CÁC THUẬT TOÁN TẠO M DÃY Ldlib.ptit.edu.vn/bitstream/123456789/292/3/TTLV Nguyen...Các m dãy về bản chất là các mã cyclic có chiều dài cực đại với tham

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT NAM

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

---------------------------------------

NGUYỄN THỊ HƯƠNG THẢO

CÁC THUẬT TOÁN TẠO M DÃY LỒNG GHÉP TRÊN VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC

CHUYÊN NGÀNH : KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

MÃ SỐ:260.51.70

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học : GS.TS NGUYỄN BÌNH

2

HÀ NỘI – 2010

MỞ ĐẦU

Hiện nay trong nhiều ứng dụng như hệ thống thông tin như WCDMA, đồng bộ đo lường từ xa…các dãy m được sử dụng rất nhiều vì chúng có các tính chất thỏa mãn các tiêu chuẩn của dãy giả ngẫu nhiên.

Các m dãy về bản chất là các mã cyclic có chiều dài cực đại với tham số (2n - 1, n, 2n-1) và thường được xây dựng trên các vành đa thức lẻ. Tuy nhiên, đối với vành đa thức có hai lớp kề cyclic thì việc xây dựng mã rất hạn chế. Số mã xây dựng trên vành không nhiều và chỉ có thể xây dựng được các mã tầm thường. Do đó trong luận văn này, tác giả tập trung vào nghiên cứu việc xây dựng các m dãy trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic.

Luận văn này được chia thành 4 chương và phần phụ lục.

Chương 1: Cơ sở đại số

Chương này trình bày những vấn đề chung về lý thuyết số, cấu trúc đại số để xây dựng mã cyclic, m dãy trên vành đa thức.

Chương 2: Vành đa thức có hai lớp kề cyclic

Chương này trình bày các khái niệm vành đa thức có 2 lớp kề cyclic. Các vấn đề cơ bản của phân hoạch vành đa thức.

Chương 3: Một số phương pháp tạo m dãy

Chương này giới thiệu một số phương pháp tạo m dãy đã được sử dụng rộng rãi trong thực tế.

Chương 4: Xây dựng m dãy trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic

Chương này trình bày một số phương pháp tạo m dãy trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Lý thuyết xây dựng mã và các bộ mã hóa, giải mã cho một số m dãy cụ thể.

Phần phụ lục:

Phụ lục: Phương pháp giải mã ngưỡng

3

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ ĐẠI SỐ Chương này trình bày những vấn đề cơ bản về lý thuyết số, cấu trúc đại số để xây

dựng mã cyclic trên vành đa thức. Khái niệm về m dãy và một số tính chất quan trọng của m dãy. 1.1. Cơ sở đại số để xây dựng mã cyclic trên vành đa thức

1.1.1. Những vấn đề cơ bản về lý thuyết số

1.1.2. Những vấn đề cơ bản về cấu trúc đại số

1.2 Vành đa thức và mã cyclic

1.2.1 Vành đa thức

1.2.2 Ideal của vành đa thức

1.2.3 Định nghĩa mã cyclic

1.2.4 Mã cyclic có chiều dài cực đại (m dãy hay dãy m)

- Định nghĩa m dãy - Thuộc tính của m dãy: thuộc tính cân bằng, thuộc tính chạy và thuộc tính tương quan. - Sơ đồ tạo m dãy. CHƯƠNG 2 - VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC Chương này sẽ giới thiệu khái niệm về vành đa thức có hai lớp kề cyclic, điều

kiện để vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Bên cạnh đó cũng thực hiện khảo sát các

phân hoạch trên vành đa thức nói chung và vành đa thức có hai lớp kề cyclic nói riêng.

Đáng chú ý trong chương này là phân hoạch vành mở rộng của vành đa thức Z2[x]/xn +

1 theo lớp các phần tử liên hợp. Đây là tiền đề để xây dựng các mã cyclic và m dãy ở

chương 4.

