Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Tenim les matrius :
Calcula A + B, A – B.
Solució:
Donades les matrius :
Calcula : A·B, B·A, A·A, B·B.
Solució:
Calcula A·B i B·A, si és posible, tenint en compte que :
Solució:
Donades les matrius:
3
3
2
6
6
2
1
5
0
1
0
2
A
216
210
421
B
31
10
73
C
0501
4541
7610
D
20
71
83
E
Determineu:
a) 2·A b) 3·C + 2·E c) A·B d) B3
e) Dt + A f) A·(B·C)
Sol. a)
6120
642
420
12104 b)
133
172
515 c)
6918
6319
2312
14538 d)
6229174
58250
1165825 e)
327
837
251
742 f)
15360
11851
8134
229100
Tenim que A i B són les matrius :
Esbrina si aquestes igualtats són certes : a) (A + B)
t= A
t+ B
t.
b) (A · B)t= Bt · A
t.
Solució: a-) Si b-) Si
Calcula A2– 3B – I, si saps que :
Solució:
Si 21
12A compleix l'equació A
2 + A + I = 0, trobeu els valors d' i . I és la
matriu unitatI I.
Sol. = - 4 , = 3
Calcula els següents determinants
Solució: a) – 15 b) – 36 c) – 11 d) 0
Calcula el rang de la matriu :
a) 1 1 2
1 0 2 b)
1 1 2
3 1 6
2 1 3
c) 1 2 1
2 1 3
4 1 5
d)
12
61
51
21
e)
1 2 3
1 4 5
0 0 1
3 2 1
f)
4 1 1 2
3 1 2 1
1 2 3 3
4 1 5 0
g-)
2212
2331
0443
Sol. a) 2, b) 3, c) 2, d) 2, e) 3, f) 3g-)2
Té inversa la matriu següent?
No té inversa perquè el Determinant = 0
Donada la matriu
Calculeu el determinant de la seva inversa. Det(A
-1) = 1/7
Busca la matriu inversa,
a) 1 2
3 4 b)
5 2 7
4 2 6
2 3 6
c)
1 0 0
0 1 0
0 0 4
d-)11
32
f)
250
141
231
A g)
011
101
110
B h)
523
142
312
C
Sol. a)
2 13
2
1
2
b)
39
21
6 8 1
411
21
c)
1 0 0
0 1 0
0 01
4
d) 21
31
Sol. f)
755
322
543
g)
2
1
2
1
2
12
1
2
1
2
12
1
2
1
2
1
h)
5
6
5
1
5
85
4
5
1
5
75
11
5
1
5
18
1-) Resol l’equació B X B = C , on:
Solució:
2-)Resol l’equació
Solució:
3-) Donades les matrius
Resol l’equació matricial ABX − CX = 2C . Solució:
4-) Resol B XA =C , on
Solució:
5-) Resol
Solució:
Tenim la matriu :
Busca una matriu B de manera que A·B = A + I.
Solució:
Calcula una matriz X que verifiqui la igualtat A · X = B amb
La matriz X també verifica la igualtat X · A = B?
Solució:
Busca una matriu X de manera que AX + B = C, si sabem que :
Solució:
Busca una matriu X que verifiqui l’equació X – B2 = A·B, si sabem que :
Solució:
Resol l’equació matricial AX + B = 2C si sabem que :
Solució:
Resol l’equació B·X = C, si :
Solució:
Busca la matriu X de manera que A·X = B, si tenim que :
Solució:
Busca la matriu X de manera que A·X = B + C, si tenim que :
Solució:
Donades les matrius:
011
112
201
A
200
214
321
B
Trobeu la matriu M tal que ( A B ) M = I.
Sol.
14
1
14
1
14
349
18
49
11
49
1298
23
98
5
98
1
Resoleu l’equació matricial: A X = B, essent 13
95A i
71
34B .
Sol.
8
11
32
78
15
32
13
Donades les matrius:
310
203
615
A
202
310
571
B
281
324
065
C
resoleu l’equació matricial: A X + B = C
Sol.
37
15
37
6
37
137
45
37
278
37
10837
64
37
41
37
50
Resoleu l’equació matricial següent:
2
5
7
035
111
123
X
Sol.
7
6
4
19-Donades les matrius
Resol l’equació on I representa la matriu identitat
Solució
Calcula les matrius X i Y que son solucions del següent sistema:
Resol l’equació:
Calcula les matrius A i B que verifiquin el sistema:
Trobeu la matriu X que compleixi que X⋅A+B = C, essent
Trobeu la matriu X que compleixi A⋅X⋅B + C = D, essent:
Resol aquests sistemes de tres equacions amb tres incògnites fent servir la regla de Cramer :
x + y + z = 6
x − y + 2 z = 5
x + y − z = 0
x = 1, y = 2, z = 3
3 x + y + z = 2
2 x + 2 y + z = 5
x − y + z = 0
x = - 1, y = 2, z = 3
x + z = 0
2 x + 3 y + 2 z = 1
4 y + 3 z = 7
x = −1 7
9, y =
1
3, z =
1 7
9
x = +2 y = 3/2 z = 1/2x = +2 y = -5 z = +1
x = +1 y = 0 z = 0
Resol aquests sistemes mitjançant el mètode de reducció de Gauss i classifica’ls segons la seva solució:
x + y + z = 1
x − y + z = 2
x + y − z = 3
3 x + y + z = 6
x = 5
2, y = −
1
2, z = -1
x = 4/22 y = -3/22 z = -59/22 x = -1 y = +2 z = +2
x = 9/22 y = -7/22 –z z = z x = 4z y = -3z z = z x = -z y = 0 z=z
x=3, y=2, z=1 x=1, y=1, z=-1 x=3, y=1, z=-1
x=2, y=5, z=-1x = +4 -1/2z y = -2 +3/2z z=z SI
x = 6/5 -2/5z y = -1/5 +7/5z z = z
=−−=++
−=−−
62323
63
zyxzyxzyx
x = 4, y = 4, z = -2x = 1 – a , y = 0 , z=a
=++=++
=++
1zyx2z2yx21zy2x
En una certa gelateria, per una copa de la casa, dos orxates i quatre batuts Et cobren 34 € un dia. Un altre dia, per 4 copes de la casa i 4 orxates et cobren 44 € i, un tercer dia, et demanen 26 € per una orxata i quatre batuts. Tens Motius per a pensar que algun dels tres dies t'han presentat un compte Incorrecta?
El sistema és incompatible. Per tant, algun dels tres dies han presentat una
Compte incorrecte.
Dos amics invertixen 20 000 € cada u. El primer col·loca una quantitat a al 4% d’interès, una quantitat B al 5% i la resta al 6%. L'altre invertix la mateixa Quantitat a al 5%, la B al 6% i la resta al 4%. Determina les quantitats A, B i C sabent que el primer obté uns interessos De 1 050 € i el segon de 950 €.
A = 5 000 €; B = 5 000 €; C = 10 000 €
Una botiga ha venut 600 exemplars d'un videojoc per un total de 6 384 €. El preu original era de 12 €, però també ha venut còpies defectuoses Amb descomptes del 30% i del 40%. Sabent que el nombre de còpies Defectuoses venudes va ser la mitat del de còpies en bon estat, calcula a Quantes còpies se li va aplicar el 30% de descompte.
El 30% de descompte se li va aplicar a 120 còpies.
Z = 80 y = 120 x = 400
Un caixer automàtic conté 95 bitllets de 10, 20 i 50 € i un total de 2 000 €. Si el nombre de bitllets de 10 € és el doble que el nombre de bitllets De 20 €, esbrina quants bitllets hi ha de cada tipus.
