Catedra Metodos Numericos - Ingenieria Civil · METODOS NUMERICOS Ingeniería Civil ... COMPARACIÓN CON LA CURVA DE REGRESIÓN Comparación Interpretación (1) La Curva de regresión

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

CATEDRA 10

Capitulo X

AJUSTE DE CURVAS APROXIMACIÓN FUNCIONAL

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Ajusteu Polinomios de Taylor

u Mínimos Cuadrados

u Minimización de normas

u Aproximación Racional

u Series de Fourier

u Curvas de Bezier

u B-Splines

Interpolacionu Interpolación Polinomial

u Polinomios Osculadores: Interpolación de Hermite

u Interpolación Racional: Aproximaciones de Pade

u Interpolación segmentaria: Splines

u Otros

Hora 6 8 10 12 14 16 18 20Grados 7 9 12 18 21 19 15 10

Un problema de Aproximaciónu Evolución de la temperatura diurna

4

8

20

6 8 10

12

14

16

18

20

22

6

10

12

14

16

18

22

Hora

Gra

dos

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Método de Mínimos Cuadrados

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

RegresiónSe define Regresión al método de investigación deuna relación entre una variable llamada dependientey una o varias variables llamadas independientes.

..

. .yj

xi

ei

y = ax + b.x¿ a , b?

Lo que queremos obtener con el método de los

mínimos cuadrados es que los errores ei sean mínimos.

MÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOSEcuaciones Normales

(1)

(2)

k

1i

p

1jijij

x|y 0fx.bay2a

ba,ER

k

1i

p

1jjiij

x|y 0fxx.bay2b

ba,ER

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

0b 0b

Recta de Mínimos Cuadrados de x|y

b = Coeficiente de Regresión

y.bax

x.bya 2x

xy

SS

b

)y(ySS

)x(x 2y

xy

y

x

y

x

Relación de Tipo Directo

Relación de Tipo Inverso

MEDIDAS DE DEPENDENCIA ESTADÍSTICA

Varianza ResidualSe define la Varianza Residual de Y sobre X, como la varianza de los errores ei , i = 1,…, n (entre valores yi , yi*)

Se define la Varianza Residual de X sobre Y, como la varianza de los errores ei´ , i = 1,…, n (entre valores xi , xi*)

n

1i

2i

2x)|e(y ee

n1S

n

1i

2i

2y)|(xe ee

n1S


Ecuaciones Normales de la Recta de Mínimos Cuadrados y|x

(1)

(2)

(1)

(2)

k

1i

p

1jijij

x|y 0fx.bay2a

ba,ER

k

1i

p

1jjiij

x|y 0fxx.bay2b

ba,ER

n

1ii 0e

n

1iii 0xe


Coeficiente de DeterminaciónSe define el Coeficiente de Determinación de Y sobre X como:

Se define el Coeficiente de Determinación de X sobre Y como:

2Y

2X)|e(Y

2Y

2Y*2

X|Y SS

1SSR

2X

2Y)|e(X

2X

2X*2

Y|X SS

1SSR

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL

Coeficiente de Correlación LinealEl Coeficiente de Correlación Lineal de X e Y, se define como:

Propiedades:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) X e Y dependen linealmente X e Y están incorreladas linealmente

(6) Si X e Y son independientes --> X e Y están incorreladas linealmente.

YX

XY

SSSr

2Y

2X|Y S).r(1m 2

X2

Y|X S).r(1m 2

Y|X2

X|Y2 RRr

b.br 2 1r11r0 2

1r 0r

COMPARACIÓN CON LA CURVA DE REGRESIÓN

Comparación

Interpretación(1) La Curva de regresión de Y sobre X es la recta demínimos cuadrados de Y sobre X.

(2) Las dos curvas de regresión son las rectas demínimos cuadrados.

(3) Proporción que explica la variabilidad deY sobre la recta de mínimos cuadrados de Y|X

0rη10rη1

22Y|X

22X|Y

2X|Y

2 ηr

2Y|X

2X|Y

2 ηηr

2Y

x|y2Y2

SmS

r0´75

RELACIÓN ENTRE VARIABLES ORDINALES

Coeficiente de Correlación de Spearman, rs

El Coeficiente de Correlación de Spearman para lasvariables X e Y en escala ordinal se define como elcoeficiente de correlación lineal entre ambas variables.

Interpretación:

(1)

(2) Relación exacta directa Relación exactainversa No existe una relación clara entre X e Y

1)n(n

d61

SSSr 2

2i

n

1i

YX

XYs

1r1 s

1rs 1rs 0rs

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

x

y

0mS 0

bS

N

ii

N

ii yxbaN

11

N

iii

N

ii

N

ii yxxbxa

11

2

1

(xi,yi)

y = b+mxyi -b-m xi

N

iii mxbyS

1

2)(

CRITERIO: Minimizar S

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

(Ajuste lineal)

MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal de N puntos)

