内積の見方・考え方 - 新潟大学m.sc.niigata-u.ac.jp/~prtana/demae/handouts2.pdf2010/6/27 4 2 射影する （垂線の足 をHとする）...

2010/6/27 1

内積の見方・考え方―内積の見方・考え方と情報化社会への利用―

新潟大学 大学院自然科学研究科

数理物質科学専攻（数理科学コース）

田 中 環 (TANAKA, Tamaki)E-mail:[email protected]

山形県私立 酒田南高等学校「模擬講義」 （第２部）

平成２２年６月２５日（金）9:55～10:40

2

話の流れ

1. ベクトルの正射影と内積の考え方

2. 一次方程式と一次不等式の見方

3. 点と直線の距離

4. 線形計画問題の内積による一次式表現

連立一次不等式の内積による解釈

5. コーシー・シュワルツの不等式

6. 情報化社会への利用

信号処理（テレビ，携帯電話），病院（ＣＴスキャン）

3

内積の計算方法

高等学校で学習した，ベクトル との内積は次のようになっていた。

),( 21 xxx = ),( 21 yyy =

2211, yxyxyx +=例題１

２次元ユークリッド空間において，次の２つのベクトルの内積を求めよ。

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−= 12x ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= 2

1yと(1) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= 0

5a ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= 4

2bと(2)