Hi ha 50 bitllets de 10 €, 25 bitllets de 20 € i 20 bitllets de 50 €.
Es disposa de tres caixes A, B i C amb monedes d'1 euro. Se sap que en total hi ha 36 euros. El nombre de monedes de a excedix en 2 a la suma de les monedes De les altres dos caixes. Si es trasllada 1 moneda de la caixa B a la caixa A, Esta tindrà el doble de monedes que B. Esbrina quantes monedes hi havia en Cada caixa.
Hi havia 19 monedes en la caixa A, 11 en la B i 6 en la C.
Un especulador adquirix 3 objectes d'art per un preu total de 2 milions de Euros. Venent-los, espera obtindre d'ells uns guanys del 20%, del 50% I del 25%, respectivament, amb la qual cosa el seu benefici total seria de 600 000 €. Però aconseguix més, perquè amb la venda obté guanys del 80%, del 90% i del 85%, respectivament, la qual cosa li dóna un benefici total d'1,7 milions d'euros. Quant li va costar cada objecte? L'1er objecte li va costar 0,5 milions d'euros (500 000 €), el 2-n li va costar 0,5Milions d'euros (500 000 €) i el 3-r li va costar 1
milió d'euros (1 000 000 €).
Una empresa disposa de 27 200 €para activitats de formació dels seus cent empleats. Després d'estudiar les necessitats dels empleats, s'ha decidit Organitzar tres cursos: A, B i C. La subvenció per persona per al curs a és de 400 €, per al curs B és de 160 €, i de 200 € per al C. Si la quantitat que es dedica Al curs a és cinc vegades major que la corresponent al B, quants empleats Seguixen cada curs?
40 empleats seguixen el curs A, 20 empleats seguixen el curs B i 40 seguixenel curs C.
Antonio té un any més que Juan i Luis un més que Ángel. Determina l'edat Dels quatre sabent que l'edat de Luis és la suma de la tercera part més la Sèptima part de l'edat d'Antonio i que l'edat de Ángel és la suma de la quarta Part més la quinta part de l'edat de Juan.
Així, l'edat de cada un serà: Antonio: 21 anys; Juan: 20 anys; Luis: 10 anys; Ángel: 9 anys.
Tres amics acorden jugar tres partides de daus de manera que, quan un Perda, entregarà a cada un dels altres dos una quantitat igual a què cada Un posseïsca en eixe moment. Cada un va perdre una partida, i al final cada un Tenia 24 €. Quant tenia cada jugador al començar?
El jugador que va perdre primer tenia 39 euros, el que va perdre en 2-n lloc Tenia 21 € i el que va perdre en 3–er lloc tenia 12 €.
Un joier té tres classes de monedes A, B i C. Les monedes de tipus a tenen 2 grams d'or, 4 grams de plata i 14 grams de coure; les de tipus B Tenen 6 grams d'or, 4 grams de plata i 10 grams de coure, i les de tipus C tenen 8 grams d'or, 6 grams de plata i 6 grams de coure. Quantes Monedes de cada tipus ha de fondre per a obtindre 44 grams d'or, 44 grams De plata i 112 grams de coure?
Ha de fondre 5 monedes de tipus A, 3 de tipus B i 2 de tipus C.
Un fabricant produïx 42 electrodomèstics. La fàbrica abastix a 3 botigues, Que demanden tota la producció. En una certa setmana, la primera botiga va sol·licitar Tantes unitats com la segona i tercera juntes, mentres que la segona va demanar un 20% més que la suma de la mitat d'allò que s'ha comanda per la primera Més la tercera part d'allò que s'ha comanda per la tercera. Quina quantitat va sol·licitar cada Una?
La 1-a botiga va sol·licitar 21 electrodomèstics; la 2-a, 15; i la 3-a, 6.
El supermercat Minipreu fa una oferta de pots de melmelada, ampolles d'aigua mineral i paquets de sal. Un senyor va comprar 2 pots de melmelada, 4 ampolles d'aigua i 1 paquet de sal, i va pagar 2 €. Un altre senyor va comprar 1 pot de melmelada, 2 ampolles d'aigua i va tornar un paquet de sal que estava en males condicions, i va pagar 0.7 €. Una senyora va comprar 3 ampolles d'aigua i va tornar 2 paquets de sal, i va pagar 0.2 €. Quant valia cada pot de melmelada, cada ampolla d'aigua i cada paquet de sal?
x = 0,50 € preu pot de melmelada y = 0,20 € preu ampolla d'aigua z = 0,20 € preu paquet de sal
La Marta, l'Anna i la Núria van comprar dolços en una botiga. La Marta compra 5 xiclets, 2 cornets i 10 piruletes; l'Anna compra 2 xiclets, 15 piruletes i 2 cornets; la Núria compra 1 xiclet, 1 cornet i 4 piruletes. a) Feu una taula amb les dades anteriors i escriviu a continuació la matriu que descriu aquesta situació. b) Si la Marta s'ha gastat 1.55 €., l'Anna 1.90 €., i la Núria 0.60 pts., feu servir la matiu anterior per calcular el preu de cada xiclet, cada cornet i cada piruleta.
x =0,0 5 € preu xiclet y = 0,15 € preu cornet z = 0,10 €preu piruleta
En Daniel, la Carme i l'Andreu han presentat un treball d'Història. L'Andreu Ha treballat el doble d'hores que la Carme, i en Daniel una hora més que els altres dos plegats. En total hi han dedicat 13 hores. Si entre tots han obtingut 10 punts i les notes han estat proporcionals a les hores dedicades, calculeu quina nota ha obtingut cadascun.
x = 7 hores que ha treballat en Daniel 5.384617 punts y = 2 hores que ha treballat la Carme 1.538462 punts z = 4 hores que ha treballat l'Andreu 3.076924 punts
Una fàbrica farinera produeix diàriament 20.000 Kg entre farina, segó i sègol. Sabem que la farina representa les 3/4 parts de la producció, mentre el segó i el sègol estan en proporció 3/2. Calculeu la quantitat de cada producte que surt de la fàbrica diàriament.
x = 15000 Kg. de farina. y = 3000 Kg. de segó. z = 2000 Kg. de sègol.
Un monument està format per tres torres, A, B, C. L’altura de B és 4/3 de la d’A. L’altura de C és el doble de la d’A. Finalment la torre C és 4 metres més alta que els 4/3 de la torre B. Quant fa cada torre?
x = +18 metres torre A. y = +24 metres torre B. z = +36 metres torre C.
Un supermercat fa la mateixa comanda a tres proveïdors diferents A, B i C. Aquesta comanda conté unes quantitats determinades d’arròs, llenties i cigrons (expressades en t). Cada un dels proveïdors marca per als diferents productes els preus que es recullen en aquesta taula (expressats en €/t) :
Arròs Llenties Cigrons Proveïdor A 9 18 24 Proveïdor B 12 18 21 Proveïdor C 12 18 24
La comanda que el supermercat rep del proveïdor A costa 9600 € la que rep del B costa 300€ més, i la que rep del C costa 300€ més que aquesta última.
a) Formula el problema i determina la composició de la comanda. b) De quin tipus de sistema es tracta?
a) (200, 300, 100) b) SCD
Una persona va invertir 36000 € repartits en tres empreses i va obtenir 2700 € de beneficis. Calcula la inversió que va efectuar a cada empresa si sabem que va fer el doble d’inversió a l’empresa A que a la B i la C juntes, i que els beneficis de les empreses van ser del 5% a l’empresa A, del 10% a la B i del 20% a la C.
