-
METODOLOGA DE DISEO DE CONTROLADORES DIGITALES A PARTIR DE
CONTROLADORES CONTINUOS.
A esta metodologa de diseo tambin se le conoce como
digitalizacin (o discretizacin) de controladores continuos. La
metodologa est formado por cinco pasos generales y bsicamente
consiste en emplear los algoritmos de discretizacin ampliamente
conocidos para digitalizar el controlador continuo.
Esta metodologa es til principalmente en sistemas donde ya
exista un controlador continuo funcionando (sistemas de control
viejos u obsoletos) o en sistemas nuevos donde se requiera el diseo
de un algoritmo de control digital. Claro est, en sistemas nuevos
deber disearse primero el controlador continuo usando tcnicas ya
conocidas y posteriormente convertirlo a discreto. Gran parte de
las etapas del diseo se llevan acabo usando una herramienta tipo
CAD tal como Program CC o Matlab con la toolbox de Control y/o de
Simulink.
La figura N 1 muestra esquemticamente lo deseado:
Diseo del Controlador
Continuo
Obtencin del Controlador
Digital
ALGORITMO DE CONVERSIN
EMPLEADO
( )R s ( )1Y s( )E s ( )U sC( )CG s ( )PG s
SISTEMA CONTINUO
+
( )R s
( )2Y s
( )E s ( )U zC( )CG z ( )PG s
SISTEMA DISCRETOT
2 ( )Y z
2 ( )y t
T
+ ( )ZOHG s( )G s
FIG. N 1: D.B. QUE MUESTRA LA METODOLOGA DE DIGITALIZACIN DE
CONTROLADORES CONTINUOS.
-
Las propiedades del controlador digital dependen de
principalmente de:
El perodo de muestreo T. Mtodo de digitalizacin utilizado.
El objetivo de esta metodologa es hallar GC(z) para que Y2(s)
Y1(s).
PASOS PARA DIGITALIZAR UN CONTROLADOR CONTINUO.
PASO 1:
Verificar el funcionamiento satisfactorio del sistema continuo
modificado, usando una herramienta tipo CAD, tal como Program CC o
Matlab:
( )R s ( )1Y s( )E s ( )U sC( )CG s ( )PG s
SISTEMA CONTINUO MODIFICADO
+
( )ZOHG s
FIG. N 2: Sistema analgico modificado a ser verificado para
prever el impacto causado por el muestreo.
GZOH(s) puede ser aproximado usando PADE. Si es necesario se
corrige GC(s).
PASO 2:
Discretizar GC(s) aplicando algn mtodo conocido a fin de hallar
GC(z). Los mtodos ms empleados que estudiaremos aqu son:
Diferenciacin hacia adelante o derivada posterior (Forward
rectangle). Diferenciacin hacia atrs o derivada anterior(Backward
rentangle). Transformacin bilineal o Tustin. Tustin con
predoblamiento de frecuencia (Tustin with prewarping). Mapeo de
polos y ceros (Pole Zero Map).
-
Transformada Z. Mantenedor de orden zero. Mantenedor de primer
orden. Integracin rectangular hacia delante. Integracin rectangular
hacia atrs. PASO 3:
Discretizar la planta, GP(s), usando el ZOH para hallar
G(z).
PASO 4:
Verificar El funcionamiento satisfactorio del sistema discreto
usando una herramienta tipo CAD, tal como Program CC v5.0 o Matlab
6.0.
PASO 5:
Implementar GC(z) usando:
Algoritmo numrico (E.E.D.L.). Hardware: DSP, PC, PLC, DCS,
SCADA. Especial cuidado debe tenerse al elegir el algoritmo numrico
y el hardware ms adecuado. Esta eleccin bsicamente responde a lo
siguiente:
Costo. Poder de cmputo de los dispositivos de hardware.
Aplicabilidad. Ahora desarrollaremos los mtodos que se ms se
emplean:
MTODO DE LA DIFERENCIA HACIA DELANTE O DERIVADA POSTERIOR.
