V03-13/01/2019 Cenni di elettrodinamica Indice: Introduzione 1) Le equazioni di Maxwell nel vuoto e i potenziali scalare e vettore pg. 2 2) Il caso statico e la condizione di Coulomb pg. 3 3) Il caso dinamico e la condizione di Lorenz pg. 4 4) I potenziali ritardati pg. 5 5) I potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in moto pg. 6 6) I campi E e B per una carica in moto pg. 7 7) Caratteristiche dei campi E e B per una carica in moto uniforme pg. 8 8) Radiazione da una carica in moto accelerato: formula di Larmor pg. 10 9) Radiazione da un dipolo elettrico oscillante: calcolo dei campi E e B pg. 12 10) Radiazione da un dipolo oscillante: la potenza irradiata pg. 14 11) Il concetto di sezione d'urto pg. 15 12) La sezione d'urto Thomson pg. 17 Appendici: A.1 ProprietΓ della funzione di Dirac pg. 19 A.2 Il potenziale ritardato come soluzione delle equazioni dei pg. 20 potenziali A.3 Calcolo dei potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in moto pg. 21 A.4 Calcolo dei campi E e B dai potenziali di Lienard-Wiechert per pg. 22 una carica in moto
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V03-13/01/2019
Cenni di elettrodinamica
Indice:
Introduzione
1) Le equazioni di Maxwell nel vuoto e i potenziali scalare e vettore pg. 2
2) Il caso statico e la condizione di Coulomb pg. 3
3) Il caso dinamico e la condizione di Lorenz pg. 4
4) I potenziali ritardati pg. 5
5) I potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in moto pg. 6
6) I campi E e B per una carica in moto pg. 7
7) Caratteristiche dei campi E e B per una carica in moto uniforme pg. 8
8) Radiazione da una carica in moto accelerato: formula di Larmor pg. 10
9) Radiazione da un dipolo elettrico oscillante: calcolo dei campi E e B pg. 12
10) Radiazione da un dipolo oscillante: la potenza irradiata pg. 14
11) Il concetto di sezione d'urto pg. 15
12) La sezione d'urto Thomson pg. 17
Appendici:
A.1 ProprietΓ della funzione di Dirac pg. 19
A.2 Il potenziale ritardato come soluzione delle equazioni dei pg. 20
potenziali
A.3 Calcolo dei potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in moto pg. 21
A.4 Calcolo dei campi E e B dai potenziali di Lienard-Wiechert per pg. 22
una carica in moto
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Introduzione
Queste brevi note riassumono in modo molto schematico alcuni cenni di
Elettrodinamica che dallβaccademico 2017/18 vengono introdotti in via sperimentale
nel programma di Fisica Generale 2 per il Corso di Laurea in Astronomia, in
sostituzione degli argomenti di Ottica Geometrica proposti agli studenti fino allβanno
precedente. Le note devono intendersi come materiale di appoggio agli argomenti
vettore οΏ½Μ οΏ½ Γ¨ definito a meno del gradiente di una generica funzione scalare π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) =π(π₯, π¦, π§, π‘) dipendente dalle coordinate spaziali e dal tempo e il potenziale scalare π
Γ¨ definite a meno della derivata rispetto al tempo della stessa funzione scalare. Infatti
Nellβelettrostatica o nella magnetostatica risulta conveniente la scelta della funzione π che porta alla condizione βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = 0, detta condizione di Coulomb. βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = βΜ β οΏ½Μ οΏ½0 β β2π = 0
La prima delle equazioni di Maxwell con tale condizione mantiene la stessa
espressione, come nel caso statico: βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = βΜ β (ββΜ V β βAΜ βt ) = ββ2π β πβΜ βοΏ½Μ οΏ½ππ‘ = ββ2π = ππ0
(2.1) β2π = β ππ0 equazione di Poisson.
Per quanto riguarda il campo magnetico, lβequazione 1.4 diventa:
Con riferimento alla densitΓ di corrente, si ricorda che lβequazione di continuitΓ della
carica elettrica Γ¨ contenuta nelle equazioni di Maxwell: βΜ β (βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½) = 0 = π0βΜ β π Μ + π0π0βΜ β (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ ) = π0βΜ β π Μ + π0 (ππππ‘) da cui βΜ β π Μ + (ππππ‘) = 0 ; si noti che, nel caso di distribuzioni di carica indipendenti dal
tempo, si ottiene che βΜ β π Μ = 0 , ma non necessariamente che πΜ = 0.