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

22 xNx

xyNyxm 22

2

xNxxyxyxb

Nx

x

N

yy

222

xy m

22

2

xxNNm

22

22

xxNxb

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

Coeficiente de correlación

MÍNIMOS CUADRADOS (Ejemplo)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60

x

y

x x y y

50 2 10 2

40 2 21 230 2 31 220 2 43 210 2 54 2

09.010.1 m

365b

99967.0r

bmxy

x x y y xy x^2 y^2

150 10 159 10 3670 5500 6267

x x y y xy x^2 y^2

50 2 10 2 500 2500 100

40 2 21 2 840 1600 441

30 2 31 2 930 900 961

20 2 43 2 860 400 1849

10 2 54 2 540 100 2916

EJEMPLO 2: Índice de refracción

• Medida del índice de refracción de una lámina de vidrio

i

r

n

sen i = n sen r

i i r r

25 1 15 1

30 1 20 1

35 1 21 1

40 1 24 1

45 1 27 1

50 1 29 1

55 1 30 1

60 1 32 1

65 1 33 1

70 1 36 1

bmxy

x x y y

sen r sen r sen i sen i

1 0,2588 0,0169 0,4226 0,0158

2 0,3420 0,0164 0,5000 0,0151

3 0,3584 0,0163 0,5736 0,0143

4 0,4067 0,0159 0,6428 0,0134

5 0,4540 0,0156 0,7071 0,0123

6 0,4848 0,0153 0,7660 0,0112

7 0,5000 0,0151 0,8192 0,0100

8 0,5299 0,0148 0,8660 0,0087

9 0,5446 0,0146 0,9063 0,0074

10 0,5878 0,0141 0,9397 0,0060

Medidas en grados sexagesimales

Índice de refracción: medidas (2)

rni sinsin

iiii

ii

cossinsin

09.069.1 m

04.004.0 b

99301.0r

rrrr

rr

cossinsin

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

sen r

sen

i09.069.1 m

04.004.0 b

99301.0r

Índice de refracción: gráfica (3)

Índice de refracción

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

EJEMPLO 3. EXPONENCIALES

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

t (s)

V (volts)

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

/0

teVV

V )004.0008.5(0 V

s)2.05.251(

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

t

eVV /0

Descarga de un condensador


Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos

1

1 a

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

t (s)

ln (V/V0)

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0 tVV )/ln( 0

taay 10

)002.0015.0(0 a1-

1 s )000004.0003930.0( a


s

s’

ss

f1

'1

'1

f’

sf

s1

'1

'1

Ecuación de las lentes: forma de Gauss

EJEMPLO 4. FUNCIONES INVERSASFocal de una lente

s (cm) s’ (cm) 1/s (cm-1) 1/s’ (cm-1)97.50 67.65 0.010256 0.014782

106.00 63.95 0.0094340 0.015637

113.50 61.50 0.0088106 0.016260

120.30 59.70 0.0083126 0.016750

126.80 58.20 0.0078864 0.017182

(distancias s y s’ medidas con 0.05 cm)


Focal de una lente: tabla de valores

27

1.45 10-2

1.50 10-2

1.55 10-2

1.60 10-2

1.65 10-2

1.70 10-2

1.75 10-2

7.50 10-3 8.00 10-3 8.50 10-3 9.00 10-3 9.50 10-3 1.00 10-2 1.05 10-2

1/s

12 cm10003.0510.2'

1 f

a

004.0004.1 b

99998.0r

sb a

s1

'1

DETERMINACIÓN DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN



cm84.3910510.2

11' 2 a

f

cm05.0

10510.2

10003.01' 22

2

2

a

af

Ley de Malus

29

0 1 6 11 0 1 2 52 0 8 73 0 5 44 0 2 84 5 1 75 0 1 05 5 66 0 46 5 77 0 1 47 5 2 28 0 3 39 0 6 3

1 0 0 9 41 1 0 1 3 01 2 0 1 5 81 3 0 1 9 01 4 0 2 0 71 5 0 2 1 41 6 0 2 0 51 7 0 1 7 91 8 0 1 4 7

(º) I (lux)

0

50

100

150

200

250

0 40 80 120 160

I = m1 + m2 cos2(+m3)

m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) luxm3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924

Cont.

32 xcxbxaxy

2xcxbnay

4322 xcxbxayx

a, b, c Se determinan de las ecuaciones normales

Ecuaciones Normales

Año (X) Población (Y) Año (X) Población (Y)1790 4 1900 76

1800 5,3 1910 92

1810 7,2 1920 105,7

1820 9,6 1930 122,8

1830 12,9 1940 131,7

1840 17,1 1950 151,1

1850 23,2 1960 179,3

1860 31,4 1970 203,2

1870 39,8 1980 226,5

1880 50,2 1990 248,7

1890 62,9

PROBLEMA DE APLICACIÓN(Censo poblacional)