El mtodo consiste en aproximar la derivada del error mediante
una funcin en diferencia hacia adelante. Sea x(t) la derivada del
error y X(s) la transformada de Laplace de la derivada del error,
con lo cual se tiene que:
-
( )( ) ( ) ( )de tx t X sdt
= = SE s (1.1)
La pendiente de e(t) en t = [(k+1)T] se aproxima a la pendiente
de la lnea recta entre e(kT) y e[(k+1)T]. Permita que la derivada
numrica de e(t) en t = [(k+1)T] sea x(kT), entonces se tiene
que:
( ) ( )1( )( ) ( ) e k T e kTde tx t x kTdt T
+ = = (1.2)
(1.2) representa la E.E.D.L. del algoritmo de control. Aplicando
T.Z. a (1.2) tenemos:
[ ] [ ] ( )( 1)( ) ( ) e k T e kTX z SE sT
+ = = (1.3)
1( ) ( )ZX z ET= z (1.4)
La expresin (1.4) permite obtener la F.T. del controlador
digital a partir del controlador continuo de la siguiente
forma:
1( ) ( ) ZC C ST
G z G s == (1.5)
kT [( 1) ]k T+
( )e kT
[( 1) ]e k T+( )e t
t FIG. N 3: Explicacin grfica del mtodo de la derivada
posterior.
MTODO DE LA DIFERENCIA HACIA ATRS O DERIVADA ANTERIOR.
El mtodo consiste en aproximar la derivada del error mediante
una funcin en diferencia hacia atrs. Sea x(t) la derivada del error
y X(s) la transformada de Laplace de la derivada del error, con lo
cual se tiene que:
( )( ) ( ) ( )de tx t X sdt
= = SE s (1.6)
-
La pendiente de e(t) en t = kT se aproxima a la pendiente de la
lnea recta entre e[(k-1)T] y e(kT). Permita que la derivada numrica
de e(t) en t = kT sea x(kT), entonces se tiene que:
( ) ( )1( )( ) ( )[( 1) ]
e kT e k Tde tx t x kTdt kT k T
= = (1.7)
(1.7) representa la E.E.D.L. del algoritmo de control. Aplicando
T.Z. a (1.7) tenemos:
[ ] ( ) [ ]( 1)( ) ( ) e kT e k TX z SE sT
= = (1.8)
1( ) ( )ZX z ETZ= z (1.9)
La expresin (1.9) permite obtener la F.T. del controlador
digital a partir del controlador continuo de la siguiente
forma:
1( ) ( ) ZC C STZ
G z G s == (1.10)
kT[( 1) ]k T
[( 1) ]e k T( )e kT
( )e t
t FIG. N 4: Explicacin grfica del mtodo de Tustin.
En esencia lo expresado en (1.3) y (1.8) est en funcin de la
pendiente de una recta tangente a una curva dada en un punto, lo
cual es el concepto geomtrico de la derivada.
MTODO DE LA TRANSFORMACIN BILINEAL O DE TUSTIN.
A este mtodo tambin se le conoce como Integracin Trapezoidal. El
mtodo consiste en aproximar la integral del error mediante sumas de
reas de trapezoides. Estas sumas se pueden expresar mediante una
funcin en diferencia.
Sea x(t) la integral del error y X(s) la transformada de Laplace
de la integral del error, con lo cual se tiene que
-
0( )( ) ( ) ( )t E sx t e t dt X s
S= = (1.11)
El valor de la integral en t = kT es igual al valor en t =
[(k-1)T] ms el rea adicionada desde [(k-1)T] hasta kT. El rea que
se adiciona es el rea del trapezoide que se resalta en la figura 6.
