CENTRO UNIVERSITARIO DEL CENTRO DE … · Funciones Polinomiales de grado cero, uno y dos 11 ... nes observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgio desde los inicios

CENTRO UNIVERSITARIO DEL CENTRO DE MEXICO

Division Bachillerato

Notas de Apoyo

Matematicas IV

Luisa Edith Martınez Navarro

Septiembre 2015

Indice general

Introduccion 4

1. Operaciones con Distintos tipos de Funciones 51.1. Definicion y Diferencia de Relacion y Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Descripcion de Funciones e Interpretacion de Dominio y Rango . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Clasificacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Funciones Especiales y Transformacion 82.1. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Funcion escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Funcion Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Funcion Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Funcion Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6. Transformacion de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6.1. Traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6.2. Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Funciones Polinomiales de grado cero, uno y dos 113.1. Modelo general de funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Forma polinomial, caracterısticas, parametros y representacion grafica de funciones

de grado cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Forma polinomial, caracterısticas, parametros y representacion grafica de funciones

de grado uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4. Forma polinomial, caracterısticas, parametros y representacion grafica de funciones

de grado dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Funciones Polinomiales de grado tres y cuatro 124.1. Forma polinomial, propiedades geometricas, metodos de soluciones de las funcio-

nes factorizables, caracterısticas, parametros y representacion grafica de funcionesde grado tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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INDICE GENERAL 3

4.2. Forma polinomial, propiedades geometricas, metodos de soluciones de las funcio-nes factorizables, caracterısticas, parametros y representacion grafica de funcionesde grado cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Funciones polinomiales factorizables 135.1. Definicion de ceros y raıces de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2. Teorema del factor y del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3. Division Sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.4. Teorema Fundamental del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.5. Teorema de Factorizacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.6. Graficas de funciones polinomiales factorizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. Funciones Racionales 146.1. Forma, caracterısticas, parametros y representacion de una funcion racional . . . . 146.2. Asıntotas horizontales, verticales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.3. Criterios de existencia de las asıntotas verticales, horizontales y oblicuas . . . . . . 14

7. Funciones Exponenciales y Logarıtmicas 157.1. Forma, Caracterısticas, parametros y representacion grafica de una funcion expo-

nencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2. Propiedades de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.3. Forma, Caracterısticas, parametros y representacion grafica de una funcion logarıtmica 157.4. Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.5. Cambio de una expresion exponencial a una logarıtmica y viceversa . . . . . . . . 157.6. Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.7. Ecuaciones Logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8. Funciones Periodicas 168.1. Forma, Caracterısticas, parametros y representacion grafica de una funcion Senoidal 168.2. Forma, Caracterısticas, parametros y representacion grafica de una funcion Cosenoidal 16

Introduccion

En la historia de las matematicas se le dan creditos al matematico suizo Leonhard Euler (1707−1783) por precisar el concepto de funcion, ası como por realizar un estudio sistematico de todas lasfunciones elementales, sin embargo, el concepto mismo de funcion nacio con las primeras relacio-nes observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgio desde los inicios de la matematicaen la humanidad, con civilizaciones como la babilonica, la egipcia y la china.

En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar unadefinicion formal del concepto de funcion al afirmar que “Una funcion de cantidad variable esuna expresion analıtica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por numeros ocantidades constantes”, siete anos despues afirmo: “Algunas cantidades en verdad dependen deotras, si al ser combinadas las ultimas, las primeras tambien sufren cambio, entonces las primerasse llaman funciones de las ultimas”.

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Capıtulo 1

Operaciones con Distintos tipos deFunciones

1.1. Definicion y Diferencia de Relacion y Funcion

Definicion 1.1.1. Relacion Correspondencia o conexion que hay entre dos cosas

Suponemos un conjunto A que contiene las vocales en minuscula, y un conjunto B que contienelas vocales en mayuscula

Figura 1.1: Relacion entre vocales

En la imagen, tenemos una relacion de las vocales del conjunto A con las del conjunto B, eneste caso, aunque en un lado son minusculas y del otro mayusculas, la relacion es que son vocales.Decimos que existe una correspondencia de los elementos del conjunto A con los elementos delconjunto B.

