CC Aula5 Simplificacao de Expressoes Alunos

Simplificação de expressões

Prof.a Dra. Carolina Davanzzo Gomes dos Santos Email: [email protected]

Página: profcarolinadgs.webnode.com.br

Disciplina: Circuitos Digitais

SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES

à  Circuitos lógicos correspondem a equações booleanas, que

são extraídas da tabela-‐verdade.

à  Construção de circuitos lógicos através de expressões booleanas é complexo.

à  Pode ser simplificado, reduzindo o custo diminuindo a

quantidade de blocos lógicos.

Relembrando.... Postulados Postulado da Complementação

1º) Se

2º) Se

10 =→= AA01 =→= AA

Identidade AA =

Se 1=A , temos: 0=A e se 10 =→= AA

Se 0=A , temos: 1=A e se 01 =→= AA

Relembrando.... Postulados Postulado da Adição

1º) 0 + 0 = 0

2º) 0 + 1 = 1

3º) 1 + 0 = 1

4º) 1 + 1 = 1

Identidades: AA =+ 0

10110000

=+→=

=+→=

AA

11=+A

11111100

=+→=

=+→=

AA

AAA =+

11110000

=+→=

=+→=

AA

1=+ AA

10111100

=+→=

=+→=

AA

Relembrando.... Postulados Postulado da Multiplição

1º) 0 . 0 = 0

2º) 0 . 1 = 0

3º) 1 . 0 = 0

4º) 1 . 1 = 1

Identidades: 00 =⋅A

00110000

=⋅→=

=⋅→=

AA

AA =⋅1

11110100

=⋅→=

=⋅→=

AA

AAA =⋅

11110000

=⋅→=

=⋅→=

AA

0=⋅AA

00110100

=⋅→=

=⋅→=

AA

Relembrando.... Propriedades Propriedade Comutativa

ABBAçãoMultiplicaABBAAdição

⋅=⋅→

+=+→

Propriedade Associativa

( ) ( )( ) ( ) CBACBACBAçãoMultiplica

CBACBACBAAdição⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅→

++=++=++→

Relembrando.... Propriedades Propriedade Distributivva

( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅

A B C A(B+C) AB+AC 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

Teoremas de Morgan

à São empregados para simplificar as expressões algébricas booleanas.

Teorema 1

O complemento do produto é igual à soma dos complementos:

( ) BABA +=.

A B 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0

BA. BA+

Representação por blocos lógicos:

Teorema 1

Teorema 2

O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. BABA .=+Como este teorema é uma extensão do primeiro:

A aplicação deste teorema é demonstrada pela equivalência entre blocos lógicos:

Identidades Auxiliares

ABAA =⋅+

Para prová-‐la utilizamos a propriedade distributiva, evidenciando A

( ) ABA =+⋅ 1

Do postulado da soma temos: 1+B =1

ABAA

AA

=⋅+

∴

=⋅1


( ) ( ) CBACABA ⋅+=+⋅+

( ) ( )

( )

( ) ( ) CBACABAAAeXsIdentidadeCBAvadistributiopriedadeCBCBAAAAopriedadeCBBACAA

vadistributiopriedadeCBBACAAACABA

⋅+=+⋅+∴

=⋅=+→⋅+⋅=

→⋅+++⋅=

=⋅→⋅+⋅+⋅+=

→⋅+⋅+⋅+⋅=

+⋅+

1__11_:1_Pr1_Pr_Pr

Provando a identidade:


BABAA +=+ Provando a identidade:

( )( )[ ]

( )( )( )( ) BABAA

BABA

BAAA

BAA

BAA

BAABAA

+=+∴

+=

⋅=

⋅+⋅=

+⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ à Identidade:

à 2º Teorema de Morgan:

à 1º Teorema de Morgan aplicado no parênteses

à Propriedade Distributiva e identidade:

à 1º Teorema de Morgan

XX =

( ) YXYX +=.

( ) YXYX ⋅=+

0=⋅AA

Quadro Resumo

Simplificação de Expressões Booleanas

Exemplo 1: BACAABCS ++=Primeiramente, envidenciamos o termo A:

( )BCBCAS ++=

Agora, aplica-‐se a propriedade associativa:

( )[ ]BCBCAS ++=

Aplica-‐se a identidade:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= BCBCAS

XX =

Aplica-‐se o Teorema de Morgan

( )[ ]BCBCAS +=

Chamando BC de Y, logo ( ) YBC =

( )YYAS +=

1=+YYComo , logo:

AS

AAS

=

∴

=⋅= 1

Simplificação de Expressões Booleanas

Exemplo 2: CBACBACBAS ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Tirando em evidencia nos dois primeiros termos: CA⋅

( ) CBABBCAS ⋅⋅++⋅⋅=

Aplicando a identidade: 1=+ BB

( )CBACAS

CBACAS

⋅⋅+⋅=

⋅⋅+⋅⋅= 1

Generalizando:

Expressão booleana de termos mínimos à resulta da soma

de produtos.

Expressão booleana de termos máximos à resulta do

produto das somas.

Equações lógicas Projeto à tabela verdade à expressão booleana do circuito digital

Expressão booleana de soma de produtos

A expressão booleana constitui-‐se num circuito de portas lógicas E-‐OU

A.B

A.B

A.B + A.B

Assim para a elaboração de um projeto lógico, deve-‐se:

• Construir a tabela-‐verdade;

• Determinar a partir da tabela-‐verdade, a expressão booleana

de termos mínimos (soma de produtos);

• A partir da expressão booleana de termos mínimos,

esquematizar o circuito lógico.

Receita – exemplo soma de produtos

As expressões booleanas podem ser tiradas de duas maneiras:

• A partir dos uns de saída (termos mínimos ou soma de

produtos).

• A partir dos zeros (termos máximos ou produto da soma).

à Contudo, antes de extrair a expressão booleana de uma

tabela-‐verdade, convém verificar que método oferece maior

facilidade: tirar a expressão pelos uns ou pelos zeros.

à Na tabela-‐verdade abaixo, é mais fácil extrair a expressão

booleana pelos zeros (termos máximos ou produto da soma),

pois pelos uns a expressão booleana seria mais longa e mais

complexa.

Submetendo ao teorema de De Morgan:

Portanto, a expressão booleana de termos máximos (produto de somas) será:

O diagrama de blocos OU-‐E, a seguir é a implementação da expressão retirada da tabela-‐verdade.

A B C

Aplicação dos teoremas de De Morgan e de equações lógicas booleanas

As leis e as propriedades fundamentais da operação da álgebra booleana permitem resolver problemas e projetos lógicos em

diversas áreas.

Observação

Lembre-‐se de que os passos a serem seguidos para resolver um problema lógico são:

• A elaboração da tabela-‐verdade; • A extração da equação lógica; • A execução do circuito ou diagrama de blocos lógicos.

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