-
I
TEEKKR
Bata ahsm bu almaya ynlendiren ve yardmn esirgemeyen danman
hocam Prof. Dr. Aydn TURGUT a teekkr ederim. Ayrca aratrmamda bana
byk yardmlar olan Ar. Gr. M. Yavuz SOLMAZ a ve Ar. Gr. Ouz YAKUTa
teekkr ederim. Elinden gelen yardm gsteren CADEM A.. sat ve
pazarlama koordinatr Sayn Ltf GNLTA a teekkr bir bor bilirim.
Avni DLL
-
II
NDEKLER
TEEKKR I NDEKLER II EKLLER LSTES IV TABLOLAR LSTES VI SMGELER
LSTES VII ZET VIII ABSTRACT IX
1. GR 1
2. PLASTSTE VE KIRILMA HPOTEZLER 2.1 Genel dnceler 2 2.2 Krlma
ve akma kriterleri 3
2.3 Yap Elemanlarnn Yetersizlikleri 4
2.4. Krlma ve Akma Deerleri 4
2.5. eitli hipotezler 5 2.5.1 Gerilme hipotezleri 6 2.5.1.1. En
byk normal gerilme teorisi 6 2.5.1.2. En byk kayma gerilmesi
teorisi ( Tresca Kriteri) 8 2.5.1.3. Coulomb kayma gerilmesi
hipotezi 11 2.5.1.4. Mohr genel kayma gerilmesi teorisi 13 2.5.2.
ekil deitirme hipotezleri 15 2.5.2.1. En byk uzama veya ksalma
hipotezi 15 2.5.2.2. Genel ekil deitirme hipotezi 16 2.5.3 Enerji
hipotezleri 18 2.5.3.1. Toplam ekil Deitirme Enerjisi Teorisi
(Beltrami Enerjji Teorisi) 18 2.5.3.2. arplma enerjisi hipotezi
(Von-Mises Kriteri) 20 2.6 Anizotropik Malzemelerde Akma Teorileri
21 2.6.1. En Byk Gerilme Kriteri 22 2.6.2. En Byk ekil Deitirme
Kriteri 23 2.6.3. Tsai Hill Teorisi 24 2.6.4. Tsai- Wu Tensr Teori
27 2.7. Krlma ve Akma teorilerinin karlatrlmas 29
-
III
2.8. Anizotropik Malzemelerin Akmas veya Krlmas 31
2.9. Akma Yzeyi ( Haigh-Westergard Gerileme Uzay) 32
3. SONLU ELEMANLAR METODU 37
4. CATIA PROGRAMI HAKKINDA 39
5. ZOTROPK VE ORTOTROPK MALZEMENN GERLME ANALZ 42 5.1. Analiz
sonular 44 5.1.1 elik Malzeme iin Analiz Sonular 45 5.1.1.1. entik
merkezinin silindir merkezine uzaklnn (R) deiimine gre 45 5.1.1.2.
Dairesel entik yarapnn (r) deiimine gre 50 5.1.2. Ortotropik
Malzeme ile Yaplan Analiz Sonular 55 5.1.2.1. entik merkezinin
silindir merkezine uzaklnn (R) deiimine gre 55 5.1.2.2. entik
yarapnn (r) deiimine gre 60 5.1.3. Elde edilen analiz sonularnn
genel deerlendirilmesi 64
6.SONULAR 66
-
IV
EKLLER LSTES
ekil 2.1 Tek ve eksenli gerilme hali
ekil 2.2 Gerilme - ekil deitirme diyagram ekil 2.3 eksenli
gerilme ekil 2.4 ki eksenli gerilme
ekil 2.5 Basnca maruz tpte akmann meydana gelmesi ekil 2.6
Emniyet Katsays ekil 2.7 ve tek eksenli gerilme iin Mohr Dairesi
ekil 2.8 Akma snr
ekil 2.9 Tresca kriteri altgeni ekil 2.10 eksenli gerilme iin
Mohr dairesi ekil 2.11 boyutlu uzayda tresca kriteri ekil 2.12 Mohr
dairesi zarf ekil 2.13 Coulomb kriteri altgeni ekil 2.14 Kum iin
zarf dorusu ekil 2.15 Kil iin zarf dorusu ekil 2.16 Mohr dairelerin
oluturduu zarf ekil 2.17 Zarf
ekil 2.18 Zarf
ekil 2.19 Zarf ekil 2.20 Zarf
ekil 2.21 Zarf
ekil 2.22 Zarf Band ekil 2.23 En byk ekil deitirme hipotezine
gre dzlem gerilme haline ait snrlar ekil 2.24 Genel ekil deitirme
hipotezine gre dzlem gerilme haline ait snrlar ekil 2.25 Enerji
alan ekil 2.26 Malzeme ana ekseni (1) ile as yapan tek eksenli
ykleme ekil 2.27 En byk gerilme kriteri ekil 2.28 Simetrik
takviyeli anizotropik malzeme
ekil 2.29 Takviye a deiimine gre gerilme deiimi ekil 2.30
Takviye a deiimine gre gerilme deeri ekil 2.31 Akma ve krlma iin
deney dzenei ekil 2.32 Akma ve Krlma Kriterlerinin deney sonucuyla
karlatrlmas ekil 2.33 Muhtemel krlma kriterleri
ekil 2.34 Ahap veya fiber-glas malzeme rnei
-
V
ekil 2.35 Kartezyen koordinatta gerilme ekil 2.36 Kutupsal
koordinatta gerilme ekil 2.37 Gerilme vektr
ekil 2.38 boyutlu uzayda Von-Mises ve Tresca kriteri ekil 5.1
Analizi yaplacak eklin teknik resmi ve snr artlar ekil 5.2 Catia V5
programnda eklin grn ve meshlenmi hali ekil 5.3 Gerilme deerlerinin
alnd blge ekil 5.4 entik blgesi ekil 5.5 R = 50mm, r = 5mm olan
geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.6 R = 60mm, r
= 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.7 R
= 70mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi
ekil 5.8 R = 80mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2))
gerilme deiimi ekil 5.9 R = 90mm, r = 5mm olan geometrinin
(Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.10 R = 70mm, r = 3mm olan
geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.11 R = 70mm, r
= 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.12
R = 70mm, r = 7mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme
deiimi ekil 5.13 R = 70mm, r = 9mm olan geometrinin (Von-Mises
(N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.14 R = 70mm, r = 11mm olan
geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.15 R = 50mm, r
= 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.16
R = 60mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme
deiimi ekil 5.17 R = 70mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises
(N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.18 R = 80mm, r = 5mm olan geometrinin
(Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.19 R = 90mm, r = 5mm olan
geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.20 R = 70mm, r
= 3mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi. ekil 5.21
R = 70mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme
deiimi ekil 5.22 R = 70mm, r = 7mm olan geometrinin (Von-Mises
(N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.23 R = 70mm, r = 9mm olan geometrinin
(Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.24 R = 70mm, r = 11mm olan
geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.25 R
mesafesinin deiimine bal olarak maksimum gerilme deerleri. ekil
5.26 Dairesel entik apnn (r) deiimine bal olarak maksimum gerilme
deiimi.
-
VI
TABLOLAR LSTES
Tablo 5.1 elik ve ortotropik numunelerde kullanlan dm ve eleman
saylar
-
VII
SMGELER LSTES
F= Kuvvet
N=Newton
m = metre
mm = milimetre
MPa = MegaPascal
GPa = GigaPascal
E = Malzeme elastisite modl G = Malzeme kayma modl
=Poisson oran
o= Elenik gerilme
1, 2 , 3
= Asal gerilmeler
= Kayma gerilmesi
r = Eleman zerindeki evresel dairesel boluun yarap R = evresel
boluk merkezinin silindir merkezine uzakl
-
VIII
ZET
Yksek Lisans Tezi
CATIA V5 PROGRAMI LE ZOTROPK VE ANZOTROPK MALZEMEDEN YAPILMI
MAKNA ELEMANLARINDA GERLME ANALZ
Avni DLL
Frat niversitesi Fen Bilimleri Enstits
Makine Mhendislii Anabilim Dal
2006, Sayfa: 68
Bu almada, gvdesinde dairesel kesitli evresel boluk bulunan ii
bo silindir eklindeki bir makine elemannn, Catia V5 program
kullanlarak bilgisayar ortamnda gerilme analizi yaplmtr.
Birinci blmde, konuya giri yaplarak problem tantlmaktadr. kinci
blmde krlma mekanii ve nc blmde de sonlu elemanlar hakknda genel
bilgi verilmekte ve bu konuda yaplm almalar belirtilmektedir.
Drdnc blmde, Catia V5 paket program hakknda genel bir bilgi
verilmektedir. Beinci blmde ise, almann konusunu tekil eden makine
elemannn geometrinin tanmlayan parametrelerin farkl deerleri iin
gerilme analizi gerekletirilmitir.
Yaplan almada, dairesel kesitli evresel boluun ap ile
merkezsinin silindir eksenine olan uzakl deitirilerek gerilme
dalmlar elde edilmekte, karlatrmalar yaplmakta ve ortaya kan
farkllklar yorumlanmaktadr. Daire kesitli evresel boluun apnn ii bo
silindirin et kalnlna oran bydke , maksimum gerilme deeri de
bymektedir.
Anahtar Kelimeler: Krlma Mekanii, Catia, Gerilme Analizi,
Dairesel Kesitli evresel Boluk.
-
IX
ABSTRACT Master Thesis
STRESS ANALYSIS OF MACHINE ELEMENTS COMPOSED OF IZOTROPIC AND
ANIZOTROPIC MATERIALS BY USING THE
PROGRAMME CATIA V5
Avni DLL
Firat University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of
Mechanichal Engineering
2006, Pages: 68
In this study, stress analysis for a machine element in the form
of circular hollow cylinder containing a circumferantial cavity
with circular cross section is caried.
In the first chapter, after a brief introduction, the problem
under consideration is introduced. In the second and three chapter,
general information is given on fracture mechanics and finite
element method, and a literature survey is presented,
respectively.
In the fourth chapter, introductory general information is given
on Catia V5 computer program. In the fifth chapter, stress analysis
for he machine element which is
the subject matter of this study is carried for several
combinations of the parameters defining the geometry.
The study obtains stres distrubutions for various values of the
diameter of the circuferantial cavity and distance between its
center and axis of the cylinder. Results are compared and
variations are interpreted. Maximum stress increases as the ratio
of the diameter of the circumferantial Cavit to the wall thickness
of the hollow cylinder.
Keywords: Fracture Mechanics, Catia V5, Stress Analysis,
Circumfeerantial Cavity with Circular Cross Section.
-
- 1 -
1. GR
Bilgisayar teknolojileri gnmzde hzla ilerlemektedir. Bu ilerleme
sonucu fiziksel ve matematiksel ifadeleri zmlemek daha hzl ve kolay
hale gelmitir. Tasarm doru ve hzl bir ekilde yapmak ok nemlidir. Bu
i hem retim maliyetini drecek hem de zamandan tasarruf
salayacaktr.
Sonlu elemanlar analizi ilk olarak 1960l yllardan itibaren
niversitelerde ve aratrma blmlerince kullanlmaya balanld. Son
zamanlarda sonlu elemanlar analizi, mhendislik birimleri tarafnda
iyi bir tasarm gelitirme yntemi olarak kabul grmeye balamtr. Sonlu
elemanlar analizinin bilgisayar destekli tasarm (CAD/CAM/CAE)
programlarnda kullanlmaya balamasyla bu yntem daha yaygn hale
gelmitir.