(24000, 9000, 3000)
Calculeu les edats d’una mare i els seus dos fills sabent que fa 14 anys l’edat de la mare era 5 vegades la suma de les edats dels fills en aquell moment, que d’aquí 10 anys l’edat de la mare serà la suma de les edats que els fills tinguin en aquell moment, i que quan el fill gran tingui l’edat actual de la mare, el fill petit tindrà 42 anys.
(44, 18, 16)
El propietari d’un bar ha comprat refrescs, cervesa i vi per un import de 300 € (sense impostos). El vi val 36 € menys que els refrescs i la cervesa plegats. Si tenim en compte que pels refrescs ha de pagar un IVA del 6%, per la cervesa del 12% i pel vi del 30%, cosa que fa pujar la factura total amb impostos a un valor de 355,44 €, calcula la quantitat invertida en cada tipus de beguda.
(72, 96, 132)
En una geladeria et cobren 20,40 € per una copa de la casa, dues orxates i quatre batuts. Un altre dia, a la mateixa geladeria, et cobren 26,40 € per quatre copes de la casa i quatre orxates. I un altre, et demanen 15,60 € per una orxata i quatre batuts. Tens motius per pensar que algun dels tres dies t’han presentat un compte incorrecte?
Sí
Un estat compra 540.000 bidons de petroli a tres subministradors diferents que el venen a 27, 28 i 31 dòlars el bidó respectivament. La factura total puja 16 milions de dòlars. Si del primer subministrador rep el 30% del total del petroli comprat, quina és la quantitat comprada a cada un dels subministradors?
x = 162.000 y = 30.667 z = 347.333
Un constructor compra tres terrenys a 150 €/m2, 180 €/m2 i 200 €/m2, respectivament. Calculeu la superfície de cada un sabent que entre tots tres fan 1.870 m2, que el preu total de l'operació és de 336.000 € i que el preu del tercer representa les tres quartes parts del preu dels altres dos junts.
x = 500 y = 650 z = 720
Una empresa fabrica tres models de televisors, que anomenarem A, B, i C. El model A necessita passar dues hores a l'unitat de muntatge; el model B, tres i el model C, una. El model A ha de passar una hora a l'unitat d'acabat i el model B, dues i el model C, tres hores. En total s'han produït 14 aparells de televisors, la unitat de muntatge ha treballat 25 hores i la unitat d'acabat ha treballat 26 hores. Quants televisors de cada tipus s'han produït?.
x = 7 TV-A y = 2 TV-B z = 5 TV-C
Una empresa elèctrica fabrica electricitat per mitjans hidràulics, tèrmics i nuclears. El kWh produït per aquests mitjans costa 0.02, 0.01 i 0.07 €., respectivament. La producció total de l'any passat va ser de 110 milions de kWh i el cost total, de 8.50 milions de €. Quina va ser la producció per cadascun del 3 mitjans si l'energia produida hidràulicament nomès representa el 8% del total?.
x = 88000 y = 413333,33 z = 598666,66
Una fàbrica disposa de tres màquines, A, B i C, que produeixen el mateix article. Si les tres màquines funcionen a la capacitat màxima i la C a 2/3 de la seva capacitat màxima, la producció baixa un 10%. Si només funcionen les màquines B i C (les dues a potència màxima) la producció de la fàbrica és un 60% de la màxima. Quina és la capacitat productiva de cada màquina?
x = 40 y = 30 z = 30
• Siga S la regió del pla definida per les cinc inequacions següents:0 0 62 62 2 ≥≥≤+≤+−≥− yxyxyxyx
Es demana:
Representar gràficament la regió S'i calcular els seus vèrtexs.
Considerar la funció f(x,i) = x + y. Calcular els valors de (x,y) que fan mínima i els que fan
màxima la funció f(x,y) en la regió S. Raonar la resposta.
Considerar la funció g(x,i) = 2x 4y. Calcular els valors de (x,y) que fan mínima i els que fan
màxima la funció g(x,i) en la regió S. Raonar la resposta.Mínima: x = 0, y = 0. Màxima: x = 2, y = 2
-Mínima: qualsevol punt del costat BC. Màxima: x = 0, i = 0
• Es considera la funció f(x , i) = x + 3y, es demana:
Raonar si f(x , y) aconseguix un valor màxim i un mínim en el conjunt: { }0 , 0 , 73 , 42 / ),( ≥≥≤+≤+= yxyxyxyxS
En cas afirmatiu, calcular els dits valors i els punts en què s'aconseguixen.
Raonar si f(x , y) aconseguix un valor màxim i un mínim en el conjunt:{ }0 , 0 , 73 , 42 / ),( ≥≥≥+≥+= yxyxyxyxT
En cas afirmatiu, calcular els dits valors i els punts en què s'aconseguixen.a) Màxim:; mínim: (0, 0)
b) Màxim: no hi ha, mínim: (1, 2) i (7, 0)
• Siga T la regió del pla determinada per les inequacions següents:xyxyxy −≥≤−+≤−− 32 04 01
Representar gràficament la regió T.
Es considera la funció f(x,i) = 2y + x. Calcular, si existixen, els punts (x , y) que donen el
valor màxim de f(x,y). I els que donen el valor mínim de f(x,y) en T.
c) Quina seria la resposta de l'apartat anterior si s'agrega la desigualtat y>0?.
b) màxim
25 ,
23
; mínim: qualsevol punt del segment d'extrems
34 ,
31
i (5 , -1)
c) màxim:
25 ,
23
; mínim: qualsevol punt del segment d'extrems ( )0 , 3 i 34 ,
31
• Es considera la funció f( x , i) = x – y
Representar el conjunt ( ){ }0 , 6032 , 5 , 153 / , ≥≤+−≤−≥+= yyxxyyxyxA i calcular el valor
màxim de f(x , i) en A. Alguna de les desigualtats que definixen el conjunt a es podria
eliminar de manera que continuara sent el mateix conjunt?
Dir si la funció f(x , y) aconseguix valor màxim en el conjunt
( ){ }0 , 5 , 153 / , ≥≥−≤+= xyxyxyxB . En cas afirmatiu, calcular el dit valor.
Màxim: ( )0 , 30 . Sí, es pot eliminar 153 ≤+ yx
No arriba a un valor màxim. La regió factible és oberta
• Siga T la regió del pla determinada per les inequacions següents:
y≤− 2 ; 22 +≤ xy ; 62 ≤+ xy
Representa gràficament la regió T
Es considera la funció 2
2),( yxyxf −= . Calcule, si existixen, els punts ),( yx que donen el
valor màxim de ) , ( yxf i els que donen el valor mínim de ) , ( yxf en T.
Calcule les respostes de l'apartat anterior si en T es canvia la desigualtat 22 +≤ xy per 2≥x .b) El màxim s'assoleix en el punt )2 , 4( −B i el mínim en qualsevol punt del segment AC.
c) Ara la regió T és:
El màxim s'assoleix en el punt )2 , 4( −B i el mínim al )2 , 2( E
• Donada la regió del pla definida per les inequacions següents :
Per a quins valors (x, y) de la regió pot ser màxima la funció z = 5x + 2y ? Per a quins pot ser mínima?
La funció objectiu és màxima al punt de coordenades (3,2).La funció objectiu és mínima al punt de coordenades (0,1).