2.1 Định nghĩa vành đa thức có hai lớp kề cyclic

Vành đa thức theo modulo 1nx được gọi là vành đa thức có hai lớp kề cyclic nếu

phân tích của 1nx thành tích của các đa thức bất khả quy trên trường GF(2) có dạng

sau: 1

01 ( 1)

nn i

ix x x

Trong đó (x + 1) và 1

00

( )n

i

ie x x

là các đa thức bất khả quy.

4

2.2 Phân hoạch vành đa thức có hai lớp kề cyclic

2.2.1 Nhóm nhân cyclic trên vành đa thức

- Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức là tập hợp các phần tử đều bằng lũy thừa của

một phần tử gọi là phần tử sinh. A = {, 2, 3,…}

- Lũy đẳng “nuốt”: Trong mỗi vành đa thức Z2[x]/ xn + 1 đều tồn tại một lũy đẳng

e0(x) =

1

0

n

i

ix , lũy đẳng này được gọi là lũy đẳng “nuốt” (Swallowing Idempotent).

2.2.3 Phân hoạch suy biến và không suy biến

2.2.4. Các kiểu phân hoạch của vành đa thức

- Phân hoạch chuẩn Phân hoạch chuẩn hay phân hoạch theo I – nhóm nhân xyclic đơn vị.

Hạt nhân của phân hoạch là x, có cấp ord(x) = n.

- Phân hoạch cực đại Phân hoạch được gọi là cực đại nếu nhóm nhân cyclic sinh có phần tử sinh với cấp lớn

nhất, ord(a(x)) = max ord(b(x)), b(x) Zn.

- Phân hoạch cực tiểu Phân hoạch là cực tiểu (hay phân hoạch tầm thường) là phân hoạch có phần tử sinh

của nhóm nhân xyclic là a(x) = 1.

- Phân hoạch vành thành các cấp số nhân có cùng trọng số

Trong trường hợp q(x) = xi và ord xi = n thì cấp số nhân A(a,q) bao gồm các đa thức có

cùng trọng số. Vành đa thức được phân hoạch thành các cấp số nhân với các phần tử

trong mỗi cấp số nhân sẽ có cùng trọng số.

- Phân hoạch vành đa thức thành các cấp số nhân với các phần tử có cùng tính chẵn

lẻ của trọng số.

Nếu công bội q(x) (hạt nhân phân hoạch) là một đa thức có trọng số lẻ thì các phần tử

của mỗi cấp số nhân trong phân hoạch sẽ cùng tính chẵn lẻ về trọng số.

- Phân hoạch vành đa thức thành các cấp số nhân theo modulo h(x).

Vành đa thức Z2[x]/ xn + 1 có thể được phân hoạch thành các cấp số nhân theo modulo

h(x) với h(x) | xn + 1.

Từ phân tích nhị thức xn+ 1 = )()...().()( 211

xfxfxfxf t

m

ii

5

Trong đó, fi(x) là các đa thức bất khả quy.

Như vậy, h(x) là tổ hợp của các fi(x) sao cho deg h(x) = k < n, trong vành đa thức

Z2[x]/ xn +1. Tuỳ theo giá trị n mà có số đa thức bất khả quy khác nhau, nên sẽ có số

h(x) khác nhau. Khi đó, trên vành sẽ có nhiều phân hoạch ứng với các h(x) khác nhau.

- Phân hoạch vành mở rộng của vành đa thức có hai lớp kề cyclic theo lớp các phần tử

liên hợp

+ Đa thức f(x) được gọi là thặng dư bậc 2 (quadratic residue - QR) trong 2nZ nếu tồn

tại đa thức g(x) sau:

2 2( ) ( ) mod( 1)ng x f x x

Như vậy 2( ) ng x Z và được gọi là căn bậc 2 của f(x). Khi ( ) ( )g x f x được gọi

là căn bậc 2 chính của f(x).

+ Các căn bậc 2 của một thặng dư bậc 2 được xác định theo công thức sau:

n t[ ( )]=g(x)=(1+x ) x ( )t U

sqr f x f x

Trong đó U là một tập gồm các tổ hợp tùy ý các giá trị trong tập 0,1, 2,..., 1n .

