Chap 2 Basics of hydraulics Advantages of hydraulic control ： ― easy of control ― high power output ― good dynamic response ― good dissipation of heat.

Chap 2 Basics of hydraulics

Advantages of hydraulic control： ― easy of control ― high power output ― good dynamic response ― good dissipation of heat

Disadvantages ：― high energy losses― possibility of leakages （ dirty ）

§ Work w = F×Lwhere w ： work （ N˙m ） F ： Force （ N ） L ： Distance （ m ）

§ Pascal´s Law （ Multiplication of force ） p = = = constant w = F1L1 = F2L2

（ assume no energy losses ）

1

1

A

F

2

2

A

F

Power

P= = = F × = （ p × A ）（ ） = p × Q where P ： power p ： pressure

Q ： flow rate （ ）

t

LF t

W

AQ

minl

F1

A1

L1

F2

A2

L2

dt

dL

HW #1

(Application of law of Pascal )

A2=40 cm2

A3=50 cm2

Qp=50 l/min

G=10 5N

Pmax=45 bar

h=25 cm

Questions:

(1) 將工件 G 舉起之最小壓力（ P3min ）＝？(2) 此時相對應之面積 A1 ＝？(3) 推力 F1 ＝？(4) 速度 ＝？(5) 速度 ＝？(6) 工作油壓缸由底上升至頂端所需之時間 t ＝？

y

x

G

A3

P3

P1

P2

A1

A2

d

h+d

y,y

x,x

F1

P= （ kW ） 1W =

Ex ： How to derive ？

HP （ horsepower ） =

In the case of rotary actuator （ motor ）           

For pump ：

V1=A×πd Q1=n1×V1

600min lQbarP

sec

mN

746

WattP

Where Q: Flow rate

V1: Displacement

of pump

T: Torque

Q

PnV1

T1

n1 V2n2

T2

For motor ： V2 = A ×πd

Q2 = n2 × V2

If Q1= Q2

n1v1=n2v2

=

1

2

n

n

2

1

V

V

Piston

A2d

HW #2

Given :

n1 =1450rpm

n2 =400rpm

T2=250N-m

Pn=200bar

Please calculate:

(1) The optimal displacement of motor V2 = ?

Note: as follows are different types to choose :

V2 = 40 / 56 / 71 / 90 / 125 cm3/rev

(2) Pressure Pn= ? , Flow rate Q= ? , Displacement of pump V1= ? and the Power P = ? (according to the chosen V2)

Q

PnV1n1

V2n2

T2T1

Torque T1= F × di

= （ A×ΔP ）

= （ ） ×Δp× = =

similarly ： T2 =

Torque transfer relation ： = Assume no energy loss ： P1= T1w1

= × 2π× n1

=V1× n1 ×Δp

=Q1 ×Δp

Output power of motor ： P2=Q2×Δp

Total efficiency=η= =1 （ ideal case ）

2d

d

V

1

2d

d

pdV

21

21 pV

22 pV

1

2

T

T

1

2

V

V

21 pV

1

2

P

P

Conservation of Mass（ Continuity Equation）

+ =0

=ρ1Q1=ρ1A1V1

=ρ2Q2=ρ2A2V2 pipe

if ρ1=ρ2 （ incompressible fluid ）

then V1A1=V2A2

Ex ：

A1ρV1 － A2ρV2 － Aρ =0 If ρ: constant

V1A1 － V2A2 = A

A

V1A1V2A2

1

.

m

2

.

m

ρ1A1V1 ρ2A2V2

1

.

m 2

.

m

dt

dl

dt

dl

dAundt

d dv

Conservation of Energy（ Bernoulli’s Equation）

h2h1

P2 V2

P1V1

1 2

Total Energy at any point

= Elevation ＋ Pressure ＋ Kinetic

= mgh ＋ ＋ Bernoulli’s equation ： ＋ ＋ h1= ＋ ＋ h2

Ex1 ：（ continuity equation ） min

l Q=25 D=50 mm d=30 mm d1=d2=15mm 

mp

2

2mv

g

P

1

1

g

V

2

21

g

P

2

2

g

V

2

22

D

A1 A2

d1d2

d

Q

Questions ： Piston velocity = ？ Velocities of the fluid in the inlet and  outlet pipes = ?

Answer ：  

（ 1 ） A1= πD2=19.6 ㎝ 2

A2= π(D2 － d2 ） =12.56 ㎝ 2

Cross section area of inlet and outlet pipes

A3= πd12=1.77 ㎝ 2

Piston velocity V1= =0.21

（ 2 ） Velocity of the fluid in inlet pipe ：

V3=   =2.36

From continuity equation ：  

Where V4 ： velocity of the fluid in outlet pipe  

Thus V4= =1.49

414

1

1AQ

41

AQ

3

sm

VAVA 4312

AVA

3

12

sm

sm

Ex2 （ Application of Bernoulli’s equation ）

ρ=0.8  

=800

Assume ： no work and no energy dissipation  

Question ： P2= ？

Answer ： h1=h2   ； ρ1=ρ2

V1= = = 0.236 V2= （ ） 2×V1= 8.496

From Bernoulli’s equation ： + = +

+ = + P2=69.7×105  

=69.7 bar (Pressure drop ： 0.3bar)