• Maximitza la funció z = x + y subject a :
El màxim de la funció objectiu es dona al punt de coordenades (8,4)
• Considera la funció en el conjunt :
Comprova que aquesta funció assoleix el seu valor mínim a més d’un punt.La F.O. assoleix el mínim en infinits punts situats entre els punts (0,1) i (2/3,0) de la recta d’equació
• Maximitzeu la funció z = 2x + 3y , d’acord amb les següents restriccions :
El màxim de la F.O. s’assoleix al punt (8,6) :• Minimitzeu la funció z = 3x + 2y , en la regió determinada amb les inequacions:
El mínim de la F.O. s’assoleix al punt (0,4) :• Optimitzeu (màxim i mínim) la funció z = 2x - 3y , al recinte :
El mínim de la F.O. s’assoleix al punt (2,2)El màxim de la F.O. s’assoleix al punt (5,0)
• Donada la regió del pla definida per les inequacions:x+y-1≥0 0≤x≤3 0≤y≤2
Trobeu els valors (x , y) que fan màxim la funció z=5x+2y.z és màxima en el vèrtex (3,2) i el seu valor és 19.
• Maximitzeu la funció z=3x+2y en el domini definit per les següents inequacions: y+2x≥0 3y-x≤1 0≤x≤2 y≥0
La funció z és màxima en el punt (2,1) i z=8.
• Es considera la regió del primer quadrant delimitada per les inequacions:x+y≤8 x+y≥4 x+2y≥6
Dibuixeu aquesta regió del pla i trobeu els seus vèrtexs.Trobeu el punt d’aquesta regió que minimitza la funció F=3x+2y .
a) A(6,0) B(8,0) C(0,8) D(0,4) E(2,2)b) F es minimitza en D(0,4) i pren el valor 8.
• Donat el sistema d’inequacions:x+2y≤10 x≤8 x+y≥2 x≥0 y≥0
es demana:Dibuixeu el recinte limitat per les inequacions anteriors.Trobeu els punts on la funció F=x-3y pren en el recinte anterior el seu valor màxim i mínim, així com els valor de la funció en aquests punts.
b) màxim en (8,0) i F=8 mínim en (0,5) i F=-15
• Trobeu els valors màxim i mínim de la funció F=x+2y-2 amb les següents restriccions:x+y-2≥0 x-y+2≥0 y≥1 x≤3 y≤3
màxim en (3,3) i F=7 mínim en (1,1) i F=1
• Trobeu els valors que maximitzen la funció amb les següents restriccions:5x+y≤20 x+3y≤15 3x+4y≤ 24 x≥0 y≥0
F màxima en tot un segment com per exemple en el punt [56/17 , 60/17] on el seu valor és 24
• Es defineix un recinte R per les següents inequacions:x-4y≥-4 x≥0 y≥0 x+2y-4≤ 0
es demana:Trobeu els seus vèrtexs.Maximitzeu la funció F=x+2y
es maximitza en tot punt del segment d’extrems: (4/3,4/3) i (4,0) i el seu valor és F=4.• Considerem el conjunt de punts que satisfan les condicions:
Té mínim la funció z=3x+y en aquest conjunt? I màxim? Per què?Mín(0, 6) = 6 Màxim no en té perquè és una regió oberta.
• Calculeu el màxim de la funció z=x+y en el conjunt de punts que compleixen:
Max(0, 5) = 5 Max(1,4) = 5• Busquem el màxim i el mínim de la funció z = x+y, sotmesa a les restriccions següents:
Max(4, 0) = 4 Mín(0.5, 0) = 0.5• Calculeu el valor màxim de la funció z = x + 3y amb les restriccions:
Max(1, 2) = 7• Un fabricant de cotxes llança una oferta especial en dos dels seus models, oferint el model
A a un preu de 9000 €, i el model B a 12000 €. La oferta està limitada per les existències, que són 20 cotxes del model A i 10 del B, i vol vendre, al menys, tantes unitats del model A com del model B. Per una altra banda, per cobrir les despeses d’aquesta campanya, els ingressos obtinguts han de ser, al menys, 36000 €.Representeu gràficament el conjunt de solucions i calculeu quants cotxes haurà de vendre de cada model per tal de maximitzar els seus ingressos. Quin és l’import total?
Per tal de maximitzar els ingressos hem de treballar amb el punt (20,10).El valor del màxim és 300.000 €
• Disposem de 600 gr d’un fàrmac determinat amb el qual hem d’elaborar pastilles grans i petites. Les pastilles grans pesen 40 gr i les petites,30 gr. Necessitem al menys tres pastilles grans i, com a mínim, el doble de pastilles petites que de pastilles grans.Cada pastilla gran proporciona un benefici de 20 c€ i cada pastilla petita, de 10 c€. Quantes pastilles s’han d’elaborar de cada classe perquè el benefici sigui màxim ? Quin és aquest benefici ? Podríem elaborar 10 pastilles de cada tipus encara que el benefici no fos el màxim possible ?. Raona la teva resposta.
Per obtenir un benefici màxim hem d’elaborar 6 pastilles grans i 12 de petites.El benefici màxim és de 240 c€.
No es podrien elaborar 10 pastilles de cada tipus, ja que el punt (10,10) no pertany a la R.F. (faltarien grams de fàrmac).• Una industria vinícola produeix vi i vinagre. El doble de la producció de vi és sempre més
petit o igual que la producció de vinagre més quatre unitats. També, el triple de la producció de vinagre més quatre vegades la producció de vi és sempre més petit o igual que 18 unitats.
Calculeu el nombre d’unitats de cada producte que s’han de produir per tenir els beneficis màxims possibles, sabent que cada unitat de vi proporciona un benefici de 800 € i cada unitat de vinagre origina un benefici de 200 €.
Per obtenir els màxims beneficis s’han de produir 3 unitats de vi i 2 unitats de vinagre.• Volem elaborar una dieta per engreixar legalment el bestiar, la qual respeti unes
condicions mínimes de continguts vitamínics al dia : 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 mg de vitamina C i 2 mg de la vitamina D. Aquestes vitamines es troben en dos tipus de pinsos P i Q, que tenen un preu de 30 €/kg, i la següent composició vitamínica :
A B C DP 1 1 20 2Q 1 3 7,5 0
Com s’han de mesclar els dos pinsos per minimitzar el cost ?La F.O. es dona en infinits punts de la recta y = 2 − x , entre els punts de coordenades ( 1,2 ; 0,8 ) i ( 1,5 ; 0,5 ).
• Un pastisser el·labora dos tipus de pastíssos, P1 i P2 , fent servir tres ingredients : A, B i C. Disposa de 150 kg d’A, 90 kg de B i 150 kg de C. Per tal d’el·laborar un pastís P1 ha de mesclar 1 kg d’A, 1 kg de B i 2 kg de C; mentre que per el·laborar un pastís P2 necessita 5 kg d’A, 2 kg de B i 1 kg de C.Si els pastissos P1 es venen a 6 € i els P2 a 14 €, quina quantitat ha d’el·laborar de cada tipus per tal de optimitzar els seus ingressos?Si es fixa el preu d’un pastís P1 en 9 €, quin serà el preu d’un pastís P2 sabent que una solució òptima és el·laborar 60 pastissos P1 i 15 de tipus P2?
a) Han d’el·laborar 50 pastissos P1 i 20 pastissos P2, si volen optimitzar els ingressos.b) El preu és de 2,6 €/kg.
