cat_sol_4_12_1

Comencem

� Calcula la distància entre els parells depunts següents:

a) P(2, �3); Q(1, 2)

b) R(0, 0); S(3, 4)

c) T(5, �3); U(11, 5)

� Quina és la condició analítica que verifiquentots els punts P(x, y) del pla que es troben adistància 3 del punt C(1, �2)? Quina figuradeterminen aquests punts?

(x � 1)2 + (y + 2)2 = 9Una circumferència: la de centre en el punt C(1, �2) i radi r = 3.

� Donats els punts P(1, �3) i Q(4, q), calcula qperquè es verifiqui d(P, Q) = 5. Interpreta ge-omètricament les solucions obtingudes aju-dant-te de la representació gràfica.

Hi ha dos punts Q1 i Q2 d'abscissa 4 que disten5 unitats del punt P(1, �3). Els dos punts se si-tuen sobre la recta x = 4 i, juntament amb elpunt P, determinen un triangle isósceles.

Exercicis

1. Calcula la distància entre els parells depunts següents:

a) P(1, �1, �3) i Q(4, 2, 0)

b) R(0, �2, 5) i S(1, �3, 2)

c) T(4, �2, 1) i U(1, 1, 2)

d) V(5, �3, 7) i W(6, �2, 8)

2. Si la distància entre els punts P(2, �1, 3) iQ(t, 1, 2) és 3, calcula el valor de t. Quantspunts Q verifiquen aquesta condició?

Hi ha dues solucions:

Q1(0, 1, 2) i Q2(4, 1, 2)

3. Per a quin valor de t és mínima la distànciaentre els punts P i Q de l�exercici anterior?Quin és el valor d�aquesta distància mínima?

Derivem aquesta expressió respecte de t iigualem a zero:

La distància és mínima per a t = 2, i el valord'aquesta distància mínima és:

mín( , ) 5d P Q =

'( , ) 0 2 0 2d P Q t t= ® - = ® =

- -= =

- + - +2 2

2 4 2'( , )

2 4 9 4 9

t td P Q

t t t t

= - +2( , ) 4 9d P Q t t

=® - = ® - =

=12

2

04 0 ( 4) 0

4

tt t t t

t

- + = ® - + = ®2 24 9 3 4 9 9t t t t

= - + + = - +2 2( , ) ( 2) 4 1 4 9d P Q t t t

( 2, 2, 1)PQ t= - -uuur( , ) 3d P Q PQ= =

uuur

= =uuuur

( , ) 3d V W VW

= =uuur

( , ) 19d T U TU

= =uuur

( , ) 11d R S RS

= =uuur

( , ) 3 3d P Q PQ

y

x

P (1, –3)

Q (4, 1)

x = 4

Q (4, –7)

1

2

=+ + = ® + - =

= -12 2

2

16 18 25 6 7 0

7

qq q q q

q

+ + + =29 6 9 5q q

= = + + =uuur 2 2( , ) 3 ( 3) 5d P Q qPQ

( , ) 10d T U TU= =uuur

( , ) 5d R S RS= =uuur

= =uuur

( , ) 26d P Q PQ

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat

133

SOLUCIONARI Unitat 12

4. Donat el triangle que té com a vèrtexs elspunts A(�1, 2, �4), B(4, 1, 6) i C(0, 3, 4), tro-ba les coordenades del baricentre G. Si Més el punt mitjà del costat AB, comprovaque es verifica d(G, C) = 2 · d(M, G).

Es compleix que

5. Donats els punts P(3, �6, 9) i Q(6, 3, �6), tro-ba les coordenades del punt R alineat ambP i Q de manera que es verifiqui:

Quina és la relació que hi ha entre d(R, Q) id(P, R)? Comprova la teva resposta fent-neel càlcul.

Anomenem R(x, y, z)

3 = 3x � 9 ® 12 = 3x ® x = 49 = 3y + 18 ® �9 = 3y ® y = �3�15 = 3z � 27 ® 12 = 3z ® z = 4

Les coordenades del punt R són (4, �3, 4)

Es compleix que d(R, Q) = 2 · d(P, R)

6. El triangle de vèrtexs els punts A(1, 2, 0),B(3, 2, 1) i C(1, �4, 0) és rectangle en A.

Comprova-ho:

a) Mitjançant el producte escalar.

b) Aplicant el teorema de Pitàgores.

7. Calcula el perímetre del triangle que s�obté

unint els punts de tall del pla 3x + 4y + 3z �� 12 = 0 amb els eixos de coordenades.

Eix OX: (4, 0, 0) ® punt PEix OY: (0, 3, 0) ® punt QEix OZ: (0, 0, 4) ® punt R

perímetre:

8. Calcula la distància del punt P(2, �3, �1) a larecta r: (x, y, z) = (1, �2, 1) + ll(2, 1, �3).

Equació del pla p que conté el punt P i és per-pendicular a r:

p: 2x + y � 3z � 4 = 0

Intersecció del pla p amb la recta r: punt P'

x = 1 + 2l; y = �2 + l; z = 1 � 3l2 (1 + 2l) + (�2 + l) � 3 (1 � 3l) � 4 = 02 + 4l � 2 + l � 3 + 9l � 4 = 0

14l = 7 ® l =

9. Determina la distància del punt P(�1, �3, �1)a la recta:

Interpreta el resultat obtingut.

Les coordenades del punt P verifiquen cadas-cuna de les equacions dels dos plans que de-terminen la recta r, la qual cosa significa que elpunt P pertany a la recta recta. Aleshores:Si P Î r ® d(P, r) = 0.

10. Donada la recta r: (x, y, z) = (0, 1, �2) + + ll(2, 0, �1) i el punt P(1, 0, �1), troba unaexpressió que et doni la distància d entreaquest punt P i un punt Q qualsevol de larecta r en funció del paràmetre l. Calculadesprés d(P, r) buscant el valor de l quefaci mínima la funció d = f(l).

Les coordenades d�un punt Q qualsevol són:Q = (2l, 1, �2, �l)

4 3 5 0:

2 5 0

x yr

y z

-- -- ==ììíí ++ ++ ==îî

10 10( , ) ( , ') ' 4 2

d P r d P P PP= = = =uuuur

3 1' 0, ,

2 2PP æ ö= ç ÷

è ø

uuuur

1 1 1 3 1' 1 2 , 2 ,1 3 2, ,

2 2 2 2 2P æ ö æ ö=+ × - + - × - -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

1

2

0 4D= ® = -

( )2, 3, 12 3 0 4 3 3Px y z D D- -+ - + = ¾¾¾¾® - + + =

5 4 2 5 10 4 2PQ QRPR+ + = + + = +uuur uuuruuur

2 2241 5 36BC ACAB= + ® = +

uuur uuuruuur

= = =5; 6; 41uuur uuuruuurAC BCAB

(2,0,1) (0, 6,0) 0AB AC× = × - =uuur uuur

0AB AC× =uuur uuur

( , ) 35d P R PR= =uuur

( , ) 140 2 35d R Q RQ= = =uuur

= ® - = - + -3 (3,9, 15) 3( 3, 6, 9)uuur uuurPQ PR x y z

3uuur uuurPQ PR==

66 2 ( , ) 2 ( , )

2d G C d M G= × ® = ×

6( , )

2d M G MG= =

uuuur

( , ) 6d G C GC= =uuur

(1,2,2)G®

+ ++ + + +æ ö ®ç ÷è ø

3 3 31 1 1 2 2 2, ,3 3 3

a b ca b c a b cG


134

, amb

Derivem respecte de l:

11. Donat el triangle que té com a vèrtexs elspunts P(0, 0, 0), Q(2, 5, 0) i R(3, 2, �4), calcu-la�n l�altura relativa al vèrtex P. Quant vall�àrea d�aquest triangle?

L�altura relativa al vèrtex P és la distància entreel punt P i la recta que determinen els punt Q iR. Anomenem r aquesta recta.

r: (x, y, z) = (2, 5, 0) + l(1, �3, �4)

Pla p que conté P i és perpendicular a r:

Punt P' intersecció entre el pla p i la recta r:

2 + l � 3(5 � 3l) � 4 · (�4l) = 02 + l � 15 + 9l + 16l = 0

26l = 13 ® l =

Per a aquesta altura, la base del triangle és:

12. Calcula la distància del punt P(2, �3, 5) alpla que té com a equació:

p: x � 2y � 2z + 7 = 0

13. Dedueix una expressió general que et per-meti calcular la distància entre l�origen decoordenades i un pla del qual coneixes l�e-quació cartesiana.