3cm

g

3m

kg

P1

P2

V2V1d1=3cm

70bar

Q=10 l/min

d2=0.5cm

g

P

1

g

V

2

21

g

P

2

g

V

2

2

2

81.9800

1070 5

81.92

236.0 2

81.98002

P

81.92

496.8 2

1A

Q

2

33

03.041

sec60

1010

m

2

1

d

ds

m

sm

2mN

Flow through orifice

∵ A2«A1 ∴V1«V2

P1+ 1/2 ρV1

2 = P2 + 1/2 ρV22

V2= where Δp ＊ =P1 － P2

Flow rate Q=A2×V2

=A2×

*p2

*p2

1 0 2 3

Area A2=Cc×A0

Where Cc ： contraction coefficient

Flow coefficient Cf

Q = Cf × A0 × where Δp=P1 － P3

Cf = f （ Reynolds number ； geometry ） =0.6~1.0

Valve geometry Q = Cf ×πd ×

Cf = 0.6~0.64

p2

102 PP

P0

P1

dQ

Theory of Momentum (Principle of impulse)

= m （ momentum ）  

= = = + m

F

A2

A1

Q

1

2Q

F2CV

F

tI

t

m

v

t

vm

)(

t

v

F1

F F2

F1

1

2 (Vector)

I

V

Steady flow （ = 0 ）

position 1 ： =ρ1Q1 = ρ1Q1

position 2 ： =ρ2Q2 = - ρ2 Q2

Flow force ：

= +

= - = - -

Ex: assume incompressible （ ρ=const ） ρ1Q1=ρ2Q2 = ρQ

= -ρQ （ + ）

unsteady part ： m     

1F

tv

t

m

1v

t

m

F

2v

strF

1F

2F

2F

strF

2F

1F

F

2v

1v

tv

CV

VQ 222VQ 111

 Assume incompressible = constThus Q1= Q2 = Q

= - = （ A ： const ）

= ×m （∵ = - steady part=0∴ ）

=ρ A ×

pressure drop ： P1-P2 = = × （ Q = v A‧ ） F =A （ P1-P2 ）

Where ： hydraulic inductance

1v

2v

v

F

tv

2v

1v

tv

A

F

A

dt

dQ

A

Flow force on the directional control valve

  （ a ） Recall Fstr= F1- F2 = Fi - Fo (scalar)

Fax= -Fstr = Fo- Fi

Fax= cosε0 - cosεi - ρ

A

ovm

ivm

dt

dQ

Fa

x

Io Ii Io Ii

Fstr

2 1

ε2 εo

Io εi

ε1

Ii

= ρv2 × Q = ρv1 × Q

εo= ε2= 90o

εi= ε1 + 180o

Fax=0 + ρv1Qcosε1 - ρ

（ b ）

Fax= cosε0 - cosεi + ρ =ρv1Q ε0=ε1

=ρv2Q εE=ε2+1800=2700

Fax=ρv1Qcosε1+ ρ

ovm

ivm

dt

dQ

ovm

ivm

dt

dQ

ovm

ivm

dt

dQ

εi

ε2 εo, ε1

Io

Ii

HW #3-a

(a)

Shown above is a directional control valve

Given : Q = 40 l/min =70 0

Xk = 0.5mm

cf =0.8問題 : (1) 反應力 Fax 中之 unsteady part 是否隨流動方向

不同 而改變其大小及方向？（此處流動方向指圖示 （ 1 ）及（ 2 ）） (2) 反應力 Fax 中之 steady part 是否與流動方向有關？ 試寫其支持力（ Fax ) 之方程式。 (3) 請一所給的數據，計算出支持力（ Fax ）之值。

385.0

cmg

oil

Fax

dk

(2) (1)

Xk

X

Po , Q

mmdk 8

HW#3-b

（ b ) Laminar flow through eccentric clearance

d=2cm , =50 cst , =0.85

l= 1cm , ,

Questions : (1) Qe=0 = ? ( l / min)

(2) Qe= = ? ( l / min)

3cmg

barp 200 cmr 002.0

r

dr2D

P1 P2

d

eD

Case 1 ： small orifice area （ ~const ） Q= Cf × A × v= = Cf ×

Where A=orifice area =πd x

P

P2

A

Q

P2

d

x

by small orifice area Δp~const

thus Q ~ X Fstr=ρv cosε （ only steady part ） =ρv （ vA ） cosε =2Cf

2 ×πd x ×Δpcosε

Cs×X

Case 2 ： large orifice area （ Q~const ） Fstr= cosε

Thus Fstr~

Q~

dX

Q

2

X

1

x

Q

Fstr

Pmax=const

P3max

P2maxP1max

P3max>P2max > P3max

Fstr

x

Fstr

x

linear

Q1Q2

Q3

Pmax

Small A Large AQ3>Q2>Q1

Shear stress

where : dynamic viscosity

cf. : kinematic viscosity

Unit :

1Poise=1 =0.1

Viscosity of fluid

dy

du = )~(

h

U

scmg

2msN

h

FU

y

1cp=10-2 Poise =10-3

1 stoke =1

1 cst=1

η （ or ν ） = f （ T ， P ）Flow in Pipes

Eqs. derived from viscous flow condition

（ 1 ） laminar flow NR ＜ 2000

（ 2 ） turbulent flow NR ＞ 4000

only empirical Eqs.  