Año X Y X2 X3 X4 XY X2Y

1790 -10 4 100 -1000 10000 -0,04 0,04

1800 -9 5,3 81 -729 6561 -0,0477 0,0429

1810 -8 7,2 64 -512 4096 -0,0576 0,0461

1820 -7 9,6 49 -343 2401 -0,0672 0,047

1830 -6 12,9 36 -216 1296 -0,0774 0,0464

1840 -5 17,1 25 -125 625 -0,0855 0,0428

1850 -4 23,2 16 -64 256 -0,0928 0,0371

1860 -3 31,4 9 -27 81 -0,0942 0,0283

1870 -2 39,8 4 -8 16 -0,0796 0,0159

1880 -1 50,2 1 -1 1 -0,0502 0,005

1890 0 62,9 0 0 0 0 0

1900 1 76 1 1 1 0,076 0,0076

1910 2 92 4 8 16 0,184 0,0368

1920 3 105,7 9 27 81 0,3171 0,0951

1930 4 122,8 16 64 256 0,4912 0,1965

1940 5 131,7 25 125 625 0,6585 0,3292

1950 6 151,1 36 216 1296 0,9066 0,544

1960 7 179,3 49 343 2401 1,2551 0,8786

1970 8 203,2 64 512 4096 1,6256 1,3005

1980 9 226,5 81 729 6561 2,0385 1,8346

1990 10 248,7 100 1000 10000 2,487 2,487

∑X=0 ∑Y=1800,6 ∑X2=770 ∑X3=0 ∑X4=50666 ∑XY=9347,4 ∑X2Y=80615

PARÁBOLA DE MÍNIMOS CUADRADOS (Ajustar los datos de la tabla)

ECUACIONES NORMALES

8061550666770

4.9347770

180677021

2

caYX

bXY

caY

26505.01395.128903.61 XXY

•Para n=21, las ecuaciones normales se convierten en:

•Resolviendo b = 12.1395a = 61.8903

c = 0.6505

•La parábola de mínimos cuadrados pedida tiene la ecuación


Interpolación

Métodos empleados antes de la era de las computadoras

• El método más simple para ajustar una curva es ubicar lospuntos y después dibujar una línea que visualmente se ajustaa los datos

• Los resultados dependen del punto de vista subjetivo de lapersona

Regresión por mínimos cuadrados

Interpolación lineal Interpolación curvilínea

Regresión por mínimos cuadrados• Ejemplo:

Lineal Cuadrático Cúbico

MSE 0.2869 0.1390 0.1494

R2 0.0059 0.5719 0.5974

AdjR2 0.0059 0.5184 0.4824

Ajuste de modelos lineal,cuadrático y cúbico adatos de Hermite porregresión por mínimoscuadrados

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6Regresion por minimos cuadrados

x

f(x)

LinealCuadraticoCubico

Regresión por mínimos cuadrados

Ajustando un modelomás complejo se logramejor ajuste de losdatos

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6Regresion por minimos cuadrados

x

f(x)

LinealCuadraticoCubicoquinto

Quinto orden

MSE 0.0566

R2 0.8911

AdjR2 0.8040

Interpolación polinómica

• Interpolamos mediante la combinación linealde funciones conocidas

• La suma, resta, multiplicación, derivada eintegral de polinomios dan como resultado otropolinomio

• El teorema de Weierstrass nos asegura quesiempre se puede aproximar una funcióncontinua f(x) con un polinomio de grado n

Método de NewtonNewton propuso el polinomio:

que podemos escribir:

)())(( ))(()()(

110

102010

nn

n

xxxxxxaxxxxaxxaaxP

n

i

i

jjin xxaaxP

1

1

00 )()(

Método de Newton

¿Cómo podemos encontrar los ai?

000 )( yaxPn

101101 )()( yxxaaxPn

21202202102 ))(()()( yxxxxaxxaaxPn

Método de NewtonSi elegimos los intervalos equidistantes:

ctexxx nn 1

Si elegimos los intervalos equidistantes:

00000 )( yayaxPn

xy

xxyyayxxaaxPn

01

011101101 )()(

Método de Newton

20

2

2012

2

0201

0102

2

21202202102

)(2)(22

)(2

)(

))(()()(

xy

xyyy

x

xxxxyyyy

a

yxxxxaxxaaxPn

Método de NewtonPara el caso general:

20

)(! xnya

n

n

Lagrange propuso el polinomio:

)())()((

)())()(( )())()(( )())()(()(

1210

3102

3201

3210

nn

n

n

nn

xxxxxxxxa

xxxxxxxxaxxxxxxxxaxxxxxxxxaxP

Método de Lagrange¿Cómo podemos encontrar los ai?

0030201000 )())()(()( yxxxxxxxxaxP nn

1131210111 )())()(()( yxxxxxxxxaxP nn

2232120222 )())()(()( yxxxxxxxxaxP nn

nnnnnnnnn yxxxxxxxxaxP )())()(()(

1210

Problemas... • ¿Cómo se ve la interpolación si se realiza con

polinomios de alto orden?

• ¿Cómo afecta la acumulación de errores de numéricos en polinomios de alto orden?

