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第 1 章 多項式函數的極限與導數 1

1-1 函數及其圖形

1. 求函數 12

xf xx

的定義域與值域﹒

解﹕(1)因為分母不可為零﹐所以 f x 的定義域為 | 2,x x x ﹒

(2)令 12

xyx

﹐則2 1

1yxy

﹐ 1y ﹒

所以 f x 的值域為 | 1,y y y ﹒

2. 求函數 2 3 4f x x 的定義域與值域﹒

解﹕(1)因為對於所有實數 x﹐ f x 都有意義﹐

所以定義域為 ﹒

(2)因為 3 0x ﹐所以 2 3 4 4f x x ﹒

故 f x 的值域為 | 4,y y y ﹒

3. 求函數 2

14

f xx

的定義域與值域﹒

解﹕(1)由分母 24 0x ﹐得 2 2x ﹐

因此﹐定義域為 | 2 2,x x x ﹒

(2)因為 20 4 4x ﹐所以

20 4 2x ﹐即2

1 124 x

﹒

1 多項式函數的極限與導數

第 1 章 多項式函數的極限與導數 2

故 f x 的值域為1| ,2

y y y

﹒

4. 求函數 28 2f x x x 的定義域與值域﹒

解﹕(1)因為根號內不可為負數﹐所以

2 28 2 0 2 8 0x x x x ﹒

整理得 4 2 0 4 2x x x ﹒

故 f x 的定義域為 | 4 2,x x x ﹒

(2)因為 228 2 1 9f x x x x

且 4 2x ﹐所以 0 3f x ﹒

故 f x 的值域為 | 0 3,y y y ﹒

5. 求函數 2

13 2

f xx x

的定義域與值域﹒

解﹕(1)因為根號內不可為負數﹐且分母不可為零﹐所以

2 23 2 0 2 3 0x x x x ﹒

解得 1 3x ﹒

故 f x 的定義域為 | 1 3,x x x ﹒

(2)因為 223 2 1 4x x x 且 1 3x ﹐所以

20 1 4 4x ﹒

因此 20 3 2 2x x ﹐即

2

1 123 2x x

﹒

故 f x 的值域為1| ,2

y y y

﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 3

6. 求函數 23log 9f x x 的定義域與值域﹒

解﹕(1)因為真數 29 0x ﹐即 3 3x ﹐

所以 f x 的定義域為 | 3 3,x x x ﹒

(2)因為 20 9 9x ﹐所以

23 3log 9 log 9 2x ﹒

故 f x 的值域為 | 2,y y y ﹒

7. 作函數 22 3

1x xf xx

的圖形﹒

解﹕因為分母不可為 0﹐所以 f x 的定義域

為 | 1x x ﹒又因為當 1x 時﹐

2 1 2 32 3 2 31 1

x xx xf x xx x

﹐

所以 y f x 的圖形是直線

2 3y x 去掉點 1, 5 ﹐如圖所示﹕

第 1 章 多項式函數的極限與導數 4

8. 求函數 2

12 3

f xx x

的值域及其圖形的最高點坐標﹒

解﹕(1)由 2

11 2

f xx

及 21 2 2x ﹐得

102

f x ﹒

於是 f x 的值域為1| 0 ,2

y y y

﹒

(2)因為當 1x 時﹐ f x 有最大值12﹐

所以 f x 之圖形的最高點為11,2

﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 5

1-2 極限的概念

1. 求下列各極限的值﹕

(1) 22

2 3lim3x

xx

﹒ (2)2 2

2 21

1 2lim3 4 1x

x x xx x x

﹒

解﹕(1)

22 222

2

lim 2 32 3 2 2 3lim 13 2 3lim 3

x

xx

xxx x

﹒

(2)2 2

2 21 1 1 1

1 2 1 2 1 2lim lim lim lim3 4 1 4 1 4 1x x x x

x x x x x x xx x x x x x x

1 1 1 2 2 3 111 4 1 1 5 2 10

﹒

2. 求下列各極限的值﹕

(1) 25

1 10 10lim5 25x

x xx x

﹒ (2) 23

4 2lim3 4 3x

xx x x

﹒

解﹕(1)