O ２ ５a

b４

O２

x

y２

１

－１

2010/6/274

２

射影する

（垂線の足をHとする）

高等学校の数学における内積の考え方

A

B

OH ３

答えは：５×２＝１０，前の例からも分かる。高等学校で学習する，もう一つの内積の定義からも分かる。

内積の考え方

θ

byaxyx

ba +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ,

５

１次元の数直線と考える。

は負 OH

2Ε

における左の図でベクトルとベクトル の内積を求めよ。ただし， と の長さはそれぞれ ２ と ３ とする。つまり，ベクトル の大きさは５ である。

2Ε

OA

OAOB

OH AH

5

射影する

（垂線の足をHとする）

内積の考え方に基づいたベクトルの正射影

AO H

ベクトルOAとOBの内積は，一方のベクトルを他方へ正射影して，数直線上の数の掛け算と同じように計算することで得られる。

OHOAOBOA ×=,

2Ε

ベクトルの正射影の考え方

左の図のような場合には，

B

と考える。

OAOH

１ AO

B

OBOA,

の時 1=OA特に，ベクトルOAの大きさが１の場合の内積の値は軸OAに関するHの座標になる。

OHOBOA =,AO

Bの時OBOA ⊥

点Bを直線OA上へ射影した時，原点に重なる（OAとOBが直交）場合，

の値がゼロとなるので，

内積の値は０となる。つまり，直交する２つのベクトルの内積は０となる。

0, =OBOA

OH

2010/6/276

数ベクトル空間とユークリッド空間

その全体を 次元数ベクトル空間といい， で表す。n nR

個の実数の組 を 次元数ベクトルという。n⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

nx

x1n

すると，これは自然に内積の公理を満足するので，内積の一次式表現とも呼んでいる（線形形式，双線形形式または一次形式ともいう）。

ベクトルは通常，成分を縦に並べるので，横に表示する時は転置記号Tを付ける。

∑=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

n

iii

nn

yxy

y

x

xyx

1

11,:,

「 x と y の内積」

特に，直交するように座標を選んだ場合，２つのベクトルと に対して，次のような関数が定義でき，

次元ユークリッド空間といい， で表す。n nEEuclidean space

T1 ),,( nxxx …=

T1 ),,( nyyy …=

yxyxn

iii

T

1== ∑

=yxcycx ,,)4( =

0,)1( ≥xx自分自身との内積　)( 00,)2( ゼロベクトル=⇔= xxx

zyzxzyx ,,,)3( +=+

xyyx ,,)5( =

7

内積が一定になる点の軌跡＝直線や平面

AO H

2ΕB

OAOH

B′

B ′′

でも でも でもOAに垂線を下ろしたら，

同じHになる。よって，それぞれOAとの内積を考えたら全部同じ

となる。OHOA ×

B B′ B ′′

したがって，OAとの内積がちょうど となる点はOAとHで垂直に交わる直線上にあり，逆にその直線上の点はすべてその条件を満たしている。

OHOA ×

２次元の空間のとき

３次元の空間のとき

OHOAbyax ×=+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛yx

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ba

点Aの座標を(a,b)，直線上の点の座標を(x,y)とすればこの直線の方程式は右のようになる。

8

一次不等式の見方

25×=+ byax 10=+ byax

10, OCOA

に入っている。

は領域と10

≤+

′byaxBB

に入っている。

は領域と10

≥+

′byaxCC

AO H

2Ε

B

52

B′ C′

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛yx

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ba

C

今は，右にベクトルAを描いているが，左を向いていたら，そのベクトルの向きに座標の値を正の数値とすることに注意しよう。

Hより手前側 Hより向う側

OA向きに座標が正。

9

内積による一次式表現の具体例

1=+ yx 1,11 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

yx

一次方程式

一次不等式

21,

212

1

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

1≤+ yx 1,11 ≤⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

yx

21,

212

1

≤⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

で割ると両辺 2

で割ると両辺 2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛11

x

y

0 1≤+ yx

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛11

長さ 2

x

y

0

掛けたら１となる。

1=+ yx

大きさは 2大きさは 1

このベクトルを法線ベクトルと呼ぶ。

10

具体例（１） 続き

2−=+ byax 2, −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

ba

一次方程式

一次不等式

2−≤+ byax

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

0

2, −≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

ba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

0

法線ベクトル

法線ベクトル

11

具体例（１） 続き

2=+ byax 2, =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

ba

一次方程式

一次不等式

2≥+ byax

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

0

2, ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

ba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ba

0

法線ベクトル

法線ベクトル

12

一次方程式と一次不等式のとらえ方

cxaxa nn =++11

cxaxa nn ≤++11c法線ベクトル との内積が一定の値 以下で

ある点 の集まり。これを半空間(half space)と呼ぶ。

T1 ),,( naa …=a T

1 ),,( nxx …=x

法線ベクトル との内積が一定の値 である

点 の集まり。とくに，法線ベクトルがゼロベク

トルでなければ，これを超平面(hyperplane)と呼ぶ。超平面は，法線ベクトルが張る１次元の部分空間の直交補空間を平行移動した

もので，次元が n-1 となる。

T1 ),,( naa …=aT

1 ),,( nxx …=xc

cx

x

a

a

nn

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ 11,

cx

x

a

a

nn

≤⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ 11,

一次方程式

一次不等式

13

具体例（２） 点と直線の距離

),( 00 yxA =

O

1. 法線ベクトルの大きさを１にするように正規化する。

2. 原点から直線までの符号付の距離（Ｍの座標）は以下で表される。

H⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

22

22

babba

a

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+= yx

babba

a

OM ,

22

22

M ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

b

a

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

22

22

babba

a

ただし，点(x,y) は直線上の任意でよい。

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ba

),( yxcy

xba −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ,

直線 と点 との距離は，内積の考え方で理論的に覚えることが可能である。

0: =++ cbyaxl ),( 00 yx

0: =++ cbyaxl22

00

ba

cbyax

+

++

14

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+−+

−=−=

0

0

22

22

22, yx

babba

a

bacOHOMHM

3. 点Aと直線 の距離は，ＨとＭの座標間の距離に等しい。

点と直線の距離

),( 00 yxA =

O

H

22

22

22,

bac

yx

babba

a

OM+

−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

M

22

00

ba

cbyax

+

++

0: =++ cbyaxlcy

xba −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ,

l

15

具体例（３） 線形計画問題

ある工場で，２種類の製品 A と B を生産している。製品 A を 1kg 生産するには，原料が 3 トン，電力が1kWh 必要であり，製品 B を 1kg 生産するには，原料が 2 トン，電力が 2kWh 必要である。１日の原料，電力の使用可能量は，それぞれ 12 トン，8 kWh である。また，製品 A と B の 1kg あたりの利益はそれぞれ１万円である。この時，利益を最大にするには，A と B をいくらずつ生産すればよいかを求める問題に定式化せよ。

16

線形計画問題のモデル化

• 決定変数の決定：製品Ａをx kg生産し，製品Ｂをy kg生産しようと考える。決定変数とは制御可能な変数を指す。

• 目的関数の設定：最適化（最大化なのか最小化なのか）を図る目標が何で，決定変数との関係はどんな式で表されるのか？ここでは関数 f の最大化を考える。

• 制約条件の設定：問題を制限している（制約している）条件はどんなもので，決定変数との関係はどんな式で表されるのか？ここでは，条件式が4本ある。

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製品 A B一日の

使用可能量

生産量

原料

電力

利益

総利益 最大化

18

制約条件

目的関数

線形計画問題(Linear Programming Problem)

最大化

1223 ≤+ yx82 ≤+ yx0,0 ≥≥ yx

yx +

※ この問題は一次方程式や一次不等式で表現される制約条件と一次式で表される目的関数からなっている数理計画問題なので，「線形計画問題」と呼ばれる。この研究は，1947年に線形計画法としてダンツィクにより始められた。その後，クーンとタッカーにより非線形計画法が研究され，それが凸解析学へと発展してゆく。

このような問題を考えるには，内積の線形表現 が重要になってくる。

19

内積の一次式表現による解釈

1223 ≤+ yx82 ≤+ yx0,0 ≥≥ yx

yx +目的関数

制約条件

ベクトル(1,1)との内積を考えている。(等高線)

ベクトル(3,2)との内積が12以下となる半空間

ベクトル(1,2)との内積が8以下となる半空間

ベクトル(1,0)との内積が0以上となる半空間

ベクトル(0,1)との内積が0以上となる半空間

20

線形計画問題の実行可能領域

1223 ≤+ yx82 ≤+ yx0,0 ≥≥ yx

yx +目的関数

制約条件

12

34

5

0-1

の等高線 yxz +=

目的関数

実行可能領域を図示すると，赤線で囲まれた境界を含む内部の領域。

21

∑=

==n

iixxxx

1

2,

22

21

2

1

2

1 ,

2

xxxx

xxx +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

次元のときは，　

y

x0y円の半径＝

ベクトル x と y が一次従属のとき，またそのときに限りどちらかの等号が成立する。

)( 　はスカラー　　ααyx =xyy

ベクトル x と y が一直線上にある場合。

コーシー・シュワルツ

具体例（４） Cauchy-Schwarzの不等式

yxyxyx ≤≤− ,ベクトル x と y が一次従属のとき，またそのときに限りどちらかの等号が成立する。

∥∥ はベクトルのノルム（大きさ）を表し，内積表現を使うと，自分自身との内積の正の平方根に等しい。

22

コーシー・シュワルツの不等式

yxyxyx ≤≤− ,Cauchy-Schwarz ベクトルx と y が一次従属の時，

またそのときに限りどちらかの等号が成立する。

yxyx ≤,絶対値を使って表すと，

の時，成分で表すと，⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

nn y

yy

x

xx

11,

∑∑∑===

≤n

kk

n

kk

n

kkk yxyx

1

2

1

2

1

221

22111 nnnn yyxxyxyx ++++≤++

∑=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

n

kkk

nn

yxy

y

x

xyx

1

11,,

∑=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

n

kk

nn

xx

x

x

xx

1

211 ,:

（自分自身との内積の正の平方根）

両辺を二乗すると，

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑∑===

n

kk

n

kk

n

kkk yxyx

1

2

1

22

1

( ) ( )( )221221211 nnnn yyxxyxyx ++++≤++n=2 の時，高等学校でも不等式の証明の単元で学習している。

( ) ( )( )22222 yxbabyax ++≤+

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11, vvx 〉〈0

x

1v2v

22, vvx 〉〈

座標分解（各座標軸への正射影）

2211 ,, vvxvvxx 〉〈+〉〈=

関数をベクトルとするような関数空間では，内積は積分の形になり，テレビ放送，ラジオ放送，携帯電話などに代表される信号処理技術，病院の診療で利用されるコンピューター断層撮影（ＣＴスキャン）などにおいても座標分解してそれぞれの内積の値を求めるために測定を行い，後でそれを元に戻す操作を行っている。

最初から大きさ１の直交するベクトルがいくつか与えられている場合

〉〈

〉〈

nvx

vx

,

, 1 これらの数値だけを電波に乗せて，テレビ，ラジオ，携帯電話で復元している。

内積の見方・考え方�―内積の見方・考え方と情報化社会への利用―話の流れ内積の計算方法高等学校の数学における内積の考え方内積の考え方に基づいたベクトルの正射影数ベクトル空間とユークリッド空間内積が一定になる点の軌跡＝直線や平面一次不等式の見方内積による一次式表現の具体例具体例（１）　続き具体例（１）　続き一次方程式と一次不等式のとらえ方具体例（２）　点と直線の距離点と直線の距離具体例（３）　線形計画問題線形計画問題のモデル化線形計画問題�(Linear Programming Problem)内積の一次式表現による解釈線形計画問題の実行可能領域コーシー・シュワルツの不等式