14. El pla d�equació 2x � 2y + z + D = 0 es trobaa distància 2 de l�origen de coordenades.Troba D i interpreta el nombre de solucionsobtingudes.

Es verifica:

Hi ha dos plans que compleixen la condicióque estableix l'enunciat:

2x � 2y � z + 6 = 0 i 2x � 2y + z � 6 = 0

Evidentment, es tracta de dos plans paral·lels.

15. Quina és la distància entre el punt P(2, 0, �1)

i el pla que conté la recta = = iel punt (5, �1, 0)?

L'equació del pla p és:

16. Calcula la distància entre els parells de rec-tes següents:

a) r: (x, y, z) = (5, �1, 8) + ll(1, 0, 2)

Les coordenades d'un punt genèric P de larecta r són de la forma:

P(5 + l, �1, 8 + 2l)

I les d'un punt genèric P' de la recta s:

P'(2 + 3m, 2 � m, �1 + 4m).

' ( 3 3 ,3 , 9 4 2 )PP = - + m - l - m - + m - luuuur

2 3

: 2

1 4

x

s y

z

mm

m

== ++ììïï == --ííïï == -- ++îî

3 9310 5 18( , )3193 93

d P + -p = = =

2 8 5 18 0x y z® - - - =

3 8 16 8 2 2 0z y z x® - - - + - = ®

1 2

03 2 2

4 1 0

x y z- +

= ®-

2z

--2

2y ++1

3x --

1

2

62 6

634 4 1

DD DD

D

== = ® =

= -+ +

2 2 2 2 2 2

0 0 0( , )

A B C D Dd O

A B C A B C

× + × + × +p = =

+ + + +

2 2( 3) 2 5 7 5( , )

31 4 4d P

- - - × +p = =

+ +

2

326 10 32 65

2 2 2Pb h

A u××

= = =

26b QR= =uuur

90 3( , ) ( , ') 10

4 2Ph d P r d P P= = = =

1 3 1 5 7' 2 , 5 , 4 , , 2

2 2 2 2 2P æ ö æ ö= =+ - - × -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

1

2

3 4 0x y z® - - =

( )0,0,0: 3 4 0 0Px y z D Dp - - + = ¾¾¾¾® = ®

14 70

5 5= =

2

mín

11( ) ( ) 5 2 3

55d Pr d PQ æ ö= = × - × + =ç ÷

è ø

'( ) 0 5 1 0 1/ 5d PQ = ® l - = ® l =

2 2

10 2 5 1'( )

2 5 2 3 5 27 3d PQ

l - l -= =

l - l + l - +

25 2 3= l - l +

2 2 2( ) (2 1) 1 ( 1)d PQ = l - + + -l - =

(2 1,1, 1)PQ = l - -l -uuur

( )d PQ PQ=uuur


135

Per tant,

b) r: (x, y, z) = ll(2, �1, �1)

Procediment de la mateixa manera que enel cas de l'apartat anterior, s'obté:

17. Comprova que la recta:

r: (x, y, z) = (2, �3, 0) + ll(1, 0, �2)

és paral·lela al pla p: 2x + 5y + z � 3 = 0. Tro-ba després la distància entre la recta r i elpla p.

El vector director de la recta i el

vector associat al pla han de ser

perpendiculars. En efecte:

18. La distància entre els plans p1: 3x + 2y + 4z

� 12 = 0 i p2: 3x + 2y + 4z + D = 0 és 3. Cal-cula D i interpreta geomètricament el nom-bre de solucions obtingudes.

Considerem un punt qualsevol d'un dels dosplans, per exemple, el pla p1: P(0, 0, 3).

Donat un pla, hi ha dos plans paral·lels a aquesti, per tant, paral·lels entre ells que es troben auna distància determinada del pla inicial.

19. Calcula la distància entre els plans:

p1: 5x � 4y � 2z + 3 = 0 i

p2: (x, y, z) = (1, 0, �2) + ll(2, 1, 3) + mm(0, 1, � 2)

Analitza�n prèviament la posició relativa.

Els plans són paral·lels, ja que el vector asso-ciat a p1 és perpendicular a cadascun dels vec-tors directors de p2:

(5, �4, �2) · (2, 1, 3) = 0(5, �4, �2) · (0, 1, �2) = 0d(p1, p2) = d(p2, p1) =

20. Determina la posició relativa de la recta:

i el pla p: x � 2y + z + 2 = 0. Quina és ladistància entre r i p?

La solució del sistema:

és x = 2, y = 4, z = 4

això vol dir que la recta r i el pla p es tallen enel punt P(2, 4, 4). Aleshores:

d(r, p) = 0

21. Considera les rectes r: = =

i s: (x, y, z) = (0, �3, 4) + ll(�1, 2, 1).

Comprova que r i s s�encreuen. Troba l�equa-ció del pla que conté s i és paral·lel a r i cal-cula la distància entre la recta r i aquest pla.

Pla que conté s i és paral·lel a r :

p: �6x � z + 4 + 2y + 6 � 4z + 16 � 3y � 9 � x = 0p: �7x � y � 5z + 17 = 0 ® 7x + y + 5z � 17 = 0

22. Troba l�angle format per les rectes:

r: (x, y, z) = (2 � l, 1 + 2l, l) is: (x, y, z) = (1, 1, �2) + m(2, �3, �5)

El vector director de la recta r es i

el vector director de la recta s,

13cos 30,58

6 38u v

u v

×a = = ® a = °×

r r

r r

= - -(2, 3, 5)rv

= -( 1,2,1)ru

47 47 4721 1 10 17( , ) 31549 1 25 75 5 3

d r - + - -p = = = =+ +

3 4

: 01 2 1

2 1 3

x y z+ -

p =-

-

23

z ++--

11

y --32

x ++

3 10 0

2 4 0

2 2 0

x y

y z

x y z

- + =ìï

- - =íï - + + =î

3 10 0:

2 4 0

x yr

y z

-- ++ ==ììíí -- -- ==îî

12 4 455 4 31525 16 4 45

+ += = =+ +

1 212 3 29; 12 3 29D D= - + = - -

12 3 29 12 3 29D D® + = ± ® = - ±

212( , ) 3 3 2912

9 4 16Dd P D

+p = = ® = ®++ +

2 2 5( 3) 3 14 7 30( , )

154 25 1 30d r

× + - -p = = =

+ +

2 2 0u n× = - =r ur

= (2,5,1)rn

= -(1,0, 2)ru

66( , )

6d r s =

3 1:

4 2 2x y z

s-- ++

== ==-- --

( , ) ( , ') 3'd r s d P P PP= = =uuuur

' (2,2, 1)PP = -uuuur

11 5 21 2

26 11 48 1

m - l = l = -üý

m - l = m =þ

' 3 3 2( 9 4 2 ) 0

' 3( 3 3 ) (3 ) 4( 9 4 2 ) 0

r

s

PP v

PP v

ü^ ®- + m - l + - + m - l = ïý

^ ® - + m -l - -m + - + m - l = ïþ

uuuur uur

uuuur uur


136

23. Donat el pla p: 3x � y + 2z � 1 = 0 i la recta

calcula l�angle que formen.

Vector director de la recta:

Vector associat al pla:

24. Calcula l�angle format pels plans:

p1: 4x � 3y + z + 7 = 0 ip2: (x, y, z) = (1, 0, 0) + l(2, �1, 0) + m(1, 3, �2)

Expressem el pla p2 en la forma Ax + By + Cz ++ D = 0

Vector associat al pla p1:

Vector associat al pla p2:

25. Considera la mateixa recta i el mateix pla del�exercici 23.

a) Troba l�equació de la recta r�, projeccióortogonal de la recta r sobre el pla p.

Tingues en compte que la recta r� és laintersecció entre el pla p i un altre pla p�que conté r i és perpendicular a p.

Equació del pla p� que conté r i és perpendi-cular a p.

Recta r', intersecció entre els plans p i p':

b) Calcula l�angle format per les rectes r i r�i comprova que és el mateix que l�angle

format per la recta r i el pla p que hastrobat a l�exercici anterior.

Angle que formen les rectes r i r':

Vector director recta r ®vector director recta r' ®

26. Donats els vectors = (2, �4, 1) i = (1, 3, �2),calcula�n el producte vectorial i comprovaque el nou vector que has obtingut és per-pendicular al vector i al vector .