2

2 25 5 5

5 11 10 10 4 5lim lim lim5 25 25 5 5x x x

x xx x x xx x x x x

5

1 5 1 3lim5 5 5 5x

xx

﹒

(2)

2

23 3 3

4 1 24 2 5 6lim lim lim3 4 3 1 3 1 3x x x

x xx x xx x x x x x x

3

2 3 2 1lim1 3 1 2x

xx

﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 6

3. 求 10

0

1 1limx

xx

的值﹒

解﹕ 10 10 10 10 9 10 100 1 9 10

0 0

1 1 1lim limx x

x C x C x C x Cx x

10 9 10 8 10 100 1 9 90

lim 10x

C x C x C C

﹒

4. 求2

0

2limx

x xx

的值﹒

解﹕因為右極限﹕ 2 2

0 0 0

2 2lim lim lim 2 2x x x

x x x x xx x

﹐

左極限﹕ 2 2

0 0 0

2 2lim lim lim 2 2x x x

x x x x xx x

﹐

即右極限 左極限﹐所以極限2

0

2limx

x xx

的值不存在﹒

5. 已知函數 f x 滿足 1

lim 1x

f x f

且

1lim 2

1x

f xx

﹐求

1

1lim

1x

f x fx

的

值﹒

解﹕因為 1 1 1 1

lim lim 1 lim lim 1 2 0 01 1x x x x

f x f xf x x x

x x

﹐

且 1

lim 1x

f x f

﹐所以 1 0f ﹒

故

1 1

1lim lim 2

1 1x x

f x f f xx x

﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 7

6. 設 a﹐ b為實數﹐且2

2lim

2x

x x a bx

﹐求 a﹐ b的值﹒

解﹕因為 2

lim 2 0x

x

﹐且2

2lim

2x

x x a bx

﹐所以

2

2lim 0x

x x a

﹐

即 4 2 0a ﹒解得 6a ﹒於是

2 2

2 2 2

6lim lim lim 3 52 2x x x

x x a x xb xx x

﹒

故 6a ﹐ 5b ﹒

7. 已知三次多項式 f x 滿足

1lim 1

1x

f xx

且

2lim 3

2x

f xx

﹐求 f x ﹒

解﹕因為 f x 為多項式﹐所以 1

lim 1x

f x f

﹒

又因為

1 1

lim lim 11x x

f xf x x

x

1 1lim lim 1

1x x

f xx

x

1 0 0 ﹐

因此 1 0f ﹒同理可得 2 0f ﹒

由因式定理得知﹐ 1x 與 2x 都是 f x 的因式﹒因此﹐可設

1 2f x ax b x x ﹒

由題意﹐得

1 1

1 lim lim 21x x

f xax b x a b

x

﹐

2 2

3 lim lim 1 22x x

f xax b x a b

x

﹒

解得 4a ﹐ 5b ﹒

故 3 24 5 1 2 4 17 23 10f x x x x x x x ﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 8