• La Maria disposa de 72 € per gastar en llibres i discos. A la botiga on va a comprar, el preu dels llibres és de 2,40 € i el dels discos és de 7,2 €. Si vol comprar, a tot estirar, el doble de llibres que de discos :Formula el problema i representa’l gràficament.Contesta raonadament si pot comprar 12 llibres i 6 discos. En cas afirmatiu, indica si gasta tot el pressupost.Pot adquirir 15 llibres i 5 discos? Quants diners li sobren? Raona la resposta.
b) Sí que els pot comprar, i a més a més gasta tot el pressupost : 72 €.c) No pot adquirir-los complint totes les restriccions.
• En una granja de pollastres es dóna una dieta “per engreixar” que té una composició mínima de 15 unitats d’una substància A i 15 unitats d’una substància B. En el mercat només es troben dues classes de compostos : el tipus X, amb una composició d’una unitat d’A i 5 unitats de B, i el tipus Y, amb una composició de 5 unitats d’A i 1 unitat de B. El preu del tipus X és de 6 € i el del tipus Y és de 18 €. Quines quantitats s’han de comprar de cada tipus per cobrir les necessitats amb un cost mínim?
Han de comprar 2,5 kg de cada classe de compost per cobrir les necessitats amb un cost mínim (60 €).• Una companyia fabrica i ven dos models de llums, L1 i L2. Per fabricar-los cal un treball
manual de 20 minuts per al model L1 i de 30 minuts per al model L2. El treball de màquina és de 20 minuts per a L1 i de 10 minuts per a L2. Per fer el treball manual es desposa de 100 hores al mes, mentre que per fer el de màquina es desposa de 80 hores al mes. Si sabem que el benefici per unitat és de 0,90 € i 0,60 € respectivament, planifica la producció per obtenir el màxim benefici.
La producció per obtenir el màxim benefici és 210 llums L1 i 60 llums L2 (valor màxim de 225 €).• Una empresa constructora disposa de dos tipus de camions, A i B, i vol transportar 100 t
de material a una obra. Si sabem que disposa de 6 camions del tipus A amb una capacitat
de 15 t i amb un cost de 24 € per viatge i de 10 camions del tipus B amb una capacitat de 5 t i un cost de 18 € per viatge, calcula :La quantitat de camions de cada tipus que pot utilitzar (solució gràfica).b) La quantitat de camions de cada tipus que ha d’utilitzar perquè el cost sigui mínim i el valor d’aquest cost.
b) Per complir les necessitats amb un cost mínim s’han d’utilitzar 6 camions de tipus A i 2 camions de tipus B.• Un quiosc ven bolígrafs a 0,12 € i quaderns a 0,18 €. Portem 0,72 € i pretenem comprar,
com a mínim, el mateix nombre de quaderns que de bolígrafs. Quina és la quantitat màxima de peces que podem comprar?
La màxima quantitat de peces que podem comprar és 4 (ens sobren 0,12 €).• Una companyia aèria té dos avions, A i B, per cobrir un trajecte determinat. L’avió A ha de
fer el trajecte més vegades que l’avió B, però no pot depassar els 120 viatges. Entre els dos avions han de fer com a mínim 60 vols, però no més de 200. En cada vol, l’avió A consumeix 900 litres de combustible, mentre que el B en consumeix 700. L’empresa guanya 1800 € en cada viatge de l’avió A i 1200 € en cada viatge del B. Quants viatges ha de fer cada avió per obtenir el màxim de guanys? Quants vols ha de fer cada avió perquè el consum de combustible sigui mínim?
Per obtenir el màxim de guanys s’han de fer 120 viatges amb l’avió A, i 80 viatges amb l’avió B.Per obtenir el mínim de consum de combustible s’han de fer 30 viatges amb l’avió A, i 30 viatges amb l’avió B.
• La casa X fabrica gelats A i B, fins a un màxim diari de 1000 kg. La fabricació d’1 kg d’A costa 1,08 €, mentre que fabricar 1 kg de B costa 0,90 €. Calcula quants quilos d’A i de B cal fabricar si la casa disposa de 1620 €/dia i sabem que 1 kg d’A deixa un marge igual al 90% del que deixa 1 kg de B.
S’han de fabricar 1000 kg de gelat B.• En un taller de planxisteria es poden fabricar dos tipus de carrosseries, A i B. Cada cotxe
del tipus A necesita 4 hores de pintura, mentre que el del tipus B en necessita 6. El taller disposa d’un màxim de 500 hores mensuals per pintar les carrosseries. Els beneficis de cada cotxe són de 1200 i 2100 € per als tipus A i B respectivament. Calcula la quantitat de cotxes de cada tipus que s’han de produir per obtenir el màxim benefici si hem de fabricar un mínim de 80 i un màxim de 100 cotxes de tipus A. Quin és el benefici màxim obtingut?
La quantitat de cotxes que s’han de fabricar per obtener el màxim de benefici és : 80 cotxes A i 30 cotxes de B.El benefici màxim obtingut és 159.000 €
• Al començament del curs escolar es llancen unes ofertes de material escolar. Hi ha uns magatzems que volen posar en oferta 600 quaderns, 500 carpetes i 400 bolígrafs, empaquetant-los de dues maneres diferents : en el primer bloc posen 2 quaderns, 1 carpeta i 2 bolígrafs; i en el segon, 3 quaderns, 1 carpeta i 1 bolígraf. El preu de cada paquet és de 3,90 € i 4,20 € respectivament. Quants paquets els convé fer de cada tipus per tal d’obtenir el màxim benefici?
Per tal d’obtenir el màxim benefici convé fer 150 paquets 1 i 100 paquets 2.El màxim benefici serien 1005 €.
• Uns grans magatzems volen liquidar 200 camises i 100 pantalons de la temporada anterior. Per fer aquesta liquidació fan dues ofertes, A i B. L’oferta A consisteix en un lot d’una camisa i uns pantalons, que es ven a 18 €; l’oferta B consisteix en un lot de 3 camises i uns pantalons, i es ven a 30 €. No es vol oferir menys de 20 lots de l’oferta A ni menys de 10 de la B. Quants lots de cada tipus cal vendre a fi de maximitzar els guanys?
A fi de maximitzar els guanys cal vendre 50 lots de cada tipus, A i B.Els guanys obtinguts són : 2400 €.
• En una fàbrica es produeixen bombetes de dos tipus: normals a 4’5€ unitat i halògens a 6€ unitat. La producció està limitada per un sostre de 400 de normals , 300 d’halògens i 500
en total. Si es ven tota la producció, quina és la producció més adient per tal d’obtenir un benefici màxim?
200 de normals i 300 d’halògens.• Un estudiant reparteix propaganda de dues empreses. L’empresa A paga 0’05 € per
imprès i l’empresa B 0’07 € per imprès. L’estudiant porta dos bosses, la primera té una capacitat per 120 impresos de A i la segona 100 impresos de B. Si pot repartir 150 impresos com a màxim cada dia.Calculeu com ha de ser aquest repartiment per obtenir el màxim benefici.
50 de A i 100 de B• Una companyia aèria té dos avions per fer un determinat trajecte amb les següents
condicions:el A té que fer igual o més trajectes que el B. El A no pot sobrepassar els 120 vols. Entre els dos avions han de fer més de 60 trajectes però no més de 200. En cada vol el A consumeix 900 litres i el B 700. En cada trajecte del A es guanya 3000 € i del B 2000 €. Trobeu el nombre de trajectes de cada avió per obtenir els màxims beneficis. Trobeu el nombre de trajectes de cada avió per obtenir el mínim cost .
