第七章 常微分方程 常微分方程(第四讲) 1 第四讲: 二阶常系数微分方程的 解法
第七章 常微分方程
常微分方程(第四讲) 1
第四讲: 二阶常系数微分方程的解法
常微分方程(第四讲) 2
0=+¢+¢¢ qyypy
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
(9)
齐次方程求解的代数方法---特征方程法
e ,rxy =设 将其代入上方程, 得2( )e 0.rxr pr q+ + = e 0,rx ¹! 故有
02 =++ qprr特征方程(10)
1 二阶常系数齐次线性微分方程
常微分方程(第四讲) 3
( )21,2
1 4 .2
r p p q= - ± -特征根
定理 5 若特征方程(10)有
(a)两个不同的实根 1 2r r¹ ,则(9)式的通解为
(b)重根 1 2r r r= = ,则(9)式的通解为
(c)共轭复根 i (i= 1)a b± - ,则(9)的通解为
1 21 2e e ;r x r xy C C= +
1 2( )e ;r xy C C x= +
1 2( sin cos )e .xy C x C x ab b= +
常微分方程(第四讲) 4
➀ 有两个不相等的实根
,2
42
1
qppr -+-= ,
242
2
qppr ---=
11 e ,r xy = 2
2 e ,r xy =两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为 1 21 2e e ;r x r xy C C= +
)0( >D
特征根:
证
➁ 有两个相等的实根 )0( =D
11 e ,r xy =,
221
prr -== 特解为
12 e ,r xy x=
特征根:
另一特解可由刘维尔公式得到:
常微分方程(第四讲) 5
齐次方程的通解为: 11 2( )e .r xy C C x= +
ie cos i sin ,x x x= +
补充:欧拉公式
i i1sin (e e ).2i
x xx -= -
πie 1 0.+ =ie cos i sin .x x x- = -
i i1cos (e e ),2
x xx -= +
1 i ,r a b= +
( i )1 e ,xy a b+= ( i )
2 e .xy a b-=
➂ 有一对共轭复根 )0( <D
特征根为 2 i ,r a b= -
常微分方程(第四讲) 6
重新组合
)(21
211 yyy += e cos ,x xa b=
2 1 21 ( )2i
y y y= - e sin ,x xa b=
得齐次方程的通解为
1 2( cos sin )e .xy C x C x ab b= +
由常系数齐次线性方程的特征根确定其通
解的方法称为特征方程法.
常微分方程(第四讲) 7
4 4 0 .y y y¢¢ ¢+ + =求微分方程 的通解
解 特征方程为 ,0442 =++ rr
解得 ,221 -== rr 故所求通解为:
21 2( )e .xy C C x -= +
例1
解 特征方程为 ,0522 =++ rr
解得 1 2 1 2i,r = - ±,故所求通解为:
1 2e ( cos2 sin2 ).xy C x C x-= +
2 5 0 .y y y¢¢ ¢+ + =求微分方程 的通解例11
常微分方程(第四讲) 8
)(xfqyypy =+¢+¢¢
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
(11)
非齐次线性方程通解结构: * .y Y y= +
对应齐次方程 的通解 .0y py qy¢¢ ¢+ + = y Y=
问题:如何求特解 ?*y y=
2 二阶常系数非齐次线性微分方程
常微分方程(第四讲) 9
定理5¢ 若特征方程(10)有
(a¢)两个实根 1 2,r r ,则(11)式的特解为
(12)1 2 1 2( )* e e e ( )d d ;r x r r x r xy f x x x- -é ù= ë ûò ò
(b¢)共轭复根 i (i= 1)a b± - ,则(11)的特解为
*2
e ( )sin( )de sin( ) d .
