ANTECEDENTES HISTRICOS
DEFINICIN DE LAS CNICASSECCIONES CNICAS:(cono de revolucin
circular recto y un plano de corte)curva cnica que se obtiene
dependiendo de la relacin entre el ngulo de conicidad y la
inclinacin del plano respecto del eje del cono
LUGAR GEOMTRICO: (propiedad aditiva)(suma de distancias,
propiedades geomtricas, propiedades analticas)subconjunto de puntos
que cumplen ciertas propiedades que se expresan en trminos de
distancia:lugar geomtrico de puntos en R cuyas coordenadas
satisfacen cierta ecuacin
LUGAR GEOMTRICO: (propiedad multiplicativas) (multiplicacin de
distancias, propiedades geomtricas, excentricidad)lugar geomtrico
de los puntos p del plano cuya razn de sus distancias a un foco, f,
y a una recta D, llamada Directriz, es una constante
fijaANTECEDENTES HISTRICOSDuplicacin del cubo(construir un cubo de
volumen doble al de un determinado cubo)
Triseccin de un ngulo(dividir un ngulo dado en tres partes
iguales)
Cuadratura del crculo(construir un cuadrado con rea igual a un
crculo determinado)TRES PROBLEMAS GEOMTRICOS FUNDAMENTALES:Evariste
Galois; 1830Ferdinand Lindemann; 1882CONO CIRCULAR
Base circularEje de simetraDirectriz Generatriz Vrtice Cono
Circular OblicuoCono Circular RectoCONO CIRCULAR RECTOPOR
REVOLUCIN
e : eje
g : generatriz
v : vrtice
: ngulo de inclinacin
s : superficie cnicavgesCONO CIRCULAR RECTO POR REVOLUCIN
egvr : tringulo rectngulo
e : eje
g : generatriz
v : vrtice
b : base
s : superficie cnicasbMENECMO(Proconeso, c. 375 c. 325
a.c.)Solucin parcial al problema Duplicacin del cubo: Triada de
Menecmo : secciones cnicasCono circular recto
Varia el ngulo en el vrtice
El plano de corte siempre es perpendicular a la generatrizcono
acutngulo, rectngulo y obtusngulo para la elipse, parbola e
hiprbola, respectivamente.SECCIN CNICA DE MENECMO
Cono circular agudo o acutngulo (oxitoma)Plano de
corteELIPSESECCIN CNICA DE MENECMO
Plano de corteCono circular recto o rectngulo
(ortotoma)PARBOLASECCIN CNICA DE MENECMO
Plano de corteCono circular obtuso o obtusngulo
(amblitoma)HIPRBOLAAPOLONIO DE PERGA (c. 262 190 a. c.)Las nombro
CNICAS, estudio sus propiedades y le dio nombre a cada una.Ellipsis
(deficiencia), Hyperbola (avanzar ms all) y Parbola (colocar al
lado o comparar)
ELIPSEPARBOLAHIPRBOLASECCIONES CNICASDE APOLONIO
ELIPSECIRCUNFERENCIAPARBOLAHIPRBOLAHIPRBOLANGULO DE CONICIDADY
PLANO DE CORTEEltipodecurvaquese obtiene depende de la relacin
entre el ngulo de conicidad a (de la superficie cnica) y la
inclinacin del plano respecto del eje del cono (ngulo , que forma
el plano P con el eje e).