Bu yksek lisans almasnda analitik zm zor olan bir geometrik
eklin (Von-Misese elenik gerilmesine gre) gerilme dalm, elik ve
ortotropik malzeme iin incelenmitir. Bu analizler, CATIA V5 R16
analiz program ile gerekletirilmitir. Bu almada izotropik ile
ortotropik malzemenin analizi sonucu ne gibi farkllklarn meydana
geldii grlmtr.
-
- 2 -
2. PLASTSTE VE KIRILMA HPOTEZLER
2.1 Genel dnceler
Cisimlerin Mukavemeti ynnden, bir malzemenin hangi yk snrnda
plastik hale geecei veya hangi gerilme deeri iin krlacan bilmek n
planda gelen bir sorudur. Yap iin tehlikeli saylacak bu snrlar
bulmak iin cismi denemek gerekecektir. Fakat malzeme denemeleri ok
defa basit ekme ve basn gibi bir eksenli gerilme altnda yaplr ve
tehlikeli snrlar ancak byle haller iin dorudan doruya deneyle
tespit edilebilir. Halbuki tatbikatta cisimler daha ok iki veya
eksenli gerileme halinin etkisindedir. Byle bileik bir zorlamann,
gereci plastik duruma veya krlma durumuna hangi artlarda
getireceini bilmek isteriz; dier bir deyimle, bir eksenli snr
durumundan, eksenli snr durumuna nasl geilebilir sorusuna yant
aranmaktadr. Bu soruya deney yoluyla hemen cevap vermek kabil
deildir. nk eksenli gerilme halinin eidi sonsuz olup btn haller iin
ayr ayr deneme yapmak imkanszdr, ayrca eksenli deneme teknii bir
eksenliye gre hayli gtr.
Bir eksenli gerilme haliyle eksenli gerilme halini, tehlike snr
ynnden mukayese eden kriterleri mevcuttur. Tehlikeli durum, gevrek
olan cisimlerde krlma, kopma ve ezilme gibi paralanma halini,
plastik zellie sahip ve ok uzayan cisimlerde ise, akma halini ifade
etmektedir.
ekil 2. 1 Tek ve eksenli gerilme hali
ekil 2.1 de ayn bir cismin iki tip zorlanmas gsterilmitir,
bunlardan biri bir eksenlidir
ve M ile gsterilen gerilme altnda cisim snr durumuna ulamtr.
ikinci gerilme hali
eksenli olup orada da durum, tpk birincideki gibi, snrdadr.
Ksaca her iki zorlama tehlike ynnden zdetir. Mukavemet veya
mukayese kriterlerinden maksat, fizik ynden eit durumda olan iki
halin gerilimleri arasndaki banty bulmaktr.
M = f (1 , 2 , 3) [2.1] Yani bir karlatrma ifadesi kurmaktadr.
Burada f asal gerilmeye bal bir
fonksiyonu gsterir. eksenli gerilme altnda cisim henz krlmam
veya plastik hale gememise, [2.1] ifadesi
M > f (1 , 2 , 3) [2.2]
-
- 3 -
gibi bir eitsizlik eklinde olacaktr. Cisim homojen ve izotropik
olmas halinde f fonksiyonu asal gerilmelerin simetrik bir
fonksiyonu olur ve yalnz onlarn iddetlerine bal kalr. Asal
gerilmelerin dorultular burada rol oynamaz.
2.3 Krlma ve akma kriterleri
Tek eksenli gerilme haline maruz elemanlar, sadece eksenel
kuvvetlerin veya basit
kesme kuvvetlerinin etkisi altnda idi ve elemanlarn
boyutlandrlmas max= em veya max= em
ile yaplyordu. Kark etki halinde bulunan elemanlar bu basit
kurallarla boyutlandrlamazlar. Genel haldeki boyutlandrmada krlma
ve akma kriterleri, gz nne alnan esaslara gre farkl durumlarda
snflandrlr. Mesela kuvvetin etki durumuna gre;
1. Yava etki halinde krlma ve akma kriterleri 2. Tekrarl yk
halinde krlma ve akma kriterleri 3. Dinamik yk halinde krlma ve
akma kriterleri
Scaklk etkisine gre;
1. Normal scaklkta krlma ve akma kriterleri
2. Yksek scaklkta krlma ve akma kriterleri
3. Dk scaklkta krlma ve akma kriterleri
almada yava etki halinde akma ve krlma kriterleri ele
alnmtr.
2.3 Yap Elemanlarnn Yetersizlikleri
Bunlar grupta incelenebilir; 1- Ar ekil deitirme; 2-Akma yoluyla
yetersizlik ;
a) Normal oda scaklnda b) Yksek scaklklarda (srnme)
-
- 4 -
3- Krlma yoluyla yetersizlik; a) Gevrek malzemelerin ani krlmas
b) atlaklk damarlarnn krlmas c) Yorulma d) Yksek scaklklarda
zamanla olan krlma
2.4. Krlma ve Akma Deerleri
Krlma teorilerinde esas olarak alnan gerilme cinsi eitli
malzemelerde farkldr. Yani gevrek malzemeler bilindii gibi akma
olayna maruz kalmadan krlrlar, snek malzemeler ise belli bir lineer
uzama blgesinden sonra bir akma noktasna ve daha sonra plastik ekil
deitirme blgesine ve nihayetinde bir kopma noktasna ( gerilme
deerine ) ularlar. Farkl olan bu malzemelerden gevrekler iin krlma,
snekler iin ise akma noktas, krlma (akma) olaylarnn izahnda
kullanlan esas gerilme deerlerini tekil ederler.
a) Gevrek malzemeler b) Snek malzemeler
ekil 2. 2 Gerilme - ekil deitirme diyagram
Krlma veya akma, malzemelerin kendine has zelliklerinden dolay,
gerilme olayndan ok daha karmak bir olaydr. Bu karmak olaylarn
aklanmas farkl krlma (akma) teorilerinin ortaya atlmasna sebep
olmutur. Ortaya konan ve daha sonra deimelere urayan bu teoriler
krlma ve akma olaylarn tam olarak aklayamamaktadr. Fakat buna
ramen, baz teorilerin baz artlarda, baz malzemelerde geree yakn
deerler verdii grlmektedir. Bu teoriler farkl malzemelerin yaplmas
ve teknolojinin ilerlemesi ile tekrar tekrar gzden geirilmekte,
daha gelimi yeni teoriler kurulmaktadr. Kompozit malzemelerin
klasik akma (krlma) teorilerine uymamalarna ramen teorilerin bir
btn olarak ele alnmas bu konuya aklk getirecektir.
2.5. eitli hipotezler
Krlma veya plastik hale geite, baka baka faktrleri sorumlu tutan
eitli hipotezleri byk grupta toplamak mmkndr:
a) Gerilme hipotezleri b) ekil deitirme hipotezleri c) Enerji
hipotezleri
-
- 5 -
Adlarndan da kolayca anlalaca zere bu hipotezlerden birinci
grup, tehlikeli duruma geite, gerilmenin ba rol oynadn; ikinci
gruptaki hipotezler, olayda ekil deitirmenin esas faktr olduunu, nc
grupta ise, ekil deitirme enerjisinin nemini esas kabul etmitir.
Bununla beraber, gerilme-ekil deitirme bantlarn dikkate almak art
ile eitli alardan ileri srlen btn hipotezleri gerilme diline
evirmek de mmkndr. Nitekim; [2.1] denkleminde bu kriterler yalnz
asal gerilmelerle ifade edilmitir. Hipotezleri ayr ayr incelemeden
nce u bir ka noktay aklamak yerinde olur: eitli hipotezleri
birbirleri ile kolayca karlatrmak iin, bunlar geometrik olarak
tanmak gerekir.
1, 2 ve 3 ile verilen eksenli gerilme halini uzayda bir P
noktasnn koordinatlar olarak
kabul edersek eitli gerilme halleri eitli tasvir noktalarna kar
gelir . ekil 2. 1. de grld gibi bu tasvir sistemine gre, mukavemet
hipotezleri, tehlikeli
durumlar tehlikesizden ayran bir snr yzeyi ile temsil olunacak
ve iki eksenli gerilme halinde ise bu snr yzeylerinin ilgili
koordinat dzlemleri ile olan arakesit erileri ele alnacaktr.
Dier
bir tasvir sisteminde de, Mohr daireleri iin kullanlan , dzlemi
esas alnr. ilerideki
aklamalar kolaylatrmak iin, asal gerilmenin byklk srasna gre yle
dizildikleri kabul edilmitir:
1>2>3 [2.3]
2.5.1 Gerilme hipotezleri
Gerilme hipotezlerinde malzemelerin, krlma veya plastik hale
gemesinde gerilmenin nemli olduu kabul edilmektedir
2.5.1.1. En byk normal gerilme teorisi
Bu teori, eksenli gerilme halindeki en byk normal gerilme, bir
eksenli haldeki +m tehlikeli durum gerilmesine eit olduu zaman o
eksenli gerilme halinin tehlikeli duruma gireceini varsayar. [2.2]
denkleminin bu haldeki ekli
max < m [2.4]
biiminde olur. Malzemede m, ekme ve basnta ayn olmak art ile bu
denklemin anlam hi
-
- 6 -
bir asal gerilmenin +m deerini aamayaca eklindedir. Bu durumda
[2.4] denkleminin ifade ettii yzey, yani tehlikeli blge snr,
kenarlar asal eksenlere paralel olup 2m deerinde
bulunan bir kp yzeyidir (ekil.2.3). Asal eksen takmnn balangc
ise bu kpn merkezindedir.
ekil 2. 3 eksenli gerilme
Bu yzey kapal bir yzey olduu iin a ortayn keser. Bylece bu
teoriye gre, a ortaynn kpn dnda kalan ksmlarnn tanmland tm
hidrostatik haller tehlikeli olmu
olurlar. ki eksenli gerilme halinde (3 = 0), tehlikeli blge snr
(ekil 2. 3.) deki kpn
a) b)
ekil 2. 4 ki eksenli gerilme
1, 2 dzlemi ile olan ara kesiti olur ki bu da (ekil 2.4-a) da
gsterilen karedir. ten basnca maruz bir tpte i basn arttrlrsa
diyagramn kareyi kestii yerde akma meydana gelir.(ekil 2. 5.)
a) b) ekil 2. 5 Basnca maruz tpte akmann meydana gelmesi
Burada,
4tpD
x = , 2tpD
y = [2.5]
dir. Ykleme diyagram ekil 2.5te grlmektedir. Pratikte
kullanlrken akma deeri n
emniyet katsays ile blnr. Bu durumda ikinci eri birincisinin
homotetiidir ( ekil. 2.6).
-
- 7 -
ekil 2. 6 Emniyet Katsays
Teori gevrek malzemeler iin ksmen iyi sonular vermektedir. Bu
teori bu sahada kurulan ilk teoridir. Yalnzca en byk gerilmeyi
hesaba katmasndan dolay, teoride eksiklikler bulunmaktadr. Bu
teoriye gre kopmann meydana geldii yzeyin dz olmas gerekirken
pratikte ise kopan yzey girintili kntldr. Ayn zamanda bu kriter
hidrostatik basnca maruz bir malzemenin akmamasn veya krlmamasn
izah edememektedir.
2.5.1.2. En byk kayma gerilmesi teorisi ( Tresca Kriteri)
Bu teori krlmada en byk kayma gerilmesini sorumlu tutar ve
eksenli gerilme halindeki en byk kayma gerilmesinin bir eksenli
halde tehlikeli durumdaki kayma gerilmesine eit olmas halinde
krlmann veya plastik hale gemenin meydana geleceini n grr. (ekil -
2.7) Genel halde
max = (1-3) / 2 [2.6]
ve tek eksenli halde
-
- 8 -
ekil 2. 7 ve tek eksenli gerilme iin Mohr dairesi
o = o / 2 [2.7] bu kritere gre akma balangc
2
2
o
o31
max ==
= [2.8]
veya yalnz normal gerilmeler eklindedir.
