.
- Sa valeur varie suivant les types de sols. Elle est donne de
faon approximative au tableau 2.
z v = = = = . z
Surface du terrain naturel
h = = = = K0 v
-
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- Dans le cas des sables et des argiles normalement consolides,
il existe une formule empirique, due Jacky, donnant la valeur de Ko
en fonction de langle de frottement interne .
K0 = 1 sin
Tableau 2 : Coefficient Ko pour quelques types de sols
Type de sol
Valeur de K0
Sable lche 0.45 0.50 Sable compact 0.40 0.45 Argile normalement
consolide 0.50 Argile surconsolide >0.50
- Dans le cas des sols surconsolids, la valeur de K0 peut mme
dpasser 1.
4.2 Equilibres limites de RANKINE
4.2.1 Sol pulvrulent (c = 0, 0)
4.2.1.1 Surface horizontal
On vient de voir que, dans le cas o il ny a pas de dplacement
latral, les contraintes verticale v et horizontale h (fig. 4.4 a)
sont gales respectivement :
v = z et h = K0 z
Cet tat de contrainte est reprsent par le cercle de MOHR de
diamtre AB sur la figure 4.4 d (OA = v = z ; OB = h = K0 z).
Examinons de quelle faon il peut y avoir rupture dans la masse
de sol.
Si lon permet au sol une expansion latrale (h < 0), la
contrainte verticale reste principale, gale z, et la contrainte
horizontale diminue. Sur la figure 4.4 d, le point B se dplace
jusquau point C pour lequel le cercle de MOHR est tangent aux
droites intrinsques. Il y a alors rupture du sol et cette rupture a
lieu en tout point du massif. On dit aussi que lquilibre est
limite. Les plans de rupture en chaque point enveloppent un rseau
de surfaces de glissement planes, dont linclinaison est dtermine
partir des points de contact I et G du cercle de MOHR la rupture
avec la courbe intrinsque et qui font entre elles langle (90 + )
gal langle ICG dans le diagramme de MOHR. Cette rupture correspond
ltat de pousse (fig. 4.4 b). On note ha la contrainte
horizontale
-
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correspondante. Dans ltat de pousse, on tire facilement du
diagramme de MOHR de la fig. 4.4 d :
=
+
==
245tan
sin1sin1 2
v
haa
K
Fig. 4.4 : Etats de contraintes de pousse et de bute pour un sol
pulvrulent
A 45 45 45 45 ++++ /2 /2 /2 /2
v = = = = z hp ha
45 + /245 + /245 + /245 + /2
z v = = = = z
h = = = = K0 v
v = = = = z
ha
a) h = 0
ha
c) h > 0, bute (contraction)
b) h < 0, pousse (expansion)
v = = = = z
hp hp
d) Diagramme de MOHR
Plan de rupture
Plan de rupture Bute
Pousse
45 /245 /245 /245 /2
B
C D
J
I
G
H
45 /245 /245 /245 /2
-
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Le rapport h / v est appel coefficient de pousse et not Ka. Il
est galement possible de provoquer la rupture du sol par
compression latrale (h > 0). Dans ce cas, le point B (h = K0 z =
K0 v). Sur la fig. 4.4 d le point B se rapproche dabord du point A
correspondant un tat de contrainte isotrope (h = v = z).
Puis la contraction latrale augmentant, le point B atteint le
point D, il y a alors rupture ou quilibre limite ; le cercle MOHR
tant tangent aux droites intrinsques, on note hp la contrainte
horizontale correspondante. La rupture a lieu en mme temps en tout
point du massif et les plans de glissement font eux un angle de (90
+ ) gal langle JDH dans le diagramme de MOHR. Cette rupture
correspond ltat de bute et not Kp, a pour expression :
+=
+==
245tan
sin1sin1 2
v
hppK
Remarques :
i. Les deux (2) coefficients Ka et Kp sont inverses lun de
lautre
pa KK /1=
ii. Les contraintes ha et hp sont des contraintes
principales
iii. Dans le cas de la pousse, la distribution de la contrainte
ha le long dune verticale trace dans le massif est triangulaire car
(fig. 4.5a) :
ha = Ka z = Ka v
iv. Dans le cas de la bute, la distribution de la contrainte hp
le long dune verticale trace dans le massif est aussi triangulaire
car (fig. 4.5 b) :
hp = Kp z = Kp v
v. Les lignes de glissement sont des lignes droites.
-
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Fig. 4. 5 : Etat de pousse et de bute dans un sol pulvrulent
4.2.1.2 Surface incline
Soit un massif de sol pulvrulent dont la surface fait un angle
avec lhorizontale (fig. 4.6a). La rsolution partielle des quations
dquilibre de la mcanique des milieux continus montre que, sur le
plan parallle la surface et situ la profondeur z, la contrainte f
est verticale et gale z cos . On cherche dterminer la contrainte p
qui sexerce sur un plan vertical la profondeur z dans ltat de
pousse ou ltat de bute. Dans le plan des
cercles de MOHR (fig. 4. 6d) la contrainte verticale f est
reprsente par le vecteur OA (OA = z cos ).
En appliquant la mthode du ple pour la dtermination des
contraintes, les tats de contraintes de pousse et de bute en un
point M la profondeur z sont reprsents par les 2 cercles de MOHR
passant par le point A et tangents la courbe intrinsque
dquation
tann
= . Les deux ples p1 et p2 sur ces cercles sont des points
dintersection autres
que A, sur la droite OA. Il en rsulte que la contrainte 21 petp
qui sexercent sur un plan
vertical en M sont reprsentes par les points B1 et B2 sur la
droite symtrique de OA par rapport laxe des (P1 B1 et P2 B2
verticales) cela montre que :
a) La contrainte p est toujours parallle la surface du sol,
quelque soit ltat des
contraintes ; les contraintes f et p sont conjugues ;
ha = = = = z
Sol : et
a)
Etat de pousse dans un sol pulvrulent
Contrainte
z
hp = = = = pipipipi z
Sol : et
b)
Etat de bute dans un sol pulvrulent
Contrainte
z
-
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Fig.4.6 : Coefficients de pousse et de bute pour un massif de
sol pulvrulent surface incline
Plan de rupture 1111
2222
B2
Pousse P1
B1
H
G
F
A
z
M
1
a)
surface incline
c) bute, compression (1 contrainte principale majeure)
b) pousse, expansion (1 contrainte principale majeure)
1
d) Diagramme de MOHR
Plan de rupture
Verticale
Bute
E
= = = =
tan
p
f
45454545 /2 /2 /2 /2
P2
45 /245 /245 /245 /2
D
Verticale
OB2 = P2 OB1 = P1
2222
1111
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b) Les coefficients de pousse et de bute, dfinis par rapport aux
contraintes conjugues ont pour expression :
( ) ( ) 211
OBOA
OAOB
KpKa ===
Soit : ( ) ( )
2222
coscoscos
coscoscos1+
==
KpKa
c) Dans le cas de la pousse, on a : cos.z
v=
22
22
1coscoscos
coscoscoscos.
+
== zpha
Dans le cas de la bute, les deux expressions ci-dessus
deviennent : cos.z
v=
22
22
2coscoscos
coscoscoscos.
+== zphp
Remarques :
i) - Si = 0 : Pousse : p1 = .z
sin1sin1
+
Bute : p2 = .z
sin1sin1
+
ii) - Si ( ) ( ) 1: === pa KK
iii) Dans le cas de la pousse, les plans de rupture enveloppent
un rseau de surface de glissement planes dont linclinaison est
dtermine partir des points de contact E et F du cercle de MOHR la
rupture avec la courbe intrinsque et qui font entre elles langle
(90+ ) gal langle Ep1F dans le diagramme de MOHR. De plus les plans
de glissement font des angles 1 et 2 avec la verticale p1 B1 (fig.