8. 已知函數 3

2

2, 1, 1

x xf x

x k x

在 1x 處連續﹐求實數 k的值﹒

解﹕因為 f x 在 1x 處連續﹐所以 1

lim 1x

f x f

﹒

又因為 31 1 2 3f ﹐且當 x從 1 的左邊趨近 1 時

﹐ f x 會趨近於 21 1k k ﹐所以

1 3k ﹒ 解得 4k ﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 9

1-3 割線與切線

1. 已知 3,3P 是二次函數 2 2f x x x 圖形上的一個定點﹐而 2, 2Q x x x

是該圖形上異於 P的動點﹒問當 x的值為多少時﹐割線 PQ的斜率為 5﹒

解﹕由斜率的定義﹐得

23 3 12 3 5 53 3 3

f x f x xx xx x x

﹐

即 1 5x ﹒ 解得 4x ﹒

2. 已知點 2,3P 在二次函數 2 1f x x x 的圖形上﹐求以 P點為切點的切

線方程式﹒

解﹕以 P點為切點的切線斜率為

2

2 2 2

2 1 22lim lim lim2 2 2x x x

f x f x xx xx x x

2

lim 1 3x

x

﹒

故過 P點的切線 L的方程式為 3 3 2y x ﹐即

L﹕ 3 3x y ﹒

3. 已知點 1, 4P 在二次函數 2 3f x x x 的圖形上﹐求以 P點為切點的

切線方程式﹒

解﹕以 P點為切點的切線斜率為

2

1 1 1

1 1 43 4lim lim lim1 1 1x x x

f x f x xx xx x x

1

lim 4 5x

x

﹒

故過 P點的切線 L的方程式為 4 5 1y x ﹐即

L﹕ 5 1x y ﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 10

第 1 章 多項式函數的極限與導數 11

4. 已知點 1,1P 在三次函數 32f x x x 的圖形上﹐求以 P點為切點的切

線方程式﹒

解﹕以 P點為切點的切線斜率為

3

1 1

1 2 1lim lim1 1x x

f x f x xx x

2

1lim 2 2 1 5x

x x

﹒

故過 1,1P 的切線 L的方程式為 1 5 1y x ﹐即

L﹕ 5 4x y ﹒

5. 設有一運動質點的位移函數為 4s t t ﹐求此質點在時刻 2t 的瞬時速

度﹒

解﹕時刻 2t 的瞬時速度為

4

2

2 2 2

2 16lim lim lim 2 4 322 2t t t

s t s t t tt t

﹒

6. 設在一個培養細菌的容器中﹐經 t小時後細菌個數 N t （萬個）為

2 4 5N t t t (0 6)t ﹒

(1)求時刻 1t 到 3t 時﹐細菌個數的平均變化率﹒

(2)求時刻 1t 時﹐細菌個數的瞬時變化率﹒

解﹕(1)時刻 1t 到 3t 時﹐細菌個數的平均變化率為

3 1 2 2 03 1 2

N N

（萬個／小時）﹒

(2)時刻 1t 時﹐細菌個數的瞬時變化率為

2

1 1

1 4 3lim lim1 1t t

N t N t tt t

1

lim 3 2t

t

（萬個／小時）﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 12

第 1 章 多項式函數的極限與導數 13

7. 設 a﹐ b為實數﹐ 3 5f x ax bx ﹒若 f x 在 0x 到 1x 的平均變化

率為 4﹐在 1x 到 3x 的平均變化率為 8 ﹐則 a﹐ b的值為何？

解﹕由題意可列得聯立方程組

1 0 5 54 41 0 1

13 83 1 27 3 5 58

3 1 2

f f a ba ba bf f a b a b

﹒

解得 1a ﹐ 5b ﹒

8. 探照燈的反射鏡面是拋物面﹐當光源放在焦點處時﹐可將光線投射至很

遠的距離﹒如果想把一個鏡口直徑為 80 公分﹑鏡深為 40 公分的反射鏡﹐

其鏡口直徑與鏡深都增加 10 公分﹐那麼光源離反射鏡頂點的距離應增加

幾公分﹖

解﹕設原鏡面是由拋物線 214y c x 製作而成﹐如圖所示﹒

因為拋物線通過點 40, 40P ﹐所以

21 140 4 40 10c c ﹐

即原焦點的坐標為 1 10,0F ﹒

又設新鏡面是由拋物線 224y c x 製作而成﹒

因為拋物線通過點 50, 45Q ﹐所以

22 2

8145 4 508

c c ﹐

即新焦點的坐標為 281,08

F

﹒

故光源離反射鏡頂點的距離應增加81 1108 8 公分﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 14

