- 98 - Chap. 12 Orthogonal Functions and Fourier Series *참고 <제 7장 벡터> 7.3. 내적(inner product) 정의 7.3 두벡터의 내적 3 3 2 2 1 1 b a b a b a cos ab b a b) , (a + + = = ⋅ = θ θ 는 두 벡터 사이의 각 π θ ≤ ≤ 0 k y i b k y i a 3 2 1 3 2 1 b b b a a a + + = + + = 사잇각 θ a b k y i c 3 2 1 − = + + = c c c k ) ( y ) ( i ) ( 3 3 2 2 1 1 a b a b a b − + − + − = • 기하의 삼각형 코사인 법칙 θ cos b a 2 b a c 2 2 2 − + = → ) c a b ( 2 1 cos b a 2 2 2 − + = θ 2 a b− = here 2 3 2 2 2 1 2 a a a a + + = 2 3 2 2 2 1 2 b b b b + + = 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 ) ( ) ( ) ( a b a b a b a b − + − + − = − 윗 식에 넣어서 정리 ↓ 3 3 2 2 1 1 cos b a b a b a b a + + = θ ∴ 3 3 2 2 1 1 cos b a b a b) , (a b a b a b a + + = = ⋅ = θ • 내적의 성질 1) 0 b a = ⋅ , if 0 a = or 0 b = 2) a b b a ⋅ = ⋅ 3) c a b a c) a(b ⋅ + ⋅ = + 4) b) (a b a b) a( ⋅ = ⋅ = k k k here k 는 스칼라 5) 0 a a ≥ ⋅ 6) 2 a a a = ⋅ • 두 벡터 사이의 각 θ → b a b a b a cos 3 3 2 2 1 1 b a b a b a + + = ⋅ = θ
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Chap. 12 Orthogonal Functions and Fourier Seriesynucc.yu.ac.kr/~dcshin/lecture/mathematics/mathemati… · · 2014-11-06- 98 - Chap. 12 Orthogonal Functions and Fourier Series *참고
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- 98 -
Chap. 12 Orthogonal Functions and Fourier Series
*참고 <제 7장 벡터> 7.3. 내적(inner product)
정의 7.3 두벡터의 내적
332211 bababacosabbab),(a ++==⋅= θ
θ 는 두 벡터 사이의 각 πθ ≤≤0
kyibkyia
321
321
bbbaaa
++=++=
사잇각 θ
abkyic 321 −=++= ccc
k)(y)(i)( 332211 ababab −+−+−=
• 기하의 삼각형 코사인 법칙
θcosba2bac 222−+=
→ )cab(21cosba 222
−+=θ
2ab−=
here 23
22
21
2a aaa ++=
23
22
21
2b bbb ++=
233
222
211
2 )()()(ab ababab −+−+−=−
윗 식에 넣어서 정리
↓
332211cosba bababa ++=θ
∴ 332211cosbabab),(a bababa ++==⋅= θ
• 내적의 성질
1) 0ba =⋅ , if 0a = or 0b =
2) abba ⋅=⋅
3) cabac)a(b ⋅+⋅=+
4) b)(abab)a( ⋅=⋅= kkk here k는 스칼라
5) 0aa ≥⋅
6) 2aaa =⋅
• 두 벡터 사이의 각 θ → baba
bacos 332211 bababa ++=
⋅=θ
- 99 -
• b,a 가 영벡터가 아닐 때 , 사잇각 θ
1) 0ba >⋅ → θ 는 예각
2) 0ba <⋅ → θ 는 둔각
3) 0ba =⋅ → θ 는 직각 즉 2/'0'cos πθθ =→=
정리 7.1 직교 벡터의 판정
영벡터가 아닌 두 벡터 a 와 b가 직교하기 위한
필요 충분 조건은 0ba =⋅ 이다.
정의 12.1 함수의 내적
구간 ],[ ba 인 함수 1f 과 2f 의 내적
∫=b
adxxfxfff )()(),( 2121
정의 12.2 직교 함수
0)()(),( 2121 == ∫b
adxxfxfff 이면
],[ ba 구간에서 함수 1f 과 2f 는 직교
← 벡터에서의 “직교”는 기하학적 의미의 수직(perpendicular)이나
함수에서는 의미가 없음
ex) 21 )( xxf = , 3
2 )( xxf = , 구간[-1,1]
dxxxff ∫−= 1
132
21 ),(
061 1
1
6 =
=
−
x
• 직교 집합
정의 12.3 직교 집합
실수값 함수 집합 }),(),(),({ 210 Lxxx φφφ 이
0)()(),( == ∫ dxxx nb
a mnm φφφφ , nm ≠ 이면
구간 ],[ ba 에서 직교이다.