Permita que x[(k-1)T] sea la integral numrica de e[(k-1)T], con lo
cual se tiene que:
[ ] ( ) ( ) [0
1( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)
2
t e kT e k T ]x t x kT e t dt x k T kT k T+ = = + (1.12) (1.12)
representa la E.E.D.L. del algoritmo de control. Aplicando T.Z. a
(1.12) tenemos:
( ) ( ) ( )1( )( ) 12
e kT e k TE sX z x k TS
+ T
= = + (1.13)
1( ) ( )2 1T ZX zZ+ = E z (1.14)
La expresin (1.14) permite obtener la F.T. del controlador
digital a partir del controlador continuo de la siguiente
forma:
2 11
( ) ( ) ZC C ST Z
G z G s = + = (1.15)
En esencia lo expresado en (1.13) est en funcin de reas de
trapecios.
FIG. N 6: Explicacin grfica del mtodo de Tustin.
kT[( 1) ]k T
( )e t
t
[( 1) ]e k T( )e kT
MTODO DE TUSTIN CON PREDOBLAMIENTO DE FRECUENCIA.
Se deja al estudiante para que lo investigue.
-
MTODO DEL MAPEO DE POLOS Y CEROS.
Se deja al estudiante para que lo investigue
MTODO DE LA TRANSFORMADA Z.
El mtodo consiste en hallar la T.Z. de la transformada inversa
muestreada de Laplace del controlador continuo G(s).
(1 *( ) ( )CG z Z G s= )C (1.16)
FIG. N 9: Explicacin grfica del mtodo de la T.Z.
T( )CG s
( )E s ( )CU s ( )CG z( )CU z*( )E s
En caso de que se presente Aliasing la solucin es un filtro
analgico. En algunas ocasiones se requiere redisear GC(s).
{ }1 *1( ) ( )CG z Z G s = C (1.17)
( )CG s( )CU s( )FG sT
( )E s
1
( )CG s
FIG. N 10: Explicacin grfica del mtodo de la T.Z. cuando se
presenta Aliasing.
MTODO DEL MANTENEDOR DE ORDEN ZERO.
El mtodo consiste en hallar la T.Z. del conjunto mantenedor
controlador:
[ ] 1 ( )( ) ( ) ( ) (1 ) CC ZOH C G sG z Z G s G s Z Z S = =
(1.18)
FIG. N 11: Explicacin grfica del mtodo del mantenedor de orden
cero.
T( )ZOHG s
( )E s ( )CU s ( )CG z( )CU z*( )E s( )CG s
-
MTODO DEL MANTENEDOR DE PRIMER ORDEN.
El mtodo consiste en hallar la T.Z. del conjunto mantenedor
controlador:
[ ] 1 2 2( 1) ( )( ) ( ) ( ) (1 ) CC FOH C TS G sG z Z G s G s Z
Z TS+ = = (1.19)
FIG. N 12: Explicacin grfica del mtodo del mantenedor de primer
orden.
T( )FOHG s
( )E s ( )CU s ( )CG z( )CU z*( )E s( )CG s
MTODO DE INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA ADELANTE
En esencia este mtodo consiste en aproximar la integral del
error mediante sumas de reas de rectngulos.
Basados en la figura 13 se sabe que el valor de la integral en t
= [(k+1)T] es igual al valor en t = kT ms el rea adicionada desde
kT hasta [(k+1)T]. Permita que x(kT) sea la integral numrica de
e(kT), con lo cual se tiene que:
( ) ( ) [ ] [ ]1 ( 1) ( 1)x k T x kT e k T k T kT+ = + + +
(1.20) ( )[( 1) ] [( 1) ]*x k T x kT e k T+ = + + T (1.21)
(1.21) es la E.E.D.L del algoritmo de control. Aplicando T.Z. a
(1.21) tenemos:
( ) ( )1
TZX z EZ
= z (1.22)
1CITZGZ
= (1.23)
kT [( 1) ]k T+
( )e t
t
[( 1) ]e k T+( )e kT
FIG. N 13: Explicacin grfica del mtodo de integracin rectangular
hacia adelante.