1 . 3
= o [2.9]
Bu kriterin ve eksen takmndaki snrlar ekil 2.8' de
gsterilmektedir. Bu paralel
dorular iinde herhangi bir akma olmaz. Uygulamada ise o / n
alnr. Hidrostatik basn halin
de Mohr emberleri yalnzca bir nokta verir ve bu halde max
= 0 < o olduundan hi bir
zaman ne bir akma, ne de bir krlma olay meydana gelmez. Herhangi
bir iki eksenli gerilme halini tanmlayan Mohr dairesi bu dorularn
iinde
kald zaman o gerilme hali tehlikesiz demektir. Dorulara teet
daireler tehlikeli duruma
erimi gerilme hallerini, dorular kesenler ise tehlikeli
durumdaki gerilme hallerini gsterir.
ekseni zerindeki noktalar hidrostatik halleri gsterdikleri iin
tm hidrostatik gerilme hallerinin tehlikeli durumda olmadklar da
ekilden grlm olur. ki eksenli gerilme halinde bu kriterden yle bir
diyagram elde edilir.
ekil 2. 8 Akma snr
ekil 2. 9 Tresca kriteri altgeni
Esaslar ok basit olan bu hipotez bugn plastisite de nemli rol
oynar ve Tresca hipotezi adyla anlr. Bu hipotezi tasvir edecek
olursak, snr yzeyi alt keli iki tarafnda da ak bir prizmann yzeyi
olur. Prizmann ekseni koordinat ekseniyle eit a yapar. ekil-
2.9
-
- 9 -
dzlem gerilme halinde, snr yzeyi 1 2 dzlemiyle olan ara kesitini
gstermektedir. Buna
ou defa Tresca altgeni denir.
Mesela 1> 0> 2 iin Mohr emberi yledir. (ekil 2.10) ekil 2.
10 eksenli gerilme iin Mohr dairesi
bu durumda
2
2
o21
max =
= [2.10]
ve buradan
1- o= o [2.11]
elde edilir. Uzayda ise bu kriter yzeye dik kesiti altgen olan
bir prizmatik yzey gsterir.(ekil 2.11 )
ekil 2. 11 boyutlu uzayda tresca kriteri
En byk kayma gerilmesi hipotezi, ekme ve basnta eit karakter
gsteren malzeme iin, deneylere uygun sonular vermektedir.
Hidrostatik basn denemesi ynnden de bu hipotezde herhangi bir
aksaklk yoktur.
Yalnz ekme ve basnta farkl mukavemet gsteren gevrek malzemede
snr Mohr dairelerinin aplar sabit olmadndan bu hipotezi onlara
dorudan doruya uygulamak mmkn deildir. Bu teori snek malzemeler iin
uygun sonular verebilmektedir ve bu sebeple mhendislikte oka
kullanlmaktadr.
2.5.1.3. Coulomb kayma gerilmesi hipotezi
Bu hipotez yukardaki hipotezin eksik taraflarn tamamlayan onun
biraz daha genelletirilmi eklinden ibarettir. Burada cismin
mukavemetinin sona ermesinde, yine esas olarak, kayma gerilmesi
alnmakla birlikte, kayma gerilmesinin etkidii yzeydeki normal
gerilmenin de, i srtnme sebebiyle, bir rol olaca dnlmektedir. Bu
hipotez en byk
kayma gerilmesinin iki kat olan 1- 2 farknn sabit olmayp bunu 1+
3 toplamnn lineer bir
-
- 10 -
fonksiyon saymakta, daha dorusu, klasik mekanikteki srtnme
kanunundan faydalanp bir genelletirme yapmaktr. Ksaca
1- 3=a-b(1 + 3) [2.12]
bants snr durumlar tarif eder. Burada a cismin kohezyonu ile
ilgili sabit, b de i srtnmeyi karakterize eden boyutsuz bir
arpandr. b = 0 hali bizi nceki hipoteze gtrr. a, b sabitlerini
malzemenin birbirinden farkl olarak kabul ettiimiz m ekme
mukavemeti ve M basn
mukavemeti cinsinden hesaplamak mmkndr. (2.5) den ekme
mukavemeti iin
M - 0 = a -b (M +0) [2.13]
ve basn mukavemeti iin
0 - (-M) = a - b (0 + (-M) [2.14]
artlarndan
M
M
M
M
.2a
+
= ve M
M
MM
-b+
= [2.15]
olarak bulunur. [2.12] ifadesinin, Mohr grafik tasvir
sistemindeki anlam snr dairelerinin zarfnn birbirine kesen iki doru
olmas gerektiidir (ekil 2.12.).
ekil 2. 12 Mohr dairesi zarf ekil 2. 13 Coulomb kriteri
altgeni
Zarf dorular ekseni ile as yapar ve b = sin bantsn gstermek
mmkndr.
Ayrca zarf dorularnn kesitikleri A noktasnn apsisi
MM
M
M
.
2baOA
== [2.16]
deerini verir ve malzemenin hidrostatik ekme halindeki
mukavemetini gsterir. Sonlu olmas gerekli bu deer iin en byk kayma
gerilmesi hipotezi sonsuz deer verir ki geree uymaz.
Bu hipotez eer ekil 2.1 deki sistemle tasvir edilecek olursa, 1,
2 dzleminde yine
-
- 11 -
bir altgen verir, bu evre ekil 2.13 de M>M hali iin
gsterilmitir.
ekil 2. 14 Kum iin zarf dorusu ekil 2. 15 Kil iin zarf
dorusu
Kum, kil gibi taneli cisimlere ait bir kitlenin snr denge
konumlarn Coulomb hipotezi ile izah etmek mmkndr. ekil 2.14 kum ve
ekil 2.15 ise kohezyonlu kil iin zarf dorularn gstermektedir.
2.5.1.4. Mohr genel kayma gerilmesi teorisi
Coulomb kayma gerilmesi teorisi Maksimum Kayma gerilmesinin
gelitirilmi hali olmasna ramen gevrek cisimler iin pek uygun
deildir. nk deneyler gstermitir ki, snr Mohr dairelerinin zarf
daima iki doru deildir. Bu sebeple btn halleri kapsayan bir
geniletmeye daha ihtiya vardr, o da Mohr tarafndan yaplmtr. Mohr'a
gre en byk kayma gerilmesi, zerine etkiyen normal gerilmeye baldr;
fakat bu ballk lineer deildir, daha ok
1-3=F(1+3) [2.17]
gibi genel bir ekli vardr. Burada F fonksiyonu her malzeme iin
deneyden tayin edilecektir. Bu kiriter iin tane basit gerilme
halinin bilinmesi kafidir; bunlar, basit ekme, basit basma ve tam
kayma halleridir. Mesel ekil 2.16. de bir gerecin snr Mohr
dairelerinin doru olmayan zarf gsterilmitir.
ekil 2. 16 Mohr dairelerin oluturduu zarf
Bu zarf erisi her malzeme iin karakteristik bir ekle
sahiptir.
-
- 12 -
ekil 2. 17 Zarf ekil 2. 18 Zarf ekil 2. 19 Zarf
Ayr ayr deneylerle bulunmaldr. Bir cisim iin zarf belli olursa,
zorlama haline tekabl
eden en byk Mohr dairesi , dzleminde yerine oturtulur. Bu daire
zarf kesmedike,
zorlamann snrdan uzak olduuna hkmedilir. ekil 2.17, 2.18, 2.19,
2.20 ve 2.21 de birka cisim iin karakteristik zarf erileri ematik
olarak verilmitir.
ekil 2. 20 Zarf ekil 2. 21 Zarf
nemli nokta karakteristik erilerin basn taraflarnn ak olmasdr;
nk gereler snrsz hidrostatik basnc tehlikesizce tayabilirler.
Hepsinin ekme taraflar ise kapaldr. Zira sonlu kohezyonlar
dolaysyla hidrostatik ekmenin de belirli bir deeri amamas
lzmdr.
Dengede bulunan svlardaki i gerilme hali, yalnz hidrostatik basn
olduundan bunlara ait karakteristik eri de apsis ekseninin negatif
ksm ile st ste der (ekil 2.21) .
Mohr'un genel kayma gerilmesi hipotezine yaplacak tek fakat
nemli itiraz, ortanca
gerilme olan 2 nin hi dikkate alnmam olmasdr. Deneyler
gstermitir ki ortanca
gerilmenin deerine gre zarf erisi de deimektedir. Tek bir zarf
yerine bunlar iine alan bir zarf iine bandndan bahsetmek daha doru
olur; ekil 2.22 de ortanca gerilmenin deerine gre zarf erilerinin
iinde bulunduu bant ematik olarak gsterilmitir.
ekil 2. 22 Zarf Band
2.5.2. ekil deitirme hipotezleri
Bu gruptaki hipotezler, cisimden akma ve krlma halinin domasnda
ekil deitirmenin, mesela uzunluk deiiminin roln esas alrlar. Balca
hipotezler unlardr;
2.5.2.1. En byk uzama veya ksalma hipotezi
Bu gn iin ancak tarihi nemi olan bu hipotez, Mariotte St. Venant
ve Poncelet tarafndan ileri srlmtr. eksenli zorlamada tehlikeli
halin, en byk uzama veya
-
- 13 -
ksalmasnn, bir eksenlideki deere eit olduu zaman doaca dnlr.
Kabul edelim mutlak deer itibariyle en byk asal boy deiimi bir
uzama olsun, o halde bu hipoteze ait mukayese
E)]([
E1 M
321 =+ [2.18]
veya
1-(2+3)= M [2.19]
denklemi ile yaplacaktr. Mutlak deer itibariyle en byk boy
deiimi bir ksalma ise, (2.9) denklemi yerine
3-(1+2)= -M [2.20]
bants geer; burada M cismin basn mukavemetini gsterir. ekil 2.23
bu hipoteze gre
dzlem gerilme haline ait snrlar gstermektir.
ekil 2. 23 En byk ekil deitirme hipotezine gre dzlem gerilme
haline ait snrlar
ekil izilirken M = M olarak kabul edilmitir. Snr, AA ve BB
kegenlerine gre
simetriktir, yani ekenar drtgendir. Bu hipotez hidrostatik basn
deneyini salamad gibi, iki eksenli ekme halinde de,
malzemenin tek eksenliden daha byk bir mukavemet gsterecei gibi
geree uymayan bir sonu verir. Bu gn iin bu hipotezin pratik bir
deeri yoktur. Bilhassa kaln cidarl top namlularnn imalatnda iyi
sonular vermektedir.
2.5.2.2. Genel ekil deitirme hipotezi
Burada max ve min yerine, asal uzmana orannn bir eit bilekesi
olan ve aadaki
formlle hesaplanan d deeri esas alnr:
222321d ++= [2.21]
Eer bu deer tek eksenlideki kartna eit olursa, iki hali
birbirleriyle mukayese etmek mmkndr. Hipotezin asal gerilmelerle
ifade edilen ekli
-
- 14 -
M2
32312122
32
22
1 )(21)(22
=++=+
++
[2.22]
denklemidir. 3= 0 dzlem hali iin
M2
2121 21)(22
22 =+
+
[2.23]
dir. Buna ait snr erisi olan elips, ekil 2.24. de ematik olarak
izilmitir. Elipsin yaraplar (2.13) denkleminden
23121
a 2
2
M+
+= ;
2121
b 22
M++
+= [2.24]
ekil 2. 24. Genel ekil deitirme hipotezine gre dzlem gerilme
haline ait snrlar
olarak bulunur. Bu hipotez ortanca gerilmenin roln hesaba
katmakla birlikte hidrostatik basn deneyini salamaz. Bununla
beraber, plastik zellii fazla cisimlerde iki eksenli zorlamalar
iin, tatmin edici sonular verir.