A la relacion de correspondencia en la cual se senala un crıterio para saber que elemento delconjunto B corresponde a un elemento del conjunto A, y en la que a cada elemento de A le corres-ponde un unico elemento de B, se llama Funcion. El conjunto A recibe el nombre de dominio y elconjunto B, contradominio o rango.

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6 CAPITULO 1. OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

1.2. Descripcion de Funciones e Interpretacion de Dominio y Rango

Teniendo en cuenta lo anterior, revisaremos un par de casos.En la siguiente figura podemos ver dos conjuntos, el conjunto A = {gato, clavel, rosa, piedra}

y conjunto B = {mineral, animal, vegetal}, el criterio de la relacion es el reino al que pertenecen.

Figura 1.2: Es funcion

A cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B, por lo que es unafuncion, con ello tenemos que el conjunto A es el dominio de la funcion y el conjunto B es el con-tradominio o rango.

Nuestro siguiente ejemplo muestra el conjunto A = {5, 7, 8} y el conjunto B = {7, 4, 8}, dondeel criterio de relacion es que el numero es menor que el otro, es decir, los elementos de A que sonmenores que los elementos de B

Figura 1.3: No es funcion

Podemos ver que existe un elemento de A que no es menor que ninguno de los elementos deB, por lo que esta relacion no es una funcion. Vemos tambien que el elemento 4 del conjunto B,no tiene ningun elemento relacionado a el, pero eso no nos afecta, pues la definicion de funcion noespecifica que todos los elementos del conjunto B deben estar relacionados.

1.2. DESCRIPCION DE FUNCIONES E INTERPRETACION DE DOMINIO Y RANGO 7

1.2.1. Clasificacion de funciones

Por el gran numero de funciones existentes, debemos clasificarlas de alguna manera, por loque trataremos una de las clasificaciones basicas de las funciones: inyectividad, sobreyectividad ybiyectividad.

Definicion 1.2.1. Una funcion es inyectiva cuando a elementos diferentes del dominio le corres-ponden elementos diferentes del contradominio. A estas funciones tambien se les llama uno a uno.

En el ejemplo de la imagen 1.1 tenemos una funcion inyectiva, pues a cada elemento del domi-nio le corresponde un unico elemento del contradominio.

Definicion 1.2.2. Una funcion es sobreyectiva cuando cada elemento del contradominio es imagende algun elemento del dominio, es decir, que en el contradominio no quedan elementos sin relacion.Estas funciones tambien se conocen como suprayectivas.

En el caso de la imagen 1.2 es una funcion sobreyectiva, pues cada elemento del contradominioes imagen de algun elemento del dominio.

Definicion 1.2.3. Una funcion es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Estas fun-ciones tambien se conocen como biunıvocas.

Retomamos la imagen 1.1 y nos damos cuenta de que es biyectiva, pues es inyectiva y sobre-yectiva a la vez. De la misma manera vemos que la imagen 1.2 no es biyectiva pues es sobreyectivapero no es inyectiva.

Capıtulo 2

Funciones Especiales y Transformacion

2.1. Funcion Inversa

Si f : A→ B es biyectiva, entonces la funcion:

f−1 : B → A

Dondef−1 = {(f(x), x)|x ∈ A}

es la funcion inversa de f . En general, si una funcion f : A → B es biyectiva, su inversaf−1 : B → A tambien es biyectiva.

Ejemplo:Sea la funcion f : R→ R, tal que f(x) = 3x+ 2 Calculamos algunos valores de x.

x f(x) = 3x+ 2 (x, f(x))

−3 f(−3) = 3(−3) + 2 = −7 (−3,−7)−2 f(−2) = 3(−2) + 2 = −4 (−2,−4)−1 f(−1) = 3(−1) + 2 = −1 (−1,−1)0 f(0) = 3(0) + 2 = 2 (0, 2)1 f(1) = 3(1) + 2 = 5 (1, 5)2 f(2) = 3(2) + 2 = 8 (2, 8)3 f(3) = 3(3) + 2 = 11 (3, 11)

Despejando x en f(x) = 3x+ 2 se obtiene f−1 (funcion inversa).

f(x) = 3x+ 2

f(x)− 2 = 3x

f(x)− 2

3= x

Ahora calculamos x para los valores que se indican de f(x)

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2.2. FUNCION ESCALONADA 9

x f(x) = 3x+ 2 (x, f(x))