4.6d). Les valeurs de ces angles 1 et 2 sont donnes par les
expressions suivantes :
( ) ( ) +=2190
21
1
( ) ( ) =2190
21
2
Avec : sin =sin /sin et (1 + 2) = 90 -
-
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12
La contrainte ha nest pas une contrainte principale : La
distribution de ha le long dune verticale trace dans le massif est
triangulaire car :
ha = .z cos . Ka ( )
De plus la contrainte ha agit sur un plan parallle la pente du
massif.
iv) Dans le cas de la bute, les plans de glissement font entre
eux un angle de (90 - ) gal langle Hp2G dans le diagramme de MOHR
(fig. 4.6d). Dans ce cas les angles 1 et 2 par rapport la verticale
p2 B2 sont donns par les expressions suivantes :
( ) ( ) ++=2190
21
1
( ) ( ) +++=2190
21
2
Avec : sin = sin / sin et (1 + 2)= (90 - )
La contrainte hp nest pas une contrainte principale et elle est
parallle la pente du massif. La distribution de hp le long de la
verticale dans le massif est triangulaire car :
( ) php Kz .cos.= .
-
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4.2.2 Sol cohrent (c et 0)
4.2.2.1 Surface horizontale :
Dans le cas dun sol cohrent, la courbe intrinsque est reprsente
par la droite de COULOMB. Lquation de cette droite est donne par
lexpression suivante :
= tan + c (fig. 4.7)
Sur cette figure, ltat de pressions des terres au repos est
reprsent par le cercle de diamtre gal AB. La distance OA = v = .z
et la distance OB = K0 v = K0 .z. Les quilibres limites de pousse
et de bute peuvent tre atteint de la faon dj dcrite en 4.2.1. La
distance OC reprsente la contrainte de pousse, tandis que la
distance OD reprsente la contrainte de bute. A partir de lquation
de la droite de COULOMB, on peut dterminer les contraintes ha et
hp.
a) Dans le cas de la pousse, le diagramme de la figure 4.7
permet de dterminer la relation suivante :
21
sin1sin12
sin1sin1
+
+
=
cvha
21
sin1sin12
sin1sin1
+
+
=
czha
Ou encore : KacKzaha 2. =
La distribution des contraintes horizontales de pousse est
indique la fig. 4.8 ci-dessous. On constate que jusqu la distance
ht de la surface dfinie par :
+==
24522
tau
c
Kacht
Le massif exerce des contraintes de traction ou de tension
-
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14
Fig. 4.7 : Etats de contraintes de pousse et de bute pour un sol
cohrent
Fig. 4. 8 : Etat de pousse pour un sol cohrent
A la surface du sol, cette contrainte de traction est gale Kac2
. De plus, on remarquera
sur le diagramme des contraintes de la fig. 4.8 que la rsultante
des efforts sur une longueur 2ht partir de la surface libre est
nulle. Il est donc vraisemblable quune excavation ou une tranche
puisse tenir sous soutnement sur une hauteur voisine de 2ht. Cette
hauteur appele hauteur critique est note Hc et vaut :
Contrainte
z
tension
compression
Hc = 2 ht a
t Kch
2
=
aKc2
c
c
C ha
v = = = = z
D
ha
Plan de rupture
Plan de rupture
Bute
Pousse
45 45 45 45 ++++ /2 /2 /2 /2 A B
J
I
G
H
c cotan
= tan + + + + c
hp
45 /245 /245 /245 /2
-
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+==
24544
tau
c
KacH c
Cette formule donne des valeurs considrables, ainsi pour c = cu
= 30 kPa ; = 20 KN/m3 et = 0, on a Hc = 6 m.
Cette hauteur libre nest possible qu trs court terme. Trs
rapidement largile dans les zones voisines des parois de la tranche
se dforme. Do des fissures la partie suprieure fig.4.9 ; le retrait
en priode sche, accentue celles-ci, les pluies crant ensuite des
forces de percolations dtruisant lquilibre court terme.
Fig. 4. 9 : Instabilit des massifs argileux parement libre
b) Dans le cas de la Bute, le diagramme de la figure 4.8 permet
de dterminer la relation suivante :
sin1sin12.
sin1sin1
++
+= c
vhp
pvphp KcK 2. +=
La distribution des contraintes de bute hp est indique la figure
4.10. On constate daprs lquation ci-dessus que le massif de sol
exerce toujours des contraintes de compression.
Paroi verticale
Tranche
Fissures
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Fig. 4.10 : Etat de bute dans un sol cohrent
Dautre part, dans le cas soit de la pousse soit de la bute, pour
un massif de sol surface horizontale = 0, les contraintes ha et hp
sont des contraintes principales.
4.2.2.2 Surface incline :
On considre un massif cohrent indfini, limit par un plan faisant
un angle avec le plan horizontal. On suppose quaucune surcharge
nexiste sur le plan limitant le massif et ce dernier nest donc pas
sollicit que par son propre poids, d aux terres, dont le poids
volumique est . Soit (fig.4.11) lintrieur du massif un point M, la
profondeur Z. On suppose que le massif tant indfini et en quilibre,
quen chaque point de la verticale comprise entre le point M et la
surface libre, la direction conjugue de cette verticale est orient
paralllement au plan limitant le massif.
Dans ces conditions, la contrainte au point M sur la facette
parallle la surface libre vaut :
cos.zf = .
En procdant de la faon dcrite en 2.12, on peut tracer le
diagramme de MOHR de la figure 4.11. Toutefois, cause de la cohsion
c, le point o ne sera pas confondu avec le point o, le cercle de
MOHR et par consquent lorientation des facettes de glissement et
des facettes principales dpendent de la profondeur laquelle se
trouve le point considr.
Contrainte
z
compression
pKc2
ppvhp KcK 2. +=
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
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Fig.4.11 : Etat de pousse et de bute dans un sol cohrent
Dans ces conditions, il est ncessaire de discuter les diverses
solutions que donne le cercle de MOHR lorsque la profondeur du
point M varie et lorsque linclinaison , du plan limitant le massif,
est plus ou moins grand.
Cette discussion tant fort complexe et en dehors du cadre de ce
prsent cours, il devient ncessaire de noter uniquement que, comme
dans le cas prcdent o = 0, lon trouve ici aussi une profondeur ht
dans laquelle le sol se trouve en traction. Cette profondeur vaut
:
+=
245tan2
cht
On pourra donc, thoriquement, creuser des tranches en parois
verticales jusquau moins cette profondeur. Lapparition de fissures
de traction aura comme effet de rduire la hauteur dexcavation.
B2
B1
A
P1
P2
c
c D
ha
Bute
Pousse
O O
c cotan / / / /
= tan + + + + c
cos.zOAf ==
-
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4.3 Calcul des forces de pousse et de bute : Mthode de
RANKINE
4.3.1. Principe
La mthode de RANKINE consiste calculer les forces de pousse et
de bute agissant contre le mur ou un cran partir des relations
dveloppes la section prcdente. Cette mthode implique quen cas de
rupture du massif se trouvant derrire lcran, les plans de
glissement puissent se dvelopper tel que montr prcdemment. Cette
mthode repose donc sur lhypothse fondamentale suivante :
La prsence de discontinuits, provoques par la prsence de murs ou
dcrans dans le massif de sol, ne modifie pas la rpartition des
contraintes dans le sol, soit au contact entre le sol et lcran soit
lintrieur du massif (fig.4.12) :
Fig. 4.12 : Hypothse de la mthode de RANKINE
Ainsi, sur un plan parallle la surface du massif du sol, la
contrainte reste verticale et gale .z cos . De plus, la rupture,
les contraintes de pousse et de bute, ha et hp, restent
z v = = = = z
z
M
p
f
z v
z
M
f
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
19
parallles la surface du sol. Linconvnient dune pareille hypothse
est dimposer, en tout point du mur, la direction de la contrainte
qui sexerce sur le mur, et donc de ne pas tenir compte de la valeur
du frottement entre le sol et le mur (c'est--dire la rugosit de
lcran). Ainsi, dans le cas dun sol surface horizontale et dun mur
paroi verticale, la thorie de RANKINE suppose que le frottement
entre le mur et le sol est nul, puisque la contrainte est
horizontale.
Cette mthode conduit une rpartition triangulaire des contraintes
de pousse et de bute sur lcran et permet dobtenir le point
dapplication de la force correspondante. On examine ci-aprs trois
exemples dapplication.
4.3.2. Calcul de la force de pousse pour un massif pulvrulent
surface horizontale
a) Sol sec (absence de nappe)
Soit un mur parement vertical supportant un massif surface
horizontal, constitu dun sol pulvrulent sec (fig. 4.13). Si le sol
est en tat de rupture de pousse, la contrainte qui sexerce sur le
mur est horizontale, principale et a pour expression :
+
==
sin1sin1
.. zKzaha
Fig. 4.13 : Force de pousse exerce par un massif sec
La rpartition est linaire, et la force de pousse horizontale Fra
est applique au tiers (H/3) de la hauteur partir de la base. Elle a
pour expression :
Fra
ha Sol : et
z
Mur
H/3
H
-
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20
===HOaa
HOha
HOra KzdzKzdzF
2.