Do vậy lực lượng của U sẽ bằng 2 1nU .

Như vậy đối với mỗi thặng dư bậc 2 trong vành 2nZ có tất cả 2n căn bậc 2 (kể cả căn

bậc 2 chính).

Nhận xét:

Trong vành nZ2 có n2 thặng dư bậc 2, mỗi thặng dư bậc 2 có n2 căn bậc 2, do

vậy có tất cả n22 căn bậc 2 trong vành.

Mặt khác, ta thấy rằng, trong vành nZ2 có n22 đa thức (lực lượng các phần tử

trong vành được tính bằng nnZ 2

2 2 ) do vậy các căn bậc 2 của các thặng dư

bậc 2 tạo nên toàn bộ vành nZ2 .

Trong trường số đầy đủ, căn bậc 2 của (-1) là j , chúng được gọi là các phần

tử liên hợp. Tương tự như vậy, ta sẽ gọi các căn bậc 2 của cùng một thặng dư

bậc 2 là các phần tử liên hợp (Conjugate Elements) tương ứng với thặng dư đó

ký kiệu là CEs.

+ Tính chất của các phần tử liên hợp:

6

Nếu a(x) là các căn bậc 2 thì các phần tử đối xứng của nó cũng là các căn bậc 2.

Tổng của 2 CEs cũng chính là một căn bậc 2 của zero.

Tổng quát hơn, tổng số chẵn các CEs cũng chính là một căn bậc 2 của zero.

Tổng của 3 CEs cũng chính là một CE.

+ Phân hoạch vành đa thức theo lớp các phần tử liên hợp.

Trong vành đa thức Z2n, các thặng dư bậc 2 khác nhau sẽ có các căn bậc 2 khác nhau.

Số các căn bậc 2 toàn bộ các thặng dư bậc 2 sẽ được tính như sau:

nnnnnQ 2

2 22.22.

Do vậy, tập của các căn bậc 2 của các thặng dư bậc 2 này sẽ là toàn bộ vành đa thức

Z2n.

Vành nãy sẽ được chia thành lớp bao gồm các phần tử liên hợp. Tập của các phần tử

liên hợp này sẽ được gọi là vành của các phần tử liên hợp.

2.3 Kết luận

Chương này đã trình bày khái niệm vành đa thức có 2 lớp kề cyclic và các kiểu

phân hoạch vành đa thức, đặc biệt là phân hoạch vành đa thức mở rộng 22 / 1nZ x x

của vành đa thức có 2 lớp kề cyclic 2 / 1nZ x x theo lớp các phần tử liên hợp. Đây là

cơ sở lý thuyết rất quan trọng để xây dựng m dãy ở chương 4

CHƯƠNG 3 - CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO DÃY M

Dãy m đã được nghiên cứu rất nhiều và hiện nay có rất nhiều phương pháp tạo

m dãy. Chương này trình bày một số phương pháp cơ bản để tạo chuỗi PN bao gồm:

Phương pháp Blum Blum Shub, Phương pháp congruential đảo (Inversive

congruential), Phương pháp Cipher (ISAAC), Phương pháp Fibonaci trễ (Lagged

Fibonaci), Phương pháp congruential tuyến tính (Linear congruential), Phương pháp

thanh ghi dịch có hồi tiếp tuyến tính (Linear feedback shift register), Phương pháp

nhân có nhớ (Multiply with carry), Phương pháp xoay Mersenne (Mersenne twister),

Phương pháp số nguyên tố Sophie Germain.

7

Ngoài ra, các thuật toán Cipher và các hàm băm mật mã cũng có thể được sử

dụng để tạo ra các chuỗi PN. Tuy nhiên, trong chương này tập trung vào các phương

pháp tạo chuỗi PN cơ bản.