Interpolación de polinomios• Formula general para un polinomio

• Para n+1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de orden n que pasa a través de todos los puntos

• Polinomio de primer orden (línea recta) conecta dos puntos• Polinomio de segundo orden (parábola) conecta tres puntos

• La interpolación polinomial consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que ajuste n+1 puntos

• Luego este polinomio permite calcular valores intermedios

• Existen dos formas matemáticas de expresar este polinomio1. Polinomio de Newton2. Polinomio de Lagrange

nn xaxaxaaxf 2

210

Diferencia finita de Newton para la interpolación de polinomios

• Interpolación lineal: realiza la estimación entre dos puntos con una línea recta mediante triángulos semejantes

otra forma

01

01

0

01̂

xxxfxf

xxxfxf

001

0101̂ xx

xxxfxfxfxf

x0 x x1

f(x0)

f1(x)

f(x1)

0101̂ xxbbxf

Si x = x0

Si x = x1

00 xfb

01

011 xx

xfxfb

Aproximación por diferencias finitas de la primera derivada

Diferencia finita de Newton para la interpolación de polinomios

• Interpolación cuadrática: si tres puntos de los datos están disponibles se puede ajustar un polinomio de 2do grado

1020102̂ xxxxbxxbbxf

Si x = x0

Si x = x1

00 xfb

01

011 xx

xfxfb

Aproximación por diferencias finitas de la primera derivada

Si x = x2

02

01

01

12

12

2 xxxx

xfxfxx

xfxf

b

Aproximación por diferencias finitas de la 2da derivada

Forma general de la interpolación de polinomios de Newton

• Para ajustar un polinomio de n-ésimo orden a n+1 datos

los coeficientes son: 110010 nnn xxxxxxbxxbbxf

00 xfb

011 , xxfb Donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias finitas divididas

0122 ,, xxxfb

011 ,,,, xxxxfb nnn


ji

jiji xx

xfxfxxf

,

• La primera diferencia finita se representa como

• La segunda diferencia finita, como la diferencia de las dos primeras

• La n-ésima diferencia finita es

• Nótese, que no es necesario que los datos estén igualmente espaciados, o que los valores de la abcisa estén en orden ascendente

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

,,

,,

0

01111011

,,,,,,,,,,xx

xxxfxxxfxxxxfn

nnnnn


• Ejemplo: Utilice un polinomio de Newton de 3er orden para interpolar el valor en x = 2

2101003 0079.00519.04621.00 xxxxxxxxxxxxxf

x y=ln(x) Y_int Ea1 0 0 -4 1.38629 0.46209 0.462096 1.79175 0.56584 0.103745 1.60943 0.62876 0.06292

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

xy

funcion originalpuntos de la muestraPolinomio de Newton

62876.06242120079.042120519.0124621.003 xf

Error de la interpolación con polinomios de Newton

• El polinomio de Newton de orden n es de la forma

• La estructura del polinomio de Newton es similar a la de la serie de Taylor

• De manera similar al caso de la serie de Taylor se puede obtener una formulación para el error de los polinomios de Newton• Para la serie de Taylor

• Para polinomio de newton de orden n

110010010 ,,,, nnnn xxxxxxxxxfxxxxfxfxf

nn

iii

n

iiiii Rxxn

xfxxxfxfxf 111 !'

1

1

1

!1

nii

n

n xxn

fR

n

n

n xxxxxxn

fR

10

1

!1

Error de la interpolación con polinomios de Newton

• Una formulación alternativa está disponible y no requiere el conocimiento de la función

• Esta formula no puede resolverse porque contiene la incógnita f(x), sin embargo, si se dispone de un dato adicional puede usarse para estimar el error

• El error estimado para el polinomio de n-ésimo orden es equivalente a la diferencia entre la estimación de (n+1)-ésimo orden y la de n-ésimo orden

nnnn xxxxxxxxxxfR 1001 ,,,,

nnnnn xxxxxxxxxxfR 10011 ,,,,

xfxfR nnn 1

Seudo código para el método de interpolación por polinomios

de NewtonSUBROUTINE NewtInt (x,y,n,xi,yint,ea)LOCAL fddn,n

DO i = 0, nFddi,0= yi

END DODO j = 1, n

DO i = 0, n-jfddi,j = (fddi+1,j – fddi,j-1)/(xi+j – xi)

ND DOEND DO

xterm = 1yint0 = fdd0,0DO order = 1, n

xterm = xterm*(xi – xorder-1)yint2 = yintorder-1 + fdd0,order*xtermeaorder-1 = yint2 –yintorder-1yintorder = yint2

END DOEND NewtInt

Interpolación de polinomios de Lagrange

• Este método es una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo por diferencias finitas

• Los polinomios de Lagrange se pueden expresar como

donde,

• Polinomio de orden n = 1

• Polinomio de orden n = 2

n

iiin xfxLxf

0

n

ijj ji

ji xx

xxxL

0

101

00

10

11 xf

xxxxxf

xxxxxf

2

1202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxxxxxxxf

xxxxxxxxxf

xxxxxxxxxf

Interpolación de polinomios de Lagrange

• La estimación del error en la interpolación con los polinomios de Lagrange esta dada por

• Sin embargo, como este método no usa las diferencias finitas, no es práctico hacer este cálculo

• Por eso se prefiere usar polinomios de Lagrange cuando se conoce a priori el orden del polinomio

• Y se usan los polinomios de Newton para cálculos exploratorios, ya que este método proporciona información respecto al comportamiento de los polinomios de diferente orden

n

iinnn xxxxxxfR

001 ,,,,

Seudo código para el método de interpolación por polinomios de Lagrange

FUNCTION Lagrng(x,y,n,x)sum = 0DO i = 0, n

product = yiDO j = 0, n

IF i ~= j THENproduct = product*(x – xj)/(xi – xj)

