Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad Licenciado en Administración y Dirección de Empresas A.D.E. - U.P.V. ECONOMETRÍA CONVOCATORIA ORDINARIA - 20/01/2005 NOMBRE Y APELLIDOS NORMAS PARA EL EXAMEN ' Sobre la mesa sólo puede estar el examen, el formulario, la calculadora y los útiles de escritura. ' Cada ejercicio se responderá en el espacio libre que hay antes de la próxima pregunta y en las caras de detrás, debiendo quedar claro el desarrollo realizado y resaltada convenientemente la respuesta. ' No se puede desgrapar el examen ni utilizar hojas sueltas como borrador. ' La puntuación de cada ejercicio esta situada al final del correspondiente enunciado.
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Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Aplicadas y Calidad
Licenciado en Administración y Dirección de EmpresasA.D.E. - U.P.V.
ECONOMETRÍA
CONVOCATORIA ORDINARIA - 20/01/2005
NOMBRE YAPELLIDOS
NORMAS PARA EL EXAMEN
' Sobre la mesa sólo puede estar el examen, el formulario, la calculadora y losútiles de escritura.
' Cada ejercicio se responderá en el espacio libre que hay antes de la próximapregunta y en las caras de detrás, debiendo quedar claro el desarrollo realizadoy resaltada convenientemente la respuesta.
' No se puede desgrapar el examen ni utilizar hojas sueltas como borrador.
' La puntuación de cada ejercicio esta situada al final del correspondienteenunciado.
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EXAMEN DE ECONOMETRÍA
Consumo'β0%β
1Renta%U
Consumo'γ0%γ
1(Renta&R
min)%U
Consumo'β0%β
1Renta%U'γ
0%γ
1(Renta&R
min)%U' (γ
0&γ
1Rmin
) %γ1Renta%U
β0'γ
0&γ
1Rmin
β1'γ
1
C1 Si se plantean los dos siguientes modelos para explicar el Consumo de un producto a partirde la Renta de los consumidores:
¿Los significados de los parámetros β0 y β1 serán iguales a los significados de los parámetrosγ0 y γ1 respectivamente?. De no ser así, ¿qué relación existirá entre ellos?. (Rmin es la Renta quemarca el umbral de pobreza del país analizado). (1'0p)
Lo primero sería definir el significado de los parámetros de los modelos:
β0 Es el promedio del consumo del producto cuando la renta de los consumidores es cero
β1 Es el incremento del promedio del consumo del producto por aumento unitario de la renta de los
consumidores
γ0 Es el promedio del consumo del producto cuando la renta de los consumidores es la del umbral de
pobreza
γ1 Es el incremento del promedio del consumo del producto por aumento unitario de la renta de los
consumidores
De las definiciones anteriores resulta obvio que los parámetros β1 y γ1 tienen el mismo significado. No ocurre
lo mismo con los otros parámetros, β0 y γ0, que difieren en el valor de la renta usado como referencia, cero
en el primer caso y la renta umbral de pobreza (Rmin) en el segundo.
La relación existente entre ellos se obtiene a partir de las ecuaciones originales, desarrollando y agrupando
convenientemente:
Ahora es sólo cuestión de identificar los parámetros de la primera y la última ecuación (lo que acompaña a
Consumo y lo que no lo hace):
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EXAMEN DE ECONOMETRÍA
C2 Enumera las fases de la elaboración de un modelo ARIMA y haz un breve comentario de lomás esencial de cada una de ellas. (2'0p)
1 Estacionariedad
Se aplican las transformaciones adecuadas a la serie en estudio de forma que se consiga que sea estacionaria,
caso de no serlo, lo cual es lo más habitual. Si la serie tiene tendencia o cambios de nivel se toman diferencias
regulares, tantas como sean necesarias para que desaparezca. Lo mismo ocurre con la estacionalidad, se toman
diferencias estacionales hasta que ésta desaparezca. Por último puede ocurrir que la varianza no sea constante,
y para conseguir que lo sea se toman logaritmos en la serie original.