21
....
O : ara
KHF 2.21 =
Exemple 1 : H=10 m, = 30, = 20 kN/m3.
Solution : 333.0sin1sin1
=
+
=
aK
murdelinairemKNKHFara
/333333.0102021
21 22
===
Fra est appliqu 3.33 m de la base du mur.
b) Prsence de la nappe
Soit un mur parement vertical supportant un massif surface
horizontale, constitu dun sol pulvrulent dont la partie infrieure
est sature (fig. 4.14). Si le sol est en tat dquilibre limite de
pousse, la contrainte qui sexerce sur le mur est horizontale,
principale, et a pour expression dans la partie sature :
ha = u + Ka v
Fig. 4.14 : Force de pousse exerce sur un mur dans un massif
pulvrulent partiellement satur
( )[ ] ( ) ( )2
'
21
2.
2ww
wawawaww
aw
ra
HHHHKHKHHKHH
KHF
++++=
a
b
c
'ha
Sol : , sat, Mur +
H
Hw
eau = u
'ha = Hw Ka
'ha = [Hw + (H Hw) ]Ka h eau = u = eau (H - Hw)
N. P.
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
21
Exemple 2
=
=
=
===
30/10/20/18310
3
3
3
mkNmkNmkNmHmH
eau
sat
w
Solution : pour 333.030 ==a
K
0/18331833.0.:int
:int2
=
===
=
heau
aha
ha
mkNzKbPooaPo
( )[ ]( ) kPakPaK
KKpcPo
a
aaha
33.41311247054
71020318':int 0
==+=
+==
7/3 m
Fra3
1 m
Fra1
Fra2 Fra
3333
2.96 m
70707070 111111111.31.31.31.3
18181818
a
b
c
41.3341.3341.3341.33
SablemkNmkN
mkN
eau
sat
=
=
=
=
30/10/20
/18
3
3
3
+
10 m
3 m
=
18181818 10 m
3 m 1111
2
7/2 m
N. P.
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
22
( )
mkNF
mkN
FFFF
ra
rararara
/66.479
/66.47966.32612627271833.111718
2318321
=
=++=
++=++=
Point dapplication : = 0cM
mZ
Z
96.266.47921.141921.1419
21.7620.4410.2163766.3265.312682766.479
==
=
++=
++=
Exemple 3 : Cas de bicouche sable - gravier
Dterminer la force de pousse sur le mur ci-dessous. Trouver le
point dapplication de cette force.
Solution :
238.0sin1sin138:
333.0sin1sin130:
=
+
==
=
+
==
a
a
KgravierdeCouche
KsabledeCouche
50.750.750.750.7 z
7 m
3 m
Gravier : = 22 kN/m3
= 38
Sable : = 20 kN/m3
= 30 Fra1
Fra = 257.5 kN
20202020
7/3 m
1 m
Fra3 z = 3.4 m
Fra2
14.314.314.314.3
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
23
Profondeur :
( )( )
murdelinairemkN
F
kPaKzmzkPaKzmzGravier
kPaKzmzSable
ra
aha
aha
aha
/5.2575.22730
77.503.1421320
21
7.50238.0227203:103.14238.0320.:3:
0.20333.020.:3:
=+=
++=
=+===
====
====
Point dapplication :
( ) ( )
mZ
Z
M base
45.35.257
3.2974.3500.2405.257
3773.147.50
21
2773.1417300
=
+==
=
++ +=
On a toujours besoin du point dapplication de la force.
4.3.3 Calcul de la force de pousse pour un massif pulvrulent
surface incline
Soit un cran vertical appliqu sur un massif pulvrulent dont la
surface libre est incline sur lhorizontal (fig.4.14). Si lon met le
sol en rupture de pousse, la force de pousse exerce est donne par :
= H harp dzF 0
La contrainte ha exerce sur le sol est incline langle sur
lhorizontale et a pour valeur :
aha Kz .cos =
Fig. 4.14 : Force de pousse sur un massif pulvrulent surface
incline.
Sol : ,
H Fra = 1/2 H2 cos Ka
'ha = H cos . Ka H/3
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
24
Do : KaHFra .cos21 2 =
Exemple 4 :
Dterminer la force de pousse dans le cas du mur ci-dessous
Solution :
mkNKHF
K
ara
a
/3.265940.0441.082021
cos21
441.0750.0883.094.0750.0883.094.0
coscoscos
coscoscos
22
22
22
===
=
+
=
+
=
Point dapplication : mHZ 67.238
3 ===
mKNF
KPaKHmz
ra
ahaha
/3.2652
83.663.66.cos:8
=
=
===
4.3.4 Calcul de la force de pousse pour un massif cohrent
surface horizontale
Soit un mur parement vertical supportant un massif cohrent
surface horizontale (fig. 4.15) et dangle de frottement et de
cohsion c. Si le sol est en tat de rupture, de pousse, la
contrainte qui sexerce sur le mur est horizontale, principale et a
pour expression :
= 20 = 20 = 20 = 20
Sol : = 20 kN/m3
= 30 8 m
Fra = 1/2 H2 cos Ka
ha = 66.3 kPa
2.67 m
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
25
=
==
=
HKcKHFsoit
dzKcdzKzdzFod
KcKz
aara
H A HO aahara
aaha
.221
2.:'
2.
2
0 0
Fig. 4.15 : Force de pousse exerce par un massif cohrent
Exemple 5 :
Dterminer la force de pousse sur le mur illustr ci-dessous.
Trouver le point dapplication de la rsultante.
ha
68.3 kPa
ht = 1.57 m
Sol : = 20 kN/m3 c = 10 kPa
= 25 H = 10 m
405.0sin1sin1
=
+
=
aK
Fra = 278 kN/m
- 12.7 kPa
Z = 2.57 m
tension
compression
ht
aKc2
Sol : , c et H
aaha KcKz 2. =
Hc = 2 ht
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
26
Solution :
mKch
kPaKacmz
a
t
ha
57.1405.020
10227.12405.01022:0
=
==
====
kPaKcKzmzaaha 3.687.120.817.12405.010202:10 =====
rmudemkN
HKcKHFaara
/278127405
107.12405.01020221 22
==
==
La force de pousse Fra aurait pu tre calcule en faisant la somme
des surfaces de la distribution, soit :
( ) mKNFra /2789.28797.957.10.103.682157.17.12
21
=+=+=
Point dapplication : ( )
mZ
ZM base
57.2
2783
57.1109.28757.13257.11097.90
=
=
+
+=
Remarques i. Vu limpossibilit pour la plupart des sols de
rsister aux contraintes de
traction, la partie en extension de la rpartition des
contraintes est souvent nglige. Dans ce cas, on aurait Fra = 288
kN/m.
ii. A long terme, la cohsion du sol en arrire du mur tendance
disparatre, ce qui entrane la disparition des zones en extension
et, dans ce cas,
mkNFsoitKHFrarara
/405405.0102021
:,21 22
===
Exemple 6 :
Dterminer la force de pousse sur le mur illustr ci-dessous.
Dterminer la rpartition des contraintes sur le mur et le point
dapplication de la rsultante.
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
27
Solution :
( ) kPaKcKpmzm
Kach
kPaKcmz
aaha
t
aha
3.343.126.4612376,0107183'2':10
81.1'23.12376.0102'2:0
0 ==+===
==
====
kPamz ha 0.83.12376.0183:3 ===
( ) mkNFSolsra
/8.1411.1488.41.1173.34821819.1
2181.13.12
21
: =++=+++=
mkNFEau eau /24577021
: ==
mkNFFtotaleForceeaura
/8.3860.2458.141 =+=+=
Point dapplication de la rsultante : 0= baseM
( )
( )murdubaselademZ
Z
37.2
8.38637707
21
37783.34
21
270.70.819.1
3178.481.1
3219.17111
=
=++
++
++
++
34.3 kPa
8 kPa
70 kPa
ht = 1.81 m
Sol Sol : = 18 kN/m3
' = 10 kN/m3
= 10 kN/m3 c = 10 kPa
= 27
H = 10 m
1.19 m
+
- 12.3 kPa
sol eau
3 m
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
28
4.4 Calcul des forces de pousse et de bute : Mthode de
Coulomb
Mise au point par COULOMB en 1773, cette mthode permet de
dterminer les forces de pousse et de bute sexerant derrire un cran
ou un mur quelconque sans considration de ltat des contraintes
exerant dans le sol derrire le mur.