sin ( )
xx
f x x xy x x
x
aa
bb
b
-
= òò (13)
( )21,2
1 4 .2
r p p q= - ± -特征方程(10)的根:
常微分方程(第四讲) 10
,2
42
1
qppr -+-= ,
242
2
qppr ---=
显然,
特征根:
1 2 ,r p r+ = -1 1 22 .r p r r+ = -
由定理4,(11)式的特解为
11 er xy = 2er x齐次方程(9)的特解: (或取 ),
1 1 1d d2* e e e e ( )e d dp x p xr x r x r xy f x x x--é ùò ò= ê úë ûò ò
1 1 1(2 ) ( )* e e e ( )d dr x r p x r p xy f x x x- + +é ù= ë ûò ò即
➀ 有两个实根 ( 0)D ³证
常微分方程(第四讲) 11
1 i ,r a b= +
➂ 有共轭复根 )0( <D特征根为 2 i ,r a b= -
此时,
1 e sinxy xa b=齐次方程(9)的特解: (或
2 0,pa + = .pa a+ = -
e cosx xa b取 ),由定理4,(11)式的特解为(2 )
* ( )2
ee sin( ) e ( )sin( )d dsin ( )
p xx p xy x f x x x x
x
aa ab b
b
- ++é ù
= ê úë ûò ò
1 2 1 2( )* e e e ( )d d .r x r r x r xy f x x x- -é ù= ë ûò ò即
常微分方程(第四讲) 12
推论 若特征方程(10)有二重实根 r ,
(14)* e e ( )d d .rx rxy f x x x-é ù= ë ûò ò
*2
e ( )sin( )de sin( ) d .
sin ( )
xx
f x x xy x x
x
aa
bb
b
-
= òò
则(11)式的特解为:
常微分方程(第四讲) 13
3 2 e cosxy y y x-¢¢ ¢+ + =
解 微分方程的特征方程为 2 3 2 0.r r+ + =
所以有根 1 1r = - 和 2 2r = - . 于是,齐次方程的通解为
21 2e e .x xY C C- -= +
取 1 e xy -= ,则由公式(12)可知,非齐次微分方
程的特解为
* e e e cos d d ,x x xy x x x- -é ù= ë ûò ò
常微分方程(第四讲) 14
* 1 1e [sin cos ]d (sin cos )e .2 2
x xy x x x x x- -= + = -ò
积分得
于是,方程的通解为
21 2
1 (sin cos )e e .2
x xy x x C C- -= - + +
取2
1 e xy -= ,则也可由公式(14)类似计算.
22 e lnaxy ay a y x-¢¢ ¢+ + =
解 微分方程的特征方程为
常微分方程(第四讲) 15
2 2 22 ( ) 0.r ar a r a+ + = + =
所以,有二重根 .r a= - 于是,齐次方程的通解为
1 2( )e .axY C C x -= +
由公式(14)可知,非齐次微分方程的特解为
* e ln d d ,axy x x x- é ù= ë ûò ò2
* 2e [ ln ]d e (ln 3).4
ax axxy x x x x x- -= - = -ò积分,得
于是,方程的通解 2 2 2
1 21 3ln e .4 4
axy C C x x x x -æ ö= + + -ç ÷è ø
常微分方程(第四讲) 16
.
24 4 e sin 2cos2
x xy y y xæ ö¢¢ ¢- + = +ç ÷
è ø解 特征方程:
2 24 4 ( 2) 0,r r r- + = - =
所以,有二重根 2.r =
由公式(14)可知,非齐次微分方程的特解为
* 2e sin 2cos d d ,2
x xy x x xé ùæ ö= +ç ÷ê úè øë ûò ò
2e 4sin cos d2
x x x xæ ö= -ç ÷è øò 2sin +8cos e .
2xxxæ ö= -ç ÷
è ø
常微分方程(第四讲) 17
.2cos 的通解求方程 xxyy =+¢¢例5
解 特征方程:2 1 0,r + =
所以, 1 2i, i,r r= = -
即 0, 1a b= = ,则齐次方程的通解为
*2
cos 2 sin dsin d .
sinx x x x
y x xx
= òò
由公式(13)可知,非齐次方程的一个特解为
1 2sin + cos .Y C x C x=
常微分方程(第四讲) 18
2cos2 sin d (2cos 1)sin dx x x x x x x x= -ò ò!