2.5.3 Enerji hipotezleri
Bu hipotezler, malzemenin plastik hale geme veya mukavemetinin
yenilmesinde, ekil deitirme enerjisinin veya bunun bir ksmnn rol
oynadn kabul eder. Enerji, belirli bir deere eriince cisim snr
duruma ulam demektir. Enerjinin bu belirli deeri de tek eksenli snr
zorlamadaki enerjidir. Enerji esasndan hareket eden hipotezler,
dierlerine gre daha yenidir. Her asal gerilmeyi birden gz nnde
tutmalar bakmndan ilgi ekicidir. Bunlardan nemli olan ikisi aada
aklanmtr. 2.5.3.1. Toplam ekil Deitirme Enerjisi Teorisi (Beltrami
Enerjji Teorisi)
Bu teoriye gre bir malzemenin akmas veya krlmas genel haldeki
toplam ekil deitirme enerjisinin tek eksenli haldeki ekil deitirme
enerjisine ulamasyla balar. Birim hacim iin toplam ekil deitirme
enerjileri, tek eksenli halde,
2EU
2M
M = [2.25]
dir.
-
- 15 -
eksenli halde asal gerilmelere bal olarak;
)]2([2E1
u 323121321 222 ++= ++ [2.26]
.
veya gerilme bileenleri ynnden;
]2G
)2([2E1
uyzxzxy2
z2
x2
z2
y2
y2
x2
z2
y2
x++
+++= ++ [2.27]
yazlr. Yalnzca asal gerilimlere bal olarak eitlik yazlrsa;
2EO)]2(-[
2E1 M
323121231 ===++ [2.27-a]
ve buradan akma art;
12+2
2+32-
2(12+23+13) = M2 [2.28]
bulunur. Teori uzayda kapal bir yzey (elipsoit) verir. Yani
kapal bir snr yzeyi tarif eder. Halbuki malzemenin snrsz
hidrostatik basn deneyine dayanmas bu yzeyin ak olmasn gerektirir.
Bu ynden sz konusu olan hipotez ancak baz zel artlarda gevrek
olmayan malzeme iin kullanlabilir.
3= 0 dzlemsel gerilme hali iin [2.28] denklemi
12+2
2 - 212= M2 [2.29]
ifadesine dnr. Buda ekil 2.24 'deki gibi bir elips evre gsterir,
yalnz bu halde yar aplar
M1
1a
= , M1
1b+
= [2.30]
-
- 16 -
deerini verir. Pek kullanl bir teori deildir. Baz durumlarda
faydalanlmaktadr. Mesela yere den
bir camn krlmas olay bu teori ile izah edilebilir. nk camn yere
dmesinden dolay ald arpma enerjisi (ekil 2. 24.) onun tek eksenli
haldeki ekil deitirme enerjisinden daha byktr. bu sebeple krlma
olay olmaktadr:
2E
u2
MM = [2.31]
ekil 2. 25 Enerji alan
2.5.3.2. arplma enerjisi hipotezi (Von-Mises Kriteri)
Hidrostatik basn deneyinde, mukavemetin snrsz oluu, tehlikeli
durumun domasnda, hacim deitirmenin bir rol olmadn aka
gstermektedir. O halde enerji esasna dayanan bir hipotez kurulurken
hacim deitirme enerjisini hesaba katmak doru olmaz; daha ok
enerjinin, cismin geometrisini deitirmeye sarf edilen ksm, yani
arplma (biim deitirme) enerjisi mukayesede esas alnmaldr.[2.27-a]
yerine
2M323121
23
22
21g
6G1)]([
6G1
u =++++= [2.32]
veya
12+2
2+32-(12+13+23)= M2 [2.33]
denklemi elde olunur. [2.33] denklemi, her iki tarafndan ak olan
bir silindir yzeyi gsterir ve zellikle uzamas fazla olan malzeme
iin, deneyler tarafndan salanan sonular verir. Mises ve arkadalar
tarafndan bu hipotez, plastisite teorisinden, akma art olarak baar
ile kullanlmtr.
Biim deitirme enerjisi kriterinin tek eksik taraf, hidrostatik
basnta olduu gibi hidrostatik ekme iin de bir snr tanmamasdr.
Halbuki ekme halinde kohezyon nasl olsa yenilecek, cisimde bir
ayrlma grlecektir. Bu kusur, Huber tarafndan iki enerji
hipotezi
birletirerek ortadan kaldrlmtr. Eer ortalama gerilme 31
(1+2+3)
-
- 17 -
ise [2.33] kriteri uygulanacak; bunun ekme yani 31 (1+2 +3)>0
olan deerleri iin de
Beltrami'nin [2.28] hipotezi kullanlacaktr. Bu dzeltme iki
tarafndan da ak olan snr yzeyini ekme tarafndan kapatmak demektir.
Yalnz 1+2+3=0 dzlemi iin (2.18) ve (2.21) kriterlerinin farkl
sonular vereceine dikkat etmelidir. Biim deitirme enerjisi hipotezi
dzlemsel gerilme hali iin
12+2
2+-12=M2 [2.34]
denklemiyle tarif edilen bir elips ile temsil edilebilir. ekil
2.20 deki gibi olan bu elipsin yaraplar ;
M2a = [2.35]
M32b = [2.36]
deerlerini verir.
Dzlemsel gerilme hali asal gerilmeler yerine x , y ve xy
gerilmeleriyle verilecek
olursa [2.34] denklemi
x2+ y
2+ xy+3xy2 = M2 [2.37] eklini alr.
arplma enerjisi hipotezine bir genel kayma gerilmesi hipotezi
gzyle de bakmak mmkndr; nk [2.9] ve[2.21] denklemleri karlatrlacak
olursa
29
ak2
= 12+2
2+32
- (12+23+13) [2.38]
bants bulunur. Demek oluyor ki arplma enerjisi oktohedral kayma
gerilmesinin karesiyle orantldr. Buna gre enerjitik ynden ve
oktoedral kayma gerilmesi ynnden yaplacak mukayese hep ayn sonucu
veriyor demektir, karlatrma
(ok) eksenli = (ok)bir eksenli = M32
[2.39]
denklemiyle yaplacaktr.
-
- 18 -
2.6 Anizotropik Malzemelerde Akma Teorileri
Karma malzemelerin elastiklik zellikleri gibi dayanmlar da
anizotropiktir. Bilindii gibi izotrop malzemeler iin ok eksenli
gerilme durumlarnda deiik akma kriterleri (Tresca, Von Mises v.b.)
nerilmitir. Karma malzemelerin akma (krlma) kriterleri ise
bunlardan farkl olup, burada tek ynde takviyeli ortotropik bir
tabakann dzlem gerilme durumundaki dayanm zellikleri ele alnacaktr.
Bu teoriler akma ve krlmann mekanizmalarn tam olarak
aklayamamakla birlikte, genellikle deneysel bulgularla uyum
salamaktadr. Srekli gelitirilen bu teorilerin en nemlileri en byk
gerilme, en byk ekil deitirme, Tsai-Wu ve Tsai-Hill
kriterleridir.
2.6.1. En Byk Gerilme Kriteri
Bu teoride etkiyen gerilmenin malzemenin asal eksenleri
dorultusundaki bileenlerinin, o dorultudaki malzeme dayanm
deerlerini amas halinde hasarn oluaca savunulur. Yani malzemenin
tayabilecei gerilmeler.
1< X (1 > 0 iin) 2< Y (2 >0 iin) 12 0 iin) [2.40]
1>Xb (1 < 0 iin) 2>Yb (2 < 0 iin)
eklinde snrldr. Burada X ve Xb: Takviye dorultusundaki ekme ve
basma dayanm Y ve Yb : Takviyeye dik dorultudaki ekme ve basma
dayanm Xs : Kayma dayanm (her iki ynde ayn)
Takviye dorultusu ile as yapan tekil bir kuvvetin yaratt x
gerilmesinin,
malzeme asal eksenleri dorultusundaki bileenlerini
transformasyon matrisi yardmyla hesaplarsak;
ekil. 2. 26 Malzeme ana ekseni (1) ile as yapan tek eksenli
ykleme
1 =x cos2
2 =x sin2 [2.41]
-
- 19 -
12= -x sin . cos
cos
X 2x < , sin
X 2x < , cososs
Sx < [2.42]
bulunur.
Yani bu hasarn olumamas iin bu koulun ayn anda salanmas
gerekir.Malzemeye etkiyen d zorlamann yn deitirmesi durumunda
(yani as 0o ile 90o arasnda deiirken), bu gerilmeden srasyla biri
hasar oluturmada kritik duruma gelmektedir. (ekil 2.27)
ekil 2. 27 En byk gerilme kriteri
2.6.2. En Byk ekil Deitirme Kriteri
En byk gerilme kriterlerinin benzeridir, ancak burada malzemenin
urad ekil deiimi bileenlerinden herhangi birinin buna karlk gelen
snr amas halinde hasarn oluaca varsaylr. Bu kriter
1 < x (1 > 0 iin) 2 < y (2 > 0 iin) 3 < s (3 >
0 iin) [2.43] 1 < xb (1 < 0 iin) 2 < xb (2 < 0 iin)
eklinde yazlabilir.
-
- 20 -
Burada
1 ve 1b: Takviye dorultusunda ekil deitirme snrlar
2 ve 2b: Takviyelere dik dorultuda ekil deitirme snrlar
es : 1 - 2 dzleminde kayma snr (her iki ynden ayn) Takviye
dorultusu ile 0 as yapan bir x gerilmesi
1 =x cos2
2 =x sin2 [2.44]
12= -x sin . cos
gerilmelerini yaratr, bunlarn etkisiyle ortaya kacak ekil
deiimleri ise
1
21211 E
= ,
2
12122 E
= ,
12
1212 G
= [2.45]
olacaktr.
ekil deiimi snrlar yazlarak
2
x E
X = ,
2
y E
Y = ,
12s G
S = [2.46]
Bu deerler yerine konulursa akma (krlma) kriteri
sincosX
212
2x
< [2.47]
cossinX
212
2x
< [2.48]
cososs
S x < [2.49]
eklini alr. Grld gibi bu kriter de bir ncekinden farkl olarak
Poisson oranlar da dikkate alnmaktadr.
2.6.3. Tsai Hill Teorisi
-
- 21 -
Tsai ve Hill anizotropik malzemeler iin aada grlen akma
teorisini ileri srd.
(G+H)12+(F+H)22+(F+G)322H122G132F23+2L232+2M132+2N122=1
[2.49]
Teorisini yukardaki [2.49] denklemi ile ifade itti. Bu teori Von
Mises izotropik akma teorisinin anizotropik malzemelere tatbik
edilmi hali olarak dnlebilir.
Sadece 12 kayma gerilmesinin etkisi var ise;
2S12N = [2.50]
sadece 1 etki ediyor ise;
2X1HG =+ [2.51]
ve sadece 2 etki ediyor ise;
2Y1HF =+ [2.52]
Eer 3 dorultusundaki gerilme Z ile gsterilirse ve sadece 3 etki
ediyorsa:
2Z1GF =+ [2.53]
Bu bantdan denklemler zlerek H, G, F bulunur.
222 Z1
Y1
H12H += [2.54]
222 Y1
Z1
X12G += [2.55]
222 X1
Z1
Y12F += [2.56]
-
- 22 -
1. dorultusunda takviye edilmi dzlem gerilme iindir. Bununla
beraber ekil 2.28 deki gibi bir takviyede geometrik simetri
dncesinden Y=Z dir. Bu taktirde denklem:
1s
y
x
x
212
2
22
221
2
21
=++ [2.57]
ekil 2. 28 Simetrik takviyeli anizotropik malzeme
eklinde ifade edilebilir. Sonu olarak takviye ekseni ile as
yapacak ekilde bir ykleme
halinde, gerilmelerin, malzemenin asal eksenlerine indirgenmesi
iin dnm denklemleri kullanlr.