Elle repose sur deux (2) hypothses :
Le sol se rompt suivant une surface plane passant par le pied de
lcran. La force agissant sur lcran une direction connue. En dautres
termes, cela
signifie que langle de frottement entre lcran (ou le mur) et le
sol est connu.
Ces deux (2) hypothses faites, la force agissant sur le mur est
calcule par simples considrations dquilibre statique. Le calcul
sera dabord conduit dans le cas des sols pulvrulents, puis tendu au
cas des sols cohrents.
4.4.1 Principe
Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvrulent, dangle de
frottement . On suppose que la surface de rupture est le plan AC
faisant langle avec lhorizontale (fig. 4.16) En chaque point M du
plan de rupture sexerce une contrainte faisant langle avec la
normale au plan. Donc, la raction R du sol sur ce plan de rupture
fait avec la normale ce plan langle . Le principe consiste crire
lquilibre statique du coin de sol ABC entran dans la rupture sous
laction des forces qui lui sont appliques et qui sont :
- Son poids W - La force Fca ou la force de pousse de
COULOMB
- La raction R exerce par le sol sur le plan de rupture
On dtermine ainsi la valeur de la force Fca en fonction de
langle que fait le plan de rupture avec lhorizontale.
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
29
Fig. 4.16 : Principe du calcul de la pousse par la mthode
COULOMB
La force de pousse correspondra au maximum de la force F() on
crira :
0=d
dF
La formule gnrale est la suivante dans le cas de la pousse :
cacaKHF 2
21 =
Avec : ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
+
++
+= 2
2
2
sinsinsinsin1sinsin
sin
caK
Remarque : Cette thorie ne permet pas de dterminer le point
dapplication de la force Fca. On suppose la rpartition des
contraintes triangulaire et le point dapplication de la force
rsultante est ainsi au tiers (H/3) infrieure de la hauteur.
Dans le cas de la bute, la force Fcp a pour expression : (voir
aussi fig. 4.17)
cpcp KHF2
21 =
Plan de rupture
R W
Fca
C
A
B
M
Mur
a) Prisme de rupture
H
Fca R
W
b) Polygone des forces
= = = =
= = = =
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
30
Avec : ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
++
+++
= 2
2
2
sinsinsinsin1sinsin
sin
cpK
Fig. 4.17 : Etat de bute de COULOMB
Dans le cas de la bute, la force Fcp correspond au maximum de la
rsistante du sol. La rpartition est assume aussi triangulaire et au
point dapplication de la rsultante se situe au tiers de la hauteur
partir de la base.
Exemple 7 : Dterminer la force de pousse par la mthode de
coulomb du mur suivant :
Plan de rupture
R
W
Fcp
C
A
B
Mur
a) Prisme de rupture
H
Fca
R
W
b) Polygone des forces
= + = + = + = +
= + = + = + = +
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
31
4.4.2 Effet dune surcharge uniforme (fig. 4.18 ci-dessous)
Fig. 4.18 : Coin de COULOMB
A
Plan de rupture
C
B
q
H
Fca
R
W
Parallle AB
AB sin ( + ( + ( + ( + ))))
Mur
15151515
B
A
= 20 = 20 = 20 = 20
Mur
H = 8 m
= 85 = 85 = 85 = 85
= = = = 20 kN/m3 = 30 = 20 = 15
B
A
Mur
Z = 2.67 m = 85 = 85 = 85 = 85
Fca = 300.8 kN/m3
Normale AB
Kca = 0.470 Fca = H2 Kca = 20 x 82 x 0.470 Fca = 300.8 kN/m3
ha = [ H Kca ]/sin 85 = [20 x 8 x 0.470]/sin 85 = 75.5 kPa
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
32
Dans le cas de la fig. 4.18, le coin ABC est toujours soumis
trois forces R , ca
F et W , mais
au lieu des poids W des terres, il faut maintenant prendre en
considration le poids des
terres (W) et de surcharge ( q . BC). On a ainsi :
BCqWW .' +=
Soit : ( )[ ] BCqABW .2sin21
++=
Que lon peut crire : ( )
( ) equivalentdensitABq
avec
BCABW
=
++=
+=
sin2
.sin.21
1
1
Autrement dit, tout se passe comme si le coin tait charg mais
avec un poids volumique fictif 1 . On trouvera par consquent la mme
position de la ligne de glissement relle et la mme expression pour
la pousse. On aura pousse totale :
( )
( ) equivalentoufictivehauteurappeleestq
Hhauteurla
HHKHFencoreou
KHqKHFSoit
KHF
caca
cacaca
caca
+=
+=
++=
=
sinsin
':
'2121
:
sinsin
..
21
:
21
2
2
2
Pour dterminer la rpartition des contraintes sur le mur et le
point dapplication de la rsultante, il suffit de se rappeler que la
distribution des contraintes sur lcran rsulte de laddition dune
distribution triangulaire et dune distribution uniforme (voir fig.
4.19).
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
33
Fig. 4.19 : Rpartition des contraintes le long du mur
Exemple 8 : Dterminer la force de pousse sur le mur illustr la
figure ci-dessous :
Solution : ( )+
+=sin
sin..
21 2
cacacaKHqKHF
mkN
Fsoit ca
/959487472966.0996.0472.010100472.01020
21
: 2
=+=
+=
= 20
q = 100 kPa
H = 10 m
959 kN/m
487 kN/m (surcharge)
472 kN/m (sols)
ha = = = = 48.5 kPa (surcharge)
ha = = = = 94.0 kPa (sols) H/3
H/2 4.18
= 20 kN/m3 = 30 = 85
= 20 = 20 - Kca = 0.472
A
B
q
H
Fca
q H Kca /sin ( + ( + ( + ( + ) (surcharge)
H2 Kca (sols)
ha = = = = H Kca . sin (surcharge) = [q Kca . sin2 ]/ sin ( + (
+ ( + ( + )
ha = = = = (((( H sin ) . Kca H/3
H/2
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
34
Rpartition des contraintes
( ) kPaKq
eSurch
kPaKHSolsmHz
ca
ha
caha
5.48sin
sin:arg
0.94sin::102
=
+=
====
Point dapplication : 0: = baseMZ
murdubaselademZ
Z
18.4959/4008
4008243515732
104873
10472959
==
=+=+=
4.4.3 - Mthode graphique de CULMAN (Mthode de COULOMB
graphiquement)
Lorsque les conditions gomtriques ne permettent pas de dterminer
analytiquement la force de pousse ou de bute (ex. surface non
rgulire), on utilise une mthode graphique qui est base sur la
thorie de COULOMB et qui est due CULMANN. (Chargement rpartie ou
ponctuel ne couvrant pas toute la surface du sol).
4.4.3.1 Sols pulvrulents
Cette mthode consiste calculer la force de pousse exerce sur le
mur pour diffrentes valeurs dinclinaison du plan de rupture. En
reportant ces valeurs sur un graphique, on dtermine, partir de la
courbe obtenue, le maximum qui correspond la valeur de la force de
pousse Fca.
La figure 4.20 suivante donne les lments de la dmonstration,
lcran AB, la surface libre BT, la ligne de glissement hypothtique
AC faisant langle avec la verticale, une ligne auxiliaire AD qui
fait avec lhorizontale langle , une AS appele ligne de position
dfinie par langle = quelle fait avec AD, tant langle que fait Fca
avec la verticale.