-
MTODO DE INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA
ste mtodo consiste en aproximar la integral del error mediante
sumas de reas de rectngulos.
ura 14 se sabe que el valor de la integral en t = kT es igual al
valor en t = [(k-1)T] ms el rea adicionada desde [(k-1)T] hasta KT.
Permita que x[(k-1)T] sea la integral
ATRS
En esencia e
Basados en la fig
numrica de e[(k-1)T], con lo cual se tiene que:
[ ] [ ] [( ) ( 1) ( 1) ( 1)x kT x k T e k T kT k T= + ]
(1.25)
(1.24)
( ) [( 1) ] [( 1) ]*x kT x k T e k T T= + e control. Aplicando
T.Z. a (1.25) tenemos:
(1.25) es la E.E.D.L del algoritmo d
( ) ( )1Z
TX z E z= (1.26)
( )1CI
TG zZ
= (1.27)
de integracin rectangular hacia atrs.
IGITALIZACIN DE CONTROLADORES PID
erencial estndar del controlador continuo PID es:
( )e t
FIG. N 14: Explicacin grfica del mtodo
kT[( 1) ]k T t
[( 1) ]e k T ( )e kT
DCONTINUOS.
La ecuacin integro dif
( ) ( ) ( )C DI a
u t K e t e t dt TT d
= + + 1 ( )b de t
t (1.28)
Aqu K es la ganancia proporcional, TI es el tiempo integral y TD
es el tiempo derivativo.
-
Aplicando T.L. a (1.28) y despejando la F.T. se tiene que:
( ) 1( )C
C DI
G s K T SE s T S
= = + + ( ) 1U s (1.29)
En (1.29) las tres constantes K, TI y TD definen el control y
GC(s) es la F.T. del controlador continuo PID en el dominio S.
expresar la F.T. del controlador continuo PID es: Una manera
tpica como se suele
( )C PG s K K SS= + +IK D (1.30)
Aqu KP representa la constante proporcional, KI representa la
constante integral y KD representa la constante derivativa.
y TD definen el control.
(1.31)
La parte in
En (1.30) las tres constantes KP, TI
Observando (1.28) tenemos:
La parte proporcional:
( ) ( )CPu t Ke t= tegral:
( ) ( )CII a
u t e t dtT
= bK (1.32) La parte derivativa:
( )CD Du t KT dt= (1.33)
La figura 15 muestra la manera como actan cada una de las partes
de un controlador continuo PID en un determinado sistema de control
continuo.
( )de t
-
FIG. N 15: D.B. tpico de un sistema de control que usa un
controlador continuo PID.
IKS ( )PG s+
++
( )R s ( )E s ( )CU s ( )Y s
PK
DK S
+
( )H s
Controlador PID( )CPu t
( )CIu t
( )CDu t
La aproximacin de los trminos de control planteados en las
ecuaciones (1.31), (1.32) y (1.33) mediante una ecuacin algebraica
que pueda ser implementada en una computadora digital, se puede
hacer aplicando a (1.30) las diferentes tcnicas de aproximacin
numrica antes citadas. De acuerdo a esto se tiene lo siguiente:
PID DISCRETO A PARTIR DE LA DERIVADA POSTERIOR
Aplicando (1.5) a (1.30) tenemos que:
(( ) 11
IDC PD DD
KG z K K ZZ
= + + ) (1.34) Donde:
KPD = KP y representa la constante proporcional discreta.
KID = KIT y representa la constante integral discreta.
KDD = KD/T y representa la constante derivativa discreta.
PID DISCRETO A PARTIR DE LA DERIVADA ANTERIOR
Aplicando (1.10) a (1.30) tenemos que:
1( )1C PD ID DD
Z ZG z K K KZ Z
= + + (1.35)
Donde:
KPD = KP y representa la constante proporcional discreta.
-
KID = KIT y representa la constante integral discreta.
KDD = KD/T y representa la constante derivativa discreta.