END IFEND DOsum = sum + product

END DOLagrng = sum

END Lagrng

Coeficientes de un polinomio de interpolación

• Un método directo para calcular los coeficientes de un polinomio de interpolación

se basa en el hecho de que n+1 puntos se requieren para determinar los n+1 coeficientes

• Se puede usar la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas para calcular los coeficientes

nn xaxaxaaxf 2

210

Coeficientes de un polinomio de interpolación

• Por ejemplo, se quiere calcular los coeficientes de

Se requieren tres puntos (x0,f(x0)), (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)), sustituyendo cada uno en el polinomio para dar

• Se debe tener precaución con el orden• Los sistemas como estos están notoriamente mal condicionados• Los coeficientes pueden ser altamente inexactos, en particular para

n grandes

2210 xaxaaxf

2020100 xaxaaxf

2121101 xaxaaxf

2222102 xaxaaxf

Interpolación segmentaria (SPLINES)

• En la sección anterior se usó polinomios de n-ésimo ordenpara interpolar n+1 puntos

• Esta curva podría capturar todas las curvaturas sugeridas porlos puntos

• Hay casos en los que estas funciones pueden llevar aresultados erróneos debido a errores de redondeo y puntoslejanos

• Una alternativa es aplicar polinomios de orden inferior a sub-conjuntos de datos

• A estos se les llama funciones segmentarias• Estas se pueden construir de tal forma que las conexiones

entre las ecuaciones cúbicas adyacentes resultan visualmentesuaves

Segmentarias cuadráticas

iiii cxbxaxf 2

• Para asegurar que las derivadas m-ésimas sean continuasen los nodos, se debe usar una segmentaria del al menosm+1 orden

• En la práctica se usan con más frecuencia segmentariascúbicas para asegurar derivadas continuas de 1ro y 2do orden

• El objetivo de las segmentarias cuadráticas es obtener unpolinomio de 2do orden para cada intervalo i entre datos


• Para n+1 datos (i = 0,1,2,…n) existen n intervalos

• En consecuencia , 3n constantes desconocidas (a, b y c)

• Se requieren 3n ecuaciones:1. Los valores de la función de

polinomios adyacentes deben ser iguales a los nodos interiores

para i = 2 a nComo solo se usan para puntos interiores, da un total de 2n-2 ecuac.

11

21

11112

11

iiiiii

iiiiii

xfcxbxa

xfcxbxa

x0

i=0x1

i=1x3

i=3x2

i=2

Intervalo1

Intervalo2

Intervalo3

112

1 cxbxa

222

2 cxbxa

332

3 cxbxa

0xf

1xf

2xf 3xf


2. Las 1ra y ultima funciones deben pasar por los puntos extremos

2 ecuaciones adicionales3. Las 1ras derivadas en los nodos

interiores deben ser iguales

para i = 2 a nn-1 ecuaciones

Para un total de 2n-2 + 2 + n-1 = 3n-1

nnnnnn xfcxbxa

xfcxbxa

2

01012

01

x0i=0

x1

i=1x3

i=3x2

i=2

Intervalo1

Intervalo2

Intervalo3

112

1 cxbxa

222

2 cxbxa

332

3 cxbxa

0xf

1xf

2xf 3xf

iiiiii bxabxa

baxxf

1111 222'

Falta una ecuación!!


A menos que se tenga información adicional acerca de la función o sus derivadas, se debe tomar una selección arbitraria para calcular las constantes

4. Suponga que en el 1er punto la 2da derivada es cero

lo que indica que los dos primeros puntos se conectan con una línea recta

x0

i=0x1

i=1x3

i=3x2

i=2

Intervalo1

Intervalo2

Intervalo3

112

1 cxbxa

222

2 cxbxa

332

3 cxbxa

0xf

1xf

2xf 3xf

02'' 1 aaxf i


Ejemplo: Ajustar por segmentarias cuadráticas los datos de la tabla.Interpole el valor en x = 5

5.27495.27490.15.425.200.15.425.20

333

222

222

111

cbacbacbacba

x f(x)3 2.54.5 1.07 2.59 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

xf(x

)

1. Los valores de la función de polinomios adyacentes deben ser iguales a los nodos interiores

Segmentarias cuadráticasEjemplo: Ajustar por segmentarias cuadráticas los datos de la tabla. Interpole el valor en x = 5

5.09815.239

333

111

cbacba

x f(x)3 2.54.5 1.07 2.59 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

xf(x

)

2. Las 1ra y ultima funciones deben pasar por los puntos extremos

Segmentarias cuadráticasEjemplo: Ajustar por segmentarias cuadráticas los datos de la tabla. Interpole el valor en x = 5

3322

2211

141499

babababa

x f(x)