2x
2
422
222
4
1ysin
sin)cosx
1s
1(x
cos=++ [2.58]
1 = x cos2
2 = x sin2 [2.59] 12 = - x cossin
[2.57] denkleminde 1, 2, 12 deerleri yerlerine konulduunda
2x
2
422
222
4
1Ysin
sin)cosX1
S1(
Xcos
=++ [2.60]
denklem elde edilir. Bu kriter yalnz bana kompozit malzemelerin
krlmasn izah etmek iin yeterlidir.
ekil 2. 29 Takviye a deiimine gre gerilme deiimi
2.6.4. Tsai- Wu Tensr Teorisi
Bu teori anizotropik malzemeler iin aadaki forml akma olarak
vermitir.
Fi i+Fijij=1 (i,j = 1....... 6) [2.61]
-
- 23 -
iki eksenli gerilme hali iin bu denklem
1 + F22 + F66 + F1112 + F2222 + F6662 + 2F1212=1 [2.62]
Tek eksenli gerilme halinde ise Xt ekme mukavemeti Xc basma
mukavemeti olmak
zere forml [2.62] ksaca
F1 Xt + F11 Xt2 =1 [2.63] F1 Xc + F11 Xc
2=1 [2.64]
eklinde yazlabilir. Burada Fi tansr ile ifade edilen katsaylar
malzemenin ekme ve basma
mukavemet deerlerine bal olarak yle ifade edilirler.
ct1
X1
X1F += [2.65]
ct11
XX1F = [2.66]
ct2
Y1
Y1F +=
[2.67]
ct22
YY1F =
[2.68]
F6 =0
266 S1F =
iki eksenli gerilme hali iin (2.62) denklemi
(F1+F2) + (F11+F22+2F12)2 = 1 [2.69]
(2.69) denklemi ile ifade edilir. Burada daha nceden
belirlenmemi olan F12 eleman ise aada grld gibidir.
-
- 24 -
])YY1
XX1()
Y1
Y1
X1
X1([1
21F 2
CtctCtct212 +++++=
[2.70]
ekil 2. 30 Takviye a deiimine gre gerilme deeri
2.7. Krlma ve Akma teorilerinin karlatrlmas
Akma ve krlma ile ilgili bilgilerin ou, ince cidarl
silindirlerin ok eksenli gerilmeye maruz braklmalaryla elde
edilebilir. Byle tipik bir deneyin tanzimi ekil 2.31 de
gsterilmitir.
ekil 2. 31 Akma ve krlma iin deney dzenei
Asal gerilmeler arasnda kontroll bir skala elde etmek iin bir
dzenleme incelenmekte olan ince cidarl silindirin ular yardmc
kapaklar ile kapatlmtr. Bylece silindirik basn kabnda kapal bir
hacim elde edilmi olur. mevcut bolua sevk edilen basnl sv ile
birlikte balklara P ekme veya kuvveti tatbik edilirse asal
gerilmeler iin farkl oranlar elde edilir. Malzeme akma veya krlma
snrna ulancaya kadar bu asal gerilme oranlar sabit tutulursa,
malzeme iin aranan lmler elde edilmi olur. Ayn zamanda burulmaya,
eksenel kuvvete ve basnca maruz tpleri kullanarak benzer deneyler
yaplabilir.
Yukarda takdim edilen krlma teorileri ile baz klasik deney
sonularnn karlatrlmas ekil 2.32 de gsterilmitir. Snek malzemelerde,
deney ve maksimum distorsiyon enerjisi sonularnn yaknlna dikkatleri
ekelim. maksimum normal gerilme teorisi gevrek malzemeler iin ok
iyi sonu verdii halde gevrek malzemeler iin emniyetsiz bir kriter
olmaktadr.
Basit ekme deneyi lm sonular btn teoriler iin karlatrma standard
olduundan, tek eksenli gerilme halinde teorilerin hepsi uyuum
ierisindedir. Bu nedenle, eer bir noktadaki asal gerilmelerden bir
tanesi dierlerine gre byk ise bu teoriler pratik olarak ayn sonucu
verirler. iki asal gerilme nmerik olarak birbirlerine ok yakn veya
eit ise teorileri arasndaki en byk farkllk ikinci ve drdnc
kuadrantta kendini gsterir.
-
- 25 -
ekil 2. 32 Akma ve Krlma Kriterlerinin deney sonucuyla
karlatrlmas
Yukarda mnakaa edilen teoriler gelitirilirken malzemenin basn ve
ekmede ayn zellie sahip olduu kabul edilmitir. Halbuki kayalar,
dkme demir, beton ve topraklarn zelliklerinde, tatbik edilen
gerilmenin iaretine bal olarak korkun farkllklar grlmektedir. deney
ile teori arasnda daha iyi bir uyuum salamak iin ilk defa 1885
ylnda C. Duguet tarafndan teoride yaplan deiiklik ekil 2.33 (a) da
gsterilmitir. Bu deiiklik baz maddelerin iki eksenli basnca
kalmalar halinde mukavemetlerinin yksek olaca gereini yanstmak iin
yaplmtr. A. A. Griffith mikroskobik atlaklarda yzey enerjisi
fikrini ortaya atarak yukardaki gzlemin aklanmasnda baz dzeltmeler
yapm ve krlp yklma konusunda ekmenin basnca gre daha ciddi bir
sorun tekil ettiini grmtr. Bu teoriye gre, eer mevcut ekil deitirme
enerjisi geri dn hz (veya azal hz) atlak yzey enerjisi artmndan byk
ise atlak hzl bir ekilde yaylacaktr. Orjinal Griffith kavram G. R.
Irwin tarafndan byk apta gelitirilmitir.
Kendi adyla bilinen gerilme emberini tekil eden Otto Mohr,
malzemenin kmesini tahmin edici dier bir yaklam teklif etmitir. nce
bir basit ekme, bir basit kayma ve bir de basit basn deneyleri
yaplr, ekil 2.33 (b) ye baknz. Bundan sonra, elde edilen bu deney
sonularyla baml Mohr emberlerinin zarf olan eri bulunur ve buna
krlma zarf ad verilir. Bu zarf teet olarak izilecek olan emberler,
deme noktasndaki krlmann artlarn verir. Bu yaklam tarz zemin
mekaniinde iyi uygulama yeri bulmaktadr.
-
- 26 -
( a ) ( b ) ekil 2. 33 Muhtemel krlma kriterleri
Malzemenin davran gerilme uzayndaki inceleyecek yerde (ekil 2.31
deki gibi), (x+y +z) gerilme in varyant ve gerilmeler koordinat
ekseni olarak seilebilir. Bu yaklama dayanan ok faydal krlma
kriterleri elde edilmitir.
Baz hallerde yukarda incelenen akma ve krlma kriterlerini
uygulamak o kadar da iyi olmayabilir. Blgesel veya burkulma
olaylaryla problem komplike bir hale sokulmadka, deneysel olarak
tayin edilmi bu tip eriler yukarda tartlan mukavemet kriterlerine
edeerdir.
2.8. Anizotropik Malzemelerin Akmas veya Krlmas
Anizotropik yapdaki malzemelerin akmas ve krlmas izotropik
yapdaki malzemelerden farkldrlar. Ahap, fiber-glas malzemeyi gz nne
alalm. (ekil.2.34)
ekil 2. 34 Ahap veya fiber-glas malzeme rnei
Bu malzeme 1 dorultusunda cam lifleri ile takviye edilmi
polyester veya epoksi olabilir. Bunun nce 1 dorultusundaki
mukavemeti bulunur. Ayrca malzemenin 2 dorultusundaki mukavemet, 2
dorultusundaki mukavemetten farkl olmaktadr. Ayrca malzemenin bir
de kayma mukavemeti bulunur. Bu temel mukavemet bulunduktan sonra
Von-Mises kriterine benzer kriterler ile bu tip malzemelerin
akmalar veya krlmalar izah
-
- 27 -
edilir. Bu sahadaki kullanlan kriterler Tsai-Hill ve Tsai-Wu
kriterleridir. Tsai-Wu kriteri Tsai-hill kriterlerinden genellikle
daha iyi sonu vermektedir. Fakat daha fazla deneysel almaya da
gerek duyulmaktadr.
2.9. Akma Yzeyi ( Haigh-Westergard Gerileme Uzay)
Mesela Von-Mises kriteri iin bir malzemenin akma art;
o
213
231
221
6G1])()()[(
12G1
=++ [2.71]
dr. Bu bant fonksiyon olarak yle yazlabilir:
f (1 , 2 , 3 , 0 )=0 [2.72]
Bu ifade 1 , 2 ve 3 'n deimesine gre bir uzay ekli verilir.
Burada akma yzeyi
veya gerilme uzay ismi verilir. 1 , 2 , 3 eksen takmn alalm
(ekil.2.35). Bu yzeyde
dorultman kosinsleri l = m = n =31
dzlemlerinde gerilemelerin deerleri;
=2 - 1 + m22 + n
2 3
de yerine konarak
3321
++
=M [2.73]
bulunur. Demek ki ON= k3
1j3
1i3
1ON ++= dorultusuna dik btn
dzlemlerde 1 = 2 = 3 = M
-
- 28 -
ekil 2. 35 Kartezyen koordinatta gerilme
dir. Bunlar hidrostatik gerilme durumunu gsterir. Bu dorultuya
dik dzlemlerin denklemini elde edelim. ekilden;
k)p3
1j3
1i3
1(A ++= [2.74]
burada p=ON uzunluudur. OP vektr ise;
kjiPO 321 rrrr ++= [2.75]
ve vektr toplam ileminden;
POBArrr
=+
APOBrrr
= [2.76]
ON'in birim vektr n ise, nr
ve Br
birimlerine dik olduundan dolay
nr
. Br
= 0 ve A=Y yazarsak,
0p)kji)(k3
1j3
1i3
1( 321 =++++rvrrrr
[2.77]
-
- 29 -
p30p3
13
13
1321 =++=++ [2.78]
bulunur. Bu dzlemin denklemi,
p3 321 =++
dur. Orijinden geen ON'e dik dzlemde p=0 dr. ve dolaysyla.
0 321 =++ [2.79]
bulunur. Buna p dzlemi denir. fiimdi herhangi bir P noktasndaki
gerilmeyi gz nne alalm. Bunun ON'e paralel ve dik bileenleri
srasyla A ve B olsun.
M321
33
. =
++=== ONnPOA r
r
B2= OP2 - A2 buradan
B2 = 12 +22 + 32 - 3M2 = (1- M)2 + (2 - M)2 + (3 - M)2
31
= [ (1- 2)2 + (2 + 3)2 + (3 - 1)2 ] bulunur.
Bu ksm bizi arplma enerjisine gtrmektedir. B vektr pi dzlemine
paraleldir. Eer farkl bir gerilme durumu olarak P' noktasn alrsak
P' noktas P' den geen ON'e paralel
dorultu zerinde bulunsun. OP ile OP'nun pi dzlemi zerindeki
izdmleri ayndr. Eer bu
doru zerindeki noktalardan biri akma yzeyi zerinde ise btn dier
noktalar da akma yzeyi zerindedir. nk hepsinde Von-Mises
kriterlerine kar gelen B deeri ayndr. Buradan, akma yzeyinin ON
dorultusuna paralel dorulardan tekil olduu sonucuna varrz.