- 100 -
• 정규 직교 집합
⋅ 벡터 u의 노름(Norm) = 크기(스칼라) → u
⋅ 벡터 내적에서 θcosbab)(a, =
2a'0cos'aaa)(a, ==
∴ 2u)uu,( =
∴ )uu,(u =
⋅ 동일하게 ∫== b
a nnnn dxxx )(),()( 22 φφφφ
→ ∫== b
a nnnn dxxx )(),()( 2φφφφ
♣ 만일 함수 )}({ xnφ 가 구간 ],[ ba 에서 L,2,1,0=n 에서 1)( =xnφ 의 성질을 갖는
직교 집합이면 이 구간에서 정규 직교집합이라 함 Norm(크기)
ex1) 집합 { }.....,3cos,2cos,cos,1 xxx , 구간 ],[ ππ− 에서 직교집합?
Sol) nxxx n cos)(,1)(0 == φφ 가
0≠n 에서 0)()(0 =∫−π
πφφ dxxx n
nm ≠ 에서 0)()( =∫−π
πφφ dxxx nm 이어야 함
(1) For 0≠n ;
0sin1
cos1)()(0
=
=
⋅=
−
−− ∫∫π
π
π
π
π
πφφ
nxn
dxnxdxxx n
(2) For nm ≠ ;
[ ]
0)sin()sin(21
)cos()cos(21coscos)()(
=
−−
+++
=
−++=⋅=
−
−−− ∫∫∫π
π
π
π
π
π
π
πφφ
nmxnm
nmxnm
dxxnmxnmdxnxmxdxxx nm
조건을 만족하므로 ‘직교집합’이다.
- 101 -
ex2) ex1)의 노름(Norm)-자신의 크기=스칼라량
sol) (1) For 1)(0 =xφ
[ ] πφ ππ
π
π21)( 2
0 === −−∫ xdxx
πφ 2)(0 =∴ x
(2) For 0,cos)( >= nnxxnφ
[ ]
[ ] πππ
φ
π
π
π
π
π
π
=−−=
+=
+==
−
−− ∫∫
)(21
22sin
21
2cos121cos)( 22
nnxx
nxnxdxxn
πφ =∴ )(xn
정규화(normalize) : 자기 자신의 Norm으로 함수 자신을 나누라!
L,2cos,cos,21
πππxx
Norm이 ‘1’인 함수로 만들라!
↓ 이 함수의 Norm 즉 크기는 모두 ‘1’이다.
“정규 직교 집합”
• 벡터와의 유사성
321 v,v,v : 공간 좌표에서 ‘0’이 아닌 상수 직교 벡터로 가정
→ 벡터 해석에서 kj,i, ; 단위 벡터
332211 vvvu ccc ++=
내적 )v(vc)v(vc)v(vc)v(u 13312211111 ⋅+⋅+⋅=⋅
00v 322
11 ⋅+⋅+= ccc ( 직교성Q )
∴ 21
11
v
)v(u⋅=c
↓ 동일 방법으로
- 102 -
22
22
v
)v(u⋅=c , 2
3
33
v
)v(u⋅=c
∴ ∑=
⋅=
⋅+
⋅+
⋅=
3
1232
3
322
2
212
1
1 vv
)v(uv
v
)v(uv
v
)v(uv
v
)v(uu
nn
n
n
• 직교 급수 전개
)}({ xnφ : 구간 ],[ ba 에서의 무한 직교함수 집합
∑∞
==++++=
01100 )()()()()(
nnnnn xcxcxcxcxf φφφφ LL
함수의 내적 , 구간 ],[ ba
LL ∫∫∫∫ ++++= b
a mnnb
a mb
a mb
a m dxxxcdxxxcdxxxcdxxxf )()()()()()()()( 1100 φφφφφφφ
nm = LL +⋅++⋅+⋅= )()()( 21100 mnnm ccc φφφφφφ
* 함수의 직교성에 의하여 nm = 이외에는 모두 ‘0’
∴ ∫∫ = b
a nnb
a n dxxcdxxxf )()()( 2φφ
∴ L,2,1,0,)(
)()(2
0
==∫
∫ ndxx
dxxxfc b
a n
a nn
φ
φ ←
22 )()( xdxx nb
a n φφ =∫
∴ 계수 2)(
)()(
x
dxxxfc
n
b
a nn
φ
φ∫= ---(1)
∴ ∑∞
==
02 )()(
),()(
nn
n
n xx
fxf φ
φ
φ : 직교급수 전개 or 일반화된 Fourier함수
정의 12.4 직교함수/무게함수
함수의 집합 )}({ xnφ ),2,1,0( L=n , 구간 ],[ ba 에서 무게함수 )(xw 에 대해
직교이다.