3 2.5

4.5 1.0

7 2.5

9 0.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

xf(x

)3. Las 1ras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales 4. Suponga que en el 1er

punto la 2da derivada es cero

01 a


Ejemplo: El problema se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales

0014140995.09815.2395.27495.27490.15.425.200.15.425.20

1

3322

2211

333

111

333

222

222

111

ababababa

cbacbacbacbacbacba

005.05.25.25.2

11

114114191

198113

1749174915.425.20

15.4

3

3

3

2

2

2

1

1

cbacbacb


Ejemplo: Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene

3.916.246.146.1876.664.05.510

333

222

111

cbacba

cba

Las cuales pueden sustituirse en las ecuaciones cuadráticas originales para determinar la ecuación para cada intervalo 973.916.246.1

75.446.1876.664.0

5.435.5

23

22

1

xxxxfxxxxf

xxxf

66.046.18576.6564.05 22 f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

f(x)

Segmentarias cúbicas

iiiii dxcxbxaxf 23

• El objetivo de las segmentarias cúbicas es obtener unpolinomio de 3er orden para cada intervalo entre los puntos

• Para n+1 datos (i=0,1,2,…,n) existen n intervalos, 4nincógnitas constantes para evaluar

• Se requieren 4n ecuaciones para evaluar las incógnitas


1. Los valores de la función deben ser iguales en los puntos interiores (2n-2) ecuaciones

2. Las primera y última funciones deben pasar por los puntos extremos (2 ecuaciones)

3. Las 1ras derivadas en los puntos interiores deben ser iguales (n-1 ecuaciones)

4. Las 2das derivadas en los puntos interiores deben ser iguales (n-1 ecuaciones)

5. Las 2das derivadas en los puntos extremos son cero (2ecuaciones)2n – 2 + 2 + n -1 + n – 1 + 2 = 4n

La última condición indica que la función se vuelve una línea recta en lospuntos extremos


11

1

11

1

1

31

1

3

1

1

6''

6''

6''

6''

iiii

ii

i

iiii

ii

i

iii

ii

ii

ii

xxxxxfxxxf

xxxxxfxx

xf

xxxxxfxx

xxxfxf

• Existe una técnica alterna que requiere sólo la solución de n-1 ecuaciones

• Se basa en que la 2da derivada dentro de cada intervalo es una línea recta y se obtiene la siguiente ecuación cúbica para cada intervalo

• Esta ecuación tiene dos incógnitas, las 2das derivadas en los extremos de cada intervalo

ii xfxf '' ,'' 1


iiii

iiii

iiiiiiiii xfxfxx

xfxfxx

xfxxxfxxxfxx

11

11

11111166''''2''

• Estas incógnitas se pueden evaluar mediante lasiguiente ecuación

• Si esta ecuación es descrita para todos los nodosinteriores, resulta n-1 ecuaciones simultáneas conn-1 incógnitas (porque las 2das derivadas en lospuntos extremos son cero segmentaria natural)

• Además, el sistema de ecuaciones será tridiagonal se puede usar el algoritmo de Thomas (TDMA)

Interpolación Polinómica Segmentaria

u Limitaciones de la interpolación polinómica4 Grado del polinomio 4 Carácter de la función a interpolar

u Alternativa propuesta: Splines.4 Numéricamente estable4 Matrices dispersas4 Agradable a la vista

Interpolación Polinomica Segmentaria: Splines

u Interpolación Segmentaria

u Interpolación Segmentaria Lineal

u Interpolación Segmentaria Cúbica4 Condiciones Naturales

4 Condiciones sobre la derivada

Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge

-1 0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Spline lineal

-1 0 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Polinomio grado 4

yx

11 25 2

Perfil para un diseño

Polinomio interpolador

Aplicacionesu Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s)u Geologíau Aeronáutica y automociónu Economía u Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimientode patrones, recuperación de imágenes)

u Robóticau Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales)u Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...)u Mundo Virtual Distribuido Multiusuario

Splines Linealesu Polinomio de Lagrange

u Polinomio de Newton

q xx x

x xy

x xx x

ykk

k kk

k

k kk( )

1

1 11

q x f x f x x x x

yy yx x

x x

k k k k k

kk k

k kk

( ) [ ] [ , ]( )

( )

1

1

1

Splines Lineales

Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Ru

nge

-1 0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Spline lineal

-1 0 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Polinomio grado 4

yx

11 25 2

Matriz del sistema

M

h h hh h h h

h h h

h h hh h h h

h h h

n n n

n n n n

n n n

2 0 0 0 02 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 0 2 00 0 0 20 0 0 0 2

0 1 1

1 1 2 2

2 2 3

4 3 3

3 3 2 2

2 2 1

( )( )

( )

( )( )

( )

p

ha a

ha a

ha a

ha a

nn n

nn n

3 3

3 3

12 1

01 0

11

21 2

( ) ( )

( ) ( )

Términos independientes

Ejemplo de la temperatura

5 10 15 206

8

10

12

14

16

18

20

22

Hora

Gra

dos

Spline cúbico

5 10 15 206

8

10

12

14

16

18

20

22

Hora

Gra

dos

Polinomio interpolador

Condiciones sobre la derivada

Teorema 2Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces existe un únicos(x) spline cúbico interpolante para f(x) en [x0,xn].tal que

s’(x0) = f’(x0) y s’(xn) = f’(xn).

23

30 0 0 10

1 0 0h c h ch

a a f x ( ) ' ( )

h c h c f xh

a an n n n nn

n n

1 1 11

12 33

' ( ) ( ).