CHƯƠNG 4 - XÂY DỰNG DÃY M TRÊN VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC

4.1 Xây dựng dãy m lồng ghép trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic

Dãy m lồng ghép trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic có thể được tạo ra từ phương

trình đồng dư sau:

)(mod)()()( xhxaxcxb i 12,...,2,1 mi Trong đó bậc của a(x),

1212)( 1 nmxorda

Số lượng a(x) là )12( maN với là hàm Phi-Euler.

awxaW ))(( là một số chẵn

hwxhW ))(( là một số lẻ với 1)(deg nxh

Số lượng hàm h(x) là: 22/)1(

0

21 2

n

n

i

inh CN

c(x) là đa thức sinh với 1)(deg mxc

Số lượng dãy M lồng ghép là ha NNN

Ví dụ: Dãy m lồng ghép trên 5 22[ ]/ 1, 2 8n

hZ x x N , các đa thức h(x) này là:

(4), (014), (024), (034), (124), (234), (134), (01234).

Giả sử )12()( 2 xxxa )15)(( xorda

h(x) = (01234)

Ta có: 7

7

{(12) mod(01234); 1, 2,....}{(12), (013), (2), (012), (023), (0123), (01), (13), (1), (23), (03), (3), (123), (02), (0)}

iA iA

Sơ đồ mã hóa:

)0( )1( )2( )3( )4(

8

Sơ đồ giải mã theo phương pháp giải mã ngưỡng

Hệ tổng kiểm tra trực giao:

1

2

3

4

5

6

7

(013) (13)(2) (02)(012) (12)(03) (3)(023) (23)(0123) (123)(01) (1)

SSSSSSS

1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a

4.2 Xây dựng dãy m trên

vành mở rộng của vành đa thức có hai lớp kề cyclic theo các phần tử liên hợp

Tập tất cả các phần tử liên hợp với lũy đẳng nuốt e0(x2) sẽ tạo ra các mã cyclic cục

bộ với các giá trị sau: 1

0( , , ) (2 1, , 2 )n nn k d n

4.2.1 Xây dựng dãy m trên các phần tử liên hợp của lũy đẳng nuốt theo phân hoạch chuẩn

Thực hiện phân hoạch chuẩn nhưng không phải đối với toàn bộ các phần tử trong vành

Z2n mà chỉ phân hoạch chuẩn các phần tử liên hợp của lũy đẳng nuốt 20 ( )e x . Có nghĩa

là, chúng ta sẽ xây dựng các cấp số nhân với số hạng đầu a(x) là một phần tử liên hợp

bất kỳ của lũy đẳng nuốt 20 ( )e x trong vành đa thức Z2n, nhóm nhân cyclic đơn vị với

phần tử sinh q(x) = x.

Ví dụ với n = 5.

Ta có bảng phân hoạch chuẩn của lũy đẳng nuốt 20 ( ) (02468)e x theo các phần tử liên

hợp:

No C1 C2 C3 C4

9

1 (01234) (02346) (03467) (02468)

2 (12345) (13457) (14578) (13579)

3 (23456) (24568) (25689)

4 (34567) (35679) (36790)

5 (45678) (46780) (47801)

6 (56789) (57891) (58912)

7 (67890) (68902) (69023)

8 (78901) (79013) (70134)

9 (89012) (80124) (81245)

10 (90123) (91235) (92356)

Sơ đồ mã hóa cho mã (31,5,16) theo phân hoạch chuẩn

0x 1x 2x 3x 0 0 0 0 04x

1C

2C

3C

4C Sơ đồ giải mã

10

13C

23C

33C

43C

53C

63C

73C

83C

93C

103C

12C

22C

32C

42C

52C

62C

72C

82C

92C

102C

11C

21C

31C

41C

51C

61C

71C

81C

91C

101C

14C

24C

4.2.2 Xây dựng dãy m trên các

phần tử liên hợp của lũy đẳng nuốt theo phân hoạch cực đại

Phân hoạch cực đại của mã cyclic cục bộ với n lẻ là mã cyclic cục bộ được xây

dựng trên nhóm nhân cyclic với công bội a(x). Ở đây ta có:

n2ord a(x)=max ord f(x), f(x) Z [x]/x 1

Tương tự như vậy, trong vành đa thức 2n2[x]/x 1Z , ta cũng sẽ tiến hành xây dựng

mã cyclic cục bộ trên phân hoạch cực đại của vành theo các phần tử liên hợp của lũy

đẳng nuốt.