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3) Il caso dinamico e la condizione di Lorenz
Abbiamo visto come nella descrizione di fenomeni elettrostatici e magnetostatici e in
particolare nel calcolo dei potenziali scalare e vettore, risulta conveniente la scelta
della funzione scalare π che soddisfi lβequazione βΜ β οΏ½Μ οΏ½0 β β2π = 0, che porta alla
condizione di Coulomb βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = 0.
In condizioni non stazionarie, con densitΓ di cariche e di correnti π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) e π(Μ οΏ½Μ οΏ½, π‘)
dipendenti dal tempo, come giΓ visto nel paragrafo 2, le equazioni 2.1 e 2.2 nella
che risultano indipendenti tra loro e possiedono la medesima forma. Tuttavia con π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) e π(Μ οΏ½Μ οΏ½, π‘) funzioni del tempo, le soluzioni 2.3 e 2.4 per il caso statico non sono
piΓΉ valide.
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P(r)
r rβ x
y
z
(rβ,tr) j(rβ,tr)
r-rβ
O
4) I potenziali ritardati
Le soluzioni delle equazioni 3.5 e 3.6 possono essere espresse in una forma simile alle
2.3 e 2.4, tuttavia esprimendo le densitΓ di carica e di corrente calcolate non allβistante
al quale si vogliono calcolare i potenziali οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) e π(οΏ½Μ οΏ½, π‘), ma ad un istante
precedente π‘π = π‘ β π /π dove π (π‘π) = |οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½β²(π‘π)|, istante che dipende dunque dalla
distanza del punto di osservazione π(οΏ½Μ οΏ½) dai diversi elementi delle distribuzioni di
carica e di corrente. Si introducono dunque i potenziali ritardati:
(4.1) π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = 14ππ0 β« π(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π ππβ²π e analogamente per il potenziale vettore
(4.2) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π04π β« οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π ππβ²π dove R Γ¨ calcolato allβistante π‘π ,
che sono soluzioni delle equazioni 3.5 e 3.6 (v. appendice A.2). Lβistante π‘π precede
dunque lβistante π‘ di una quantitΓ pari al tempo necessario perchΓ¨ la perturbazione con
velocitΓ pari alla velocitΓ della luce nel vuoto si propaghi dalla distribuzione di carica
e corrente al punto P.
Dalle equazioni 4.1 e 4.2 si possono ricavare le espressioni per i campi οΏ½Μ οΏ½ e οΏ½Μ οΏ½, dette
π΅ = βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ = π04π β« [οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π 2 + οΏ½ΜΜ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)ππ ]π Γ οΏ½Μ οΏ½π ππβ² dove οΏ½ΜοΏ½ e πΜ Μ indicano le derivate rispetto al tempo. In queste espressioni si riconosce
nel primo contributo il caso stazionario.
Per ottenere le equazioni di Jefimenko si ricorda
che lβoperatore βΜ agisce sulle variabili π₯, π¦, π§ e
non sulle variabili di integrazione π₯β, π¦β, π§β. Valgono dunque le relazioni seguenti: βΜ π = 14ππ0 β« [(βΜ π) 1π + π βΜ (1π )]π ππβ² dove
π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 β« πΏ(π₯β²)πΏ(π¦β²)πΏ(π§β²βπ£(π‘βπ π))[π₯2+π¦2+(π§βπ§β²)2]1/2 ππβ²π deve essere integrato nelle tre variabili
spaziali. Integrando innanzitutto nelle variabili π₯β² e π¦β² , lβespressione risultante π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 β« πΏ(π§β²βπ£(π‘βπ π))[π₯2+π¦2+(π§βπ§β²)2]1/2 ππ§β²π
puΓ² essere ulteriormente integrata introducendo una variabile π§β²β² = π§β² β π£(π‘ β π /π)
con π = [π₯2 + π¦2 + (π§ β π§β²)2] e ππ§β²β² = ππ§β² + π£π ππ ππ§β² ππ§β² = [1 β π£π (π§βπ§β²)π ] ππ§β² da cui
π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 β« πΏ(π§β²β²)π ππ§β²β²[1βπ£π (π§βπ§β²)π ]π = π4ππ0 1[π βπ£π (π§βπ§β²)]|π§β²=π£(π‘βπ /π) Attenzione che il potenziale scalare ottenuto non Γ¨ il potenziale Coulombiano
Nel paragrafo seguente verrΓ mostrato come la quantitΓ (οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π)π‘πcorrisponda alla
distanza οΏ½Μ οΏ½ calcolata allβistante π‘. Tuttavia i potenziali e i campi sono originati dalla
carica nella sua posizione (e con la velocitΓ e lβaccelerazione) calcolata allβistante π‘π.