Par un point C1 choisi, traons la parallle AB, elle coupe AD en
d1 ; par d1 traons la parallle AS, elle coupe AC1 en e1. Le
triangle Ad1 e1 est semblable au triangle des forces (fig. 4. 20 b)
; ou encore on passe du triangle des forces au triangle Ad1e1 par
une rotation (90 + ) tel quindique la figure 4.20c. On a :
321triangleduAire
ca BCLwCommeAd
dew
F1
11
21
1== 11
1
1
21 de
AB
LFd
c
ca=
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
35
Fig. 4.20 : Construction de CULMANN
e1
e2
di
d1
d2
A
= = = =
Mur
H
B
ei
Ci C1
C2
D
S
H
T
direction parallle AS
ligne de position
droite faisant avec lhorizonle langle
1111
2222
Ri Wi
Fcai
(b) Polygone des forces
+ + + +
horizontale
(d) D
X
Wi
W1
W2
direction faisant avec lhorizonle langle + + + +
direction parallle Fcai
ei
di
e1
e2
d1
d2
(a)
(e) A
B
Ci
La direction de Ri fait langle ( + i) avec lhorizontale
Ri
horizontale
Wi
Fcai
1111
2222
direction parallle AB
Ri
(c) Rotation
90 + 90 + 90 + 90 +
Fca
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
36
Or quand c varie, le rapport BC1/Ad1 reste constant, donc Fca
est directement proportionnelle e1d1, le maximum de Fca sera aussi
celui de eidi.
Quand Ci dcrit la surface libre du massif, le point ei dcrit la
courbe Aei appele courbe de CULMANN. La valeur maximale eidi
atteinte, correspond au point ei pour lequel la tangente la courbe
de CULMANN est parallle AD. La tangente la courbe de CULMANN permet
donc de trouver une valeur minimale pour eidi, donc de trouver la
valeur de Fca.
Dautre part, le rapport BCi/Adi tant constant et ii BCLW 21
= , donc Adi est directement
proportionnel Wi. On pourra adopter pour la fig. 4.20a, une
chelle des longueurs dfinissant lchelle des forces sur AD avec
WABCi = Adi. Pour chaque position de Ci on aura Adi = Wi. Etant
donn que Fcai = diei, on pourra mesurer selon lchelle des forces
impose, pour trouver Fcai.
Dune autre manire, on peut conserver les directions daction de W
, Fca et R tel que montre la fig. 4. 20d. Ceci quivaut une rotation
de (90 + ) de la fig. 4 20a. Soit D la verticale et la ligne
daction des Wi, on peut alors choisir sur AD une chelle des forces
arbitraire. Wi correspondant au coin dfini par i et Wi = Adi (fig.
4.20d). La ligne daction que R fait langle (i + ) avec lhorizontale
(fig. 4.20e) ; la ligne daction de Fca fait langle ( ) avec la
verticale. Traons (fig. 4.20 d) ces deux droites respectivement par
A et di, elles se coupent en ei, diei reprsente Fcai. Il est
intressant de tracer la droite AX incline de par rapport
lhorizontale ; partir de cette droite, ou devra simplement prendre
chaque coin ABCi considr, la droite faisant avec AX langle i. La
courbe de CULMANN tant trouve, la valeur maximale de diei donne Fca
qui correspond au point ei pour lequel la tangente la courbe est
parallle la droite AD.
Des applications typiques de la mthode graphique de CULMANN sont
prsentes aux figures 4.21 : surface du massif irrgulire, 4.22 :
charge ponctuelle linaire et 4.23 : charge rpartie en bande.
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
37
Fig. 4.21 : Mthode de CULMANN
Fig.4.22 : Charge ponctuelle linaire Mthode de CULMANN
A (b)
X
W1
W2
W2 + q
direction de R sur le plan de rupture trouve
e1
di
e2
e4
d2
dq
(a)
A
B
C1
Surface de rupture relle trouve
Ri
4444 2222
3333
1111
2222
1111
3333
C2
C3
C4
4444
eq
W4 d4
Q (kN/m)
e3
W3 d3
e2
Fca
A (b)
X
W1
W2
W3
direction de R sappliquant sur le plan de rupture
e1
di e2
e4
d2
d3
(a)
A
B
C1
Surface relle trouve
Ri
4444
2222
3333
1111
2222
1111
3333
C2
C3 C4 Ci
4444
e3
W4 d4
Fcai
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
38
Fig. 4.23 : Charge rpartie en bande Mthode de CULMANN
Point dapplication de Fca.
Il convient de noter que la mthode de CULMAN ne donne que
lintensit de la pousse, il reste prciser son point dapplication, ce
qui revient au mme, la distribution des contraintes sur lcran, on
divise le parement AB (fig. 4.24) en un certain nombre de segments
gaux (3 en gnral), AB1, B1B2, et B2B et lon admet que la rpartition
des contraintes est linaire sur chacun de ces segments. Pour
dterminer cette rpartition, on calcule par la mthode de CULMANN la
pousse qui sexerce sur les parements BB2 et BB1, soit P1 et P2. On
connat dj la pousse qui sexerce sur le mur AB. La rpartition des
contraintes a donc pour rsultante P1 sur BB2, P2 P1 sur B2B1 et P -
P2 sur B1B. Si lon cherche prciser le point dapplication de P, il
suffit de prendre les moments par rapport
la base, B ( )0= BM .
((((
2222
3333
A (b)
X
W1
W2
W3
direction de R sur le plan de rupture trouve
e1
di
e2
e4 d2
d3
(a)
A
B C1
Surface de rupture relle trouve
Ri
2222
3333
1111
1111
C2 C3
C5
4444
e3
W5 d5
Q1
e5
W4 d4
Q2
C4 L1
L2
Q1 = q L1
Q2 = q L2 q (kPa)
5555 Fca
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
39
Fig. 4.24 : Rpartition des contraintes et point dapplication de
la rsultante
( ) ( )[ ]
[ ]PPPP
HencoreOu
P
PPPHSoit
HPPPH
HPPPHPPH
++=
++
=
+
+
=
+=
21
12
12
12121
429
Z
91
92
94
Z
992
92
32Z.P*
92
322
32P2Z.P*
(b) Diagramme
P1
(a) Mur
A
B
C1
C2
C3
C1
C2
C3
B2
B1
H/3
H/3
H/3
A
B
B2
B1
P1
P2 2P1
P
2(P2 P1)
P2 2P1
H/3
H/3
H/3
2P1
2(P2 2P1)
P
2(P2 P1)
(b) Points dapplication des diffrentes
H/9
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
40
4.4.3.2. Sols cohrents
Dans le cas des sols cohrents, le problme est plus complexe sur
le plan de rupture, les contraintes tangentielles et normales sont,
en effet, lies par la relation de COULOMB.
tan+= c
Avec : c = cohsion du sol = angle de frottement interne du
sol
Il en rsulte, dans lquilibre du prisme de rupture, une force
supplmentaire C parallle au plan de rupture, due la cohsion. De
plus, le long de lcran il existe une force
dadhrencea
C . Ces deux (2) forces doivent tre ajoutes W , ca
F et R , ce qui rend le
problme assez complexe. Cette mthode est illustre la fig. 4.25
ci-dessous.
Fig. 4.25 : Sol cohrent
Fcai
(b)
X
direction de R sur le plan de rupture trouve
(a)
A
B
Ri
Ci
fissures
Wi C
Fcai
Ca C
Ht
cohsionACiC
adhsionABCa=
= .1
B1
H Ca
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
41
4.5 - Calcul des forces de pousse et de bute : Mthode de
BOUSSINESQ
La thorie de RANKINE (ou de COULOMB) est trs simple, mais ses
applications pratiques sont parfois limites. Ainsi les lignes de
glissement que lon observe sur place ne sont pas habituellement
rectilignes. De plus les massifs sont souvent limits par des
parois, murs ou crans et lon constate que la rugosit de ces crans
joue un rle important, lquilibre de RANKINE (ou de COULOMB) ne
permet pas den tenir compte. La fig. 4. 27a donne un exemple dans
le cas de la pousse. On constate que les lignes de glissement
diffrent peu des lignes droites, cest un rsultat assez gnral
surtout lorsque lcran est proche de la verticale. Il nen va plus de
mme pour la bute, o les lignes de glissement sont courbes comme le
montre la fig. 4. 27b.
Fig. 4.26 : Schmas de ruptures vritables
La thorie de BOUSSINESQ tient compte de la rugosit de lcran et
respecte la courbure des lignes de glissement observes
exprimentalement au voisinage de lcran. En pratique on utilise des
abaques ou des tables (Caquot & Krisel ou Absi) pour trouver
les coefficients de pousse et de bute.