Reynolds number NR （ dimensionless ） NR =

where V ： velocity of fluid  

DH ： hydraulic diameter  

ν ： kinematic viscosity  

Hydraulic Diameter DH =

where A ： Area of pipe  

U ： circumference of pipe  

For pipes ：

DH= （ diameter of pipe ）

2msN

sec2cm

sec2mm

HVD

U

A4

dd

d

=2

42

For narrow clearance

DH= (if h << b)

Conclusion:

Design in hydraulics Laminar flow

hhb

bh2≈

+2

4

Qh

b

§ Hagen-Poiseuille formula

（ laminar flow in a pipe ）

τ×2πy = （ P1-P2 ） πy2

τ=η = × = v= （ r2-y2 ） for y =0 then

Q= = = （ P1-P2 ）

dy

dvdy

dv

21 PP 2

y

v

dv0 2

21 PP

ry

yy

ydy

421 PP

ry

y

vdA0

ry

y

ydyv0

2

8

4r

r y

P1 P2

V

Vmax

Laminar flow through the clearance

V= （ h2-4y2 ）

Vmax= h2

Q =2 =2

Q = （ P1-P2 ）

821 PP

821 PP

dA

hy

yx

2

0

bdy

hy

yx

2

0

12

3bh

h

b

Q

Vy

Vmax

Laminar flow through eccentric clearance

Q= （ P1-P2 ）

Where η ： dynamic viscosity （ e.g. Poise ； ）

When e=Δr, which implies max. eccentricity Qe= 2.5 Qe=0 

12

3rd

3

5.11r

e

2m

SN

P1 P2

Q

De

dr2D

r

d

Flow through resistance and orifice

(a) Resistance  

Q= Δp =k1 Δp

Q~Δp ~

(b) Orifice

8

4r

1

1

P1 P2

2r

P1 P2

Q=CfA =k2 Q ~Thus

2 p

p

p

orifice

Resistance

Q

Δp

Pressure losses through pipes

Darcy-Weisbach formula ： Pf = λ （ ）

or hf =λ （ ）

where

Pf ： pressure loss

hf ： head loss

： length of pipe

d ： internal diameter of pipe

λ ： friction factor （ derived experimentally ）

d

2

2v

d

g

v

2

2

Example： Laminar pipe flow

Q= Δp Q=A×v=πr2v Thus Δp =P1-P2 = Pf = v λ

λ= = （ valid only if Re ＜ 2000 ）

For turbulent flow ： Blasius formula ： λ= （ for pipes with smooth inside surface ）

（ 3000 ＜ Re ＜ 105 ）

8

4r

2

8

r

d

2

2v

d

V

64

eR

64

25.0

3164.0

eR

k-values for fluid through sudden expansion, contraction, pipe fitting, valves and bends

ΔPff = k × （ for turbulent flow ）

or hff = k （ ）

where ΔPff ： pressure loss

hff ： head loss

Sudden enlargement: k = （ 1- ） 2

Sudden reduction: k = 0.5 （ 1- ）

k-values for pipe fitting, valves, and bends aredetermined empirically

2

2V

g2

V2

22

21

D

D

22

21

D

D

Q D1 D2

D1

D2 Q

Circuit Calculation

（ P1+ +ρgζ1 ） - （ P2+ +ρgζ2 ） =ΔPf

= +

2

21V

2

22V

2

2i

i

i

ii

V

d

2

2i

ii

Vk

d1

k1

k2

k321

3

1

2

HW#4-a

HW#4-b

P1 ：泵之入口壓力

P2 ：泵內之最低壓力

Pa ：大氣壓力

Pg ：空氣分離壓力

(1) From Bernoulli’s Eq.

(2)

(3) Define (Net Positive Suction Head)

(4) No cavitation

g2

vH

r

P

g2

v

r

P 21

1a

211 )gr(

hr

Phe

g2

v

r

P

g2

v

r

P 22

222

11

hr

PheH

r

P 21

a

hHheHH 21a

z1a HheHHhNPSH

g1a

g2g2

HheHHh

HHPP

Pa

P1 P2

A B

he (head loss)

(A)

r

PH a

a

r

PH z

z

r

PH g

g

EX: 泵油之空穴 (Cavitation of oil pump)

問題：

(1) 式（ A ）中，有那些（ Ha? , H1? , he , Hg ? ）會影響泵

是否產生 cavitation?

(2) 若欲避免產生 cavitation ，則影響泵是否產生 cavitation 之 Heads 應如何改變（例如：變大或減小等）

(3) 如何在設計油泵系統時，達到（ 2 ）中所述之改變 ?