1-4 導數與切線的斜率

1. (1)設 3 22 3 5 12f x x x x ﹐求導數 1f 的值﹒

(2)設 2 21 10f x x x x x ﹐求導數 1f 的值﹒

解﹕(1)由微分公式﹐得

26 6 5f x x x ﹒

故 1 6 6 5 17f ﹒

(2)由微分公式﹐得

2 22 1 10 1 2 1f x x x x x x x ﹒

故 1 3 10 3 1 33f ﹒

2. 設 32 1f x x x ﹐求導數 2f 的值﹒

解﹕由微分公式﹐得

3 222 1 3 1 1f x x x x x ﹒

故 2 4 1 4 3 16f ﹒

3. 已知點 2,1P 在函數 3 26 5 7f x x x x 的圖形上﹐求以 P點為切點的

切線方程式﹒

解﹕因為 23 12 5f x x x ﹐所以以 P點為切點的切線之斜率為

22 3 2 12 2 5 7f ﹒

故切線方程式為 1 7 2y x ﹐即

7 15x y ﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 15

4. 已知在函數 2 2 5f x x x 的圖形上﹐以 P點為切點的切線斜率為 6﹐

求 P點的坐標﹒

解﹕函數 f x 的導函數為 2 2f x x ﹒

設切點 ,P a b ﹒因為以 P點為切點的切線斜率為 6﹐所以

2 2 6f a a ﹒

解得 2a ﹒

因為 P點在 2 2 5f x x x 的圖形上﹐所以

22 2 2 5 3b ﹒

故 P點的坐標為 2,3 ﹒

5. 已知平行於直線 9 2 0x y ﹐且與曲線 3 12 3y f x x x 相切的直線

有兩條﹐求此兩條平行直線的距離﹒

解﹕函數 f x 的導函數為 23 12f x x ﹒

因為直線 9 2 0x y 的斜率為 9 ﹐所以令

2 23 12 9 1f x x x ﹒

解得 1x ﹒

因此﹐兩切點的坐標分別為 1, 8 ﹐ 1,14 ﹒

於是﹐兩切線方程式為 9 1 8y x 與 9 1 14y x ﹐即

9 1 0x y 與 9 5 0x y ﹒

此兩條平行直線的距離為

2 2

1 5 4 2 8241829 1

﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 16

6. 已知 3,15P 為拋物線 2 3 1y x x 外一點﹐求通過 P點的切線方程式﹒

解﹕函數 2 3 1f x x x 的導函數為 2 3f x x ﹒

設拋物線上的切點為 2, 3 1Q t t t ﹒

因為切線的斜率為

2 3f t t ﹒

所以切線方程式為

2 3 1 2 3y t t t x t ﹒

將 3,15P 代入切線方程式﹐得

2 215 3 1 2 3 3 6 5 0t t t t t t ﹒

解得 1t 或 5﹒

(1)當 1t 時﹐切線方程式為 5 5 1y x ﹐即 5 0x y ﹒

(2)當 5t 時﹐切線方程式為 41 13 5y x ﹐即13 24x y ﹒

故通過 P點的切線有兩條﹐其方程式分別為 5 0x y 及13 24x y ﹒

7. 已知從高 100 公尺自由落下的物體﹐經 t秒後高度為 2100 4.9t 公尺﹐求

落下 3 秒時的瞬時速度﹒

解﹕函數 2100 4.9f t t 的導函數 9.8f t t ﹒

落下 3 秒後的瞬時速度為

3 29.4f （公尺／秒）﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 17

8. 設 3f x x ﹐求 3f 的值﹒

解﹕由導數的定義﹐得

3 3

333 lim lim

3 3x x

xf x ff

x x

﹒

因為

右極限﹕3 3

3 3lim lim 13 3x x

x xx x

﹐

左極限﹕

3 3

3 3lim lim 1

3 3x x

x xx x

﹐

即左極限 右極限﹐所以極限3

3lim

3x

xx

的值不存在﹒

故 f x 在 3x 處的導數 3f 不存在﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 18

第 1 章 總習作

1. 求

10

21

1 10lim11x

xxx

的值﹒

解﹕

1010

2 21 1

1 10 11 10lim lim11 1x x

x xxxx x

9 8

21

1 9lim

1x

x x x x

x

2 8 7

21

1 2 8 9lim

1x

x x x x

x

8 7

1lim 2 8 9x

x x x

1 2 9 45 ﹒

2. 設2

1lim 4