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P(x,y,z) R(tr)
O zq(tr) zq(t) z
R(t)
zq(t)-zq(tr)= vR/c
x,y
E(t)
7) Caratteristiche dei campi E e B prodotti da una carica in moto uniforme
Lβespressione 6.3 per il campo elettrico mostra che la direzione del campo Γ¨
determinata dal termine (οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π)π‘π ; nel caso di una carica in moto uniforme lungo
lβasse z con legge oraria π§π(π‘) = π£π‘ e quindi con π§π(π‘) β π§π(π‘π) = π (π‘π)π π£ tale termine si esprime come
che mostra come la direzione del campo elettrico in π
corrisponda dunque alla congiungente tra la posizione che la carica q occupa
allβistante π‘ e il punto π, sempre che il moto della carica continui a tempi successivi a π‘π. Il campo magnetico in P, espresso tramite la relazione 6.4, risulta perpendicolare
perpendicolare a οΏ½Μ οΏ½ e, in tale approssimazione, il vettore di Poynting assume la forma
seguente: πΜ β 1π0π πΈ2οΏ½Μ οΏ½π
Nel caso di velocitΓ piccola rispetto alla velocitΓ della luce π£ << π, e quindi con π = (π β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π )π‘π β π , il campo elettrico diventa
dove β« π ππ2ππ0 (β ππππ π) ππ = 8π3
che rappresenta la formula di Larmor(4)
per piccole velocitΓ π£ << π rispetto alla
velocitΓ della luce nel vuoto.
Nel caso di velocitΓ non trascurabili e considerando, come nel caso precedente, il solo
contributo al campo di ordine O(1/R), il campo elettrico si esprime come in 8.2 e la
potenza totale emessa, ottenuta integrando sullβintero angolo solido intorno alla carica
si ottiene la seguente formula di Lienard: π = π26ππ0π3 πΎ6 (π2 β |οΏ½Μ οΏ½ΓοΏ½Μ οΏ½π |2) = π2π26ππ0π3 πΎ6 (1 β π£2π2 sin2 π½) dove πΎ2 = 1(1βπ£2 π2β ) e che per π£ βͺ π riproduce la formula di Larmor 8.3. In altra forma la potenza emessa
si puΓ² scrivere in funzione delle componenti dellβaccelerazione parallela e
il calcolo del gradiente βΜ π = ππππ οΏ½Μ οΏ½π + 1π ππππ οΏ½Μ οΏ½π porta a βΜ π = π0 πππ π4ππ0 ππ {[β 1π2 cos π(π‘ β π πβ ) + πππ sin π(π‘ β π πβ ) ] cos π οΏ½Μ οΏ½π β 1π2 cos π(π‘ β π πβ ) sin π οΏ½Μ οΏ½π}
Trascurando ancora una volta i termini proporzionali a 1 π2β si ottiene infine: βΜ π = π0 4ππ0 π2ππ2 sin π(π‘ β π πβ ) cos π οΏ½Μ οΏ½π
Il contributo dal potenziale vettore ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ , ricordando che οΏ½Μ οΏ½π§ = cos π οΏ½Μ οΏ½π β sin π οΏ½Μ οΏ½π, da
come risultato ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ = β π04π π2π0π sin π(π‘ β π πβ ) (cos π οΏ½Μ οΏ½π β sin π οΏ½Μ οΏ½π)
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z
x
y
E
B u
u
Sostituendo π0 = 1π0π2 e ricordando che οΏ½Μ οΏ½ = ββΜ V β βAΜ βt si ottiene
(9.3) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π0π2 sin π4ππ0π2π sin π(π‘ β π πβ ) οΏ½Μ οΏ½π
Per il calcolo del campo magnetico οΏ½Μ οΏ½ = ββΜ Γ AΜ , dato che π΄π = 0 e ππ΄π,πππ = 0, il
rotore di AΜ ha la forma βΜ Γ AΜ = 1π (π(ππ΄π)ππ β ππ΄πππ ) οΏ½Μ οΏ½π con π΄π = π04π ππ0π cos π(π‘ β π πβ ) cos π e π΄π = β π04π ππ0π cos π(π‘ β π πβ ) sin π Risulta dunque βΜ Γ AΜ = β π04π ππ0π [ππ sin π sin π(π‘ β π πβ ) + 1π sin π cos π(π‘ β π πβ )] οΏ½Μ οΏ½π
Trascurando i termini proporzionali a 1 π2β e con π0 = 1π0π2 si ottiene:
dove lβangolo π rappresenta la deviazione angolare della direzione di osservazione
rispetto allβasse di oscillazione dellβelettrone, che corrisponde alla direzione della sua
accelerazione dovuta allβazione del campo elettrico della radiazione incidente.