2 Identificación
La identificación consiste en determinar los órdenes que tienen las partes autorregresiva y de medias móviles,
tanto para la parte regular como para la estacional. El objetivo es conocer el modelo ARIMA (p,d,q)x(P,D,Q)s.
Para proponer el modelo ARIMA de la serie estudiada es necesario proponer modelos simples para la parte
regular y estacional (caso de serlo). El modelo para la parte regular se propone a partir de los primeros
coeficientes de autocorrelación de la FAS (o la FAP) y se valida observando la FAP (o FAS) y la interacción
entre la parte regular y estacional (si es el caso). El modelo para la parte estacional se propone a partir de los
coeficientes de autocorrelación estacionales de la FAS (o la FAP) y se valida observando la FAP (o FAS).
3 Estimación
Se estiman de los valores de los parámetros de las partes autorregresivas y de medias móviles para el modelo
ARIMA (p,d,q)x(P,D,Q)s identificado.
4 Validación
Mediante las pruebas adecuadas se comprueban tanto las hipótesis relativas al error (ruido blanco) como la
significatividad de las estimaciones de los parámetros y al modelo en sí.
En este punto aparece la disyuntiva de aceptar o rechazar el modelo estimado y se actúa en consecuencia. Si
el resultado es rechazar, se debe REFORMULAR el modelo, y repetir las estimaciones y pruebas hasta
encontrar un modelo adecuado.
Cuando se disponga de ese modelo adecuado, se estará en condiciones de realizar PREDICCIONES con el
mismo, que es, al fin y al cabo, para lo que se quiere.
5 Reformulación
En el caso de que el modelo no sea adecuado porque el error está autocorrelacionado, hay que plantearse qué
es lo que ha ocurrido en la fase de identificación para que esto sea así. Se debe entonces buscar un modelo
complementario, (reformulación) que sea capaz de explicar lo que el primero no puede, y comprobar
posteriormente si el nuevo modelo es adecuado.
Si este complemento resulta adecuado, se incluye definitivamente en el modelo estimado y si no lo es,
entonces se vuelve al paso de IDENTIFICAR hasta conseguir un modelo válido.
6 Explotación
El modelo que ha superado todas las pruebas se considera que es un modelo válido para poder efectuar
predicciones, y tales predicciones pueden realizarse de forma puntual y/o por intervalos de confianza.
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EXAMEN DE ECONOMETRÍA
P1 Hace unos meses podía leerse en un suplemento económico de un diario de la ciudad deValencia: “Los clientes aplican una máxima: ya que los precios no bajan, prescindamos de metros cuadrados
en nuestra vivienda. Así, las compañías, para hacer más asequibles sus productos a los valencianos, han optado
por construir casas más pequeñas, y desde 2001 hasta la fecha, la superficie media de una vivienda ha
disminuido siete metros cuadrados”. Para comprobar estos hechos se dispone del incremento delprecio por metro cuadrado (PRECIOM2, en euros) y del incremento promedio de la superficiede viviendas de nueva construcción (SUP, en metros cuadrados) del año 2003 en los distritosde la ciudad de Valencia. Además se han identificado los distritos que no tienen una limitaciónnatural de espacio para crecer, creado la variable ficticia EXPANSION que toma el valor 1en el caso de que no existan limitaciones físicas para el crecimiento y 0 en otro caso.