27. Calcula l�angle format pels vectors = = (�1, 3, 4) i = (2, 0, 1) a partir de:

a) del seu producte escalar;

b) del seu producte vectorial.

28. Determina tots els vectors de mòdul 4 que

són perpendiculars als vectors = (3, 0, �1)

i = (1, 1, 0). Interpreta el nombre de solu-cions obtingudes.

Vector unitari que té la mateixa direcció i sentit

que el vector 1

1 1 31, ,

11 11 11r u r

r

-æ ö® = × = ç ÷è ø

r uur rr

(1, 1,3)r® = -r

1 2 3

3 2 133 0 1

1 1 0

e e e

r p q e e e= ´ = = - + ®-

uur uur uur

r ur ur uur uur uur

qr

pr

126sin 79,90

26 5v w

v w

á = = ® a = °×

r ur

r ur

sinv w v w= a´r ur r ur

1 2 33 9 6e e e= + -uur uur uur

1 2 3

1 2 3 23 8 61 3 4

2 0 1

e e ev w e e e e´ = = + - + =-

uur uur uurr ur uur uur uur uur

2cos 79,90

26 5v w

v w

×a = = ® a = °r urr ur

wr

vr

( ) (5,5,10) (1,3, 2) 5 15 20 0vu v × = × - = + - =´rr r

( ) (5,5,10) (2, 4,1) 10 20 10 0uu v × = × - = - + =´rr r

1 2 3

1 2 35e 5e 10e2 4 1

1 3 2

e e eu v´ = = + +-

-

uur uur uurr r uur uur uur

vr

ur

vr

ur

285cos 10,08

21 3990u v

u v

×a = = ® a = °×

r r

r r

= - -( 37, 11,50)rv

= -(2,1, 4)ru

( ) ( )1 1' : , , , ,0 37, 11,50

2 2r x y z æ ö= + m - -ç ÷

è ø

3 2 1 0'

2 16 5 9 0

x y zr

x y z

- + - =ìí

+ + - =î

' : 2 16 5 9 0 2 16 5 9 0x y z x y zp - - - + = ® + + - =2 4 2 2 12 3 3 4 4 8 0x z y z y x® - - + - - + - - + =

2 1

' : 02 1 4

3 1 2

x y z- -

p = ®-

-

1 2

1 2

3cos 85,94

26 69

n n

n n

×a = = ® °

uur uur

uur uur

2(2,4,7)n =

uur1

(4, 3,1)n = -uur

2 4 7 2 0x y z® + + - =

2

1

: 0 2 2 6 4 02 1 0

1 3 2

x y z

x z z y

-

p = ® - + + + = ®-

-

3sin 10,08

21 14

u n

u n

×a = = ® a = °r ur

r ur

(3, 1,2)n = -r

= -(2,1, 4)ru

2 1:

2 1 4x y z

r-- --

== ==--


137

Vector unitari que té la mateixa direcció i sentit

contrari que el vector

Hi ha dos vectors que compleixen les condi-cions de l'enunciat de l'exercici:

Es tracta de dos vectors oposats i perpendicu-

lars al pla que determinen els vectors .

29. Quant ha de mesurar l�angle que formendos vectors per tal que el mòdul del seuproducte vectorial sigui màxim?

a = 90º. En aquest cas:

30. Donats els vectors = (2, 0, �1) i = (1, 1, �2),comprova que els vectors x i x tenenel mateix mòdul, la mateixa direcció i sen-tits contraris.

Es senzill veure que es tracta de dos vectorsoposats.

31. Considera el pla determinat pels punts P(1, 2, �1), Q(3, �2, 1) i R(0, 2, �3). Utilitza elproducte vectorial per determinar-ne el vec-tor associat i troba l�equació cartesiana d�a-quest pla.

Equació cartesiana del pla:

32. Donats els vectors = (1, 3, �2), = (�1, 0, 2)i = (2, �1, 3), comprova que es verifiquenles propietats del producte vectorial abansesmentades.

a) Anticommutativa

b) Distributiva respecte de la suma de vec-tors:

c) Producte per un nombre real:

33. Amb els mateixos vectors de l�exercici an-terior, esbrina si es verifica la igualtat:

x ( x ) = ( x ) x

No es verifica, ja que:

En canvi, .

34. Utilitza l�expressió en forma de determinantdel producte vectorial per demostrar que si

i són linealment dependents, x = .

Suposem que .

35. Raona la validesa de l�afirmació següent:

Si i són dos vectors linealment inde-pendents, els vectors { , , x } formenuna base de V3.

L'afirmació és correcta, perquè en ser i dos vectors linealment independents, el vector

x és perpendicular al pla que generanaquests dos vectors.Per tant, els vectors , i x també són li-nealment independents, i, en conseqüència,formen una base de V3.

36. Calcula l�àrea del paral·lelogram que es potobtenir a partir dels vectors = (1, 4, �3) i == (3, �2, 4).

1 2 3

1 4 3

3 2 4

e e e

v w´ = =-

-

uur uur uur

r ur

A v w= ´r ur

rwu

r

vrr

uvrr

u

vrr

u

vrr

u

vr

ur

vr

ur

vr

ur

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e e

o ov v v

v v v

= l = l × =

uur uur uur

r r

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e e

u v v v v v v

v v v

´ = l ´ = =l l l

uur uur uur

r r r r

u v= lr r

0r

vr

ur

vr

ur

( ) (3, 12, 6)wu v ´ = - -úrr r

( ) (17, 5,1)u v w´ = -´r r ur

wr

vr

ur

wr

vr

ur

( ) (6 ,0,3 )u v u vu vl = l ´ = ´ l = l l´r r r rr r

( ) (13, 7, 4)u u v u wv w´ = ´ + ´ = - -+r r r r urr ur

( ) (6,0,3)u v v u´ = - =´r r r r

wr

vr

ur

8 4 2 8 0D x y z® = - ® + - - =

(1,2, 1)4 2 0 4 2 2 0Px y z D D-+ - + = ¾¾¾¾® + + + = ®

( 1,0, 2)v PR= = - -r uuur

(2, 4,2) (1, 2,1)u PQ= = - ® -r uuur

1 2 3

1 2 34 2 (4,1, 2)1 2 1

1 0 2

e e en e e e n= = + - ® = --

- -

uur uur uurur uur uur uur ur

( 1, 3, 2)v u´ = - - -r r

(1,3,2)u v´ =r r

ur

vr

vr

ur

vr

ur

sin90v w v w v w= ° =´r ur r ur r ur

i p qur ur

2 2

4 4 12, ,4

11 11 11w u

- -æ ö= - = ç ÷è ø

uur uur

1 1

4 4 12, ,4

11 11 11w u

-æ ö= = ç ÷è ø

uur uur

1 1 3, ,

11 11 11

-æ ö-= ç ÷è ø

2

1r u r

r® = - × =

r uur rr


138

37. Els punts A(0, 1, 0), B(2, �1, �3) i C(�1, 3, 2)són tres vèrtexs consecutius d�un paral·le-logram. Es demana:

a) Les coordenades del quart vèrtex D.

Anomenem D(x, y, z)

2 = �1 � x ® x = �3

�2 = 3 � y ® y = 5

�3 = 2 � z ® z = 5

Les coordenades del quart vèrtex són

D(�3, 5, 5)

b) L�àrea del paral·lelogram.

c) La distància entre la recta r que contéels punts A i B, i la recta r� que conté elspunts C i D.

La distància d(r, r') coincideix amb l'alturadel paral·lelogram ABCD. Si prenem com abase d'aquest paral·lelogram el costat DC,es compleix:

A = base · altura ® A =

38. Calcula, fent ús del producte vectorial, ladistància entre el punt P(1, 0, �2) i la rectaque conté el punt Q(2, �1, 3) i és paral·lela ala recta:

(x � 1, y, z + 2) = l(1, 0, �3)

39. Calcula, fent ús del producte vectorial, ladistància entre el punt P(2, 0, �1) i la recta rdeterminada pels plans x + y � z + 3 = 0 i x �y � 3z � 5 = 0.

Equació de la recta r:

z = t, x = 2t + 1, y = �t � 4r: (x, y, z) = (1, �4, 0) + t(2, �1, 1)

40. Determina la mesura de les tres altures deltriangle que té com a vèrtexs els punts O(0, 0, 0), P(1, 2, 3) i Q(�2, 1, �1).