Dunque in questa espressione si fa implicitamente riferimento ad unβonda
elettromagnetica incidente polarizzata linearmente. Per giustificare la relazione 12.2 si
considerino le leggi orarie del moto di un elettrone sotto lβazione del campo elettrico,
disposto lungo lβasse z, della radiazione incidente lungo lβasse x: π§(π‘) = π§0 sin ππ‘ e accelerazione ππ§(π‘) = βπ2π§0 sin ππ‘ = β ππΈ0ππ sin ππ‘ dalle quali
si ottiene che π2π§0 = ππΈ0ππ ; ricordando lβespressione 10.1 del valor medio del vettore
Appendice A.1 β ProprietΓ della funzione πΉ di Dirac
La funzione πΏ (delta) di Dirac, le cui proprietΓ vengono qui riassunte, Γ¨ di particolare
utilitΓ quando Γ¨ necessario descrivere quantitΓ fisiche con valore finito, ma confinate
in volume infinitesimi, ad esempio per distribuzioni puntiformi di carica o massa.
Nel caso di una sola dimensione πΏ(π₯) = 0 per π₯ β 0 e β« πΏ(π₯)ππ₯Ξπ₯ = 1 quando lβintervallo di integrazione include
il punto π₯ = 0 mentre Γ¨ nullo altrimenti. Analogamente si puΓ² scrivere che πΏ(π₯ β π₯0) = 0 per π₯ β π₯0 e β« πΏ(π₯ β π₯0)ππ₯Ξπ₯ = 1 quando lβintervallo di
integrazione include il punto π₯ = π₯0.
Data una funzione continua e derivabile con derivata continua in π₯0 la funzione πΏ
permette di scrivere, sempre nel caso in cui lβintervallo di integrazione includa il
sono soluzioni delle equazioni elettrodinamiche per i potenziali β2π β 1πΆ2 β2Vβt2 = β ππ0 e β2οΏ½Μ οΏ½ β 1πΆ2 β2AΜ βt2 = βπ0π Μ In questa appendice ci proponiamo di dimostrarlo. Calcoliamo prima il gradiente di π
Un analogo risultato si ottiene evidentemente per ciascuna delle componenti del
potenziale vettore.
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Appendice A.3 β Calcolo dei potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in
moto
Il calcolo del potenziale scalare ritardato richiede che ogni porzione infinitesima della
distribuzione di carica sia descritta allβistante π‘π che varia da punto a punto nella
distribuzione. Il potenziale puΓ² essere dunque espresso nella forma: π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = 14ππ0 β« π(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π πΏ (π‘π β π‘ + π π) ππ‘π π3π οΏ½Μ οΏ½β² dove π Γ¨ la distanza tra il punto di
osservazione π(οΏ½Μ οΏ½) e la porzione infinitesima della distribuzione di carica allβistante π‘π = π‘ β π π . La legge oraria per la posizione di una carica q in moto viene descritta da
una funzione οΏ½Μ οΏ½π(π‘) e in questo caso π = |οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½π(π‘π)|. La densitΓ di carica assume la
Ricordando che π0 = 1π0π2 e βΜ (1π) = β 1π2 βΜ π si ottiene la relazione
(A.4.1) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π4ππ0 [β 1π2π ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ + οΏ½Μ οΏ½π2π2 ππππ‘ + 1π2 βΜ π] Devono dunque essere calcolati i tre termini (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘)π , (ππππ‘)π e βΜ π per π‘π = π‘ β π /π.
A questo scopo innanzitutto si calcolano le seguenti quantitΓ : (ππ‘πππ‘ )π , (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ )π , (ππ ππ‘ )π che saranno utili nel seguito. Inoltre scrivendo
(ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ )π = βοΏ½Μ οΏ½ (ππ‘πππ‘ )π con οΏ½Μ οΏ½ = ποΏ½Μ οΏ½π(π‘π)ππ‘π velocitΓ della carica allβistante π‘π e, ricordando