3 32 2cos cos cos cos d3 3
x x x x x xæ ö æ ö= - - -ç ÷ ç ÷è ø è øò
3 22 1 2cos cos sin dsin3 3 3
x x x x xæ ö æ ö= - - +ç ÷ ç ÷è ø è øò
3 32 1 2cos cos sin sin3 3 9
x x x x xæ ö= - - -ç ÷è ø
22
cos sin 2 2cos sin sin3sin 3 9
x x x x x x xx
-æ ö= + -ç ÷è ø
常微分方程(第四讲) 19
2 8sin sin cos3sin 3 9xx x x xx
æ ö= - + +ç ÷è ø
4cos2 sin2 .3 9x x x= - +
1 24sin + cos cos 2 sin2 .
3 9xy C x C x x x= - +
于是,方程的通解为
*2
cos sin 2 2sin cos sin d3sin 3 9
x x xy x x x x xx
-æ ö\ = + -ç ÷è øò
常微分方程(第四讲) 20
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
(1)写出相应的特征方程;
(2)求出特征根;
(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
3 小结与思考题
常微分方程(第四讲) 21
02 =++ qprr0=+¢+¢¢ qyypy
特征根的情况 通解的表达式
实根 21 rr ¹
实根 21 rr =
复根 1,2 ir a b= ±
xrxr CCy 2121 ee +=
xrxCCy 2)( 21 e+= )sincos( 21 xCxCy x bba += e
齐次方程 特征方程
常微分方程(第四讲) 22
* e e ( )d d .rx rxy f x x x-= ò ò
求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解:
(a’)两个实根 1 2,r r ,则非齐次方程的特解
(b’)共轭复根 i (i= 1)a b± - ,则非齐次方程的特解
*2
( )e sin( )de sin( ) d .
sin ( )
xx
f x x xy x x
x
aa
bb
b
-
= òò
1 2 1 2( )* e e e ( )d d ;r x r r x r xy f x x x- -é ù= ë ûò ò注:当 时,1 2r r r= =
常微分方程(第四讲) 23
思考题
求微分方程 xxyyy 22 e8644 +=+¢-¢¢
的特解.
常微分方程(第四讲) 24
思考题解答 0442 =+- rr! 221 == rr\* e e ( )d d .rx rxy f x x x-é ù= ë ûò ò由公式(14):
* 2 2 2 2e e (6 8e )d dx x xy x x x-é ù= +ë ûò2 2 2e 6 e d 8 dx xx x x x-é ù= +ë ûò ò2 2 21e 8 3 + + e d
2x xx x x x-é ùæ ö= - ç ÷ê úè øë ûò2 2 2 2 2 2 2 34 e 3e e d 3e e d
4x x x x xx x x x x- -= - - +ò ò
2 2 23 93 4 e .2 4
xx x x= + + +
常微分方程(第四讲) 25
一、 求下列微分方程的通解:
1. 02 =¢-¢¢ yy ; 2.4 12 9 0x x x¢¢ ¢- + = ;
3. 0116 =+¢+¢¢ yyy ; 4. 2 3 0y y y¢¢ ¢+ + = .
二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1. 0 0
14 4 0, 1,2x xy y y y y= =
¢¢ ¢ ¢+ + = = = ;
2. 0 04 13 0, 0, 3.x xy y y y y= =¢¢ ¢ ¢- + = = =
课堂练习题
三、 求下列微分方程的通解:
1. xxyyy -=-¢-¢¢ e32 ;2. xxyy cos2 =+¢¢ .
常微分方程(第四讲) 26
四、 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:
1.xxyyy e2 =+¢-¢¢ , 1,1 11 =¢= == xx yy ;
2. )2cos(214 xxyy +=+¢¢ , 0,0 00 =¢= == xx yy .
五、设 )(xj函数 连续,且满足
òò -+=xx
ttxtttxx00
d)(d)(sin)( jjj ,
)(xj求 .
常微分方程(第四讲) 27
一、 1.xCCy 2
21 e+= ; 2. t
tCCx 23
21 )( e+= ;
3. )2sin2cos( 213 xCxCy x += -e ;
4. 1 2e ( cos 2 sin 2 )xy C x C x-= + .