Altura relativa al vèrtex 0: distància entre elpunt 0 i la recta que passa pels punts P i Q.

Seguint el mateix procediment, s'obté:

Altura relativa al vértex

Altura relativa al vèrtex 5 42

14QQ h® =

5 2

2PP h® =

75 5 3 5 78

2626 26O

PQ POh

PQ

´= = = =uuur uuur

uuur

1 2 3 3 2 1 1 2 33 4 6 9 8 5 5 5e e e e e e e e e= + + - - - = - - +uur uur uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

3 1 4

1 2 3

e e ePQ PO´ = =- - -

- - -

uur uur uuruuur uuur

99 33 66( , )

26 2

u QPd P r

u

´= = = =r uuur

r

1 3 2 3 2 1 1 2 38 2 4 3 3 9e e e e e e e e e= + + + + - = - - +uur uur uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 1 1

1 4 1

e e e

u QP´ = =-

-

uur uur uur

r uuur

3 0

3 5 0

x y z

x y z

+ - + =ìí

- - - =î

74 37 185( , )

510 5

u QPd P r

u

´= = = =r uuur

r

(3,8,1) 74u QP u QP´ = ® =´r uuur r uuur

3 2 2 1 1 2 33 5 3 3 8e e e e e e e= + + + = + +uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

1 0 3

1 1 5

e e eu QP´ = =-

- -

uur uur uurr uuur

( 1,1, 5)QP = - -uuur

(1,0, 3)u = -r

3 3 17( , ')

1717

Ad r r

DC= = =uuur

( , ')d r rDC ×uuur

29 3A uAB AD= = =úuur uuur

(2, 1,2)AB AD´ = -uuur uuur

1 22 2e e e= - +

uur uur uur1 3 2 3 2 110 8 9 6 10 12e e e e e e= - + + - - + =

uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 2 3

3 4 5

e e eAB AD´ = =- -

-


( 3,4,5)AD = -uuur

; (2, 2, 3)A ABAB AD= = - -úuuruuur uuur

(2, 2, 3) ( 1 , 3 , 2 )AB DC x y z= ® - - = - - - -uuur uuur

2(10, 13, 14) 465v w A u´ = - - ® =r ur

1 2 310 13 14e e e= - -uur uur uur

1 3 2 3 2 116 2 9 12 4 6e e e e e e= - - - - - =uur uur uur uur uur uur


139

41. Els punts R(3, �4, 2), S(1, 0, �1) i T(0, �2, 3),estan alineats? Si la resposta és no, trobal�àrea del triangle que determinen.

No, ja que .

42. Utilitza el producte vectorial per trobar unvector associat al pla que conté els puntsM(1, �2, 1), N(3, 1, �1) i P(7, 7, �5). Interpretael resultat que obtinguis.

S'observa que , o també,

Per tant, . És així perquè elstres punts M, N i P estan alineats, i, en conse-qüència, no determinen cap pla.

43. Donats els vectors = (2, �4, 1), = (1, 3, �1)

i = (0, 2, �3), calcula:

a) � ( x )

b) � ( x )

c) � ( x )

d) 3 � (2 x )

44. Els vectors , i verifiquen = 2 � .Pots calcular-ne el producte mixt sense es-pecificar-ne l�ordre? Si la resposta és afir-

mativa, quant val? Justifica cadascuna deles respostes.El producte mixt dels tres vectors , i ésigual a zero, ja que es tracta de tres vectorsque són linealment dependents. En calcular eldeterminant, una fila seria combinació de lesaltres dues.

45. Se sap que el producte mixt de tres vectorsés diferent de zero. Què pots afirmar res-pecte d�aquests vectors?

Que són linealment independents.

46. Esbrina, utilitzant el producte mixt, si elspunts P(1, 2, �1), Q(3, 2, 1), R(0, 1, 3) i S(�3, 1, 0) són coplanaris.

Són coplanaris, ja que per exemple,

,

i això vol dir que es tracta de tres vectors quesón linealment dependents.

47. Utilitza el producte mixt per calcular el valorde t que fa que els vectors = (1, �1, 3), == (2, 3, �4) i = (t, 2, �1) siguin linealmentdependents. Expressa després el vector en combinació lineal dels vectors i .

�3 + 12 + 4t � 9t � 2 + 8 = 0 ® �5t + 15 = 0 ®® t = 3

(3, 2, �1) = l1 (1, �1, 3) + l2 (2, 3, �4)

La solució del sistema és l1 = l2 = 1

Aleshores:

48. Calcula l�àrea total i el volum de la piràmideque té com a vèrtexs els punts P(2, 3, 1),Q(4, 1, �2), R(2, 3, 5) i S(�2, �1, 3).

L'àrea total de la piràmide és la suma de lesàrees dels triangles que en determinen les ca-res

At = APQR + APQS + APRS + AQRS

1 2 3

1 28 82 2 3

0 0 4

e e ePQ PR e e´ = = - - ®- -

uur uur uuruuur uuur uur uur

(2, 2, 3); (0,0,4)PQ PR= - - =uuur uuur

u v w= +r r ur

1 2

1 2

1 2

3 2

2 3

1 3 4

= l + lìï = -l + líï- = l - lî

1 1 3

0 02 3 4, ,

2 1

v w u

t

-

= ® =é ù -ë û-

r ur r

wr

vr

ur

ur

wr

vr

0, ,PQ PR PS =é ùë ûuuur uuur uuur

wr

vrr

u

wr

vr

ur

wr

vr

ur

( )3 1442p q r× = -úr ur r

rr

rq

rp

( ) 24r p q× = -´r ur ur

rq

rp

rr

( ) 24p r q× =úr r ur

rq

rr

rp

( ) 24p q r× = -úr ur r

rr

rq

rp

rr

rq

rp

n MN MP o= ´ =ur uuuur uuuur r

3MP MN=uuuur uuuur

1

3MN MP=uuuur uuuur

(6,9, 6)MP = -uuuur

(2,3, 2)MN = -uuuur

21 285

2 2A uRS RT= =´

uuur uuur

(10,11,8) 285RS RT RS RT´ = ® =úuur uuur uuur uuur

1 2 310 11 8e e e= + +uur uur uur

1 3 2 3 2 14 4 9 12 2 6e e e e e e= - + + + + =uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 4 3

3 2 1

e e e

RS RT´ = =- -

-


1

2A RS RT= ´

uuur uuurRS ST¹ l ×uuur uuur


140

El volum de la piràmide és:

49. Troba el volum del paral·lelepípede format apartir dels vectors:

= (4, �3, 5), = (1, 0, �3) i = (�3, 5, �1)

50. a) Determina les coordenades dels vèrtexsde la piràmide limitada pels eixos de co-ordenades i el pla d�equació:

3x + 4y + 2z � 12 = 0

x = y = 0 ® z = 6

3x + 4y + 2z � 12 = 0 y = z = 0 ® x = 4

x = z = 0 ® y = 3

Els vèrtexs de la piràmide són:

O(0, 0, 0) P(4, 0, 0) Q(0, 3, 0) i R(0, 0, 6)

b) Calcula�n el volum.

51. Considera les rectes següents:

r: (x, y, z) = (5, �1, 8) + l(1, 0, 2)

a) Comprova que s�encreuen.

S'encreuen, ja que no tenen cap punt encomú i no són paral·leles.

b) Calcula de tres maneres diferents la dis-tància que les separa.

Nota: L'apartat b) d'aquest exercici noméss'ha resolt mitjançant el procediment indicaten l'apartat.