Matriz del sistema

M

h hh h h h

h h h hh h h

h h hh h h h

h h

n n n

n n n n

n n

2 0 0 0 0 02 0 0 0 0

0 2 0 0 00 0 2 0 0 0

0 0 0 0 2 00 0 0 0 20 0 0 0 0 2

0 0

0 0 1 1

1 1 2 2

2 2 3

3 2 2

2 2 1 1

1 1

( )( )

( )

( )( )

Términos independientes

p

ha a f x

ha a

ha a

ha a

ha a

f xh

a an

n nn

n n

nn

n n

33

3 3

3 3

33

01 0 0

12 1

01 0

11

21 2

11

( ) ' ( )

( ) ( )

( ) ( )

' ( ) ( )

Splines Cúbicos

Interpolación segmentaria con MATLAB

Interpolación segmentaria cúbica

ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los coef.

[x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes

ps = mkpp(x,s)

syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx)

Interpolación segmentaria lineal

lyy = interp1(x,y,xx)

-1 0 1

0

0.5

1 Spline Natural

-1 0 1

0

0.5

1 Spline Derivada

-1 0 1

0

0.5

1 Interpolación Lineal

-1 0 1

0

0.5

1 Spline de MATLAB


Problemas Propuestos de IC343

PREGUNTA N° 01 [4.0 p] En cierto experimento de laboratorio se obtuvo los datos que se muestran a continuación:

Xi 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Yi 5.2 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53

Haciendo uso de un método numérico apropiado, ajustar los datos de la tabla mostrada a una curva de la siguiente forma:

xx beaexf

PREGUNTA N° 01 [5.0 p] Un polinomio pasa por los siguientes puntos:

(3.0, 2.0) (4.0, 3.1) (5.0, 4.4) (6.0, 6.0)

En un sistema de coordenadas (x, y). El polinomio proporciona y en términos de x por:

34

2321 xaxaxaay

Establecer el sistema de ecuaciones y resolverlo para los coeficientes a1 a a4 por eliminación de Gauss o por descomposición LU. La matriz de este problema es una MATRIZ DE VANDERMONDE (4 x 4). Matrices más grandes de éste tipo tienden a estar mal condicionadas.

PREGUNTA N° 04 [5.0 p] Determinar mediante un Método Numérico apropiado las estimaciones de la población de estudiantes de la UNSCH hasta el año 2031, teniendo en cuenta los datos proporcionados por la Oficina de Planificación y Presupuesto de la UNSCH.

AÑO Nº Est(1). 1981 5294 1982 6097 1983 5666 1984 5262 1985 5847 1986 6034 1987 5887 1988 5990 1989 6058 1990 5276 1991 0* 1992 6685 1993 6741 1994 7191 1995 7389 1996 7142 1997 7068 1998 6496 1999 6435 2000 7190 2001 7641 2002 8072 2003 8402 2004 8640

ESTUDIANTES: 1981-2004 (con proyección al 2010)

y = 112.67x - 217916R2 = 0.85

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

8500

9000

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010Años

Estu

dian

tes

NOTAS: *Desfase del año académico (1) Los datos de 1990 a 2004 son registros históricos, de 2005 a 2010 corresponden a proyecciones en el estudio de la OPP.

PREGUNTA N° 07 [4.0 p] ANÁLISIS DE DATOS: AJUSTE DE CURVAS A) Extienda el método de mínimos cuadrados al caso en que “y” es función lineal de 2

variables, esto es: 2211021, xaxaaxxFy

Obtener las ecuaciones normales correspondientes, si se sabe que niiii yxx 121 ,,

es la muestra de datos, de tamaño n. Determinar el coeficiente de correlación múltiple R (Coeficiente de determinación

múltiple) Un estudio de Mecánica de Fluidos indica que el fluido, a través de un tubo es función

del diámetro del tubo y de su pendiente. En el siguiente cuadro se muestran los datos experimentales:

Experimento Diámetro (pies)

Pendiente (pies/pies)

Flujo (pies3/s)

1 1 0.001 1.4 2 2 0.001 8.3 3 3 0.001 24.2 4 1 0.01 4.7 5 2 0.01 28.9 6 3 0.01 84.0 7 1 0.05 11.1 8 2 0.05 69.0 9 3 0.05 200.0

Se sabe que el flujo (Q) está relacionado con la pendiente (S) y el diámetro (D) a través de la siguiente expresión:

210

aa SDaQ

Estimar un valor de Q en un tubo con: D = 2.5 pies S = 0.025 pies/pie

A) La realización de una batería de 10 tests de esfuerzo-tensión a un determinado objeto ha proporcionado los siguientes datos:

ESFUERZO TENSIÓN

TEST Y X

1 91.00 0.001 2 97.00 0.002 3 108.00 0.003 4 111.00 0.005 5 114.00 0.006 6 110.00 0.006 7 112.00 0.009 8 105.00 0.011 9 98.00 0.016 10 91.00 0.017

Se desea ajustar un polinomio a este conjunto de datos: El diagrama de dispersión sugiere que una parábola podría resultar adecuada. Determinar el “mejor” ajuste parabólico tomando como objetivo la minimización de la suma de desviaciones absolutas entre los valores observados y las predicciones. Compararlo con el correspondiente ajuste mínimo cuadrático.