Plan de rupture
(a) Pousse (b) Bute
Plan de rupture
H
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
42
4.6 Comparaison des diffrentes mthodes
4.6.1. Comparaison
a) RANKINE : base sur toute une zone de rupture, elle prsente
linconvnient dimposer priori la valeur du frottement entre le sol
et le mur
b) COULOMB : la zone de rupture est rduite un plan de rupture et
il ny a aucune prise en compte de ltat des contraintes dans le sol.
Lhypothse du plan de rupture est relativement bien vrifie pour les
sols pulvrulents en tat de pousse, mais ne lest pas ni pour les
sols cohrents, ni pour les tats de bute.
c) BOUSSINESQ : cest la plus satisfaisante des trois (3) mthodes
compte tenu des hypothses faites.
4.6.2. Choix dune mthode
Dans le calcul des forces de pousse et de bute, le choix dune
mthode dpend galement de la gomtrie de louvrage.
a) Mur vertical et surface libre horizontale : la mthode de
RANKINE, malgr ses simplifications, est dans ce cas frquemment
utilise. Il convient cependant de vrifier si lhypothse de
frottement nul nest pas trop loigne de la ralit, auquel cas la
mthode de BOUSSINESQ ou la mthode de COULOMB peut tre employe.
b) Mur plan inclin et surface libre incline : la mthode de
BOUSSINESQ permet un calcul correct des forces de pousse et de
bute. On utilise ainsi la mthode de COULOMB dans le cas des
problmes de pousse.
c) Mur quelconque et surface libre quelconque : on applique la
mthode de COULOMB avec rsolution graphique CULMANN. Seule
utilisable.
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
43
B OUVRAGES DE SOUTENEMENT
4.7 Diffrents types douvrages de soutnement
Le rle des ouvrages de soutnement est de retenir un massif de
terre. Il existe en grande varit, chacun des types ou presque
ncessitant une mthode spcifique dtude et de contrle du
dimensionnement assurant la stabilit. Tous ces ouvrages ont en
commun la force de pousse exerce par le massif de terre retenu. Par
contre, cest principalement la manire dont cet effort de pousse est
repris qui spare les diffrents types douvrages. Trois modes peuvent
tre distingus :
La pousse est reprise par le poids de louvrage de soutnement ;
La pousse est reprise par encastrement de louvrage de soutnement ;
La pousse est reprise par les ancrages.
Le tableau 3 ci-dessous montre les divers types douvrages de
soutnement classs daprs la distinction prcdente.
4.7.1 : Cas o la pousse est reprise par le poids de louvrage
i. Le type douvrage le plus classique et le plus ancien est le
mur poids en bton ou en maonnerie. Ce sont des ouvrages rigides qui
supportent trs mal les tassements diffrentiels.
ii. Les murs en terre arme sont des ouvrages souples qui
supportent assez bien les tassements diffrentiels du sol.
iii. Les ouvrages cellulaires utiliss principalement dans les
travaux maritimes forment galement des ouvrages souples.
4.7.2 : Cas o la pousse est reprise par encastrement de
louvrage
i. Le mur cantilever en bton arm qui, dot dune base largie
encastre la partie suprieure du sol, fonctionne sous leffet du
poids du remblai ; un mur cantilever peut dailleurs tre considr
comme un ouvrage poids si lon y inclut le poids du remblai compris
entre le mur et la verticale (1) passant par lextrmit arrire de la
semelle (fig. 4.28), les murs cantilever sont galement des ouvrages
rigides.
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
44
ii. Les murs en parois mouls qui fonctionnent galement par
encastrement, en totalit ou en partie.
iii. Les rideaux de palplanches, encastrs dans le sol de
fondation : ce sont des ouvrages de soutnement flexibles, o
linteraction structure - remblai a une influence prpondrante sur le
comportement de louvrage.
Tableau 4.3 : Classification des ouvrages de soutnement daprs le
mode de reprise de la pousse
Mode de reprise de la
pousse
Ouvrages de soutnement
Poids de louvrage
Encastrement
Ancrage
Ouvrages cellulaires
Rideau ancr
Rideau de palplanches
Paroi moule ancre
Paroi moule
Mur en terre arm
Mur en bton ancr
Mur cantilever en bton arm
Mur poids en bton ou en maonnerie
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
45
Fig. 4.27 : Mur cantilever en bton arm
4.7.3 : Cas o la pousse est reprise en totalit ou en partie par
les ouvrages
Dans les ouvrages de soutnement en dblai, leffort de pousse est
frquemment repris en partie par des ancrages (murs et parois moules
ancrs). Il en est de mme pour les rideaux de palplanches, lorsque
le sol de fondation est trop rsistant et ne permet pas denfoncer
les palplanches une profondeur suffisante.
4.8 Dimensionnement des murs poids en maonnerie ou bton
Dimensionner un mur poids consiste dterminer sa gomtrie et sa
structure pour quil soit stable sans laction des forces qui lui
sont appliques savoir (fig. 4.28) :
- le poids du mur W
- la force de pousse a
F
- la force de bute pF
- la raction du sol R
. :. :. :. : sat sera utilis pour le calcul de la force la
pousse sil ny a pas de protection, si pas de nappe (infiltration
par exemple).
B
A
C
Fa
Fa = Force de pousse
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
46
aF = force de pousse
pF = force de bute
R = raction du sol
W = poids du mur
Fig. 4. 28 : Forces sexerant sur un mur poids
Comme pour tout ouvrage de soutnement, le dimensionnement dun
mur comporte les tapes suivantes :
Calcul des efforts de pousse et de bute, Scurit au renversement,
Scurit vis--vis dun glissement sur la base du mur, Scurit vis--vis
dune rupture du sol de fondation, Scurit vis--vis dun grand
glissement englobant le mur, Scurit vis--vis de la stabilit interne
du mur.
4.8.1 : Calcul des efforts de pousse et de bute
En premier lieu, il convient de vrifier que les dplacements du
mur sont suffisants pour mobiliser la pousse ou la bute. En fait,
le dplacement du pied du mur nest gnralement
pas suffisant pour mobiliser ltat de bute laval ; cest pourquoi
cette force ( )pF est rarement prise en compte. Lorsquil ny a pas
possibilit de dplacement du mur, comme cela est le cas pour un pont
cadre ou dalot, la force de pousse doit tre calcule avec le
coefficient Ko et non avec Ka.
La force de pousse doit, par ailleurs, tre calcule en fonction
des conditions hydrauliques probables les plus dfavorables derrire
le mur. Il faut avoir prsent lesprit quun remblai horizontal
totalement satur deau pousse environ 2.5 fois plus que le mme
remblai sec. Il convient donc dviter toute saturation du remblai et
de prvoir un dispositif de drainage.
R
W Fa
Fp
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
47
Habituellement, pour la plupart des murs poids, les efforts de
pousse sont calculs daprs la thorie de COULOMB (CULMANN
inclus).
cacaKHF 2
21 =
4.8.2 : Scurit au renversement
La scurit au renversement traduit son quilibre statique par
rapport au moment des forces exerces. Le coefficient de scurit peut
tre dtermin en considrant lquilibre lorsque le mur se renverse
autour de son arte extrieure. Au dessus de la base, le mur est
sollicit par deux types de forces (fig. 4.29)
Fig. 4.29 : Scurit au renversement
a) Des forces qui tendent stabiliser le mur, principalement le
poids W, b) Des forces qui tendent renverser le mur, principalement
la force de pousse. On
dfinit le coefficient de scurit au renversement :
5.1.2
1
.
.
=
=
dFdW
MM
Farenvers
stabR
On utilise parfois la rgle du tiers central, qui consiste
sassurer que la raction R (fig. 4.28) sur la base passe dans le
tiers central de la semelle de fondation. Cette rgle quivaut ce
que, dans une distribution linaire des contraintes verticales sous
la semelle, aucune
W Fa
d2
d1
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
48
zone de cette semelle ne soit pas en traction. Si la rsultante
est dans le 1/3 central alors toute la section est en
compression.
4.8.3 Scurit vis--vis dun glissement sur la base du mur
Le dplacement du mur par glissement sur le plan de sa fondation
est la deuxime ventualit envisager (fig. 4.30)
Fig. 4.30 : Scurit au glissement
Il faut comparer :
La composante T de la rsultante R sur le plan de la fondation La
rsistance que terrain est capable dopposer au glissement, savoir
:
tan. NBCa
+
Avec : B = largeur du mur la base
N = composante normale de R
aC = adhsion ou adhrence
= angle de frottement entre le sol et la base du mur.