a) Expresión general del modelo ajustado en la TABLA P.1_I. Separar del modelo lasexpresiones de los modelos correspondientes a cada situación física (EXPANSION), yrepresentarlos gráficamente (de forma aproximada, sin realizar cálculos). (0'5p)
b) Determina el significado de los parámetros que acompañan a las variables del modelo. (0'9p)c) Explica el significado de las estimaciones de los parámetros que acompañan a las variables
(supón que tienes que comunicar las conclusiones en una rueda de prensa a periodistas noespecializados en economía). ¿Es cierto que se construyen viviendas más pequeñas?. Justificala respuesta. (0'9p)
d) Determina si el modelo planteado y ajustado podría resultar adecuado. Justificar la respuestamediante una prueba de hipótesis, indicado las hipótesis realizadas (nula y alternativa), y lahipótesis que se acepta. (0'5p)
e) Calcula el coeficiente de determinación, explica su significado y realiza un breve comentariosobre su valor. (0'3p)
f) Si entre el año 2001 y el 2003 el incremento promedio del precio por metro cuadrado de lavivienda fue de 240i y nos referimos a la zona donde existen limitaciones físicas, ¿resultarazonable aceptar que la vivienda nueva ha disminuido en 7 metros cuadrados en ese tiempo,tal y como afirmaba el diario?. (0'4p)
Analysis of Variance TABLA P.1_II-----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value-----------------------------------------------------------------------------Model 2354,27 X 1177,13 X XResidual 1778,78 25 X-----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) X XR-squared = X percentR-squared (adjusted for d.f.) = X percent
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EXAMEN DE ECONOMETRÍA
SUPERFICIE'β0%β
1PRECIOM2%β
2EXPANSION(PRECIOM2%U
SUPERFICIE'β0%β
1PRECIOM2%U
SUPERFICIE'β0% (β
1%β
2)PRECIOM2%U
Regression Results for SUP (PRECIOM2=240i EXPANSION=0) TABLA P.1_III----------------------------------------------------------------------- Fitted Stnd. Error Lower 95,0% CL Upper 95,0% CLRow Value for Forecast for Forecast for Forecast----------------------------------------------------------------------- 29 -6,96334 8,89982 -25,2929 11,3662----------------------------------------------------------------------
a) Expresión general del modelo ajustado en la TABLA P.1_I. Separar del modelo las expresionesde los modelos correspondientes a cada situación física (EXPANSION), y representarlosgráficamente
El modelo ajustado en la TABLA P.1_I es el siguiente:
que corresponde a los modelos
EXPANSION=0 Hay limitaciones físicas para la construcción
EXPANSION=1 No hay limitaciones físicas para la construcción
Según el enunciado, la pendiente de la ecuación correspondiente
a EXPANSION=0 debería ser negativa, comenzando en algún
valor que supuestamente podría ser positivo. No está clara la
pendiente en el caso de que EXPANSION=1, por lo que se
dibuja positiva esperando a la estimación de los parámetros para
conocer realmente su signo. El valor inicial en este caso es el
mismo que en el caso anterior.
b) Determina el significado de los parámetros que acompañan a las variables del modelo.
β0
promedio del incremento de superficie de la vivienda cuando el precio por metro cuadrado no cambia,
con independencia de su situación.
β1
incremento promedio del aumento de superficie de la vivienda por cada euro que incrementa el aumento
de precio por metro cuadrado para las viviendas situadas en una zona con limitaciones físicas.
β2
diferencia en el incremento promedio del aumento de superficie de la vivienda por cada euro que
incrementa el aumento precio por metro cuadrado para las viviendas situadas en una zona sin
limitaciones físicas respecto de las que tienen limitaciones.
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EXAMEN DE ECONOMETRÍA
Fcalc
'
CME
CMR/F
k ,n&k&1
c) Explica el significado de las estimaciones de los parámetros que acompañan a las variables.¿Es cierto que se construyen viviendas más pequeñas?. Justifica la respuesta.
En la Tabla P.1_I se tiene que todos los P.value son menores que el 5% y por lo tanto todas las estimaciones
son significativas. Veamos cada caso con detalle.
β0 : Como el P.value = 0'0065 < 0'05 se acepta que b
0 = 8'72615 m2.
Cuando precio del metro cuadrado de vivienda mantiene su valor, el promedio de superficie construida
aumenta en 8'72615 m2.
β1 : Como el P.value = 0'0000 < 0'05 se acepta que b
1 = -0'0653 m2/i.