PREGUNTA N° 01 [6.0 p] Los resultados del experimento de un túnel de aire sobre el flujo del aire en la punta del ala de un avión proporcionan los siguientes datos:

CR

0.730 0.780 0.810 0.860 0.875 0.890 0.950 1.020 1.030 1.055 → 1.135 1.14 1.245 1.320 1.385 1.430 1.445 1.535 1.570 1.630 1.755

VV

0.0788 0.0788 0.064 0.0788 0.0681 0.0703 0.0703 0.0681 0.0681 0.0790 → 0.0575 0.0681 0.0575 0.0511 0.0575 0.0490 0.0532 0.0511 0.0490 0.0532 0.0426

Donde R es la distancia del núcleo al vórtice, C es la cuerda del ala del avión, Vθ es la velocidad tangencial del vórtice y V∞ es la velocidad del avión libre de corrientes.

Sean: CRx

V

Vy

La curva es de la forma:

21 xe

xAxg

Determinar los valores de A y λ, por aproximaciones por mínimos cuadrados.

Graficar CR contra

VV

PREGUNTA N° 02 [5.0 ptos.] SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES En la siguiente tabla se refleja los valores obtenidos de forma experimental, de cierta magnitud d en los distintos instantes t.

t 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 d(t) 1.0950 -0.1569 -1.0157 -1.4740 -1.3616 -0.8342 -0.0135

Estamos interesados en ajustar a los datos da la tabla un modelo no lineal de la forma:

tet t sin Donde α y β son parámetros desconocidos. a) Plantea el sistema no lineal que resulta al intentar determinar el valor de los parámetros α y

β que nos dan el modelo φ(t) b) Aproxima la solución del sistema anterior mediante el Método de Newton para sistema de

ecuaciones no lineales, tomando una tolerancia apropiada. Representa los datos de la tabla y el modelo φ(t) obtenido.

c) Determina en qué instantes t la magnitud de d(t) se anula. Utiliza el método, que consideres oportuno para encontrar las raíces de esta ecuación no lineal.

PREGUNTA N° 01 FUNCIÓN POLINÓMICA DE DOS VARIABLES Utilizando la interpolación lineal de dos dimensiones, elaborar un procedimiento numérico para una herramienta de cálculo apropiada que permita interpolar los valores TP (56.4 ºF, 12.7 psi), (56.4 ºF, 22.7 psi), (56.4 ºF, 100 psi), (411.2 ºF, 12.7 psi), (411.2 ºF, 30.1 psi), (-200 ºF, 10 psi) y (0 ºF, 84.3 psi) correspondiente a la tabla: TEMPERATURA

(ºF)PRESIÓN (PSI)

10 20 30 40 60 80 100 -200 17.15 8.47 5.57 4.12 2.678 1.954 1.518 -100 23.97 11.94 7.91 5.91 3.91 2.903 2.301

0 30.72 15.32 10.19 7.63 5.06 3.78 3.014 100 37.44 18.70 12.44 9.33 6.21 4.65 3.71 200 44.13 22.07 14.70 11.03 7.34 5.50 4.40 300 50.83 25.42 16.94 12.71 8.46 6.35 5.07 400 57.51 28.76 19.17 14.38 9.58 7.19 5.75 500 64.20 32.10 21.40 16.05 10.70 8.03 6.42

PREGUNTA N° 03 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA La siguiente tabla refleja la demanda de energía eléctrica en una Ciudad cada dos horas de un día determinado del año. HORA 0 2 4 6 8 10 12 MW 31.250 28.000 26.000 26.000 34.000 37.500 38.000 HORA 14 16 18 20 22 24MW 35.500 34.500 38.500 39.500 36.500 33.000a) Hallar el polinomio de grado 12 que interpola los valores dados. Explicar el comportamiento del

polinomio de interpolación. b) Se propone mejorar la interpolación dividiendo el intervalo en dos, de 0 a 12 y de 12 a 24 y

hallando un polinomio para cada intervalo. Representa los polinomios obtenidos y compara el resultado con el del apartado anterior.

c) Interpola los datos con un paquete de software mediante un polinomio apropiado y compara con los ajustes anteriores.

PREGUNTA N° 02 [5.0 ptos.] ANÁLISIS DE DATOS – INTERPOLACIÓM MULTIDIMENSIONAL Imagine que tiene um conjunto de datos “z” que depende de dos variables “x” y “y”. Considere la siguiente tabla:

xy x=15 x=30

y=10 23 33y=20 45 55y=30 60 70y=40 82 92y=50 111 121y=60 140 150y=70 167 177y=80 198 198y=90 200 210y=100 20 230

a) Grafique ambos conjuntos de datos “yz” en la misma gráfica. b) Use la interpolación lineal multidimensional para aproximar el valor de “z” cuando y=15 y x=20. c) Qué otro método de interpolación se podría emplear para aproximar el valor de “z” cuando y=15 y x=20. d) Use interpolación lineal para crear una nueva subtabla para x=20 y x=25, para todos los valores de “y”.

Sección de Preguntas

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