Le coefficient de scurit au glissement est alors gal :
5.1tan. +=TNBC
F aG
N R
B
N
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
49
4.8.4 Scurit vis--vis dune rupture de sol de fondation
La scurit vis--vis dune rupture du sol de fondation est obtenue
par ladoption dun coefficient de scurit gal 3 sur la capacit
portante du sol de fondation relative une charge excentre et
incline (fig. 4.31).
Fig. 4.31 : Surface de rupture du sol de fondation
4.8.5 : Scurit au grand glissement
Il y a rupture par grand glissement lorsque la partie du massif
de sol glisse en englobant le mur, la surface de rupture passant
alors larrire du mur (fig. 4.32).
Le coefficient de scurit correspondant est dfini comme le
rapport du moment des forces motrices (forces de pesanteur) au
moment des forces rsistantes mobilisables le long de la surface de
rupture. La valeur du coefficient de scurit doit tre suprieure ou
gale 1.5. Cette quation est examine ventuellement en dtail dans le
chapitre sur la stabilit des pentes.
R
B
D
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
50
Fig. 4.32 : Rupture par grand glissement
4.8.6 : Stabilit interne du mur
Il reste sassurer que les contraintes dans la maonnerie restent
infrieures aux contraintes admissibles. Cest un problme de
rsistance des matriaux. En principe, on ne doit pas faire
travailler de la maonnerie ou du bton non arm la traction, il faut
donc, dans ce cas, que la rsultante des forces tombe dans le tiers
central de chaque section le long du mur.
Surface de rupture
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
51
4.8.7 : Dimensions usuelles dun mur poids
Il est indiqu la fig. 4.33 les proportions les plus usuelles dun
mur de soutnement gravitaire. Ces indications peuvent servir pour
dgrossir un avant projet.
Fig. 4.33 : Dimensions usuelles dun mur poids
4.9 Mur de soutnement cantilever en bton arm
4.9.1 Principe
La conception des murs de soutnement cantilever en bton arm
diffre sensiblement de celle des murs poids. Les terres sont
retenues par un voile vertical dont lquilibre est assur par une
semelle qui se prolonge sous le remblai (fig. 4.34). Cette semelle
supporte le poids des terres dont le rle stabilisateur est vident.
La partie la plus dlicate de louvrage se situe lencastrement du
voile dans la semelle, il se dveloppe l des moments flchissant
notables.
La mthode habituelle dans le cas des murs de type cantilever
consiste calculer la force de pousse sur le parement fictif (AB) en
utilisant les hypothses de RANKINE. Ce faisant, lon assume que les
plans de glissement inclins 21 et par rapport la verticale AB,
puissent se former sans interfrence de la part du mur.
H 2/3 H
H
t = (H/8 < t < H/6)
H/12 (min = 30 cm)
t/2 t
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
52
Fig. 4.34 : Mur de soutnement cantilever en bton arm
Les critres de stabilit (renversement, glissement, etc..) sont
les mmes que pour les murs poids, sauf que lon permet lexistence
des forces de traction dans la voile. Ces forces sont reprises par
les armatures dacier.
4.9.2. Dimensions usuelles dun mur cantilever
La figure 4.35 rsume les dimensions les plus courantes des
ouvrages de ce genre.
Fig. 4.35 : Dimensions usuelles dun mur cantilever
B = H/2 2/3 H
H
H/12
H/24
B/3
H/12
A
H
Fra = (g AB)2 [RANKINE]
Plan de rupture
AB/3
Plan de rupture
B
2222 1111
Verticale
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
53
4.10 Rideaux de palplanches
4.10.1 Gnralits
Les rideaux de palplanches sont constitus de palplanches sont
constitus de palplanches mtalliques en gnral, embotes les unes dans
les autres et battues dans le sol de fondation, pour former un cran
vertical, le plus souvent rectiligne, servant de soutnement un
massif de sol. Les rideaux de palplanche peuvent constitus des
ouvrages provisoires (batardeaux) ou dfinitifs. Leur caractristique
essentielle est que le soutnement ainsi form est souple, ce qui
ncessite une mthode spcifique de dimensionnement.
Outre les scurits classiques dune rupture par renversement ou
grand glissement, la mthode consiste vrifier que les dformations du
rideau restent en tout point admissibles, c'est--dire que la
contrainte maximale dans la palplanche ne dpasse pas le taux de
contrainte admissible pour lacier, soit (fig. 4. 36)
Z = module de rsistance = 2I/h I = moment dinertie h = hauteur
(paisseur)
Fig. 4.36 : Caractristiques dune palplanche
admZM
= maxmax
Avec : Mmax = moment maximum Z = Module de rsistance adm =
contrainte admissible de lacier
On distingue deux (2) types de rideaux :
Les rideaux ancrs, Les rideaux sans ancrages
X h
X
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
54
Dans ce dernier cas, la stabilit est assure uniquement par les
ractions du sol sur la partie enterre que lon appelle la fiche,
cest le cas de la plupart des batardeaux (fig. 4.37)
Fig. 4.37 : Exemple de Batardeau
Les rideaux ancrs au contraire doivent une part de leur stabilit
une ou plusieurs lignes de tirants qui sont relis des plaques
dancrage enterres dans le sol quelque distance de la paroi. Ces
tirants sont attachs sur le rideau dans sa moiti suprieure. Les
murs de quai en palplanches sont gnralement des rideaux ancrs (fig.
4.38)
Fig. 4.38 : Exemple de mur de quai ancr
Les rideaux ancrs rsistent donc la pousse des terres la fois
grce aux efforts dancrage et grce la bute sur la fiche.
La flexibilit du rideau et limportance de la fiche jouent un rle
important dans la dtermination de la bute.
Remblai Eau
Sol
Palplanche
D = Fiche
ancrage
Eau Palplanche
D = Fiche
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
55
4.10.2 Mthodes de calcul
Deux mthodes classiques sont couramment utilises :
La premire, o le rideau est ancr et simplement but en pieds, La
seconde, dans laquelle le rideau nest pas ancr en tte, mais
rsiste
uniquement par un bon encastrement dans le sol de fondation.
4.10.2.1 Rideau ancr, simplement bute en pieds
Un rideau ancr, simplement bute en pied correspond une faible
valeur de la fiche, ce qui permet une rotation du rideau autour de
son point dancrage et un dplacement du pied mobilisant la bute
maximale. Le diagramme des efforts exercs sur le rideau, dans le
cas dun sable, est reprsent sur la figure 4.39.
Fig. 4.39 Rideau ancr, simplement bute en pied
La bute nest plus entirement mobilise du fait des faibles
dplacements cest pourquoi, en gnral on prend Kp/2.
Les inconnues dterminer sont la fiche D et leffort de lancrage T
. Lquilibre statique fournit les relations suivantes :
D/3
a A
Sable
(H + D)/3 D
H
Fp
Fa
T
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
56
( )
( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )]2[:
0)]1[03262332:
21
21
:
32
320)
223
2
2
pa
H
aaapap
pp
aa
paA
FFTdoncFb
KaHHDKaHHDKaHKaHDKKdonc
KDF
KDHFavec
aHDFaHDFMa
=
==+
=
+=
+=
+=
La valeur de D tant connue (quation [1]), lquation [2] fournit
la valeur de leffort dancrageT .
N.B : Pour tenir compte dun coefficient de scurit par rapport
lquilibre ainsi calcul, on admet gnralement que lon ne mobilise que
la moiti de la bute, ce qui, dans lquation dterminant la fiche D,
conduit remplacer Kp par Kp/2.
Exemple 9 :
Dterminer la longueur des palplanches en assumant un coefficient
de scurit de 1 sur Kp.
Sol : sable = == 30,/18 3 mKN Ancrage : 2.0 m de la surface
(fig. 4.4.0)
= 30 Ka = 0.33 et Kp = 3.00 (selon RANKINE)
Fig. 4.40 : Exemple 9
D/3
2 m A
Sable
(H + D)/3 D = 2.2 m
H = 6 m
Fp
Fa
T
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
57
Solution : Equation [1] page prcdente
mDHmDod
DDD
DDD
2.815.2'
02161447816
031636
31436
31103343
3132
23
23
+=
=+
=
+
4.10.2.2. Rideau non ancr en tte et encastr en pied
La thorie classique considre que le rideau pivote autour dun axe
situ lgrement au dessus de son extrmit infrieure. Le dplacement du
rideau provoque au dessus de laxe de rotation la formation de deux
zones plastiques correspondant lquilibre de RANKINE, pousse gauche
et bute droite. (fig. 4.41 a).