120 de A i 80 de B30 de A i 30 de B
• Una pastisseria disposa de 150 kg de farina, 22 kg de sucre i 27’5 kg de mantega per fer dos tipus de pastels A i B. Per fer una dotzena de pastels del tipus A es necessita 3 kg de farina, 1 kg de sucre i 1 kg de mantega i per fer-ne una dotzena del tipus B es necessita 6 kg de farina 0’5 kg de sucre i 1 kg de mantega. El benefici per cada dotzena de A és de 20 € i per cada dotzena de B de 30 €. Trobeu el nombre òptim de dotzenes de cada classe per obtenir els màxims guanys.
5 de A i 22’5 de B• Una empresa fabrica dos tipus de bolígrafs, del tipus A i del tipus B. Els de tipus A al preu
de 2 € per unitat i els del tipus B a 1’50 € per unitat. La producció màxima és de 3000 unitats i se sap que del tipus B hi ha una producció superior a les 1000 unitats però no pot superar a la producció de B en més de 1000 unitats. Trobeu la producció que dona el cost màxim i el mínim.
• 2000 de A i 1000 de B• cap de A i 1000 de B
• Cada mes una empresa pot gastar com a màxim 10000 € en salaris i 18000 € en energia ( llum i gas-oil ). L’empresa elabora dos tipus de productes A i B. Per cada unitat de A guanya 0’80 € i per cada de B 0’50 € i el cost per unitat de cada classe es dona en la següent taula:
A B• Cost Salarial 2 € 1 €• Cost energètic 1 € 3 €
Calculeu la producció que dona el màxim benefici.2400A i 5200 de B.
• Una persona disposa de 5000 € per invertir en dos tipus d’accions. Les primeres amb més risc a un interès del 10% i les segones amb menys risc a un interès del 7%. Decideix invertir 3000 € com a màxim en les primeres i 1000 € com a mínim en les segones. Trobeu la millor inversió per maximitzar els interessos.
3000 € i 2000 € respectivament.• Un supermercat necessita com a mínim 16 caixes de llagostins, 5 de nècores i 20 de
percebes. El majorista A envia en cada comanda: 8 caixes de llagostins 1 caixa de nècores i 2 de percebes. El majorista B envia en cada comanda: 2 , i 7 caixes respectivament.
Cada comanda de A costa 2100 € i cada de B 3000 €. Quina és la comanda més adient per cobrir les necessitats del supermercat amb el cost mínim?.
3 de A i 2 de B.• Podem comprar sacs de abono de dos tipus A i B que contenen potassi (K) fòsfor (P) i
nitrogen (N) amb la següent proporció:K(Kg) P(Kg) N(Kg) €/Kg
A 4 6 1 0’15B 1 10 6 0’24
Quina és la compra més econòmica per obtenir un abono amb la proporció de 8 Kg de K, 46 Kg de P i 12 Kg de N?.
1 de A i 4 de B• Una empresa municipal disposa de dos escorxadors A i B que reparteixen carn a tres
ciutats Lleida, Tarragona i Reus, amb 20 , 22 i 14 Tones respectivament per setmana. L’escorxador A produeix cada setmana 26 tones de carn i l’escorxador B 30 tones. Els costos en transport venen indicats en la taula següent:
Lleida Tarragona ReusA 1 €/T 3 €/T 1 €/TB 2 €/T 1 €/T 1 €/T
Trobeu la distribució que comporta un mínim cost en transport.Lleida Tarragona Reus
A 20 T 0 T 6 TB 0 T 22 T 8 T
• Dos magatzems A i B tenen que distribuir fruita a tres supermercats M1, M2, i M3 . El A disposa de 10 tones de fruita diàries i el B de 15 tones diàries i les reparteixen en la seva totalitat. Els dos primers supermercats necessiten diàriament 8 tones i el tercer 9 tones. El cost per transport està indicat en la taula següent:
M1 M2 M3A 10 €/T 15 €/T 20 €/TB 15 €/T 10 €/T 10 €/T
Panifiqueu el transport per tal que el cost sigui mínim.M1 M2 M3
A 8 T 2 T 0 TB 0 T 6 T 9 T
• Un camioner que disposa de 20 mil de €. pot carregar el seu camió amb 25 tones de pomes i taronges. El cost de les pomes és de 1.000 €./tona i ell les vendrà a 1.300 €./tona. El cost de les taronges és de 600 €./tona i el preu de venda serà de 800 €./tona. a/ El camioner, que vol treure'n el màxim benefici, es troba davant d'un problema de programació lineal. Amb quantes variables? Determineu-les. Determineu també la funció objectiu o funció benefici? Quin benefici serà?
Max(12.5, 12.5) = 6250€
• Uns grans magatzems per tal de fer disminuir un estoc de 1.000 carpetes i 1.500 bolígrafs, creen dos tipus de lots: el lot "principiant", format per una carpeta i un bolígraf, i el lot "Dibuixant", format per una carpeta i tres bolígrafs. Els guanys són de 0.7 €. per cada lot "principiant" i de 1 €. Per cada lot "dibuixant". Calculeu quants lots els convé preparar de cada classe per tal d'obtenir el màxim de guanys.
Max(750, 250) = 775
• Un magatzem de confecció que disposa de 70 samarretes, 120 camises i 110 pantalons fa liquidació d'existències. Vol posar-ho a la venda en dos tipus de lots: el lot A, format per 2
camises, 1 pantaló i 1 samarreta, es vendrà a 6 €. cada un; el lot B, format per una camisa, 2 pantalons i 1 samarreta es vendrà a 7 €. cada un. Calculeu quants lots convé fer de cada classe per tal d'obtenir el màxim de guanys i quants diners ingressaran.
Max(30, 40) = 460
• Una fàbrica produeix dos tipus de motocicletes, A i B cada motocicleta, abans de sortir al mercat, és comprovada i posada a punt. Aquestes comprovacions requereixen 8 hores per cada moto del tipus A, i 4 hores per cada moto B. A més, cada moto, independent del seu tipus requereix 100 € de material. Per cada moto revisada del tipus A s'obté un benefici de 300 €, i per cada moto del tipus B s'obtenen 200 €. Quantes motos haurem de revisar per tal d'obtenir el màxim benefici si disposem de 400 €. en material i de 24 hores per poder fer-ne les revisions.
• Max(2, 2) = 1000
• En un magatzem hi ha 100 caixes del tipus A i 100 caixes del tipus B. La taula que segueix ens informa del pes, el volum i el valor de cadascuna:
Una camioneta pot carregar 10.000 kg i un volum màxim de 2.400 dm3. Esbrineu com han de carregar-la per tal que el valor de les caixes que porti sigui el més elevat possible.
Max(40, 30) = 6750000
• Un estudiant dedica part del seu temps al repartiment de propaganda publicitària. L’empresa A li paga 0.05 €. per cada imprès repartit, i l’empresa B, amb fulletons més grans, li paga 0.0 7 €. per imprès. L’estudiant porta dues bosses: una per a impresos A, on n’hi caben 120, i una altra per a impresos B, on n’hi caben 100. Ha calculat que cada dia és capaç de fer repartiment de 150 impresos com a màxim. El que l’estudiant es pregunta és: quants impresos hauré de repartir de cada classe per tal que el seu benefici diari sigui màxim?
Max(50, 100) = 9,50
• Els 400 alumnes d'un col·legi aniran d'excursió. Per a això es contracta el viatge a una empresa que disposa de 8 autobusos de 40 places i 10 amb 50 places, però només de 9 conductors per a eixe dia. Donada la diferent capacitat i qualitat, el lloguer de cada autobús dels grans costa 8.000 pessetes i el de cada un dels xicotets 6.000 pessetes. Es vol saber quants autobusos de cada classe s'ha de llogar perquè el cost del viatge siga mínim. Per a això es demana:
a) Plantejar el problema que s'ha de resoldre (funció objectiu i restriccions)b) Representar la regió factible. c) Resoldre el problema, explicant els passos seguits fins a obtindre la solució.