PID DISCRETO A PARTIR DE LA TRANSFORMACIN BILINEAL
Aplicando (1.15) a (1.30) tenemos que:
( )( )
( )( )
1 1( )
1 1ID DD
C PD
K Z K ZG z K
Z Z+ = + + + (1.36)
Donde:
KPD = KP y representa la constante proporcional discreta.
KID = KIT/2 y representa la constante integral discreta.
KDD = 2KD/T y representa la constante derivativa discreta.
PID DISCRETO A PARTIR DE LA INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA
ADELANTE
Aplicando (1.23) a (1.30) se obtienen los mismos resultados que
se obtuvieron en (1.35)
PID DISCRETO A PARTIR DE LA INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA
ATRS
Aplicando (1.27) a (1.30) se obtienen los mismos resultados que
se obtuvieron en (1.34)
Por lo general se usan combinaciones de los mtodos de integracin
y diferenciacin para digitalizar el algoritmo continuo PID. Estas
combinaciones se basan en usar la aproximacin de la derivada del
error para el trmino derivativo y la aproximacin de la integral del
error o Tustin para el trmino integral. La idea es usar las tcnicas
de aproximacin numrica donde mejor apliquen. Si el controlador
continuo tiene accin integral se usarn los mtodos de integracin
rectangular y/o trapezoidal segn se desee. Si el controlador
continuo tiene accin derivativa se usarn los mtodos de
diferenciacin segn se desee. Si el controlador continuo tiene ambas
acciones (integral y derivativa) se usarn ambos mtodos, es decir,
la
-
parte integral ser tratada con los mtodos de integracin y la
parte derivativa ser tratada con los mtodos de diferenciacin. En
base a esto se tiene lo siguiente:
PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN TRAPEZOIDAL +
DERIVADA ANTERIOR
( )( )
( )1 1( ) 12 1
DC
I
T Z T ZG z K
T Z TZ + = + +
(1.37)
1( )1C PD ID DD
ZG z K K K 1ZZ Z+ = + + (1.38)
Donde:
KPD = K = KP.
KID = KT/(2TI) = KIT/2
KDD = KTD/T = KD/T
(1.38) puede ser escrita, mediante arreglo algebraico, de la
siguiente manera:
( )( 1)( ) 1
2 1D
CI I
T ZT TZG z KT T Z TZ
= + + (1.39)
1( )1C PD ID DD
Z ZG z K K KZ Z
= + + (1.40)
Donde:
KPD = K- [KT/(2TI)] = KP KIT/2 = KP KID/2.
KID = KT/TI = KIT.
KDD = KTD/T = KD/T.
A (1.40) se le conoce comnmente como ALGORITMO DE POSICIN o
FORMA POSICIONAL del esquema de control digital PID.
Otra forma comnmente usada en los esquemas de control digital
PID es conocida como ALGORITMO DE VELOCIDAD o FORMA DE VELOCIDAD
del esquema de control digital PID. Para este esquema no es posible
obtener una F.T. como tal, sino que la salida del controlador se
expresa como:
-
[ ] 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1C PD ID DD
Z ZU z K Y z K R z Y z K Y zZ Z
= +
(1.41)
La figura N 15 muestra el D.B. del algoritmo de velocidad para
el controlador PID discreto.
1ZZ IDK ( )G z
DDK
1ZZ
PDK
++
+ +
( )R z ( )E z ( )CU z ( )Y z
FIG. N 15: D.B. que muestra la implementacin del algoritmo de
velocidad PID.
QUE SIGNIFICA ALGORITMO DE CONTROL DE POSICIN O DE
VELOCIDAD?.
La figura 16 muestra un esquema tpico de control digital en el
cual se controla el servomotor de una vlvula analtica. Para definir
el algoritmo de posicin o el algoritmo de velocidad nos basaremos
en esta figura.