Fig. 4.41 : Rideau sans ancrage
Au dessous de laxe de rotation O au contraire, le terrain situ
gauche de la palplanche est refoul, il oppose une contre-bute,
tandis que le terrain droite est dcomprim. Au moment de la rupture,
la distribution des contraintes normales doit donc ressembler celle
qui est indique la fig. 4.41b.
Pousse
B
Pousse
z
Bute
(a) Dplacement du rideau
O
C
(b) Pression des terres sur le rideau
A
Bute
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
58
Pour les besoins du calcul, on remplace la distribution des
contraintes de la figure 4.42 b par la distribution plus simple de
la figure 4.42 a. Les efforts de contre-bute sont quivalents
une force horizontale Fc applique au niveau du centre de
rotation O (fig. 4.42 b). Cest un problme isostatique deux (2)
inconnues : la profondeur fo et la force Fc . En crivant
;oM o = on peut trouver ,fo de plus ,OFH = on peut ainsi trouver
Fc et par consquent, la profondeur Z. On a donc ainsi dtermin la
fiche D = zfo + et la longueur des palplanches. On sabstient
souvent de calculer z en utilisant la formule approche :
D = 1.20 f0, ce rsultat est du ct de la scurit.
Fig. 4.42 : Hypothses admises pour le calcul dun rideau non
ancr
( )
+++=
20fHKfoHF
aa 2/00 fKfF pp =
poussedeforceFa
= butedeforceFp = ( )[ ]
poussebutedeForceKDKfHzbutecontredeforceF
apc =+== 0
En trouvant le moment maximal et en considrant contrainte
admissible de lacier, on peut trouver la section requise de la
palplanche. La mthode que lon vient dexposer est un calcul la
rupture en ce qui concerne le sol ; il est donc indispensable
dintroduire un coefficient de scurit. La manire la plus rpandue
consiste diviser les coefficients de bute par le coefficient de
scurit (2 en gnral) et utiliser ces nouveaux coefficients de bute
dans les calculs de la fiche et du moment sans modifier les
coefficients de pousse.
Fc
Fa
(a) Distribution simplifie
O
(b) Forces
O
Sable
F
z
H
D f0
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
59
4.11. Excavations blindes
4.11.1. Gnralits et principe
On se contentera, dans cette section de donner quelques
indications sommaires sur le calcul du blindages des fouilles (la
paroi formant le blindage peut tre un rideau de palplanche mais
elle peut tre aussi constitue de planches ou de madriers) La
stabilit du blindage est assure par des tais horizontaux placs
diffrents niveaux. (figure 4.43).
Fig. 4.43 : Excavation blinde
Du fait des tais, ce calcul du blindage apparat premire vue,
comme le calcul dune poutre continue, reposant sur plusieurs
appuis. Il est malheureusement impossible de prvoir le comportement
mcanique du rideau. Les tais sont mis en place les uns aprs les
autres mesure que lexcavation progresse, aussi la partie suprieure
du blindage a-t-elle dj subi des dformations lorsque la partie
infrieure est mis en charge, il faudrait en tenir compte dans le
calcul du rideau. De plus la dformation lastique de ltai est loin
dtre la mme pour tous les tais. Le rideau se comporte alors comme
une poutre sur appuis dnivels, mais la dnivellation est inconnue.
Il nest donc pas possible de calculer le blindage en assimilant une
poutre continue, il y a trop dinconnues dordre exprimental dont le
rle est dterminant en raison de la grande hyperstabilit du
problme.
Pour des raisons analogues, la rpartition thorique le long de la
paroi nest plus facile dterminer.
Il est certain, toutefois, que cette rpartition ne ressemble
rien la distribution linaire classique, car la dformation de la
paroi nest pas compatible avec lapparition dun quilibre
Fond de fouille
Palplanches
Etais
H
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
60
correspondant au schma de RANKINE ou de BOUSSINESQ. Les mesures
faites in situ lors de la ralisation de grandes fouilles ont montr
que cette rpartition avait une allure grossirement parabolique, due
vraisemblablement des efforts de vote. On constate aussi quoutre
les efforts de vote, lordre de mise en place des blindages et des
tais joue un rle important ainsi dailleurs que la temprature et le
temps.
Dans ces conditions, on conseillera de sen tenir une mthode
empirique qui dcoule principalement des mesures faites par SPILKER,
lors de la construction du mtro de Berlin pendant les annes 30 et
de celles auxquelles procd PECK en 1940-1942 loccasion de la
ralisation du mtro Chicago.
Cette mthode comporte deux (2) tapes. On choisit dabord un
diagramme de rpartition des contraintes analogues ceux qui sont
dessines sur la figure 4.45 a, b et c. On admet ensuite que la
paroi est articule au droit de chacun des tais (sauf ce qui
concerne le plus lev) ainsi quau fond de fouille. On est amen ainsi
calculer une succession de poutres droites sur appuis simples (fig.
4.45 d). Cest un problme isostatique qui est donc particulirement
facile rsoudre.
4.11.2 Instabilits
4.11.2.1. Effets hydrauliques, RENARD
Fig. 4.44 : Calcul empirique du blindage
Le coefficient minorateur m peut varier de 0.4 1.0
(a) Sable
0.65 Ka H
(c) Argiles raides trs fissures
H
(b) Argiles molles raides
4 m cu H 0.2 H 0.4 H
0.75 H
0.25 H
H H
0.25 H
0.25 H
0.5 H
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
61
Fig. 4.44 (suite) : Calcul empirique du blindage
Dans les sections prcdentes, on a pass sous silence le rle jou
par leau. On admet gnralement que leau (mur de quai) est en
quilibre hydrostatique de part et dautre du rideau, mme si les
niveau sont diffrents. Dans ces cas, pour obtenir la distribution
des contraintes totales agissant sur la palplanche, il faut
simplement ajouter les contraintes effectives et la pression
interstitielle.
Mais en ralit, lorsque le niveau de leau nest pas le mme des
deux (2) cts du rideau, des efforts hydrodynamiques sajoutent aux
effets hydrostatiques, car il y a un coulement deau le long de la
palplanche et sous la palplanche du niveau amont vers le niveau
aval (fig. 4.45).
Fig. 4.45 : Ecoulement deau
h
D
N. P.
N. P.
(d) Principe de calcul
0.2 H 0.4 H
H
0.25 H
0.25 H
0.5 H Etais
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
62
Dans le cas de la figure 4.46, cet coulement augmente les
contraintes effectives gauche du rideau donc accrot la pousse,
diminue les contraintes effectives droite donc rduit la bute. Cet
effet est habituellement nglig si h est faible. Nanmoins si h est
important, le gradient hydraulique risque datteindre une valeur
voisine de la valeur critique, on peut alors craindre le phnomne de
RENARD . Pour viter ce problme, en pratique on utilise une longueur
de fiche de lordre de 0.7 1.0 h.
4.11.2.2 Soulvement de fond par manque de capacit portante
(Argiles)
Cette condition est illustre la figure 4.46. Si lexcavation est
assez profonde, il peut y avoir rupture. On dfinit un cfficient de
scurit par :
25.1*
+
=
pHNcF c
Nc*dfinit au chapitre II (Fondations superficielles)
Fig. 4.46 : Manque de capacit portante
4.11.2.3 Soulvement de fond par pression deau
Lorsque lexcavation est faite dans un sol impermable (argile) et
que cette argile est sur une couche permable (sable ou gravier), il
peut y avoir soulvement de fond (fig. 4.47). Pour viter ce problme,
on exige en pratique un coefficient de scurit dau moins 1.25. Ce
coefficient est dfini par lexpression suivante :
B X L
Sol : et Cu D
P = surcharge
-
Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE
63
25.1
=
eaueau
ssat
hh
F
Fig. 4.47 : Soulvement de fond de fouille
Argile
hs
Eau Eau
Sable ou gravier
Argile
heau
sat
N. P.