, , 9( , ) 3

3

PQ u vd r s

u v

é ùë û= = =´

uuur r r

r r

(2, 2,1) 3u v u v´ = - ® =´r r r r

3 2 2 1 2 36 4 2 2e e e e e e= - + - + - +uur uur uur uur uur uur

1 2 3

1 0 2

3 1 4

e e e

u v´ = =

-

uur uur uurr r

3 3 9

9 18 12 6 91 0 2, ,

3 1 4

PQ u v

- -

= = + - - =é ùë û-

uuur r r

(5, 1,8); (2,2, 1) ( 3,3, 9)P Q PQ- - ® = - -uuur

2 2 1:

3 1 4x y z

s-- -- ++

== ==--

31 172 12, ,

6 6V uOP OQ OR= = × =é ùë û

uuur uuur uuur

4 0 0

720 3 0, ,

0 0 6

OP OQ OR = =é ùë ûuuur uuur uuur

355, ,V uu v w= =é ùë ûr r ur

4 3 5

25 27 3 60 551 0 3, ,

3 5 1

u v w

-

= = - - + =é ù -ë û- -

r r ur

wr

vr

ur

31 1 3264, ,

6 6 3V uPQ PR PS= = × =é ùë û

uuur uuur uuur

250,5tA u;

224 12 2 4 29 u= + +

24 2 24 8 2 4 29tA u= + + + =

21 18 29 4 29

2 2QRSA uQR QS= = × =úuur uuur

8 29QR QS =úuur uuur

(24, 32,16)QR QS´ = -uuur uuur

1 3 2 3 2 110 4 42 12 10 14e e e e e e= + - + + +uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 2 7

6 2 5

e e e

QR QS´ = =-

- -


( 2,2,7); ( 6, 2,5)QR QS= - = - -uuur uuur

21 116 2 8 2

2 2PRSA uPR PS= = × =úuur uuur

16 2PR PS =úuur uuur

( 16, 16,0)PR PS® ´ = - -uuur uuur

1 2 3

2 116 160 0 4

4 4 2

e e e

PR PS e e´ = = - ®

- -

uur uur uur

uuur uuur uur uur

(0,0,4); ( 4, 4,2)PR PS= = - -uuur uuur

21 124 12

2 2PQSA uPQ PS= = × =úuur uuur

24PQ PS =úuur uuur

1 2 316 8 16e e e= - + -uur uur uur

1 3 2 3 2 14 8 12 8 4 12e e e e e e= - - + - - - =uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 2 3

4 4 2

e e ePQ PS´ = =- -

- -


(2, 2, 3); ( 4, 4,2)PQ PS= - - = - -uuur uuur

214 2

2PQRA uPQ PR= =úuur uuur

8 2PQ PR =úuur uuur

( 8, 8,0)PQ PR® ´ = - -uuur uuur


141

52. Comprova que els punts A(1, 0, 0), B(2, 5, 3),C(�2, �4, 7) i D(�1, �2, �5) no són coplana-ris. Calcula el volum de la piràmide que de-fineixen i troba la distància entre les ares-tes AB i CD.

No són coplanaris, ja que .

Equació de la recta que conté l'aresta AB:

r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + l(1, 5, 3)

Equació de la recta que conté l'aresta CD:

r': (x, y, z) = (�1, �2, �5) + m(1, 2, �12)

Les rectes r i r' s'encreuen. Per qualsevol delsprocediments analitzats en aquesta unitat s'obté:

53. Determina la posició relativa de les rectes:

Si les rectes r i s s�encreuen, utilitza el pro-ducte mixt per calcular la distància que lessepara.

Les rectes r i s s'encreuen.

54. Calcula l�àrea total i el volum del paral·lele-pípede que es pot obtenir a partir dels vec-tors = (2, �1, 0), = (1, 2, �3) i x . Dequin tipus de paral·lelepípede es tracta?

Anomenem

Es compleix que . per tant, els vectors

verifiquen:

a) Són perpendiculars dos a dosb) Tenen el mòdul diferent

En conseqüència, el paral·lelepípede és unortòedre.

55. Els punts O(0, 0, 0), P(2, 3, �1) i Q(1, �2, 3)són tres vèrtexs d�una piràmide. Quina és lacondició analítica que han de verificar lescoordenades (x, y, z) del quart vèrtex Rper tal que el volum d�aquesta piràmide si-gui 14 u3? Fes-ne la interpretació geomètri-ca.

7x � 7y � 7z = 84 ® x � y � z � 12 = 0

7x � 7y � 7z = �84 ® x � y � z + 12 = 0

Es tracta de dos plans que són paral·lels entresi i paral·lels al pla determinat pels punts O, P iQ. La distància entre cadascun d'aquestsplans i el pla definit pels punts O, P i Q és pre-cisament l'altura de la piràmide corresponent.

114 847 7 7 7 7 7

6x y z x y z= ® =- - - -

4 9 2 3 6 7 7 7z y x x z y x y z= - - + - - - = - -

2 3 1

1 2 3, ,OP OQ OR

x y z

-

= =é ù -ë ûuuur uuur uuur

(2,3, 1) (1, 2,3) ( , , )OP OQ OR x y z= - = - =uuur uuur uuur

31; 14, ,

6V V uOP OQ OR= =é ùë û

uuur uuur uuur

35 14 70 70V u= × × =

( ) 2 22 70 116,81 5 14 tu A u= ®+ + ;

( )2 5 14 5 70 14 70tA = =× + × + ×

5; 14; 70u v w= = =r r ur

, i wr r uuru v

0u v× =r r

(3,6,5)w u v= ´ =ur r r

(3,6,5)u v´ =r r

1 3 3 2 1 2 33 4 6 3 6 5e e e e e e e= + + + = + +uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 1 0

1 2 3

e e e

u v´ = =-

-

uur uur uur

r r

vr

ur

vr

ur

33 33 2( , )

105 2d r s = =

( 4,3, 5) 5 2u v u v´ = - - ® =´r r r r

1 3 2 3 2 1 1 2 36 2 3 4 3 5e e e e e e e e e= - - + + + - = - + -uur uur uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 1 1

1 3 1

e e e

u v´ = =- -

uur uur uur

r r

1 3 4

1 24 3 4 6 3 332 1 1, ,

1 3 1

PQ u v

-

= = - - - + - - = -é ù - -ë ûuuur r r

, ,( , )

PQ u vd r s

u v

é ùë û=´

uuur r r

r r

(1, 3,4); ( 2, 1,1); (1,3,1)PQ u v= - = - - =uuur r r

2i : 1

3y

s x z++

== == --

1 1: 3

2 1x y

r z++ --

== == ++-- --

13 510( , ')

170d r r =

31 1 39117, ,

6 6 2V uAB AC AD= = × =é ùë û

uuur uuur uuur20 18 70 24 75 14 117= + - - - + = -

1 5 3

3 4 7, ,

2 2 5

AB AC AD = =é ù - -ë û- - -

uuur uuur uuur

(1,5,3); ( 3, 4,7); ( 2, 2, 5)AB AC AD= = - - = - - -uuur uuur uuur

0, ,AB AC AD ¹é ùë ûuuur uuur uuur


142

Acabem

1. Troba la distància del punt (3, 4, 5) a la rectad�equació

amb

2. Es demana l�equació del pla que conté l�eixOX i dista 6 unitats del punt P(0, 10, 0).

Equació general del pla: Ax + By + Cz + D = 0.

El pla conté l�eix OX ® un dels punts del pla ésl�origen de coordenades ® D = 0.

Vector associat al pla és normal al

vector , un dels vectors directors delpla.

Per tant, el pla que hem de trobar és de la for-ma By + Cz = 0.

Com que el punt P(0, 10, 0) dista 6 unitats d�a-quest pla, es compleix:

Hi ha dos plans que verifiquen les condicionsestablertes a l�enunciat d�aquest exercici:

p1: 3y + 4z = 0 i p2: �3y + 4z = 0

3. Determina un punt de la recta:

r: (x, y, z) = (1, �1, �2) + l(2, 3, 2)

que equidisti dels plans:

3x + 4y � 1 = 0 i 4x � 3y � 1 = 0

És única la solució?

Interpreta geomètricament el resultat quehas obtingut.

Les coordenades d�un punt genèric P de larecta r són:

P(x, y, z) ® P(1 + 2l, �1 + 3l, �2 + 2l)

S�ha de verificar:

d(P, p1) = (P, p2)

Si

Si

Hi ha dos punt solució. Els plans p1 y p2 sónperpendiculars i la recta r té un punt d�intersec-ció amb cadascun d�ells.

4. Considera el punt P(1, 1, 3) i la recta:

r: (x, y, z) = (l, 2 + l, 2l)

Troba:

a) L�equació del pla perpendicular a la rec-ta r que conté el punt P.