二、1.12(1 )ex
y x-
= + ; 2.2e sin3xy x= .
课堂练习题答案
三、1.xxx xxCCy -- +-+= e)23(
223ee 22
21 ;
2. xxxxCxCy sin2cos2sin2cos 21 +++= .
四、1. xxy e)611( 3+= ;2. )2sin1(
812sin
161 xxxy ++-= .
五、1( ) (sin cos ).2
x x x xj = +
常微分方程(第四讲) 28
.tan 的通解求方程 xyy =+¢¢
解 对应齐次方程通解 ,sincos 21 xCxCY +=
常数变易法 ,sin)(cos)( 21 xxcxxcy +=设
,1)( =xw ,cos)(
tanseclnsin)(
22
11
îíì
+-=
++-=
CxxcCxxxxc
原方程通解为:
.tanseclncossincos 21 xxxxCxCy +×-+=
例6
常微分方程(第四讲) 29
思考题
求微分方程 的通解.yyyyy ln22 =¢-¢¢
思考题解答
,0¹y! ,ln2
2
yyyyy
=¢-¢¢
\
,ln yyy
=¢÷øö
çèæ ¢ ( ) ,ln
yyy x
¢=¢! ( ) ,lnln yy =²\
令 yz ln= 则 ,0=-¢¢ zz 特征根 1±=l通解
xx CCz -+= ee 21 ,ln 21xx CCy -+=\ ee
-1 2 1 2e + e e ee (e ) (e ) .x x x xC C C Cy
-
= =或
常微分方程(第四讲) 30
设非齐方程特解为 * ( )e ,xy Q x l=
代入方程得:
)()()()()2()( 2
xPxQqpxQpxQ
m=+++¢++¢¢ lll
补充:几类特殊类型的求解法
1、 型( ) e ( )xmf x P xl=
常微分方程(第四讲) 31
(1) l若 不是特征方程的根,即 ,02 ¹++ qpll
),()( xQxQ m=可设
(2)若 是特征方程的单根,即l
* ( )e ;xmy Q x l=
,02 =++ qpll ,02 ¹+ pl
),()( xxQxQ m=可设* ( )e ;xmy xQ x l=
是特征方程的重根,若l)3(,02 =++ qpll ,02 =+ pl),()( 2 xQxxQ m=可设 * 2 ( )e .xmy x Q x l=
常微分方程(第四讲) 32
综上讨论:
* e ( ) ,k xmy x Q xl=
ïî
ïí
ì=
.,2,,1
,0
是特征重根
是特征单根
不是特征根,
lll
k其中
常微分方程(第四讲) 33
23 2 e .xy y y x¢¢ ¢- + =求方程 的通解
解
对应齐次方程通解
特征方程 ,0232 =+- rr
特征根 ,, 21 21 == rr2
1 2e e ,x xY C C= +
是单根,2=l! * 2( )e ,xy x Ax B= +
代入方程, 得 xABAx =++ 22 ,121
ïî
ïíì
-=
=\B
A
* 21( 1)e2
xy x x= -于是
原方程通解为2 2
1 21e e ( 2)e .2
x x xy C C x x= + + -
例7
常微分方程(第四讲) 34
( ) e [ cos sin ]xl nf x P x P xl w w= +
i i i ie e e ee [ ]2 2i
x x x xx
l nP Pw w w w
l- -+ -
= +
( i ) ( i )( )e ( )e2 2i 2 2i
x xl n l nP P P Pl w l w+ -= + + -
( i ) ( i )( )e ( )e .x xP x P xl w l w+ -= +
( ) e [ ( )cos ( )sin ]xl nf x P x x P x xl w w= +2、 型
常微分方程(第四讲) 35
( i )( )e ,xy py qy P x l w-¢¢ ¢+ + = * ( i )2 e .k x
my x Q l w-=
* * * i i1 2+ e [ e e ]k x x x
m my y y x Q Ql w w-\ = = +
* (1) (2)e [ ( )cos ( )sin ],k xm my x R x x R x xl w w= +
{ }nlm ,max= .10
îíì
±±
=是单根
不是根
wlwlii
k
( i )( )e ,xy py qy P x l w+¢¢ ¢+ + = * ( i )1 e ,k x
my x Q l w+=
(1) (2)( ), ( )m mR x R x 为一般m次多项式.