1x

x ax bx

﹐求實數 a﹐ b的值﹒

解﹕因為 1

lim 1 0x

x

﹐且2

1lim 4

1x

x ax bx

﹐所以

2

1lim 0x

x ax b

﹐

即1 0 1a b b a ﹒於是

2

1 1 1

1 1 14 lim lim lim 1 2

1 1x x x

x ax a x x ax a a

x x

﹒

解得 6a ﹐ 5b ﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 19

3. 設函數 2 6 8 , 2

2, 2

x x xf x xk x

若

若

且在 2x 處連續﹐求實數 k的值﹒

解﹕因為 f x 在 2x 處連續﹐所以 2

lim 2x

f x f

﹒

由於﹐當 2x 時﹐ 2 2 46 8 42 2

x xx xf x xx x

﹐於是

2 2

lim lim 4 2 4 2x x

f x x

﹒

又因為 2f k ﹐所以

2k ﹒

4. 設 3 4 1f x x x ﹐求以 1, 4P 為切點的切線方程式﹒

解﹕因為 23 4f x x ﹐所以以 P點為切點的切線之斜率為

21 3 1 4 7f ﹒

故切線方程式為 4 7 1y x ﹐即

7 3x y ﹒

5. 已知 2 3 5f x x x 在 x a 處的導數 f a 等於從 1x 到 3x 的平均

變化率﹐求實數 a的值﹒

解﹕因為函數 f x 的導函數為 2 3f x x ﹐所以 2 3f a a ﹒

又 f x 從 1x 到 3x 的平均變化率為

2 23 3 3 5 1 3 1 53 17

3 1 2f f

﹒

因此﹐由題意得 2 3 7 2a a ﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 20

6. 已知 1 2 3 54

x x x xf x

x

﹐求 1f 的值﹒

解﹕根據導數的定義﹐得

1

11 lim

1x

f x ff

x

1

1 2 3 5lim

4 1x

x x x xx x

1

2 3 5lim

4x

x x xx

83

﹒

7. 設 f x 為三次多項式函數﹐且 1 1 0f f ﹐ 2 0f ﹐ 0 5f ﹐求

f x ﹒

解﹕因為 1 1 0f f ﹐ 2 0f ﹐所以 21x 及 2x 可整除 f x ﹒

因此﹐可設 21 2f x a x x ﹒由微分公式﹐得

22 1 1 2 1 1f x a x x a x ﹒

因為 0 5f ﹐所以 4 5a a ﹒

解得 1a ﹒

故 21 2f x x x ﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 21

8. 求在函數 3 23 4f x x x 的圖形上﹐斜率最小的切線方程式﹒

解﹕函數 f x 的切線之斜率函數為 23 6f x x x ﹒將 f x 改寫為

23 1 3f x x ﹒

因此﹐在函數 f x 的函數圖形上﹐在 1x 處的切線其斜率有最小值 3 ﹒

因為此時的切點為 1, 2 ﹐所以斜率最小的切線方程式為 2 3 1y x ﹐

即 3 5x y ﹒

9. 所謂兩曲線在點 P相切﹐是指在點 P有公切線﹒若

拋物線 2y x ax b 在點 1,1A 處與拋物線 2y x

相切﹐求實數 a﹐ b的值﹒

解﹕函數 2y x 的導函數 2y x ﹒因為 1,1A 在拋物線

2y x 上﹐所以在 1,1 處的切線方程式為

1 2 1y x ﹐即

2 1y x ﹒

因此﹐拋物線 2y x ax b 在點 1,1A 處的切線也是 2 1y x ﹒

由於﹐函數 2y x ax b 的導函數 2y x a ﹐於是﹐

2 1 2 4a a ﹒

又因為拋物線 2y x ax b 過點 1,1A ﹐所以

1 1 1 4 1 2a b b b ﹒

故 4a ﹐ 2b ﹒

第 1 章 多項式函數的極限與導數 22

10. 已知 3,8P 為拋物線 2y x 外一點﹐求通過 P點的切線方程式﹒

解﹕函數 2f x x 的導函數為 2f x x ﹒

設拋物線上的切點為 2,Q t t ﹒因為切線的斜率為

2f t t ﹒

所以切線方程式為

2 2y t t x t ﹒

將 3,8P 代入切線方程式﹐得

2 28 2 3 6 8 0t t t t t ﹒

解得 2t 或 4﹒

(1)當 2t 時﹐切線方程式為 4 4 2y x ﹐即 4 4x y ﹒

(2)當 4t 時﹐切線方程式為 16 8 4y x ﹐即 8 16x y ﹒

故通過 P點的切線有兩條﹐其方程式分別為 4 4x y 及 8 16x y ﹒