Trên vành đa thức 2n2[x]/x 1Z , cấp của nhóm nhân sinh cyclic a(x) sẽ bẳng 2.ord

a(x) trong n2[x]/x 1Z . Ta sẽ xem xét một nhóm nhân trên vành Z2n qua ví dụ n = 5.

Xét vành Z10 với phần tử sinh a(x)=1+x+x2 (012)

Ta có phân hoạch cực đại gồm 2 lớp kề:

11

i1 0 1{e ( ) ( ), 0, 29}={b , i = 1,30}iB x a x i

= {(01234), (02346), (01478), (34567), (35679), (01347), (06789), (02689),

(03467), (01239), (12359), (03679), (23456), (24568), (02369), (56789), (15789),

(23569), (01289), (01248), (25689), (12345), (13457), (12589), (45678), (04678),

(12458), (01789), (01374), (14578)}

B2 = {(02468), (13579)} = { 1 22 2,b b }

Sơ đồ mã hóa

)0( )1( )2( )3( )4( )0( )0( )0( )0( )0(

Sơ đồ giải mã

12

301 b29

1 b281 b

271 b

261 b

251 b

241 b

231 b

221 b

211 b

201 b

191 b181 b

171 b161 b

151 b141 b

131 b121 b

111 b101 b

91 b71 b

81 b51 b

61 b41 b

31 b21 b

11 b12 b

22 b

4.3 Kết luận

Trong chương này đã trình bày một số phương pháp tạo và giải mã cho các m

dãy trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Ngoài phương pháp tạo m dãy trên cách

vành lẻ, ở đây trình bày phương pháp tạo m dãy trên vành chẵn Z2n, vành mở rộng của

vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Việc xây dựng m dãy trên vành chẵn dựa vào phân

hoạch của vành chẵn theo các phần tử liên hợp của lũy đẳng nuốt. Điều này làm đa

dạng hóa các phương pháp tạo m dãy trong lý thuyết mã, cung cấp nhiều lựa chọn hơn

cho các m dãy.

13

KẾT LUẬN Vành đa thức có hai lớp kề cyclic là vành đa thức có tính chất đặc biệt, trong đó

phân tích nhị thức của vành đa thức chỉ bao gồm hai đa thức. Do đó trên vành này chỉ

xây dựng được các mã tầm thường là các mã chẵn, lẻ. Việc tìm hiểu về vành đa thức

này chưa được quan tâm nhiều và ít có các ứng dụng trên vành đa thức có hai lớp kề

cyclic.

Luận văn tập trung vào việc tìm hiểu vành đa thức có hai lớp kề cylic, các cấu

trúc nhóm nhân và các kiểu phân hoạch trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic nhằm

tận dụng tối đa các đặc điểm cũng như khắc phục các hạn chế của vành này. Trong

chương 4 đã trình bày một số phương pháp xây dựng m dãy trên vành đa thức có hai

lớp kề cyclic. Đó là việc xây dựng m dãy dựa trên nhịp là đa thức a(x) và modulo h(x)

không nhất thiết phải là đa thức nguyên thủy. Ngoài ra m dãy còn có thể được xây

dựng trên vành chẵn là vành mở rộng 22 / 1nZ x x của vành đa thức 2 / 1nZ x x theo

lớp các phần tử liên hợp của lũy đẳng nuốt. Chương này cũng giới thiệu một số bộ mã

hóa và giải mã tương ứng khi xây dựng m dãy theo các phương pháp này.

Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn là đánh giá những đặc tính của m dãy

này và các biện pháp để áp dụng một cách khả thi trong các ứng dụng thực tế.

Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn có thể còn nhiều thiếu sót,

rất mong các thầy cô giáo, các đồng nghiệp và bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để luận

văn được tốt hơn.