Solució: 5 autobusos de 40 places i 4 de 50 places.• Un camió pot transportar com a màxim 9 tones de mercaderia per viatge. En un cert viatge
desitja transportar almenys 4 tones de la mercaderia A, i un pes de la mercaderia B que no siga inferior a la mitat del pes que transporta de A. Sabent que es cobra 3000 pessetes per
tona de a transportada i 2000 pessetes per tona de B, es vol saber quantes tones de a i B s'han de carregar en el camió per a obtindre el guany màxim. Per a això es demana:
a) Plantejar el problema que s'ha de resoldre (funció objectiu i restriccions)b) Representar la regió factible.c) Resoldre el problema, explicant els passos seguits fins a obtindre la solució.
Solució: 6 tones de A i 3 tones de B.• Els alumnes d'un conservatori de música decidixen formar una orquestra. Els gustos del
públic exigixen que hi haja sempre major o el mateix nombre d'instruments de corda que de vent, i que el nombre d'instruments de corda no ha de superar el doble del nombre d'instruments de vent. En total hi ha disponibles 20 instruments de vent i 30 de corda. Els empresaris paguen a l'orquestra 250 € per cada instrument de vent i 200 per cada un de corda. Es demana:
a) de quants instruments de corda i quants de vent s'ha de compondre l'orquestra per a obtindre el màxim benefici?
b) Si se suprimix la restricció del nombre total disponible d'instruments de vent varia la resposta en l'apartat a)?. Raonar la resposta. En el cas que varie, calcular la nova solució.
c) Si se suprimix tant la restricció del nombre total disponible d'instruments de vent com de corda què ocorre amb el benefici?. Raonar la resposta.
a) 30 instruments de corda i 20 de vent.b) 30 instruments de cada tipus.
c) La regió factible és oberta. Els beneficis podrien ser tan grans com voldríem.• Una companyia aèria té 2 avions a i B per a cobrir un determinat trajecte. L'avió a ha de fer
més vegades el trajecte que l'avió B, però no pot passar de 120 vols i l'avió B no pot fer més de 180. Entre els dos avions han de realitzar almenys 60 vols i com a màxim 200. Es demana:
a) Si en cada vol de l'avió a l'empresa gana 300.000 pessetes i en cada vol de l'avió B 200.000, quants vols ha de realitzar cada avió per a maximitzar els beneficis de l'empresa? (Explicar els passos seguits per a resoldre el problema)
b) Es pot llevar alguna restricció sense que la solució varie?. Raonar la resposta. c) Si en cada vol l'avió a consumix el doble de litres de gasolina que l'avió B, quants vols
ha de fer cada avió perquè el consum de gasolina siga mínim?. Raonar la resposta.a) 120 vols l'A i 80 el B.
b) Es pot eliminar la restricció corresponent als 180 vols com a màxim que ha de fer l'avió B.c) 30 vols cada tipus d'avió.
• Un fabricant d'estores disposa de les següents existències de llana: 500 kg. de color blau, 400 kg. de color verd i 225 kg. de color roig. Desitja fabricar dos tipus d'estores, A i B. Per a fabricar una de tipus a es necessiten 1 kg. De llana blava i 2 kg. de llana verda i per a fabricar una de tipus B, 2 kg. de llana blava, 1 kg. de llana verda i 1kg. de llana roja. Cada estora de tipus a es ven per 20 € i cada una de tipus B per 30 €. Se suposa que es ven tot el que es fabrica. Es demana:
a) Quantes estores de cada tipus s'han de fabricar perquè el benefici siga màxim?, quin és eixe benefici màxim?. Explicar els passos seguits per a obtindre la solució.
b) Quina quantitat de llana de cada color quedarà quan es fabrique el nombre d'estores que proporciona el màxim benefici?
a) 100 del tipus A i 200 del B. Benefici: 8000 €.b) Només sobren 25 kg. de llana vermella.
• En un hospital es vol elaborar una dieta alimentària per a un determinat grup de malalts amb dos aliments a i B. Estos aliments contenen tres principis nutritius: N1, N2 i N3. Una unitat de
a val 100 pessetes i conté 2 unitats de N1, 1 de N2 i 1 de N3. Una unitat de B val 240 pessetes i conté 1, 3 i 2 unitats de N1, N2 i N3 respectivament. Un malalt d'este grup necessita diàriament almenys 4, 6 i 5 unitats de N1, N2 i N3 respectivament. Es demana:
a) Plantejar un problema de programació lineal que permeta determinar les quantitats d'aliment a i B que donen lloc a la dieta de cost mínim.
b) Resoldre el problema plantejat en l'apartat anterior. Solució: 3 unitats de A i 1 unitat de B.
• En una empresa es produïx formatge i mantega. Per a fabricar una unitat de formatge es necessiten 10 unitats de llet i 6 unitats de mà d'obra i per a fabricar una unitat de mantega s'utilitzen 5 de llet i 8 de mà d'obra. L'empresa disposa cada dia de 200 unitats de llet i 150 de mà d'obra. Sabent que una unitat de formatge es ven a 4 € i una de mantega a 2,50 i que es ven tot el que es produïx, es demana:
a) Quantes unitats de formatge i de mantega s'han de produir diàriament perquè el benefici siga màxim?. Explicar els passos seguits per a obtindre la solució.
b) Suposar que l'empresa decidix no produir més de 13 unitats de formatge, canvia la solució de l'apartat a)?. Raonar la resposta i en el cas que varie, calcular la nova solució del problema.
a) 17 unitats de formatge i 6 unitats de mantega.b) 13 unitats de formatge i 9 de mantega.
• Una empresa que fabrica motos i cotxes en dos factories F1 i F2, ha rebut un comanda de 300 cotxes i 500 motos. En la factoria F1 es produïxen 10 cotxes i 25 motos per hora i en la F2 es produïxen 20 cotxes per hora i el mateix nombre de motos per hora que en l'altra. Sabent que els costos operatius de les factories F1 i F2 són 9.000 i 7.000 unitats monetàries per hora respectivament, es demana:
a) Quantes hores ha de treballar cada factoria per a servir la comanda amb els mínims costos?, quin és el valor d'estos mínims costos?. Explicar els passos seguits per a obtindre la resposta.b) Suposar que l'empresa decidix que el nombre d'hores treballades entre les dos factories
per a servir un comanda no pot ser superior a 50. Canviaria la solució del problema? Raonar la resposta.
a) 0 hores la factoria F1 i 20 hores la F2. 140.000 u.m.. per hora.b) No canvia la solució.