Dolaysyla bu yzey silindirik bir yzeydir. ON dorultusuna dik ve
orijinden geen pi dzleminde [1 + 2 + 3 = 0] olduundan eksenlerin bu
dzlem zerindeki izdmleri 120o 'lik a yaparlar, ekil 2.36
dzlemindeki bir P noktasnn kutupsal koordinatlar r ve olsun.
-
- 30 -
imdi 1 , 2 ve 3 'un pi
ekil 2. 36 Kutupsal koordinatta gerilme
dzleminde bulunan eksen takmndaki bileenlerini bulalm. Mesela 1
gerileme vektr iin
(ekil 2.37) eklinden
32
)3(11OKcosaOL 121 === [2.80]
nk Cosb = 1 3 olduundan Cosa = 32bcos1 2 =
ekil 2. 37 Gerilme vektr
Bu durumda 1, 2 ve 3 ' n p dzlemindeki izdmleri
132
, 232
, 332
ve
a = 2
cos032
cos3032 12
1
=
-
- 31 -
b = 332
- 232 Sin30o- 1
32 Sin30o
b = 6
1 (23
- 2 - 1)
r 2= a 2 + a 2 = 31
[(1- 2)2 + (2- 3)2 + (3- 1)2] = o2 [2.81]
r2 = 20 2
= sabit
ve
)3(2
tga
btg
12
12311
==
yleyse bu silindirin, silindire dik bir dzlemle arakesiti
Von-Mises kriterlerinde bir
ekil 2. 38 boyutlu uzayda Von-Mises ve Tresca kriteri
dairedir. (ekil. 2.38.)Tresca kriterlerinde ise bu altgendir.
Sonu olarak buradan grlmektedir ki, boyutlu halde akma yzeyi
Von-Mises
kriterinde bir silindir ve Tresca kriterlerinde de bir prizmatik
yzeydir; bunlarn yanal yzeylere dik kesitleri de srasyla daire ve
altgendir.
3. SONLU ELEMANLAR METODU
Mukavemette ve yap elemanlarnn boyutlandrlmasnda temel
karakteristik deer bulunmaktadr.
Bunlar, mukavemet (akma veya krlma), rijitlik ve buna bal olarak
deformasyon ve stabilitedir. Stabilitede kritik parametreler
dierlerinden ok daha farkldr. Akma ve kopmada sistemdeki gerilmeler
belirli bir deeri amsa sistemde emniyet kalmamtr denir. Bu tip
problemlere gerilme problemi denir. Mhendisler uratklar kompleks
problemlere dorudan yaklaamadklar ya da dorudan yaklamla zmn daha
zor olduu durumlarda ana problemi daha kolay anlalabilen alt
problemlere ayrp, sonra bu alt problemlerin zmnden orijinal
problemin zmn elde etmeleri ou zaman kullanlan tabii metodudur.
-
- 32 -
Problemin zmnde, iyi tanmlanm sonlu sayda eleman kullanarak
yeterli bir model elde edilebilir. Byle problemler sonlu olarak
adlandrlr. Baz problemler matematiksel sonsuz kk kurgusuyla
tanmlanabilir. Bu tanm diferansiyel denklemlere veya sonsuz sayda
eleman kullanmna gtrr. Bu sistemler srekli olarak vasflandrlr.
Gerekte elastik srekli ortamda elemanlar aras balant noktalarnn
says sonsuzdur.
Sonlu elemanlar metoduyla bu sonsuz saydaki balant sonlu bir
sayya indirgenir. Cisim sanki sadece bu noktalardan birbiriyle
balym gibi dnlr. Sonlu sayda bu balant noktalan ne kadar oaltlrsa
bu metot ile yaplan zmdeki hata oran o kadar klr. Dier taraftan bu
saynn ok fazla artmas da saysal zmlemede byk zorluk getirir.
Bilgisayarlar yardmyla bu zorluk bir derece giderilmitir.
Sonlu eleman metodunun nemli bir zellii, tm problemi temsil
etmek zere elemanlar toplamadan nce, her bir eleman iin ayr formln
kullanlmasdr. Eer bir gerilme analizi problemi ile urayorsak her
bir elemana etki eden d kuvvetler ile elemann dm noktalarnn, yer
deitirme bantlar bulunduunda tm sistem zlm olur. Bu ekilde kompleks
bir problem olduka basit bir probleme dnr. Sonlu elemanlar
metodunda eleman zellikleri deiik yollardan formle edilir. Genelde
uygulanan zm metotlar;
1- Direkt yaklam
2- Varyasyonel yaklam
3- llm kalc yaklam 4- Enerji dengesi yaklam eklindedir.
Kullanlan yaklam ne olursa olsun sonlu eleman metoduyla problem
zmnde aadaki yol takip edilir; a) Srekli ortamn (cismin) hayali
izgilerle veya yzeylerle elemanlara blnmesi elemanlarn geometrisi
ortamn fiziki yapsna uygun seilmelidir. b) Komu elemanlar
birbiriyle belirli sayda dm noktalan vastasyla balanm kabul edilir.
Bu dm noktalarnn yer deitirmeleri basit yaplarn analizinde olduu
gibi problemin bilinmeyen ana parametreleridir. c) Her bir sonlu
elemann yer deitirmesini tanmlamak iin dm noktalarnn yer
deitirmeleri cinsinden fonksiyonlar seilir (genelde bir
polinomdur). Polinomun derecesi elemana konulan dm saysna
baldr.
-
- 33 -
d) Elemanlar ve yer deitirme fonksiyonlar seildikten sonra her
bir elemann zelliklerini ifade eden matris denklemleri tekil
edilebilir. Bunun iin yukarda bahsedilen drt yaklamdan biri
kullanlr. e) Elemanlara blnen sistemin zelliklerini bulmak iin
elemanlarn zelliklerim toplamak gerekir, dier bir ifadeyle
elemanlarn davranlarn ifade eden matris denklemlerini
birletirerek
4. CATIA PROGRAMI HAKKINDA
Kritik hesaplamalarn gerekli olduu uak endstrisinde zellikle
bilgisayarla tasarm nem kazanmaktayd. Uak konstrktrleri uak
formunun optimizasyonu ve arlnn minimize edilebilmesi iin gerekli
olan akkan hareketleri ve mukavemet testleri adna bir takm
programlar gelitirdiler.
Bundan birka zaman nce Fransz uak imalatlarndan Dassault
Aviation irketi yzeyleri bir bilgisayarda oluturabilmek iin
almalara balad. Bu amala 1969 da interaktif bir grafik programn
oluturulmas faaliyetlerine nayak oldular.
-
- 34 -
Bu programn yardmyla srt ve kanat yzeylerinin tasla bilgisayarda
sakland gibi izilebiliyordu. Bu veriler daha sonra aerodinamik
aratrmalar, yap analizi ve NC tezgahlarn kumanda edilmeleri iin
kullanld. Bu tarzda gelitirilmi ilk uak Alpha-Jetdir.
CATIA-Fonksiyonu SPLINE bu programla gelitirilip o zamandan bu
bugne hemen hemen hi deimeden gelmitir.
1975 de Dassault Aviation ( Havaclk) bir Amerikan firmas olan
Lockheed den 2D izim paketi olan CADAM' ald. 3D geometrik
tanmlamalar iin bu programa karlk, geliimine 1977'de balanan
kendine has bir yazlm tasarland. Buna da CATIA (Computer Aided
Three-Dimensional Interactive Application / boyutlu bilgisayar
destekli etkileimli uygulama ) ad verildi.
1979 ncesi CATIA ile ilk hava kanal modeli 4 hafta ierisinde
tamamland. Daha nceleri bu alma iin 6 haftaya ihtiya
duyuluyordu.
Zaman iinde Francis Bernardn idaresindeki gelitirme grubundaki
eleman says 3 den 15'e kt. Gelitirilmesine gerekli olan yksek
maliyet an kapatmak iin CATIA'y pazara sunma kararna varld. 1981 de
Dassault Systemes firmas Dassault Aviationun bnyesinde barnan bir
ube olarak tesis edildi. Yine ayn yl IBM ile yazlmn pazarlanmas
hususunda szleme yapld.
1981 Kasm aynda CATIA V1, IBM tarafndan Mainframe ortamna
aktarld. CATIAnn teknolojik avantajlar ve hardwaredeki fiyat d hzl
bir geliime sebep oldu. 1985'de V2 tantld. 1988'de V3 ile birlikte
i istasyonuna dnme devresi balad. Gncel CATIA V4 1993 senesinde
pazara sunuldu. Bu esnada Dassault Systemesin alanlarnn says 1000i
at.
CATIA V4 ksa srede zellikle ana sanayi ve byk lekli yan sanayi
firmalar tarafndan benimsendi ve kullanm giderek daha fazla
yaygnlat. Bu geliime paralel olarak Dassault Systemesin baka bir
Fransz yazlm irketi Matra Datavisionu bnyesine katmasyla yazlm daha
da glendi.
2000 ylna yaklaldnda, PClerin giderek glenmesiyle birlikte,
Windows iletim sistemi i istasyonlarnda da yaygnlat ve CAD/CAM/CAE
sistemlerinde kabul grmeye balad. Bu geliime paralel olarak 2000
ylnda, tamamen Windows iletim sistemi iin yeniden yazlm olan CATIA
V5 duyuruldu.
CATIA V5 gerek kullanm kolayl, gerekse sunduu esneklik, bilgi
birikimini deerlendirebilme gibi avantajlarla pazarda ok abuk
yaygnlat. zellikle endstride anasanayi - yansanayi entegrasyonunun
nem kazanmasyla, orta ve kk lekli yan sanayi
firmalar tarafndan da benimsendi.
-
- 35 -
CATIA V5, IBMin dnyada ilk defa ortaya att ve bugn hemen hemen
tm byk lekli CAD/CAM/CAE yazlm firmalar tarafndan da kullanlan PLM
(Product Lifecycle Management- rn Yaam evrimi Ynetimi) kavramnn
yaygnlamasnda temel rol stlendi.
Bugn artk CATIA otomobil, uak, makina ve dayankl tketim eyas
endstrilerinde 200.000 den fazla kullanc tarafndan en nde gelen st
seviye CAD/CAM/CAE sistemi olarak tercih edilmektedir.
Bilgisayar teknolojisindeki ve CAD/CAM/CAE sistemlerindeki hzl
ilerlemeler sayesinde karmak mhendislik problemleri artk eskisine
gre daha kolay modellenebilmektedir. lk prototipin retiminden nce
birka alternatif bilgisayar ortamnda test edilebilmektedir. Bu
saylan ilerlemeler sayesinde, temel teorileri, modelleme
tekniklerini ve sonlu elemanlar metodunu kullanan bilgisayar
programlarn kullanarak problemleri ok daha hzl zmek mmkn
olabilmektedir. Bu ekilde yaplan bir analizde ok karmak ve byk bir
geometrik ekil, sonlu elemanlar olarak adlandrlan ok basit ve ufak
elemanlara blnmektedir. Bu sonlu elemanlarn malzeme zellikleri ve
davransal zellikleri tanmlanr ve eleman kelerinde bu zellikler
bilinmeyen deerler gibi ifade edilir. rnein bir montaj prosesinin
analizinde, montaj ok ufak olan sonlu elemanlara blnr, daha sonra
yklenmeleri ve snr artlarn ieren birka denklem oluturulur ve bu
denklemlerin zlmesiyle asl sistemin yani montaj prosesinin davran
ekli yaklak olarak elde edilmi olur.
Sonlu elemanlar metodu, mhendislik problemlerinin byk bir blmnn
saysal olarak zmlerinin bulunmasnda yararlanlan gl bir aratr. Sonlu
elemanlar metodundan otomobil, uak, bina ve kpr tasarmlar srasnda
deformasyon ve gerilme hesaplarndan, s transferi ve akkan
problemleri ile manyetik alan hesab gibi birok karmak problemlerin
zmne kadar faydalanlabilir.