Por cada euro que se incrementa el aumento del precio por metro cuadrado, la superficie de la vivienda
situada en la zona con limitaciones disminuye en 0'0653 m2.
β2 : Como el P.value = 0'0005 < 0'05 se acepta que b
2 = 0'07349 m2/i.
Por cada euro que se incrementa el aumento del precio por metro cuadrado, la superficie de la vivienda
situada en la zona sin limitaciones aumenta en -0'0653+0'07349= 0'0082m2, y la diferencia entre ambas
situaciones es de 0'07349 m2 por cada euro de aumento.
Dado que la superficie de la vivienda disminuye en 0'0653 m2 por cada euro que incrementa el aumento de
precio, puede admitirse la afirmación del periódico. La afirmación no es válida en general dado que en la zona
sin limitaciones físicas la superficie de las viviendas aumenta con el precio del metro cuadrado.
d) Determina si el modelo planteado y ajustado podría resultar adecuado. Justificar la respuestamediante una prueba de hipótesis, indicado las hipótesis realizadas (nula y alternativa), y lahipótesis que se acepta.
Formalmente, la prueba de hipótesis es la siguiente:
H0 El modelo no resulta adecuado, β
1=β
2=0
H1 El modelo podría resultar adecuado, al menos uno de los
parámetros es distinto de cero
Si entonces se acepta H0 (β i=0, œ i$1).Fcalc#F α
k,n&k&1
Los valores necesarios para realizar la prueba los encontramos en la TABLA P.1_II.
Como se debe rechazar H0 y por lo tanto el modelo podría resultarF
calc'
1177)13
71)1513'16)54ÛF
0)05
2,25 '3)38
adecuado.
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EXAMEN DE ECONOMETRÍA
e) Calcula el coeficiente de determinación, explica su significado y realiza un breve comentariosobre su valor.
El coeficiente de determinación se calcula de la siguiente forma, a partir de la TABLA P.1_II.
R2'
SCE
SCT'
2354)27
2354)27%1778)78'0)56962
con lo que el aumento de precio por metro cuadrado y la existencia de suelo, en la forma del modelo
propuesto, explica el 56'962% de la variabilidad del aumento de la superficie de la vivienda.
Es evidente que el porcentaje de variabilidad explicado es muy pequeño, aunque ha sido posible determinar
la influencia del aumento del precio por metro cuadrado sobre el aumento de la superficie de las viviendas.
Un porcentaje tan pequeño nos llevará a predicciones con mucho error.
f) Si entre el año 2001 y el 2003 el incremento promedio del precio por metro cuadrado de lavivienda fue de 240i y nos referimos a la zona donde existen limitaciones físicas, ¿resultarazonable aceptar que la vivienda nueva ha disminuido en 7 metros cuadrados en ese tiempo,tal y como afirmaba el diario?.
De la TABLA P.1_III se tiene que cuando el incremento del precio es de 240i y se está en la situación de
limitaciones físicas la superficie de la vivienda disminuye en 6'96334 m2. Este valor es, desde luego, muy
parecido a los 7 m2 que propone el diario, pero es necesario acudir al intervalo de confianza de la predicción
para poder aceptar que este valor es adecuado. En la propia tabla disponemos del intervalo: [-25'29,11'37] m2.
Como -7 m2 está dentro del intervalo de la predicción, [-25'29,11'37] m2, se puede admitir la disminución de
los 7 m2 que propone el diario. El intervalo es muy amplio debido a que el modelo no es muy bueno
(explicación del 57%), por lo que también podría ser admisible que el incremento de la superficie es cero, o
incluso que ese aumento es positivo.