∫ =b
a nm dxxxxw 0)()()( φφ , nm ≠
두 함수의 내적 계산에 )(xw 를 곱하여 계산해로 값이
‘0’로 변치 않는 함수 (내적의 직교성이 살아있는)
- 직교 구간 ],[ ba 에서 0)( >xw 로 가정
- ex 1)의 },2cos,cos,1{ Lxx 는 구간 ],[ ππ− 에서 1)( =xw 이다.
- 103 -
일반식 계산에서
계수 2)(
)()()(
x
dxxxfxwc
n
b
a nn
φ
φ∫= ---(2)
→ 위 식과 동일 의미!
이러한 ))2()1(( orcn 식 을 가지는 함수를 “직교급수 전개”
or “일반화된 Fourier 급수”라 함
EX 12.1- 12)
x
pmx
pn ππ sin,cos,1 , L,3,2,1=n L,3,2,1=m
직교함을 보이고 Norm를 구하라.
sol) (1) 0sincos1 =
=⋅∫−
−
p
p
p
p
xpn
npxdx
pn π
ππ
0cossin1 =
−=⋅∫−
−
p
p
p
p
xpn
npxdx
pn π
ππ
(2) For nm ≠ ;
xdxpmx
pnxdx
pmx
pnp
p
p ππππ coscos2coscos0∫ ∫−
=⋅
∫
++
−= p dxx
pmnx
pmn
0
)(cos)(cos ππ
0)(sin)(
)(sin)( 00
=+
++
−−
=pp
xpmn
mnpx
pmn
mnp π
ππ
π
xdxpmx
pnxdx
pmx
pnp
p
p ππππ sinsin2sinsin0∫ ∫−
=⋅
∫
+−
−= p dxx
pmnx
pmn
0
)(cos)(cos ππ
0)(sin)(
)(sin)( 00
=+
+−
−−
=pp
xpmn
mnpx
pmn
mnp π
ππ
π
- 104 -
∫ ∫− −
++
−=⋅p
p
p
pdxx
pmnx
pmnxdx
pmx
pn ππππ )(sin)(sin2cossin
0)(cos)(2
)(cos)(2
=+
+−
+−
−−
=−−
p
p
p
p
xpmn
mnpx
pmn
mnp π
ππ
π
(3) For nm = ;
02cos4
2sin21cossin =−==⋅
−− −∫ ∫
p
p
p
p
p
px
pn
npxdx
pnxdx
pnx
pn π
ππππ
( AAA cossin22sin = )
∴ 직교 집합이다.
(4) Norm
dxxpnxdx
pnx
pnp
p
p
p
πππ∫ ∫− −
=⋅ 2coscoscos
AA
AA
AA
2cos21
21cos
1cos22cos
sin21cos
2
2
22
+=∴
−=
−=
dxxpnp
p∫−
+=
π2cos21
21
p
p
p
p
xpn
npx
−−
+=π
π2sin
)2(221
[ ] 0)(21
+−−= pp
2
coscoscos xpnx
pnx
pnp πππ
=
⋅==
dxxpnxdx
pmx
pnp
p
p
p
πππ∫ ∫− −
=⋅ 2sinsinsin
dxxpnp
p∫−
−=
π2cos21
21
p
p
p
p
xpn
npx
−−
−=π
π2sin
)2(221
2
sinsinsin xpnx
pnx
pnp πππ
=
⋅==
pdxp
p21)11( 2 ==⋅ ∫−
∴ pxpnp ==πcos,21 , px
pn
=πsin : ans.
- 105 -
(5) Normalize ;
L,)/sin(,)/cos(,
21
pxp
pxp
pππ
12.2 Fourier 급수
- 앞에서 }),(),(),({ 210 Lxxx φφφ 구간 ],[ ba 에서 직교 집합이면 동일 구간에서
L+++= )()()()( 221100 xcxcxcxf φφφ 로 표시(Fourier 급수) 가능!