Si>aentonceselplano corta a todas las generatrices de la
superficie cnica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si a
se obtiene una curva abierta. ELIPSESi >a y 0 gnero elipse3 ) A
C < 0 gnero hiprbolaSIN COEFICIENTE B (incompleta o rotada)A x 2
+ C y 2 + D x + E y + F = 0 ( A 0 A 2 + C 2 > 0 )EXCENTRICIDAD
DE LAS CNICASDISCUSION gnero parbola
gnero elipse
Circunferencia
gnero hiprbolae = 1
e < 1
e = 0
e > 1e = c ae : excentricidadc : semi- parametroa : semi-
parametroCNICAS DEGENERADAScnicas degeneradas e incluso cnicas
imaginariasBxy = 0B 0
Ax + Dx + F = 0A 0
Cy + Ey + F = 0 C 0
a (x h) + b (y k) = 0
Siendo a, b, h,k constantes y cuando menos uno de los primeros
diferentes a ceroAx + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0Wikipedia secciones
conicas
27CNICAS DEGENERADAS
cnicas degeneradas e incluso cnicas imaginariasX + Y = -1 X + Y
= 0 X - Y = 0 X = -1X = 1X = 0Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F =
0Wikipedia secciones conicas
28PARBOLA1 ) C D 0 parbola con eje de simetra paralelo al eje
X
2 ) A E 0 parbola con eje de simetra paralelo al eje Y
CASOS PARTICULARES
3 ) A = D = 0a ) E 2 4 C F > 0 2 rectas paralelas al eje Xb )
E 2 4 C F = 0 1 recta paralela al eje Xc ) E 2 4 C F < 0 ningn
lugar geomtrico
4 ) C = E = 0a ) D 2 4 A F > 0 2 rectas paralelas al eje Yb )
D 2 4 A F = 0 1 recta paralela al eje Yc ) D 2 4 A F < 0 ningn
lugar geomtricoX - Y = 0parbola unitariaCIRCUNFERENCIAX + Y =
1circunferencia unitaria(x h) + (y k) = rcircunferencia centro: c
(h, k)radio: r > 0Toda circunferencia en R es una ecuacin
cuadrtica con dos variables X y YELIPSE1 ) CD 2 + AE 2 4 ACF > 0
a ) A = C circunferenciab ) A < C elipse con eje focal paralelo
al eje Xc ) A > C elipse con eje focal paralelo al eje YCASOS
PARTICULARES
2 ) CD 2 + AE 2 4 ACF = 0 un punto
3 ) CD 2 + AE 2 4 ACF < 0 ningn lugar geomtrico
Si f1 = f2, se obtiene una circunferencia de r = a, y c = f1
HIPRBOLACD 2 + AE 2 4 ACF < 0 hiprbola con eje focal paralelo
al eje X
2) CD 2 + AE 2 4 ACF > 0 hiprbola con eje focal paralelo al
eje YCASO PARTICULAR
3 ) CD 2 + AE 2 4 ACF = 0 2 rectas secantes X - Y =
1hiprbolaEJERCICIOSEJEMPLO DEL USO DE CADA CURVA, O SUPERFICIE DE
REVOLUCION, EN LA VIDA DIARIA. EXPLICANDO SUS EL APROVECHAMIENTO DE
SUS PORPIEDADES FOCALES Y/O GEOMETRICASEXPRESIN ANALITICA
Qu nombre recibe el rea que se obtiene del corte anterior?Qu
nombre recibe el permetro del rea? Cmo se les llama al conjunto de
curvas que acabas identificar al hacerle diversos cortes al
cono?Por qu se les llama as?Qu caractersticas tiene cada una de las
curvas que encontraste en sta actividad?Identifica algunas curvas
de las aqu encontradas, en la arquitectura de Campeche Colonial.Qu
curvas de las aqu encontradas observas en los juegos mecnicos de la
feria?Qu curvas de las aqu encontradas observas en los cortes que
realizas al partir alguna fruta? Especifica. en la que, en funcin
de los valores de los parmetros, se tendr:D > ab: hiprbola. D =
ab: parbola. D < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia
(considerada un caso particular de elipse). Wikipedia secciones
conicas
34ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADOECUACIN REDUCIDARotacin y
traslacin de ejesEl centro (si lo tiene) de la cnica con el origen
de las coordenadasLos ejes presentan relacin con los ejes
coordenados.
DISCUSION gnero parbola
gnero elipse
gnero hiprbola
y = 2px x = 2pyCNICAS DEGENERADAS
cnicas degeneradas e incluso cnicas imaginariasX + Y = -1
circunferencia imaginariaX + Y = 0 circunferencia de radio cero o
puntoX - Y = 0 par de rectasX = -1 rectas paralelasX = 1 rectas
paralelas imaginariasX = 0 rectas doblesAx + Bxy + Cy + Dx + Ey + F
= 0Wikipedia secciones conicas
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