Sz konusu analizler iin CATIA V5 in Generative Structural
Analysis adl arayz kullanlacaktr. Arayz ierisinde Sonlu Elemanlar
Metodu kullanlarak para bazl ve montaj bazl eitli analizler
yaplabilmektedir. CATIA V5 ortamnda yaplabilecek analizler; statik
lineer (eilme, burulma, burkulma vs.) analizler ve titreim (modal,
transient, harmonik) analizleridir.
-
- 36 -
5. ZOTROPK VE ORTOTROPK MALZEMENN GERLME ANALZ
ekil 5.1de bu almada izotropik ve ortotropik olarak analizi
yaplacak olan geometri verilmektedir. i bo daire halkas eklindeki
silindir parann dolu ksmnn ortasnda dairesel kesitli ve evresel
boluun olduu farzedilen ve alt ksm sabit olarak balanm olan
silindir elemann st ksm dzgn yayl ekme yk etkisine maruz
braklmtr.
-
- 37 -
ekil 5. 1. Analizi yaplacak elemann teknik resmi ve snr
artlar
almamzn konusunu oluturan geometrinin perspektif grn, mesh dalm
ve snr artlarnn uygulama yerleri ekil 5.2de grlmektedir.
-
- 38 -
ekil 5. 2. Catia V5 programnda eklin grn ve melenmi hali.
almann konusunu oluturan geometri alt ksmndan ankastre
mesnetlenmi ve y-ekseni boyunca F=1000 N/m2 olacak ekilde
yklenmitir. Alnan parametrelere gre meydana gelen elaman ve dm says
Tablo 5. 1. de grlmektedir.
Tablo 5.1 elik ve ortotropik numunelerde kullanlan dm ve eleman
saylar
Delik Yarap : r (mm) Dm Says
Eleman Says
3 37768 30559 5 36954 29868 7 26436 22154 9 26460 22106
11 26215 21931
Deliin silindir merkezine uzakl : R (mm)
Dm Says
Eleman Says
50 33543 27245 60 37617 30316 70 36954 29868 80 40225 32015 90
39767 31153
Seilen malzemelerin mekanik zellikleri; elik iin E=200 GPa ve
=0.266 alnmtr.
Ortotropik malzeme iin E1 = 138 GPa, E2G = E3 = 14.5 GPa, G12 =
G13 = G23 = 5.86 GPa, 12 =
13 = 23 = 0.21 alnmtr.
-
- 39 -
5.1. Analiz sonular
Dairesel kesitli boluk evresinde oluan maksimum gerilme
deformasyonun grld ilk blgeler olaca iin byk yk altnda kopma olay
buradan balayacaktr. Programda bu blgelerin resimleri alnmtr. Bu
blgelerin grafii kartlmtr. ekil 5. 3. de x ekseni zerindeki deerler
gz nne alnarak grafik izilmitir.
ekil 5. 3. Gerilme deerlerinin alnd blge
ekil 5. 4. Dairesel kesitli boluk blgesi
ekil 5. 3. ve ekil 5. 4. te dairesel kesitli boluk blgesindeki
gerilme dalm grlmektedir. Dairesel boluk evresindeki krmz blgeler
gerilmenin en byk olduu deerlerdir. Mavi renkli blgeler ise
gerilmenin en dk olduu blgeleri tanmlamaktadr. Bylece dairesel
boluk evresindeki gerilme dalmn renklere gre tespit etmek
mmkndr.
-
- 40 -
5.1.1 elik Malzeme iin Analiz Sonular
5.1.1.1. Dairesel boluk merkezinin silindir merkezine uzaklnn
(R) deiimine gre
R=50mm ve r=5 mm iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 5. R = 50mm iin gerilme deiimi
Yukardaki analiz sonularna gre, maksimum gerilme dairesel boluk
ile silindirin i yzeyi arasndaki ksmnda meydana gelmektedir. Bu
ksmdaki mesafenin az olmas nedeniyle bu blgelerde gerilmelerin
yksek kmas beklenen bir sonutur. Yukardaki ekilde, kesitte meydana
gelen gerilme deerleri renk haritasna gre okuna bilmektedir. Snr
artlarnn ve eklin simetrik olmas nedeniyle gerilme deerleri dikey
kesitte grld gibi simetrik dalmtr. ekle gre maksimum gerilme deeri
1,29x105 N/m2 dir.
-
- 41 -
R=60 mm ve r=5 mm iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 6. R = 60mm iin gerilme deiimi
ekil 5. 6. daki grafie gre silindir i yzeyi ile dairesel boluk
arasndaki mesafenin silindir d yzeyi ile dairesel boluk arasndaki
mesafeden daha az olmasndan dolay dairesel boluun sol tarafndaki
gerilme deeri sa taraftaki gerilme deerinden daha yksek deerlerde
meydana gelmektedir. Silindir i yzeyi ile dairesel boluk arasndaki
mesafenin artmasndan dolay maksimum gerilme deeri ekil 5. 5. e gre
daha dktr. ekle gre maksimum gerilme deeri 1,16x105 N/m2 dir.
-
- 42 -
R= 70 mm ve r=5 mm iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 7. R = 70mm iin gerilme deiimi
R=70 mm olmas ile silindir cidar kalnlnn ortasna gelen dairesel
boluun ekil 5. 7. de daha dengeli bir gerilme dalmna sebep olduu
grlmektedir. Bu ekilde maksimum gerilme deerinin bir nceki ekil 5.
6. ya gre daha da dt grlmektedir. Silindir i ve d apn arasndaki
orta noktas olan R=70 mm deerinde gerilme deerinin en dk olmas
beklenmektedir. Grld gibi dier R deerleri iinde en dk maksimum
gerilme deeri 1,06x105 N/m2 dir.
-
- 43 -
R= 80 mm ve r=5 mm iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 8. R = 80mm iin gerilme deiimi
ekil 5. 8. de grld gibi dairesel boluk evresindeki gerilme dalm
gerilmenin yksek olduu her iki blge iin maksimum gerilme deerleri
birbirine yaklamtr. Bu verilere gre dairesel boluun ikiye bld kesit
alannn dairesel boluk evresinde oluan gerilme younluuna etkisini
grmek mmkn olmaktadr. Dairesel boluk, silindir d cidarna yaklatka
bu ksma yakn taraftaki gerilme deerinin art gzlemlenmektedir. Bir
nceki maksimum deer 1,06x105 N/m2 iken R deerinin 80mm olmasyla
1,12x105 N/m2 olmutur.
-
- 44 -
R= 90 mm ve r=5 mm iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 9. R = 90mm iin gerilme deiimi
ekil 5. 9. da grlen gerilme deerinin silindirin d cidarna yakn
ksmnda ilk kez byk olduu grlmektedir. ekildeki maksimum gerilme
deeri bir nceki deere gre art gstermitir. Daha nceki verilere
bakarak dairesel boluun konumunun, boluun hangi blgelerinde gerilme
younlamasna etki ettii grlmektedir. Bu deerle birlikte dairesel
boluun i ve d cidarlarna yakn ksmlarda gerilme deerlerinin daha
yksek olmas nedeniyle bu ksmlardan malzemenin kopmaya balamas
beklenmelidir.
-
- 45 -
5.1.1.2. Dairesel kesitli boluk yarapnn (r) deiimine gre
r= 3 mm ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ise
s(N
/m2)
ekil 5. 10. r = 3mm iin gerilme deiimi
Yukardaki ekilde, dairesel boluk etrafnda meydana gelen gerilme
dalm grlmektedir. Maksimum gerilme deerlerinin olutuu dairesel
boluk blgesi ekil 5.10. da grlmektedir. Yarap (r = 3) deeri en kk
deer olduu iin kesit alan en byk kacaktr. Bu nedenle bu gerilme
deerinin daha byk yaraplara gre, dairesel boluk cidarnda oluan en
dk maksimum gerilme deerinin kmas beklenmektedir. Bu r yarapndaki
maksimum gerilme deerinin 9,8x104 N/m2 olduu grlmektedir.
-
- 46 -
r= 5 mm ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 11. r = 5mm iin gerilme deiimi
ekil 5. 11. de grld gibi maksimum deer 1,06x105 N/m2 dir. Bir
nceki ekle gre maksimum gerilme deerinin artt grlmektedir. Bunun
nedeni delik apnn artmasyla birlikte yk karlayan alann klmesidir.
Gerilme tanm Kuvvet/Alan ise, bunun sebebini aka ortaya koymaktadr.
Dairesel boluun etrafnda oluan gerilme younluunun silindirin i
cidarna yakn olan ksmnda daha yksek olduu grlmektedir.
-
- 47 -
r= 7 mm ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-m
ises
(N/m
2)
ekil 5. 12. r = 7mm iin gerilme deiimi
Maksimum gerilme deeri, alann klmesiyle ters orantl olarak
artmaktadr. Dairesel boluk evresindeki gerilme younluu da r yarapnn
artmasyla daha belirgin hale gelmektedir. Bu ekildeki maksimum
gerilme deeri 1,12x105 N/m2 dir. Gerilme younluu yine dairesel
boluun i cidara yakn olduu ksmda biraz daha fazladr.
-
- 48 -
r = 9 mm ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 13. r = 9mm iin gerilme deiimi
ekil 5. 13. e gre maksimum gerilmedeki art yine
gzlemlenmektedir. Bu ekildeki maksimum gerilme deeri 1,19x105 N/m2
dir. ksmdaki gerilme younluu yine d ksma gre daha fazladr.
-
- 49 -
r = 11 ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 14. r = 11mm iin gerilme deiimi
ekil 5. 14.teki gerilme dalm ekil 5.13. ile benzer zellikler
gstermektedir. Dairesel boluk blgesindeki maksimum gerilme deeri
delik apnn artmas ile daha da artmtr. Maksimum gerilme deeri olan
1,23x105 N/m2 lik deer hesaplanan en byk r yarap iin elde edilen en
byk deerdir.
-
- 50 -
5.1.2. Ortotropik Malzeme ile Yaplan Analiz Sonular
5.1.2.1. Dairesel boluk merkezinin silindir merkezine uzaklnn
(R) deiimine gre
R= 50 mm ve r=5 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100(mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 15. R = 50mm iin gerilme deiimi
ekilde grld gibi gerilme i boluk evresinde younlamtr. Gerilme
eklin geneline yaylma gstermemitir. Gerilme younluun elik
malzemesinde olduu gibi silindir geometrisinin i cidarna yakn yerde
daha yksek olduu grlmektedir. Ayrca ortotropik malzemede E1 ve E2
deerlerinin farkl olas nedeniyle ekilde yatay kesitte x ve z
eksenleri boyunca gerilme dalmnda simetriklik grlmektedir. elik
malzemede ise bu simetriklik orijine gre olmaktadr. Dairesel boluk
evresinde oluan maksimum gerilme deeri 1,32x105 N/m2 dir.
-
- 51 -
R= 60 mm ve r=5 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100(mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 16. R = 60mm iin gerilme deiimi
Maksimum gerilme deerini 1,22x105 N/m2 olarak hesapland
grlmektedir. Bu deer bir nceki deerin altndadr. Bylece dairesel
boluk evresindeki maksimum gerilme deerinin i cidardan orta ksma
yaklamasyla azalma gsterdii anlalmaktadr. ekil 5. 16. da gerilmenin
eksenlere gre simetrik dalm ortotropik malzeme iin daha belirgin
biimde grlmektedir.