Controlador+
ValorDeseado error Servomotor
Proceso Variable Manipulada
Seal deControl
VariableControlada
Computador
FIG. N 16: D.B. que muestra un esquema tpico de control
digital.
-
ALGORITMO DE POSICIN:
o depende de la posicin actual de la vlvula.
ada = 30%
porta)
LOCIDAD
En este algoritmo la salida de control n
Ejemplo:
Salida dese
Salida actual = X (no im
Salida de control = 30%
ALGORITMO DE VE :
un offset que se le suma a la posicin actual de la vlvula para
lograr la salida deseada. Aqu si tiene importancia la posicin
actual de la vlvula.
ada = 50%
0% - 10% = 40%
En este algoritmo la salida de control es
Ejemplo:
Salida dese
Salida actual = 10%
Salida de control = 5
OBSERVACIONES:
a.) Para usar el algoritmo de velocidad debemos tener un buen
conocimiento del problema de control digital en cuestin.
b.) con actuadores que se muevan por porcentaje, es decir,
aquellos actuadores en los cuales una salida de control de cero por
ciento (0%) significa
ID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS:
Este algoritmo debe ser usado
que se mantiene la posicin actual.
PINTEGRACIN TRAPEZOIDAL + DERIVADA POSTERIOR
( )1Z +( ) ( )( ) 11C PD ID DDG z K K K ZZ= + + (1.42)
Las constantes tienen el mismo significado que ya conocemos.
-
PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN RECTANGULAR
POSTERIOR + DERIVADA POSTERIOR
(( ) 11C PD ID DD
ZG z K K K ZZ
= + + ) (1.43) Las constantes tienen el mismo significado que ya
conocemos.
PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN RECTANGULAR
ANTERIOR + DERIVADA ANTERIOR
( )11( )1C PD ID DD
ZG z K K K
Z Z= + + (1.44)
Las constantes tienen el mismo significado que ya conocemos.
PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN RECTANGULAR
POSTERIOR + DERIVADA ANTERIOR
( )1( )1C PD ID DD
ZZG z K K KZ Z
= + + (1.45)
Las constantes tienen el mismo significado que ya conocemos.
PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN RECTANGULAR
ANTERIOR + DERIVADA POSTERIOR
(1( ) 11C PD ID DD
G z K K K ZZ
= + + ) (1.46) Las constantes tienen el mismo significado que ya
conocemos.
METODOLOGA DE DISEO DE CONTROLADORES DIGITALESPASOS PARA
DIGITALIZAR UN CONTROLADOR CONTINUO.MTODO DE LA DIFERENCIA HACIA
DELANTE O DERIVADAMTODO DE LA DIFERENCIA HACIA ATRS O DERIVADA
AMTODO DE LA TRANSFORMACIN BILINEAL O DE TUSTINMTODO DE TUSTIN CON
PREDOBLAMIENTO DE FRECUENCIMTODO DEL MAPEO DE POLOS Y CEROS.MTODO
DE LA TRANSFORMADA Z.MTODO DEL MANTENEDOR DE ORDEN ZERO.MTODO DEL
MANTENEDOR DE PRIMER ORDEN.MTODO DE INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA
ADELANTEMTODO DE INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA ATRSDIGITALIZACIN DE
CONTROLADORES PID CONTINUOS.PID DISCRETO A PARTIR DE LA DERIVADA
POSTERIORPID DISCRETO A PARTIR DE LA DERIVADA ANTERIORPID DISCRETO
A PARTIR DE LA TRANSFORMACIN BILINPID DISCRETO A PARTIR DE LA
INTEGRACIN RECTANGUPID DISCRETO A PARTIR DE LA INTEGRACIN
RECTANGUPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIQUE SIGNIFICA
ALGORITMO DE CONTROL DE POSICIN OPID DISCRETO A PARTIR DE LOS
MTODOS: INTEGRACIPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIPID
DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIPID DISCRETO A PARTIR DE
LOS MTODOS: INTEGRACIPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS:
INTEGRACI