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EXAMEN DE ECONOMETRÍA
P.2 Se han estudiado los gastos mensuales de construcción de residencias privadas (en millonesde dólares) en una ciudad pequeña de EEUU, desde enero de 1988 hasta diciembre de 1993.
a) Indica a partir de su representación gráfica, y de forma justificada, las componentes quepueden observarse. (0'4p)
FIGURA P.2_I
b) Después de tomar dos diferencias regulares y una estacional para convertir la serie enestacionaria, obtenemos la FAS y FAP siguientes. Proponer a partir de ellas todos los modelosposibles, de forma razonada. (1'2p)
FIGURA P.2_II FIGURA P.2_III
c) Para validar (en parte) el modelo ARIMA(0,2,1)(0,1,1)12: c1) contrasta si el error es un ruido blanco. (1'4p) c2) realiza la reformulación del modelo y el sobre ajuste de la parte regular del mismo. (0'5p)
A continuación se proporciona toda la información necesaria.
Forecast model selected: ARIMA(0,2,1)x(0,1,1)12
Estimation ValidationStatistic Period Period TABLA P.2_I--------------------------------------------ME -0,0020099
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EXAMEN DE ECONOMETRÍA
ARIMA Model Summary TABLA P.2_IIParameter Estimate Stnd. Error t P-value----------------------------------------------------------------------------MA(1) 0,618389 0,105521 5,86035 0,000000SMA(1) 0,735882 0,0611499 12,0341 0,000000----------------------------------------------------------------------------Backforecasting: yesEstimated white noise variance = 0,000250635 with 56 degrees of freedomEstimated white noise standard deviation = 0,0158315
a) Indica a partir de su representación gráfica, y de forma justificada, las componentes quepueden observarse.
Observando el gráfico de la serie (FIGURA P.2_I ) es posible apreciar tanto tendencia como estacionalidad.
En primer lugar puede verse que los valores del primer año representado (1988) son en promedio inferiores
a los del resto de los años, con lo que podría hablarse de un cambio de nivel. También podría interpretarse
que los gastos de construcción de residencia privadas aumentan con el tiempo hasta 1991 y disminuyen a
partir de dicho año, con lo que se tendría una tendencia cuadrática. Lo interpretemos como lo interpretemos,
debemos admitir la existencia de esta componente tendencia.
En segundo lugar es posible apreciar que existe cierta pauta regular repetida durante todos los años, con un
máximo en el mes de Agosto y un mínimo en Febrero, existiendo cierta simetría en la oscilación de cada uno
de los años. Esto, naturalmente, es señal de que la serie es estacional, y dado la presencia de los picos
máximos (o mínimos) equiespaciados 12 meses, este valor debe ser el periodo estacional.
Por último habría que hacer algún comentario sobre la componente cíclica. Como es sabido, puede resultar
imposible separar lo que es la componente tendencia y lo que es la cíclica. El movimiento de subida y bajada
(tendencia cuadrática) podría ser interpretado como parte de un ciclo. No podemos afirmarlo porque no
tenemos suficientes datos (años) para ello. La conclusión definitiva sobre tendencia y ciclo debería esperar
a disponer de mas datos.
b) Después de tomar dos diferencias regulares y una estacional para convertir la serie enestacionaria, obtenemos la FAS y FAP siguientes. Proponer a partir de ellas todos los modelosposibles, de forma razonada.
Para proponer los modelos de la serie, debemos proponer modelos para cada una de sus partes, regular y
estacional. Analizaremos la FAS y FAP de la serie diferenciada y propondremos modelos.
PARTE REGULAR
Como en la FAS (FIGURA P.2_II) se tiene que el primer coeficiente de autocorrelación simple es distinto de
cero (ρ1…0) se puede proponer un modelo MA(1).
A continuación se verificará que resulta adecuado:
Como se trata de un MA(1) con coeficiente de autocorrelación simple negativo (ρ1<0), en la FAP deberían
observarse coeficientes de autocorrelación parcial negativos con crecimiento exponencial a cero, como así
se observa en los primeros coeficientes de la FIGURA P.2_III.
Puesto que la serie es estacional, analizaremos ahora la interacción de la parte regular y la estacional: