Cebisevljevi polinomi

Uvod u numericku matematiku


Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujakovic1

Asistentica: Sanda Bujacic1

1Odjel za matematikuSveuciliste u Rijeci


Cebisevljevi polinomi

Koliko je dobar interpolacijski polinom?

U praksi se obicno koriste polinomi niskih stupnjeva - do 5.stupnja jer za neke funkcije i za neke izbore tocakainterpolacije povecavanje stupnja interpolacijskogpolinoma moze dovesti do povecanja gresakaIzraditi grafove interpolacijskih polinoma stupnjeva od 1 do6 koji interpoliraju funkciju

f (x) = log10(x)

na ekvidistantnoj mrezi za x ∈ [0.1,10].Greska interpolacije je najveca na prvom intervaluRazlog tome je sto funkcija f ima singularitet u 0, apocetna tocka interpolacije je vrlo blizu tom singularitetu





f (x) = log10(x)






f (x) = log10(x)






f (x) = log10(x)




Sto je cilj svake aproksimacije?

Polinom Pn kojim aproksimiramo funkciju f treba biti takavda greska aproksimacije

|f (x)− Pn(x)|

bude sto jednolicnije rasporedena duz segmentaPolinom Pn(x) ne smije biti zahtjevan za odredivanjeMaksimalna greska se mora svesti na minimum

Lagrangeovim i Newtonovim interpolacijskim polinomima smose nastojali sto vise pribliziti funkciji koju smo odredivali i zakoju smo imali odredene cvorove.Ali, Cebisevljevi cvorovi minimiziraju greskuaproksimacije.



Sto je cilj svake aproksimacije?

Polinom Pn kojim aproksimiramo funkciju f treba biti takavda greska aproksimacije

|f (x)− Pn(x)|

bude sto jednolicnije rasporedena duz segmentaPolinom Pn(x) ne smije biti zahtjevan za odredivanjeMaksimalna greska se mora svesti na minimum

Lagrangeovim i Newtonovim interpolacijskim polinomima smose nastojali sto vise pribliziti funkciji koju smo odredivali i zakoju smo imali odredene cvorove.Ali, Cebisevljevi cvorovi minimiziraju greskuaproksimacije.



Primjer

Neka je zadana funkcija f (x) = e−4x2, x ∈ [−1, 1]. Koristimo li do sad poznate

polinome stupnjeva n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 za aproksimaciju ove funkcije na segmentu

[−1, 1], dobivamo sljedece grafove:

Na prvoj slici iscrtani su aproksimacijski polinomi odgovarajucih stupnjeva, a na drugoj

pripradne greske dok je egzaktna funkcija iscrtana crnom istrkanom linijom.



Primjer

Greska interpolacije se smanjuje kako povecavamo stupanj aproksimacijskogpolinoma, no napredak je vrlo spor. Razlog tome je, sto kako se n povecava, tako sepovecava i maksimalna vrijednost (n + 1)-ve derivacije jer vrijedi

f (x) = e−4x2, f ′(x) = −8xe−4x2

.

Stupanj polinoma h Maksimalna greskan = 1 2.0 4.0000n = 2 2/3 2.0031n = 3 0.5 1.5802n = 4 2/5 0.9899n = 5 1/3 0.7384n = 6 2/7 0.1084

Greska nije jednoliko rasporedena na zadanom segmentu.



Cebisevljevi polinomi 1/3

Promatramo li potencije x0, x , x2, . . . na segmentu [−1,1]znamo da apsolutna vrijednost svakog od njih poprimamaksimalnu vrijednost 1 u tocki x = ±1 i minimalnuvrijednost u tocki x = 0.Ogranicavamo razmatranje na segment [−1,1].Supstitucija

x =2ξ − b − a

b − atransformira segment [a,b] na [−1,1] gdje je x rezultatsupstitucije i unutar je segmenta [−1,1], a tocka ξ je tockaiz segmenta [a,b] koju transformiramo.




Promatramo li potencije x0, x , x2, . . . na segmentu [−1,1]znamo da apsolutna vrijednost svakog od njih poprimamaksimalnu vrijednost 1 u tocki x = ±1 i minimalnuvrijednost u tocki x = 0.Ogranicavamo razmatranje na segment [−1,1].Supstitucija

x =2ξ − b − a

b − atransformira segment [a,b] na [−1,1] gdje je x rezultatsupstitucije i unutar je segmenta [−1,1], a tocka ξ je tockaiz segmenta [a,b] koju transformiramo.




Uocavamo da kosinus funkcije cosϕ, cos(2ϕ), . . . , cos(nϕ)po apsolutnoj vrijednosti imaju jednake maksimalnevrijednosti koje su jednoliko rasporedene na segmentu[0, π] i simetricne s obzirom na ishodiste.Ekstremne vrijednosti funkcija cos(jϕ), cos(kϕ), j 6= k nedogadaju se na istom mjestu.




Uocavamo da kosinus funkcije cosϕ, cos(2ϕ), . . . , cos(nϕ)po apsolutnoj vrijednosti imaju jednake maksimalnevrijednosti koje su jednoliko rasporedene na segmentu[0, π] i simetricne s obzirom na ishodiste.Ekstremne vrijednosti funkcija cos(jϕ), cos(kϕ), j 6= k nedogadaju se na istom mjestu.




Koristimo li kosinus funkcije, onda ih trebamo aproksimiratida bi izracunali njihove vrijednostiJednostavan i koristan rezultat dobivamo akotransformiramo cos(nϕ) u polinom n-tog stupnja nasegmentu [0, π] pa u polinom n-tog stupnja na [−1,1].Polinomi

Tn(x) = cos(nϕ), ϕ = arccos x , n = 0,1,2 . . . , .

zovu se Cebisevljevi polinomi.















Primjeri Cebisevljevih polinoma

T0(x) = 1T1(x) = xT2(x) = −1 + 2x2

T3(x) = −3x + 4x3

T4(x) = 1− 8x2 + 8x4

T5(x) = 5x − 20x3 + 16x5

T6(x) = −1 + 18x2 − 48x4 + 32x6

T7(x) = −7x + 56x3 − 112x5 + 64x7

T8(x) = 1− 32x2 + 160x4 − 256x6 + 128x8

T9(x) = 9x − 120x3 + 432x5 − 576x7 + 256x9

T10(x) = −1 + 50x2 − 400x4 + 1120x6 − 1280x8 + 512x10

Cebisevljevi polinomi su ili parne ili neparne funkcije.



Formula za Cebisevljeve polinome

Kako opcenito naci formulu za Cebisevljeve polinome? U tu svrhu koristimo rekurzivnurelaciju:

Tn(x) = 2xTn−1(x)− Tn−2(x) (1)

Zelimo li potencije 1, x , x2, . . . izraziti pomocu Cebisevljevih polinoma, dobivamo:1 = T0(x)x = T1(x)x2 = 1

2 (T0(x) + T2(x))x3 = 1

4 (3T1(x) + T3(x))x4 = 1

8 (3T0(x) + 4T2(x) + T4(x))x5 = 1

16 (10T1(x) + 5T3(x) + T5(x)]x6 = 1

32 (10T0(x) + 15T2(x) + 6T4(x) + T6(x))x7 = 1

64 (35T1(x) + 21T3(x) + 7T5(x) + T7(x))x8 = 1

128 (35T0(x) + 56T2(x) + 28T4(x) + 8T6(x) + T8(x))x9 = 1

256 (126T1(x) + 84T3(x) + 36T5(x) + 9T7(x) + T9(x))



Nultocke i ekstremi Cebisevljevih polinoma 1/3

Nultocke i ekstreme Cebisevljevih polinoma Tn+1 nije teskoizracunati. Njihove su nultocke na segmentu [−1,1]:

x = cos(2k + 1)

nπ

2, k = 0,1, . . . ,n − 1. (2)




Vrijednost Cebisevljevog polinoma u ekstremu je

Tn+1(x ′k ) = (−1)k , k = 0, . . .n + 1.

Ekstrema ima tocno n + 2 i pripadne vrijednosti alternirajupo predznaku.Cebisevljeve polinome uvijek mozemo sa segmenta [−1,1]transformirati u cvorove na segmentu [a,b] koristeciformulu:

x =a + b

2− b − a

2xc ,

gdje je xc Cebisevljev cvor, a x novi cvor iz segmenta [a,b].