• Una empresa es dedica a la producció de flascons de perfum i d'aigua de colònia a partir de tres factors productius F1, F2 i F3. Les unitats dels dits factors utilitzades en la producció de cada tipus
de flascó es detallen en la taula següent:
Perfum Aigua de colònia
F1 1 2F2 2 0F3 0 4
Sabent que el preu de venda d'un flascó de perfum és de 50 €, d'un d'aigua de colònia és de 20 € i que l'empresa disposa de 240 unitats de F1, 360 de F2 i 440 de F3:
a) Calcular el nombre de flascons de cada tipus que ha de fabricar l'empresa per a maximitzar els seus beneficis. Explicar els passos seguits per a obtindre la resposta.
b) Es consumixen totes les existències de F1, F2 i F3 en la producció dels flascons que maximitza els beneficis?.
a) 180 flascons de perfum i 30 d'aigua de colònia.b) Sobren 320 unitats de F3
• Un veterinari aconsella un granger dedicat a la cria d'aus una dieta mínima que consistix en 3 unitats de ferro i 4 unitats de vitamines diàries. El granger sap que cada quilo de dacsa proporciona 2,5 unitats de ferro i 1 de vitamines i que cada quilo de pinso compost proporciona 1 de ferro i 2 de vitamines. Sabent que el quilo de dacsa val 0,30 € i el de pinso compost 0,52 €, es demana:
a) Quina és la composició de la dieta diària que minimitza els costos del granger?. Explicar els passos seguits per a obtindre la resposta.
b) Canviaria la solució del problema si per escassetat en el mercat el granger no poguera disposar de més d'1 quilo diari de pinso compost?. Raonar la resposta.
a) Mig quilo de blat de moro i un quilo i tres quarts de pinso.b) Sí canviaria: dos quilos de blat de moro i un quilo de pinso.
• Un col·legi prepara una excursió a la muntanya per a 114 alumnes. Per a això disposa de 8 vehicles de 6 places cada un i altres 8 de 15 places, però per al dia de l'excursió només disposa de 10 conductors. El viatge d'anada i tornada amb un vehicle de 6 places costa 8€ i amb un de 15 places 21 €. Calcular quants vehicles de cada tipus ha d'utilitzar el col·legi perquè el cost del transport siga mínim. Explicar els passos seguits per a obtindre la solució. places.
4 vehicles de sis places i 6 de quinze • Una empresa produïx dos tipus de bosses de mà a i B. La producció d'un bossa de mà de
tipus a requerix 3 unitats de matèria primera i 5 hores de treball. D'altra banda, la producció d'un bossa de mà de tipus B requerix 2 unitats de matèria primera i 4 hores de treball. L'empresa en qüestió disposa cada dia de 180 unitats de matèria primera i 320 hores de treball. Sabent que cada bossa de mà de tipus a produïx un benefici de 4 unitats monetàries, cada bossa de mà de tipus B 3 unitats monetàries i que es ven tot el que es produïx, es demana:
a) Quants bosses de mà de cada tipus s'han de produir diàriament perquè el benefici siga màxim?. Explicar els passos seguits per a obtindre la solució.
b) Suposar que canvien els beneficis produïts per cada tipus de bossa de mà, sent el que produïx un de tipus a de 3 unitats monetàries i un de tipus B de 2, varia la solució de l'apartat a)?. En el cas que varie, calcular la nova solució del problema.
a) 40 bosses del tipus A i 30 del tipus B.b) Les solucions són múltiples: del tipus A s'ha de produir un mínim de 40 bosses i els del tipus B han de verificar: 3 A + 2 B = 180.
• El tractament d'una certa malaltia requerix l'administració de dos complexos vitamínics, C1 i C2. Cada setmana és necessari consumir almenys 450 mg de C1 i 200 mg de C2. Estos complexos es presenten en dos comprimits diferents: el comprimit de color roig que costa 0,25 € la unitat i que conté 15 mg de C1 i 25 mg de C2 i el comprimit de color blau que també costa 0,25 € la unitat i que conté 28 mg de C1 i 10 mg de C2. Quants comprimits de cada color ha de prendre un individu en una setmana perquè el cost del tractament siga mínim?. Explicar els passos seguits per a obtindre la resposta.
2 comprimits vermells i 15 blaus.• Una empresa es dedica a la producció de dos tipus de teixits a i B utilitzant com a matèries
primeres cotó, polièster i seda. Es disposa de 60 unitats de cotó, de 35 de seda i de 80 de polièster i se sap
Que les unitats de cada matèria primera necessàries per a la producció d'1 rotllo de cada tipus de teixit vénen donades en la següent taula
Cotó Polièster Seda
A 1 2 0B 3 2 1
a) Calcular el benefici total màxim, sabent que el benefici obtingut d'un rotllo del teixit a és de 50 euros i del B és de 70. Explicar els passos seguits per a obtindre la solució.
b) S'obtindria excedent d'alguna matèria primera?. En cas afirmatiu, dir quantes unitats.c) Canviaria la solució de l'apartat a) si almenys haguera que produir 15 rotllos del teixit A?.
Raona la resposta.a) El benefici màxim és de 2200 € i s'obté en produir 30 rotllos del teixit A i 10 del B.
b) Sobren 25 unitats de seda.c) No canvia.
• Una empresa Edita un llibre en dos tipus de format, “normal” i de “butxaca”. D'un exemplar del primer format s'obté un benefici de 5 unitats monetàries i d'un exemplar del segon 3. La producció d'un exemplar normal requerix 8 unitats de matèria primera i 4 unitats de temps i la de butxaca 4 unitats de matèria primera i 3 de temps, disposant per a això de 800 unitats de matèria primera i 480 unitats de temps.
Quants exemplars de cada format s'han d'editar perquè el benefici total siga màxim?. Explicar els passos seguits per a obtindre la solució.Si el benefici de produir un exemplar normal fora de 4 unitats monetàries, canviaria la solució de l'apartat anterior?. Raonar la resposta.
a) edició normal = 60, de butxaca = 80
b) La solució és qualsevol punt de la recta 16034 +−= xy
• Un industrial comercialitza botiges decorades i botiges sense decorar. El temps necessari per a fabricar una botija és d'una hora i per a decorar-ho es necessita una altra hora. El benefici per botija és de 10 euros si està decorat i de 6 euros si no ho està i es treballa un màxim de 500 hores mensuals.
Plantejar i resoldre un problema de programació lineal que permeta calcular quantes botiges de cada tipus s'han de fabricar al mes perquè el benefici total siga màxim.Canviaria la solució de l'apartat anterior si no es desitgen fabricar més de 300 botiges sense decorar?. En cas afirmatiu, calcular-la.Calcular la solució de l'apartat a) i dir en quins punts s'aconseguix, si el benefici per botija no decorat és de 5 euros.
a) Han de fabricar 500 botiges sense decorar.b) Sí canvia: 100 botiges decorats i 300 sense decorar.
c) Qualsevol punt de coordenades senceres del segment to d'extrems ( ) ( )500,0y 0,250
• En un taller de joieria es fabriquen collars amb 50, 75 i 85 perles i per a això s'utilitzen en la seua totalitat 17500 perles i 240 tancaments.
Quants collars de cada grandària s'han de fabricar si es desitgen tants collars de grandària mitjana com la mitjana aritmètica del nombre de collars grans i xicotets?Sense tindre en compte la condició de l'apartat anterior, és possible fabricar el mateix nombre de collars de cada grandària?
a) 60 collars de 50 perles, 80 de 75 i 100 de 85 perles.b) No
• Un agricultor disposa de 9 hectàrees per a sembrar dos productes a i B. Per al producte a desitja destinar com a màxim 8 hectàrees. Per cada hectàrea sembrada amb a i B s'obté respectivament un benefici de 150 i 100 euros.Si es vol que la superfície corresponent a B no siga major que la mitat que ocuparà A, plantege i resolga un problema de programació lineal que permeta esbrinar el nombre d'hectàrees que s'han de dedicar a cada producte per a maximitzar el benefici total. Quina és la solució si el benefici per hectàrea és de 125 euros independentment que estiga sembrada amb a o amb B i no es té en compte la restricció de l'apartat a)?
a) 8 hectàrees al producte A i 1 hectàrea al B.b) Les coordenades de qualsevol punt del segment d'extrems i. ( )9,0 i ( )1,8
Related Documents
