【性質】
(a) 厄米特(實對稱)矩陣的特徵值必為實數。
(b) 反厄米特(斜對稱)矩陣的特徵值必為純虛數或零。
(c) 單型矩陣的特徵值之大小必為 1。
【證明】
因 AX Xλ= ,等號兩邊由左邊乘以 TX ,
得 T TX AX X Xλ= ,故T
TX AXX X
λ = ………………………………….(1)
其中22 2
1 1 2 2 1 2... ...T
n n nX X x x x x x x x x x= + + + = + + + 為實數(非為零,因 0X ≠ ) (a) 假如 A 為厄米特矩陣, TA A= 或 TA A= 必成立,只要證明(1)式的分子為實數,即可證得λ為實數。 因 TX AX 為一 1×1 矩陣,取轉置後並無影響,故
( ) ( )T T T T T T TX AX X AX X A X X AX X AX= = = = …………………(2) 因 TX AX 等於它的共軛數,故 TX AX 必定是實數。(a ib a ib+ = − ,代表 0b = )
(b) 假如 A 為反厄米特矩陣, TA A= − 必成立,經過(2)式的替換得
( ) ( )T T T T T T TX AX X AX X A X X AX X AX= = = − = − 因 TX AX 等於它的負共軛數,故 TX AX 必定是純虛數或零。( ( )a ib a ib+ = − − ,代表 0a = )
(c) 假如 A 為單型矩陣,取 AX Xλ= 與它的共軛轉置,即 ( ) ( )T T TAX X Xλ λ= = 等號兩邊由右邊分別乘以 AX 與 Xλ ,得
2( )T T TAX AX X X X Xλλ λ= = ……..….(A)
因為 A 為單型矩陣,故 1TA A−= 必成立,由(A)式左側 1( )T T T T T TAX AX X A AX X A AX X IX X X−= = = = ………………(B)
由(A)與(B)相比較得 2 1λ = ,即 1λ =