−7 x = −3 (−7,−3)−4 x = −2 (−4,−2)−1 x = −1 (−1,−1)2 x = 0 (2, 0)5 x = 1 (5, 1)8 x = 2 (8, 2)11 x = 3 (11, 3)

2.2. Funcion escalonada

Existen funciones particularmente importantes en Matematicas por constituir la base esencialdel estudio de las funciones y que resuelven de una manera facil diversos problemas que se plan-tean en la vida diaria. Un ejemplo de ellos son los modelos matematicos de sistemas mecanicos oelectricos, que implican funciones con discontinuidades, correspondientes a fuerzas externas que seactivan o desactivan de manera abrupa.Estas funciones reciben el nombre de Funciones Escalonadas, y reciben su nombre debido a que susgraficas parecen escalones.

Ejemplo:Analizaremos las tarifas de un estacionamiento.

Figura 2.1: Tarifa del Estacionamiento

Podemos observar que las tarifas son cerradas por horas, esto indica que la funcion esta definida entrozos.

10 CAPITULO 2. FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACION

2.3. Funcion Valor Absoluto

Antes de pasar a la funcion, tenemos que reecordar la definicion del valor absoluto.

|x| ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

Por ejemplo: | − 2| = 2 y |5| = 5Ahora, la funcion valor absoluto esta definida como el conjunto de pares ordenados en los cuales

el primer componente es un numero real y el segundo componente es el valor absoluto de la primera.

f = {(x, f(x))|f(x) = |x|, x ∈ R}

La grafica de esta funcion es la siguiente:

Figura 2.2: Funcion Valor Absoluto

2.4. Funcion Identidad

2.5. Funcion Constante

2.6. Transformacion de graficas

2.6.1. Traslacion

2.6.2. Reflexion

Capıtulo 3

Funciones Polinomiales de grado cero,uno y dos

3.1. Modelo general de funciones polinomiales

3.2. Forma polinomial, caracterısticas, parametros y representaciongrafica de funciones de grado cero

3.3. Forma polinomial, caracterısticas, parametros y representaciongrafica de funciones de grado uno

3.4. Forma polinomial, caracterısticas, parametros y representaciongrafica de funciones de grado dos

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Capıtulo 4

Funciones Polinomiales de grado tres ycuatro

4.1. Forma polinomial, propiedades geometricas, metodos de solucio-nes de las funciones factorizables, caracterısticas, parametros yrepresentacion grafica de funciones de grado tres

4.2. Forma polinomial, propiedades geometricas, metodos de solucio-nes de las funciones factorizables, caracterısticas, parametros yrepresentacion grafica de funciones de grado cuatro

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Capıtulo 5

Funciones polinomiales factorizables

5.1. Definicion de ceros y raıces de la funcion

5.2. Teorema del factor y del residuo

5.3. Division Sintetica

5.4. Teorema Fundamental del Algebra

5.5. Teorema de Factorizacion Lineal

5.6. Graficas de funciones polinomiales factorizables

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Capıtulo 6

Funciones Racionales

6.1. Forma, caracterısticas, parametros y representacion de una fun-cion racional

6.2. Asıntotas horizontales, verticales y oblicuas

6.3. Criterios de existencia de las asıntotas verticales, horizontales yoblicuas

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Capıtulo 7

Funciones Exponenciales y Logarıtmicas

7.1. Forma, Caracterısticas, parametros y representacion grafica deuna funcion exponencial

7.2. Propiedades de los exponentes

7.3. Forma, Caracterısticas, parametros y representacion grafica deuna funcion logarıtmica

7.4. Propiedades de los logaritmos

7.5. Cambio de una expresion exponencial a una logarıtmica y vice-versa

7.6. Ecuaciones Exponenciales

7.7. Ecuaciones Logarıtmicas

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Capıtulo 8

Funciones Periodicas

8.1. Forma, Caracterısticas, parametros y representacion grafica deuna funcion Senoidal

8.2. Forma, Caracterısticas, parametros y representacion grafica deuna funcion Cosenoidal

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Bibliografıa

[1] Hahn, J. LATEX for eveyone. Prentice Hall, New Jersey, 1993.

[2] Larson, Roland E. Calculo y Geometrıa Analıtica. Volumen 2. 6a Edicion. McGraw Hill.Mexico. 2000.

[3] http://www.cch-oriente.unam.mx/areas/matematicas/mate3/miiiu2.pdf

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