-
- 52 -
R= 70 mm ve r=5 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5.17. R = 70mm iin gerilme deiimi
boluk evresindeki maksimum gerilme deeri bir nceki R deeri iin
azalma gstermitir. Bu sonuca gre daha nceki elik malzemenin
analizinde olduu gibi R=70 olduu durumda maksimum gerilme deerinin
en dk noksanna geldii grlmektedir. ekil 5. 17 de grld gibi bu deer
1,09x105 N/m2 dir. Bu, silindirin i ve d cidar arasnda tam orta
noktadaki dairesel boluk iin beklenen bir sonutur.
-
- 53 -
R= 80 mm ve r=5 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 18. R = 80mm iin gerilme deiimi
Dairesel boluk evresinde oluan maksimum gerilme deeri bir nceki
ekle gre artmtr. Bu ekildeki maksimum deer 1,16x105 N/m2 dir.
Dairesel kesitli boluk evresindeki gerilme younluunun silindirin d
cidarna yakn ksmnda daha fazla olduu grlmektedir. (ekil 5.18)
-
- 54 -
R= 90 mm ve r=5 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
1,60E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 19. R = 90mm iin gerilme deiimi
Gerilme younluu d cidar civarnda iyice belirginlemektedir. nk
cidar kalnlnn azalmas gerilmenin bu ksmda younlamasna sebep
olmutur. Bununla birlikte R=90 deeri iin en yksek gerilme deeri
olumaktadr. Maksimum deer ekil 5.19. da grld gibi 1,34x105 N/m2
dir.
-
- 55 -
5.1.2.2. Dairesel kesitli boluk yarapnn (r) deiimine gre
r= 3 mm ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 20. r = 3mm iin gerilme deiimi.
Setiimiz dairesel boluk apnn en kk r deeri iin maksimum gerilme
deeri 1,01x105 N/m2 dir. Gerilme younluu i cidara yakn blge iin
daha fazladr. ekil 5. 20. de x ve z eksenlerine gre simetrik olduu
da grlmektedir.
-
- 56 -
r= 5 mm ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 21. r = 5mm iin gerilme deiimi
ekil 5.21. de maksimum gerilmenin dairesel boluk cidarnda artt
grlmektedir. Burada deien parametre r yarapnn artmasdr. Daha nce
belirtildii gibi, bu kuvvet ynne dik kesit alannn klmesi demektir.
Basit olarak gerilme kesit alanyla ters orantl olarak deimekte ve
alan kldke gerilme deeri artmaktadr. Dairesel kesitli boluk
evresinde oluan maksimum gerilme deeri 1,09x105 N/m2 dir.
-
- 57 -
r= 7 mm ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 22. r = 7mm iin gerilme deiimi
ekil 5. 22. de x ve z eksenlerine gre gerilme dalmnn eksenlere
gre simetrik olduu, ekil 5. 21. e gre daha iyi grlmektedir. Bir
nceki ekle gre maksimum gerilme deerinde art grlmektedir. Maksimum
gerilme deeri 1,16x105 N/m2 dir.
-
- 58 -
r = 9 ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 23. r = 9mm iin gerilme deiimi
Gerilmenin younlat dairesel kesitli boluk evresinde oluan
maksimum gerilme deeri 1,22x105 N/m2 dir. Yine bir nceki ekle gre
maksimum gerilme deerinde art grlmektedir. ekil 5. 23. e gre
gerilmenin younlat blge artmtr. Bu sonu bu blgenin daha ok
deformasyona urayaca anlamna gelmektedir.
-
- 59 -
r = 11 ve R=70 iin:
0,00E+00
2,00E+04
4,00E+04
6,00E+04
8,00E+04
1,00E+05
1,20E+05
1,40E+05
40 50 60 70 80 90 100
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
ekil 5. 24. r = 11mm iin gerilme deiimi
ekil 5. 24. te yksek gerilmelerin younlat alanda art
grlmektedir. Bu ekilde rnin en byk deeri iin maksimum gerilme deeri
1,29x105 N/m2 dir. elik malzemede olduu gibi maksimum gerilme deeri
olan r=11 yarap iin analiz sonucunda en byk deer elde
edilmitir.
-
- 60 -
5. 3. Elde edilen analiz sonularnn genel deerlendirilmesi
Aadaki grafik, dairesel kesitli boluk merkezinin silindir
merkezine olan uzaklnn deimesiyle meydana gelen maksimum gerilme
deerlerini gstermektedir.
1,00E+05
1,05E+05
1,10E+05
1,15E+05
1,20E+05
1,25E+05
1,30E+05
1,35E+05
1,40E+05
50 60 70 80 90
R (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
elikOrtotropik
ekil 5. 25. R mesafesinin deiimine bal olarak maksimum gerilme
deerleri.
ekil 5. 25. de grld gibi R mesafesi kesintin tam ortas olarak
alndnda (R=70 mm) hem izotropik hem de ortotropik malzeme iin en dk
gerilme deerleri elde edilmektedir. R mesafesi silindir i ve d
yzeyine doru kaydrldnda orta kesitteki gerilme deerlerinden daha
yksek gerilmeler olumaktadr. zotropik (elik) malzeme ile ortotropik
malzemenin, maksimum Von-Mises elenik gerilme deerleri arasnda kk
deer farkllklar olduu ekil 5. 25. grafiinde grlmektedir.
-
- 61 -
ekil 5.26 dairesel kesitli boluk apnn deimesiyle meydana gelen
gerilme deiiminden hareketle elde edilen maksimum gerilme sonularn
gstermektedir.
8,00E+04
9,00E+04
1,00E+05
1,10E+05
1,20E+05
1,30E+05
1,40E+05
3 5 7 9 11r (mm)
Von
-M
ises
(N/m
2)
elikOrtotropik
ekil 5. 26. Dairesel boluk apnn (r) deiimine bal olarak maksimum
gerilme deiimi.
ekil 5. 26. de grld zere hem izotropik (elik) hem de ortotropik
malzeme iin dairesel boluk yarap r=3 mm iin en kk r=11 mm iin ise
en byk gerilme deerleri elde edilmitir. Delik yarap bydke yke kar
dik kesit alan kldnden dolay oluan gerilme deerleri artmaktadr ki
bu beklenilen bir sonutur. Ayrca, nceki ekilde olduu gibi bu ekilde
de elik ile ortotropik malzeme arasndaki gerilme farknn ok dk olduu
grlmektedir.
-
- 62 -
6. SONULAR
Bu almada ierisinde dairesel kesitli evresel boluk bulunan
izotropik ve ortotropik malzemeden oluan silindir eklindeki bir
makine elemannda, dairesel boluun i yarap (r) ve boluk merkezinin
silindir merkezine olan uzakl (R) deitirilmek suretiyle gerilme
analizi yaplmtr. Analizler 5 farkl dairesel boluk yarap (r) ve 5
farkl R deerinde gerekletirilmi ve aadaki sonular elde
edilmitir.
zotropik malzeme iin R deeri silindir i cidarndan cidarn orta
ksmna ilerledike meydana gelen gerilme deeri d sergilemekte ve
cidarn tam orta ksmnda (R=70 mm) minimum deerini almaktadr. Cidarn
orta ksmndan sonra gerilme deeri tekrar bir art gstermekte ve R=90
mm de, R=50 mm deki gerilme deeriyle hemen hemen ayn olmaktadr.
Ortotropik malzeme iin R deerinin deiimiyle gerekletirilen
analiz sonularndan elde edilen gerilme deerleri, seilen ortotropik
malzemenin elastisite modl izotropik malzemenin elastisite modlnden
daha dk olduundan, izotropik malzeme iin elde edilen gerilme
deerlerinden daha yksek olarak elde edilmektedir. Burada da gerilme
deerleri cidarn tam orta ksmnda minimum iken i ve d cidarda
maksimum deerlerde meydana gelmektedir.
Dairesel kesitli boluun yarap (r) artka, silindir kesintinin
alan azalmakta ve bu sebepten dolay da hem izotropik hem de
ortotropik malzeme iin meydana gelen gerilme deerleri
artmaktadr.
-
- 63 -
KAYNAKLAR
1. Bathe, KJ., 1982, Finite Element Procedures in Engineering
Analysis, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey. 2.
Cheung, YK., Yeo, MF., 1979, A Practical Introduction to Finite
Elements Analysis, Pitman Publishing Limited, London. 3. Kato, A.,
1991, Journal of Strain Analysis, Design Equation for Stres
concentration Factors of Notched Strips and Grooved Shafts, Vol.
26, pp. 21-28. 4. Turgut A., Geit M. R.,1988, A Semi-Infinite
Elastic Strip Containing aTransvverse Crack, The Arasian Journal,
V.3, January
5. Turgut A., Arslan N.,1992, Kenarlarnda U entikler Bulunan
zotrop ve Kompozit Levhalarda Gerilme Ylma Katsaylarnn Sonlu
Elemanlar Analizi Metoduyla Tesbiti, Tr. Journal of Engineering and
Environmental Sciences, Cilt 16, Sayfa 123-130 6. Turgut, A.,Arslan
N.,Sancaktar, E.,1993 ,The Effect of Fiber Type on The Level of
Stres Concentration Creates By U- Notches In Long-Fiber Conposite
Plates, ASME, New Mexico 7. Arslan, N., Turgut, A. And Sancaktar,
e., 1993, Reliability, Stres Analysis, and Failure Prevention, The
effect of Fiber Type on the Level of Stres Concentration Created by
U-Notches in Longer-Fiber Composites Plates, ASME ,DE-Vol.55,pp.
125-134. 8. Arslan, N., Turgut, A. And Sancaktar E., 1996,
Reliability, Stress Analysis, and Failure Prevention Issues in
Fastening and Joining, Composite and Smart Structures, Numerical
and FEAS Methods, Risk Minimization, ASME ,Elasto-Plastic Finite
Element Analysis of Isotropic Plates with U-Nothches, DE-Vol. 92,
pp. 45-48. 9. Gibson., FR., 1994, Principles of Comosite Material
Mechanics. McGraw-Hill International Editions, 1994. 10. Dowling,
NE., 1993, Mechanical Behavior of Material , Prentice-Hall Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey.
11. Arslan, N., Sancaktar, E. And elik, M., 2000, Proceeding of
DETC 2000 ASME 2000 Design Engineering Technical Conferences an
Computers and Information in Engineering Conference, Elasto-Plastic
Behavior of Thermoplastic Matrix Roller Chain Link Plates
Reinforced with Steel Fibers, Baltimore, Marylandi September
10-13, pp. 1-10. 12. Geit M.R., Turgut A.,1987, Extention of Finite
Strip Bonded to Rigid Support, Comptational Mechanics, V.3, Page
398-410 13. Arslan, N., Turgut, A.,Gr,M.,1995, U entikli zotropik
Levhalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi, 6.Denizli Malzeme
Sempozyumu,Pamukkale niversitesi Mh. Fak. Denizli
-
- 64 -
14. Gr, M., Turgut, A., 1998, Kompozit Malzemeli Fatural Bir
Kirite Gerilme Analizi, Harran niv. GAP 2. Mhendislik Kongresi
anlurfa 15. Gr, M., Turgut, A., Sancaktar, E.,1995,The Effect of
Fiber Type on The Level of Stressn Concentration Creates in
Filletes Composite Rectangular Bars in Bending, ASME, San
Francisco, California, USA
16. Arslan, N., Turgut, A.,Sancaktar.,E.,1996,Elasto-Plastic
Finite Element Analysis of Isotropic Plates with U- Notches, ASME,
Atlanta, Georgia, USA
15.Catia V5, Cad/Cam Lab., 2001,Whicita State University,
National Institute for Aviation Research.
16. Catia v5r9, 2002,CAD TECH IBERICA, S.A. Area de
Formacion,
.