Preciznije, Cebisevljevi cvorovi na proizvoljnom segmentu [a,b]su

xc =a + b

2− b − a

2

(cos

(2k + 1)n

π

2

), k = 0, . . .n − 1.



Prvih par Cebisevljevih polinoma



O Cebisevljevim polinomima

Primjetimo da na segmentu [−1,1] polinomi imaju n + 1ekstremnu vrijednost zbog svog porijekla Tn(x) = cos(nϕ)sto znaci T0(x) ima jedan, T1(x) dva, T2(x) tri, a T3(x) cetiriekstrema, itd.Svi ekstremi imaju apsolutnu vrijednost 1 i to naizmjencepozitivnu pa negativnu sto utjece na to da Tn(x) ima nrazlicitih nultocaka koje su sve realne i na intervalu 〈−1,1〉.



O Cebisevljevim polinomima

Primjetimo da na segmentu [−1,1] polinomi imaju n + 1ekstremnu vrijednost zbog svog porijekla Tn(x) = cos(nϕ)sto znaci T0(x) ima jedan, T1(x) dva, T2(x) tri, a T3(x) cetiriekstrema, itd.Svi ekstremi imaju apsolutnu vrijednost 1 i to naizmjencepozitivnu pa negativnu sto utjece na to da Tn(x) ima nrazlicitih nultocaka koje su sve realne i na intervalu 〈−1,1〉.



Korisne relacije za Cebisevljeve polinome

Tn(−x) = (−1)nTn(x),

Tn(1) = 1,

Tn(−1) = (−1)n,

T2n(0) = (−1)n,

T2n+1(0) = 0.



Ocjena greske

1 Cebisevljevi polinomiOcjena greskeZadaci



Ocjena greske

Ocjena greske

Najveca apsolutna greska interpolacije Cebisevljevimpolinomom najmanja je moguca i uvijek je jednolicnorasporedena na cijelom segmentu bez prevelikihodstupanja na segmentu [a,b] i iznosi:

|Rn| ≤Mn+1

(n + 1)!(b − a)n+1

22n+1 . (3)



Zadaci

1 Cebisevljevi polinomiOcjena greskeZadaci



Zadaci

Primjer

Odrediti listu od cetiri Cebisevljeva cvora na segmentu [−2,2].



Zadaci

Zadatak 1.

Za funkciju f (x) = 11+25x2 na segmentu [−1,1] naci interpolacijski

polinom drugog stupnja na ekvidistantnoj i Cebisevljevoj mrezi.



Zadaci

Zadatak 2.

Koliko je Cebisevljevih cvorova potrebno pomocu kojih bi seinterpolirala funkcija

f (x) = sin x + cos x

na segmentu [0, π] s minimalnom tocnoscu od 10−8?



Zadaci

Vjezba

Odredite L2(x) za funkciju

f (x) = 3√

1 + x , x ∈ [−0.5,1]

koristeci za cvorove nultocke Cebisevljevog polinoma. Odreditepravu gresku za taj polinom u x = −0.4 i x = 0.9.



Zadaci

Seminar 1.

Korisnik upisuje pocetak i kraj intervala te stupanj ninterpolacijskog polinoma kojim zeli interpolirati zadanufunkciju. Program racuna Cebisevljeve cvorove na zadanomsegmentu. Zadana je funkcija

f (x) = x 3√

1 + x .

U C++ izradite program tako da interpolirate funkciju dvamapolinomima Ln(x) stupnja n i n + 1 na segmentu. Usporeditedobivena rjesenja i izracunajte greske.



Zadaci

Seminar 2.

Korisnik upisuje pocetak i kraj intervala te stupanj ninterpolacijskog polinoma kojim zeli interpolirati zadanufunkciju. Program racuna Cebisevljeve cvorove na zadanomsegmentu. Zadana je funkcija

f (x) = x3 + 5x2 + 1.

U C++ izradite program tako da interpolirate funkciju dvamapolinomima Ln(x) stupnja n na ekvidistantnoj mrezi i na mreziCebisevljevih cvorova. Usporedite dobivena rjesenja iizracunajte greske.

Cebisevljevi polinomi

Documents