L�equació general d�un pla perpendicular ala recta r és x + y + 2z + D = 0. Com queaquest pla ha de contenir el punt P(1,1,3),es compleix:

1 + 1 + 6 + D = 0 ® D = �8 ®® x + y + 2z � 8 = 0

b) El punt intersecció d�aquest pla amb larecta r.

x = l; y = 2 + l; z = 2l; x + y + 2z � 8 = 0

2

4 9 29 42, ,

17 17 17 17P

- - -æ öl = ® ç ÷è ø

1

8 35 5 22, ,

19 19 19 19P -æ öl = ® ç ÷

è ø

818 2 6

1918 2 6

418 2 6

17

l - = -l + ® l ==l - -l +

-l - = l - ® l =

4(1 2 ) 3( 1 3 ) 1

5

+ l - - + l -=

3(1 2 ) 4( 1 3 ) 1

5

+ l + - + l -=

( )2 2 23

100 364

B B CB C® = ® = ±+

2 2

2 2

10 6 10 6B B B CB C

× = ® = ± + ®+

× = ® =0 0r rn u A

= (1,0,0)ru

= ( , , )rn A B C

876( , ) 146

6d P r = =

6u =r

(26, 14, 2) 876u QP u QP´ = - - ® =´r uuur r uuur

1 2 326 14 2e e e= - -uur uur uur

1 3 2 3 2 120 6 4 8 10 6e e e e e e= + - - - + =uur uur uur uur uur uur

1 2 3

1 2 1

4 6 10

e e e

u QP´ = =-

uur uur uur

r uuur

(4,6,10)QP =uuur

(1,2, 1); ( 1, 2, 5); (3,4,5)u Q P= - = - - - =r

( , ) u QPd P ru

´=

r uuur

r

1 2 51 2 1

x y z++ ++ ++== ==

--


143

El compliment simultani de les quatre equa-cions ens duu a una altra equació que enspermet trobar el valor del paràmetre l quecorrespon al punt d�intersecció entre la rec-ta i el pla:

l + 2 + l + 4l � 8 = 0 ® l = 1l = 1 ® x = 1, y = 3, z = 2

El punt és P'(1, 3, 2).

c) La distància del punt P a la recta r.

5. Donades les rectes:

r: x = y = zi s: (x, y, z) = (1, 1, �1) + l(2, �1, 1)

es demana:

a) L�equació de la recta perpendicular a r ia s.

Un punt P genèric de la recta r és P(m, m, m)i un punt P' genèric de la recta s,

P'(1 + 2l, 1 � l, �1 + l).

El vector

ha de ser perpendicular al vector i

al vector .

Per tant: .

Les dues igualtats anteriors ens condueixenal sistema:

la solució del qual és .

Per tant, tenim que:

La recta perpendicular a les rectes r i s ésla recta que conté els punt P i P'. Té perequació:

b) La distància entre les rectes r i s.

6. Determina els vectors de mòdul 2 que sónalhora perpendiculars als vectors (2, �2, 3) i(3, �3, 2).

Si representem per un d�aquestsvectors, s�ha de complir alhora:

(v1, v2, v3) · (2, �2, 3) = 0 ® 2v1 � 2v2 + 3v3 = 0

(v1, v2, v3) · (3, �3, 2) = 0 ® 3v1 � 3v2 + 2v3 = 0

La solució del sistema format per aquestes tres

equacions és:

Hi ha dos vectors que verifiquen les condicionsde l�enunciat de l�exercici:

7. Calcula l�angle que formen les rectes:

i s: (x, y, z) = (1, 2, �3) + l(�3, �4, 5)

El vector director de la recta r és i el

de la recta s, .

Els dos vectos són perpendicular ® a = 90º

8. Calcula l�àrea del triangle que té com a vèr-texs els punts O(0, 0, 0), P(1, 1, 0) i Q puntintersecció de la recta (x, y, z) = (�1 + 2l, �1 ++ 3l, �2 + l) amb el pla XY.

Q: punt intersecció de la recta (x, y, z) == (�1 + 2l, �1 + 3l, �2 + l) amb el pla z = 0.�2 + l = 0 ® l = 2 ® Q(3, 5, 0)

, amb

212 1

2A u= × =

(0,0,2) 2OP OQ OP OQ´ = ® =úuur uuur uuur uuur

1 2 3

3 3 35 3 21 1 0

3 5 0

e e eOP OQ e e e´ = = - =

uur uur uuruuur uuur uur uur uur

(1,1,0) i (3,5,0)OP OQ= =uuur uuur1

2A OP OQ= ´

uuur uuur

× = - - + =9 16 25 0r ru v

= - -( 3, 4,5)rv

= (3,4,5)ru

1 1 1:

3 4 5x y z

r-- ++ ++

== ==

( ) ( )1 2 i v2, 2,0 2, 2,0v = = - -r r

3 1 20, 2v v v= = = ±

2 2 21 2 32 4v v vv = ® + + =r

1 2 3( , , )v v v v=r

126 3 14( , ) ( ') ' 7 7

d r s d PP PP= = = =uuuur

3 3 3( , , ) (2,1, 3), ,

7 7 7x y z æ ö= + l -ç ÷

è ø

3 3 3 9 6 6 6 3 9; ' ; PP', , , , , ,

7 7 7 7 7 7 7 7 7P P

- -æ ö æ ö æ ö=ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

uuur

1 3,

7 7l = m =

2 3 1

3 0

l - m = -ìí

l - m =î

' 0 i ' 0PP u PP v× = × =uuuur uuuurr r

(2, 1,1)v = -r

(1,1,1)u =r

' (1 2 ,1 , 1 )PP = + l - m - l - m - + l - muuuur

( , ) ( , ') 5'd P r d P P PP= = =uuuur


144

9. Troba l�angle que formen les rectes:

r: x = y = z

Vector director recta r :

Vector director recta s:

Com que , les dues rectes són perpen-diculars ® a = 90º.

10. Troba els vèrtexs de la piràmide triangularque determinen els plans

y = 0, z = 0, x � y = 0 i 3x + 2y + z � 15 = 0

i calcula�n el volum.

Vèrtex O

x = y = z = 0 ® O(0, 0, 0)

Vèrtex A

x = 5, y = z = 0 ® A(5, 0, 0)

Vèrtex B

x = y = 0, z = 15 ® B(0, 0, 15)

Vèrtex C

x = y = 3, z = 0 ® C(3, 3, 0)

El volum de la piràmide es calcula:

, on

11. Anomenem pla paral·lel mitjà a dos plansparal·lels aquell pla els punts del qual equi-

disten d�aquests dos plans. Determina l�e-quació del pla paral·lel mitjà als plans 2x ++ 2y + z � 4 = 0 i 2x + 2y + z + 10 = 0.

L�equació del pla que ens demanen ha de serdel tipus 2x + 2y + z + D = 0.Si P(x, y, z) és un punt d�aquest pla, s�ha decomplir la igualtat:

d(P, p1) = d(P, p2)

2x + 2y + z � 4 = �2x � 2y � z � 104x + 4y + 2z + 6 = 0 ® 2x + 2y + z + 3 = 0

12. Troba la condició analítica que verifiquentots els punts de R3 que disten 2 unitats delpla d�equació 3x + y � z = 0.

Representem per P(x, y, z) un d�aquests punts.

Són punts que pertanyen a dos plans paral·lelsal pla que ens donen i que es trobem a distàn-cia 2 (equidisten) d�aquest pla, que és el plaparal·lel mitjà dels altres dos.

13. Determina l�angle format per:

a) La recta x = y = i el pla y = 0.

b) Els plans 3x � 5 = 0 i 2x � y + z + 2 = 0.

14. Calcula la distància del punt P(3, �5, 6):

a) A l�origen de coordenades.

b) A cadascun dels plans XY, XZ i YZ.

pla XY: 6pla XZ: 5pla YZ: 3

( , ) 70d O P OP= =uuur

= = -

×a = = = ® a = °

1 2

1 2

1 2

(3,0,0); (2, 1,1)

6 6cos 35,3

33 6

r r

r r

r r

n n

n n

n n

==

×a = = ® a = °

(1,1,2)

(0,1,0)

1sin 24,1

6

r

r

rrr r

u

n

u n

u n

2z

3 2 11 032

11 3 2 11 0

x y zx y z

x y z

+ - - =+ -=

+ - + =

2 2 4 2 2 10x y z x y z=+ + - + + +

2 2 4 2 2 10

3 3

x y z x y z+ + - + + +=

31 75225 37,5

6 2V u= × = =

5 0 0

2250 0 15, ,

3 3 0

u v w = =é ùë ûr r ur

(5,0,0)

(0,0,15)

(3,3,0)

u OA

v OB

w OC

= =

= =

= =

r uuur

r uuur

ur uuur

1, ,

6V u v w= é ùë û

r r ur

0

0

3 2 15 0

z

x y

x y z

=ìï

- =íï + + - =î

0

0

3 2 15 0

y

x y

x y z

=ìï

- =íï + + - =î

0

0

3 2 15 0

y

z

x y z

=ìï

=íï + + - =î

0

0

0

y

z

x y

=ìï

=íï - =î

0u v× =r r

( 1,0,1)v = -r

(1,1,1)u =r

+ =ì® = + m -í

=î

1: ( , , ) (1,0,0) ( 1,0,1)

0

x zs s x y z

y

1i :

0

x zs

y

++ ==ììíí ==îî


145

c) A cadascun dels tres eixos de coordena-des.

eix

eix

eix

15. a) Calcula l�àrea total i el volum del paral·le-

lepípede generat pels vectors i

de la figura 12.36.