其中:
常微分方程(第四讲) 36
.sin4 的通解求方程 xyy =+¢¢
解 对应齐次方程通解 ,sincos 21 xCxCY +=
作辅助方程 i4e ,xy y¢¢+ =ie ,xy Ax\ =
代入上式: 2 i 4,A = 2i,A\ = -i2i e 2 sin (2 cos )i,xy x x x x x\ = - = -
所求非齐方程特解为 ,cos2* xxy -=
原方程通解为 .cos2sincos 21 xxxCxCy -+=
(取虚部)
例8
il =! 为单根
常微分方程(第四讲) 37
.2cos 的通解求方程 xxyy =+¢¢
解 对应齐方通解 ,sincos 21 xCxCY +=
作辅助方程 2ie ,xy y x¢¢+ =
2i ,l =! 不是特征方程的根
2i( )e ,xy Ax B= + 代入辅助方程
4 i 3 03 1A BA- =ì
í- =î
1 4 i,3 9
A B\ = - = -,
2i1 4( i)e ,3 9
xy x\ = - -
例9
常微分方程(第四讲) 38
1 4( i)(cos 2 i sin 2 )3 9
y x x x= - - +
所求非齐方程特解为:
,2sin942cos
31* xxxy +-=
原方程通解为:
.2sin942cos
31sincos 21 xxxxCxCy +-+=
1 4 4 1cos2 sin 2 ( cos 2 sin 2 )i,3 9 9 3x x x x x x= - + - +
(取实部)
常微分方程(第四讲) 39
(1) ( ) e ( ),xmf x P xl= * e ( );k x
my x Q xl=
(2) ( ) e [ ( )cos ( )sin ],xl nf x P x x P x xl w w= +
* (1) (2)e [ ( )cos ( )sin ].k xm my x R x x R x xl w w= +
注意:作辅助方程, 将(2)型转化为(1)型求
特解, 再取特解的实部或虚部, 可得原方程特解.
求解二阶常系数线性非齐次微分方程特解:
4 小结与思考题
常微分方程(第四讲) 40
思考题
求微分方程 xxyyy 22 e8644 +=+¢-¢¢
的特解.
常微分方程(第四讲) 41
思考题解答
设 的特解为2644 xyyy =+¢-¢¢*1y
xyyy 2e844 =+¢-¢¢设 的特解为*2y
*2y+
*1
* yy =则所求特解为
0442 =+- rr! 特征根 221 == rr\* 21 ,y Ax Bx C\ = + +
xDxy 22*2 e= (重根)
*2y+
*1
* yy = CBxAx ++= 2 2 2e xDx+* 2 2 23 93 4 e .2 4
xy x x x= + + +
常微分方程(第四讲) 42
一、 求下列微分方程的通解:
1.xxyyy -=-¢-¢¢ e32 ;2. xxyy cos2 =+¢¢ ;
二、 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:
1.xxyyy e2 =+¢-¢¢ , (0) 1, (0) 1y y¢= = ;
2. )2cos(214 xxyy +=+¢¢ , 0,0 00 =¢= == xx yy .
三、 设 )(xj函数 连续,且满足
òò -+=xx
ttxtttxx00
d)(d)(sin)( jjj , )(xj求 .
课堂练习题
常微分方程(第四讲) 43
一、1.xxx xxCCy -- +-+= e)23(
223ee 22
21 ;
2. xxxxCxCy sin2cos2sin2cos 21 +++= .
二、1. xxy e)611( 3+= ;
2. )2sin1(812sin
161 xxxy ++-= .
三、隐含 ( )xj 二阶可导,且 (0) 0, (0) 1.j j¢= = 1( ) (sin cos ).
2x x x xj = +
课堂练习题答案