V = 3 · 5 · 4 = 60 u3

Nota: cal observar que l�àrea i el volum d�a-quest ortòedre es poden determinar de ma-nera molt senzilla, ja que se�n coneixen lestres dimensions.

b) Determina l�angle que formen les rectesOT i QS.

les rectes OTi SQ són perpendiculars ® a = 90º.

16. Determina l�equació dels plans de vectorassociat = (1, 2, �3) i que disten 3 unitatsde l�origen de coordenades.

Els plans de vector associat són dela forma x + 2y � 3z + D = 0.

La distància de l�origen de coordenades a und�aquest plans és 3. Aleshores:

Hi ha dos plans solució:

i

17. Calcula l�àrea total i el volum de la piràmidelimitada pels plans x = 0, y = 0, z = 0 i 2x ++ 3y + 4z � 12 = 0.

Els vèrtexs de la piràmide són els punts:

O(0, 0, 0) A(6, 0, 0) B(0, 4, 0) i C(0, 0, 3)

Àrea de la piràmide:

Volum de la piràmide:

18. Esbrina la longitud del segment projeccióortogonal del segment que té com a ex-trems els punts A(2, 4, 1) i B(1, �2, 5) sobreel pla 2x + y � z = 0.

Si representem per l la longitud del segment,es compleix:

on a és l�angle que forma la recta que contéels punts A i B amb el pla 2x + y � z = 0.

, amb i (2,1, 1)n = -ur

( 1, 6,4)AB = - -uuur

sin AB n

AB n

×a =×

uuur ur

uuur ur

cosl AB= × auuur

3172 12

6V u= × =

6 0 0

720 4 0, ,

0 0 3

OA OB OC = =é ùë ûuuur uuur uuur

1, ,

6V OA OB OC= é ùë û

uuur uuur uuur

26 2927 27 3 29

2A u= + = +

1044 6 29AB AC = =úuur uuur

1 3 212 24 18 (12,18,24)e e e= + + ®uur uur uur

1 2 3

6 4 0

6 0 3

e e e

AB AC´ = =-

-

uur uur uur

uuur uuur

( 6,4,0); ( 6,0,3)AB AC= - = -uuur uuur

272

AB AC´= +uuur uuur

6 3 6 4 4 3 1

2 2 2 2A AB AC

× × ×= + + + =´

uuur uuur

2 3 3 14 0x y z+ - - =2 3 3 14 0x y z+ - + =

3 143

14 3 14

DD

D

==

= -

(1,2, 3)n = -ur

nr

9 25 16 0OT SQ× = - + - = ®uuur uuur

( 3,5, 4)SQ = - -uuur

(3,5,4)OT =uuur

, ,V OP OQ OR= é ùë ûuuur uuur uuur

22 12 2 15 2 20 94A u= × + × + × =

2 2 2A OP OQ OQ OROP OR= + +´ ´úuur uuur uuur uuuruuur uuur

ORuuur

, OP OQuuur uuur

2 23: 34OZ d x y= + =

2 22: 45 3 5OY d x z= + = =

2 21: 61OX d y z= + =


146

19. Quina és la condició que han de verificarels vectors associats a dos plans que sónperpendiculars? Expressa-la analíticamentutilitzant els seus components.

Els vectors associats també han de ser per-pendiculars:

pla p1: Ax + By + Cz + D = 0 ®

pla p2: A'x + B'y + C'z + D' = 0 ®

20. Troba l�equació de la recta projecció orto-gonal de la recta (x, y, z) = (1, �2, �4) + + l(3, 2, �1) sobre el pla 3x � 2y + z � 2 = 0.

Determinem l�equació del pla que conté la rec-ta (x, y, z) = (1, �2, �4) + l(3, 2, �1) i és per-pendicular al pla 3x � 2y � z � 2 = 0.

D�aquest pla, en coneixem el punt (1, �2, �4) idos vectors directors: (3, 2, �1) i (3, �2, 1)

La recta que ens demanen és la recta intersec-ció dels plans 3x � 2y + z � 2 = 0 i

y + 2z + 10 = 0.

21. Donats els vectors = (3, �2, 4) i = (1, 4, �2),troba:

a) El seu producte vectorial.

b) Un vector unitari perpendicular als dosvectors.

Hi ha dos vectors unitaris que compleixenaquesta condició:

� El que té la mateixa direcció i el mateix

sentit que el vector

� El que té la mateixa direcció que el vec-

tor , però el sentit contari

c) L�àrea del paral·lelogram que es pot di-buixar a partir de i .

d) El volum del paral·lelepípede que s�obtéa partir dels vectors , i x .

22. Calcula l�angle que formen dues de les dia-gonals d�un cub. Per més comoditat, situaun dels vèrtexs del cub a l�origen de coor-denades i considera�l d�aresta unitat.

Considerem la recta r que conté la diagonaldeterminada pels vèrtexs (0, 0, 0) i (1, 1, 1), i larecta s que conté la diagonal determinada pelsvèrtex (1, 0, 0) i (0, 1, 1).

Vector director de la recta

Vector director de la recta

L�angle a que formen les diagonals del cub ve-rifica:

23. Troba els punts de la recta que passa perA(�1, 0, 1) i B(1, 2, 3) que distin 3 unitats delpunt C(2, �1, 1). Interpreta geomètricamentel nombre de solucions obtingudes.

L�equació de la recta r que conté els punts A i Bés: (x, y, z) = (�1, 0, 1) + l(1, 1, 1) ® (x, y, z) == (�1 + l, l, 1 + l)

1cos 70,53

3u v

u v

×a = = ® a = °r r

r r

( 1,1,1)s v® = -r

(1,1,1)r u® =r

32 110 2 110 440V u= × =

vr

ur

vr

ur

22 110A uu v= =´r r

vr

ur

6 5 71, ,( 12,10,14)

110 110 1102 110

- -æ ö- - = ç ÷

è ø

u v´r r

6 5 71, ,( 12,10,14)

110 110 1102 110

-æ ö- = ç ÷

è ø

u v´r r

440 2 110u v = =´r r

( 12,10,14)u v´ = -r r

1 2 312 10 14e e e= - + +uur uur uur

1 2 3 3 2 14 4 12 2 6 16e e e e e e= + + + + - =uur uur uur uur uur uur

1 2 3

3 2 4

1 4 2

e e e

u v´ = =-

-

uur uur uur

r r

vr

ur

( 6, 10,0) ( 5, 6,3)= - - + m - -

3 2 2 0( , , )

2 10 0

x y zx y z

y z

- + - =ì® =í

+ + =î

1 2 4

0 2 10 03 2 1

3 2 1

x y z

y z

- + +

= ® + + =-

-

× = ® × + × + × =' 0 ' ' ' 0r rn n A A B B C C

=' ( ', ', ')rn A B C

= ( , , )rn A B C

× =' 0r rn n

29cos 53 29

53l AB= × a = × =

uuur

2 174 29cos 1 sin

318 53a = - a = =

12sin

53 6a =

×


147

La distància entre el punt C (2, �1, 1) i un puntP qualsevol de la recta r ve donada per l�ex-pressió:

Per tant, per a un punt P de r que es troba adistància 3 del punt C, es compleix:

Com que el punt C no pertany a r, hi ha dospunts que verifiquen la condició de l�enunciat:

l1 = 1 ® P1(0, 1, 2)

24. Determina la distància de la recta:

a cadascun dels eixos de coordenades.

La recta r es pot expressar en la forma:

r: (x, y, z) = (2, 2, 0) + l(1, �1, 1)

D�altra banda, l�eix OX té per equació:

(x, y, z) = m(1, 0, 0)

La distància entre la recta r i l�eix OX es potcalcular mitjançant l�expressió:

amb

Fent els càlculs, s�obté:

Amb el mateix procediment es calculen les al-tres dues distàncies que es demanen. S�obte-nen els resultats següents:

Distància entre la recta r i l�eix OY ®

Distància entre la recta r i l�eix OZ ®

25. Donat el triangle que té com a vèrtexs elspunts A(�3, 4, 0), B(3, 6, 3) i C(�1, 2, 1), tro-ba la mesura dels seus angles. Pertany l�o-rigen de coordenades al pla que contéaquest triangle?

Pel mateix procediment s�obté:

Equació del pla que conté els punts A, B i C

No hi pertany, ja que D ¹ 0.

26. Donades les rectes:

r: x � 1 = y + 2 = z � 3i s: (x, y, z) = (1 � l, 2l, 3 + 2l)

localitza dos punts, un de cada recta, talsque la distància entre ells sigui mínima.

Un punt P genèric de la recta r ès de la forma:

P(1 + l', �2 + l', 3 + l')

i un punt P' genèric de la recta s té per coorde-nades:

P'(1 � l, 2l, 3 + 2l)

Perquè es verifiquin les condicions de l�enun-ciat cal localitzar PÎr i P'Îs tals que el vector

sigui perpendicular a cadascun dels vec-tors directors de lesdues rectes.

Com que ,

El sistema:

té per solucions .

En conseqüència:

4 2 7' , ,

3 3 3P sæ ö Î-ç ÷

è ø

4 5 10, ,

3 3 3P r-æ ö Îç ÷

è ø

1 1 i '

3 3l = l = -

3 3 ' 2

3 9 ' 4

l - l =ìí

l - l =î

' 0 3 9 ' 4PP v× = ® l - l =uuuur r

' 0 3 3 ' 2PP u× = ® l - l =uuuur r

= -l - l - l + l - l + l' ( ', 2 2 ', 2 ')uuuurPP

= = -(1,1,1) i ( 1,2,2)r ru v

'PPuuuur

3 4

0 2 3 06 2 3

2 2 1

x y z

x z

+ -

= ® - + =

-

µ µ25,2 i 96,4B C= ° = °

µ µ11 11cos 58,4

2149 9

AB ACA A

ACAB

×= = = ® = °

×

uuur uuur

uuuruuur

(6,2,3); (2, 2,1)AB AC= = -uuur uuur

2 2

2

2 2 22

22d = = =

(0,1,1) 2u v u v´ = ® =´r r r r

2, ,PQ u v =é ùë ûuuur r r

(0,0,0), (2,2,0), (1, 1,1), (1,0,0)P Q u v= - =r r

, ,PQ u vd

u v

é ùë û=´

uuur r r

r r

4:

2 0

x yr

x y z

-- ==ììíí ++ -- ==îî

2 2

1 2 1 4, ,

3 3 3 3P æ öl = ® -ç ÷

è ø

12

2

13 4 1 0 1

3

l =® l - l + =

l =

( ) ( )2 2 2 33 1+ + l = ®l - l +

( ) ( )2 2 2( , ) 3 1d C P CP= = + + ll - l +uuur


148

27. Els punts A(1, 2, 3), B(2, 4, �1) i C(3, 2, 3)són tres vèrtexs consecutius d�un paral·le-logram. Calcula�n l�àrea i la mesura dels an-gles que formen les seves diagonals. Dequin tipus de paral·lelogram es tracta?

Representem per D(x, y, z) el quart vèrtex delparal·lelogram.

Es compleix:

1 = 3 � x ® x = 22 = 2 � y ® y = 0�4 = 3 � z ® z = 7

Per tant, D(2, 0, 7)Angle que formen les diagonals:

les diagonals són perpendicu-lars ® a = 90º

El paral·lelogram és un rombe, ja que:� té les diagonals perpendiculars� els costats no són perpendiculars

� els costats són iguals

28. Troba la distància del punt P(1, 2, �4) al pla

que conté la recta = y = i és

paral·lel a la recta s:

Equació vectorial de la recta s:

(x, y, z) = (�1, �1, 0) + m(4, 2, 1)

Equació general del pla p que ens demanen:

29. Determina l�angle que forma la recta:

r: x + 1= =

amb el pla p que conté el punt (2, 1, 1) i larecta s: x � 1 = y = z + 2.

Equació general del pla p:

Hem considerat com a vectors directors del plap el vector director de la recta s i el vector de-terminat pels punts (2, 1, 1) i (1, 0, �2), amb-dós pertanyents a p.

On és un vector director de la recta r

i , el vector associat a p.

30. Calcula la distància entre el punt P(1, 2, �1)i el punt P� simètric de P respecte del plaque conté el punt (4, 1, 0) i és paral·lel al plax � 3y + z � 5 = 0.

Equació del pla p que conté el punt (4, 1, 0) iés paral·lel al pla x � 3y + z � 5 = 0:

x � 3y + z � 1 = 0

Equació de la recta r que passa per P i és per-pendicular a p:

(x, y, z) = (1, 2, �1) + l(1, �3, 1)

(x, y, z) = (1 + l, 2 � 3l, �1 + l)

Punt intersecció Q entre la recta r i el pla p:

1 + l � 3 (2 � 3l) + (�1) + l � 1 = 0 ®

El punt Q és punt mitjà entre P i P'. Aleshores:

7 11 14 11( , ') 2 ( ) 2 2

11 11d P P d PQ PQ= = = × =

uuur

7 18 1 4, ,

11 11 11 11Q -æ ö® l = ® ç ÷

è ø

(4,1,0)3 0 4 3 0 1x y z D D D- + + = ¾¾¾® - + = ® = -

= -(1, 1,0)rn

= (1,3,2)ru

1 7sin 22,2

77u n

u n

×a = = = ® a = °r ur

r ur

2 1 1

0 1 01 1 1

1 1 3

x y z

x y

- - -

= ® - - =

12

z ++23

y --

68 68 2855 28 32 13( , )285285 285

d P - - -p = = =

1 1

0 5 14 8 13 02 1 3

4 2 1

x y z

x y z

- -

= ® - + - =-

2 1 0

2 1 0

x y

y z

-- -- ==ììíí -- ++ ==îî

13

z --1:

xr

z

----

( )BC CDAB DA= = =uuur uuuruuur uuur

( )0AB AD× ¹uuur uuur

0AC BD× = ®uuur uuur

(2,0,0); (0, 4,8)AC BD= = -uuur uuur

(1,2, 4) (3 ,2 ,3 )AB DC x y z= ® - = - - -uuur uuur

2 3

2

8 4 (0, 8, 4)

64 16 4 5

e e AB AC

A uAB AC

= - - ® ´ = - -

= = + =´

uur uur uuur uuur

uuur uuur

1 2 3

1 2 4

2 0 0

e e eAB AC´ = =-


(1,2, 4) (2,0,0)AB AC= - =uuur uuur


149

31. Calcula l�àrea del triangle els vèrtexs del qualsón els punts intersecció del pla 2x + y + 3z == 6 amb els eixos de coordenades. Escriul�equació de la recta que conté cadascundels costats d�aquest triangle.

Vèrtexs del triangle:

A(3, 0, 0) B(0, 6, 0) C(0, 0, 2)

Recta que conté el costat AB:

(x, y, z) = (3, 0, 0) + l1(�1, 2, 0)

Recta que conté el costat AC:

(x, y, z) = (3, 0, 0) + l2(�3, 0, 2)

Recta que conté el costat BC:

(x, y, z) = (0, 0, 2) + l3(0, �3, 1)

216 14 3 14

2A u= × =

(12,6,18) 504 6 14AB AC AB AC´ = ® = =úuur uuur uuur uuur

1 2 3

1 3 212 18 63 6 0

3 0 2

e e eAB AC e e e´ = = + +-

-

uur uur uuruuur uuur uur uur uur

( 3,6,0) ( 3,0,2)AB AC= - = -uuur uuur

1

2A AB AC= ´

uuur uuur


150

ISBN: 84-481-3899-6

cat_sol_4_12_1

Documents

hillinteramericana

la mateixa

del producte

de la forma

la condici

e1 e2 e3

ha dos plans

lorigen de